高中物理竞赛必备辅导资料-刚体角动量.ppt

4-6 刚体角动量和角动量守恒定律刚体角动量和角动量守恒定律1.1.1.1.定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理刚体定轴转动定理：刚体定轴转动定理：则该系统对该轴的角动量为：则该系统对该轴的角动量为：由几个物体组成的系统，如果它们对同一给由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为定轴的角动量分别为 、，对于该系统还有对于该系统还有为为 时间内力矩时间内力矩M M 对给定轴的冲量矩。对给定轴的冲量矩。角动量定理的微分形式：角动量定理的微分形式：在外力矩作用下，从在外力矩作用下，从角动量角动量变为变为，则由则由得得 定轴转动刚体的角动量定理定轴转动刚体的角动量定理2.2.2.2.定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律 角动量守恒定律：角动量守恒定律：若一个系统一段时间若一个系统一段时间内所受合外力矩内所受合外力矩M M 恒为零，则此系统的总角恒为零，则此系统的总角动量动量L L 为一恒量。为一恒量。恒量恒量讨论：讨论：a.对于绕固定转轴转动的刚体，因对于绕固定转轴转动的刚体，因J J 保持不变，保持不变，当合外力矩为零时，其角速度恒定。当合外力矩为零时，其角速度恒定。=恒量恒量=恒量恒量b.若系统由若干个刚体构成若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时当合外力矩为零时,系系 统的角动量依然守恒。统的角动量依然守恒。J J 大大 小小,J J 小小 大。大。c.c.若系统内既有平动也有转动现象若系统内既有平动也有转动现象发生，若对某一定轴的合外力矩为发生，若对某一定轴的合外力矩为零零,则系统对该轴的角动量守恒。则系统对该轴的角动量守恒。定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律LABABCC常平架上的回转仪常平架上的回转仪应用事例：应用事例：定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律精确制导精确制导直升飞机直升飞机直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律例例题题4-11 4-11 一一匀匀质质细细棒棒长长为为l ，质质量量为为m，可可绕绕通通过过其其端端点点O的的水水平平轴轴转转动动，如如图图所所示示。当当棒棒从从水水平平位位置置自自由由释释放放后后，它它在在竖竖直直位位置置上上与与放放在在地地面面上上的的物物体体相相撞撞。该该物物体体的的质质量量也也为为m，它它与与地地面面的的摩摩擦擦系系数数为为 。相相撞撞后后物物体体沿沿地地面面滑滑行行一一距距离离s而而停停止止。求求相相撞撞后后棒棒的的质质心心C 离离地地面面的的最最大大高高度度h，并并说说明明棒棒在在碰碰撞撞后后将将向向左左摆摆或或向向右右摆摆的的条件。条件。解：解：这个问题可分为三个阶段这个问题可分为三个阶段进行分析。第一阶段是棒自由进行分析。第一阶段是棒自由摆落的过程。这时除重力外，摆落的过程。这时除重力外，其余内力与外力都不作功，所其余内力与外力都不作功，所以机械能守恒。我们把棒在竖以机械能守恒。我们把棒在竖直位置时质心所在处取为势能直位置时质心所在处取为势能CO定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律零点，用零点，用 表示棒这时的角速度表示棒这时的角速度,则则（1 1）第第二二阶阶段段是是碰碰撞撞过过程程。因因碰碰撞撞时时间间极极短短，自自由由的的冲冲力力极极大大，物物体体虽虽然然受受到到地地面面的的摩摩擦擦力力，但但可可以以忽忽略略。这这样样，棒棒与与物物体体相相撞撞时时，它它们们组组成成的的系系统统所所受受的的对对转转轴轴O的的外外力力矩矩为为零零，所所以以，这这个个系系统统的的对对O轴轴的的角角动动量守恒。我们用量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则表示物体碰撞后的速度，则（2 2）式式中中 棒棒在在碰碰撞撞后后的的角角速速度度，它它可可正正可可负负。取取正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。正值，表示碰后棒向左摆；反之，表示向右摆。定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律第第三三阶阶段段是是物物体体在在碰碰撞撞后后的的滑滑行行过过程程。物物体体作作匀匀减减速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为速直线运动，加速度由牛顿第二定律求得为（3 3）由匀减速直线运动的公式得由匀减速直线运动的公式得（4）亦即亦即由式（由式（1 1）、（）、（2 2）与（）与（4 4）联合求解，即得）联合求解，即得（5）定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律亦亦即即l6l6 s；当当 取取负负值值，则则棒棒向向右右摆摆，其其条条件件为为亦即亦即l 6 s 棒棒的的质质心心C C上上升升的的最最大大高高度度，与与第第一一阶阶段段情情况况相似，也可由机械能守恒定律求得：相似，也可由机械能守恒定律求得：把式（把式（5 5）代入上式，所求结果为）代入上式，所求结果为当当 取正值，则棒向左摆，其条件为取正值，则棒向左摆，其条件为(6)(6)定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律例例题题4-12 4-12 工工程程上上，两两飞飞轮轮常常用用摩摩擦擦啮啮合合器器使使它它们们以以相相同同的的转转速速一一起起转转动动。如如图图所所示示，A和和B两两飞飞轮轮的的轴轴 杆杆 在在 同同 一一 中中 心心 线线 上上，A轮轮 的的 转转 动动 惯惯 量量 为为JA=10kg m2，B B的的转转动动惯惯量量为为JB=20kg m2 。开开始始时时A A轮轮的的转转速速为为600r/min，B轮轮静静止止。C为为摩摩擦擦啮啮合合器器。求求两两轮轮啮啮合合后后的的转转速速；在在啮啮合合过过程程中中，两两轮轮的的机机械械能有何变化？能有何变化？A ACBACB定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律解解 以飞轮以飞轮A A、B B和啮合器和啮合器C C作为一系统来考虑，在作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得可得 为两轮啮合后共同转动的角速度，于是为两轮啮合后共同转动的角速度，于是以各量的数值代入得以各量的数值代入得定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律或共同转速为或共同转速为 在在啮啮合合过过程程中中，摩摩擦擦力力矩矩作作功功，所所以以机机械械能能不不守守恒恒，部部分分机机械械能能将将转转化化为为热热量量，损损失的机械能为失的机械能为定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律 例例题题4-13 4-13 恒恒星星晚晚期期在在一一定定条条件件下下，会会发发生生超超新新星星爆爆发发，这这时时星星体体中中有有大大量量物物质质喷喷入入星星际际空空间间，同同时时星星的的内内核核却却向向内内坍坍缩缩，成成为为体体积积很很小小的的中中子子星星。中中子子星星是是一一种种异异常常致致密密的的星星体体，一一汤汤匙匙中中子子星星物物体体就就有有几几亿亿吨吨质质量量！设设某某恒恒星星绕绕自自转转轴轴每每4545天天转转一一周周，它它的的内内核核半半径径R0约约为为2 2 10107 7m，坍坍缩缩成成半半径径R仅仅为为6 6 10103 3m的的中中子子星星。试试求求中中子子星星的的角角速速度度。坍坍缩缩前前后后的星体内核均看作是匀质圆球。的星体内核均看作是匀质圆球。解解 在在星星际际空空间间中中，恒恒星星不不会会受受到到显显著著的的外外力力矩矩，因因此此恒恒星星的的角角动动量量应应该该守守恒恒，则则它它的的内内核核在在坍坍缩缩前前后后的的角动量角动量J J0 0 0 0和和J J 应相等。因应相等。因定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律代入代入J0 0=J 中，整理后得中，整理后得 由由于于中中子子星星的的致致密密性性和和极极快快的的自自转转角角速速度度，在在星星体体周周围围形形成成极极强强的的磁磁场场，并并沿沿着着磁磁轴轴的的方方向向发发出出很很强强的的无无线线电电波波、光光或或X X射射线线。当当这这个个辐辐射射束束扫扫过过地地球球时时，就就能能检检测测到到脉脉冲冲信信号号，由由此此，中中子子星星又又叫叫脉脉冲星。目前已探测到的脉冲星超过冲星。目前已探测到的脉冲星超过300300个。个。定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律例例题题4-14 4-14 图图中中的的宇宇宙宙飞飞船船对对其其中中心心轴轴的的转转动动惯惯量量为为J=2 103kg m2 ，它它以以=0.2rad/s的的角角速速度度绕绕中中心心轴轴旋旋转转。宇宇航航员员用用两两个个切切向向的的控控制制喷喷管管使使飞飞船船停停止止旋旋转转。每每个个喷喷管管的的位位置置与与轴轴线线距距离离都都是是r=1.5m。两两喷喷管管的的喷喷气气流流量量恒恒定定，共共是是=2kg/s 。废废气气的的喷喷射射速速率率（相相对对于于飞飞船船周周边边）u=50m/s，并并且且恒恒定定。问问喷喷管管应应喷喷射射多多长时间才能使飞船停止旋转。长时间才能使飞船停止旋转。rdm/2dm/2u-u L0Lg解解 把飞船和排出的把飞船和排出的废气看作一个系统，废气看作一个系统，废气质量为废气质量为m m。可以。可以认为废气质量远小于认为废气质量远小于飞船的质量，飞船的质量，定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等于飞船自身的角动量，即于飞船自身的角动量，即 在在喷喷气气过过程程中中，以以dm表表示示dt时时间间内内喷喷出出的的气气体体，这这些些气气体体对对中中心心轴轴的的角角动动量量为为dm r(u+v)，方方 向向 与与 飞飞 船船 的的 角角 动动 量量 相相 同同。因因u=50m/s远远大大于于飞飞船船的的速速率率v(=r)，所所以以此此角角动动量量近近似似地地等等于于dm ru。在在整整个个喷喷气气过过程程中中喷出废气的总的角动量喷出废气的总的角动量Lg应为应为定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律当当宇宇宙宙飞飞船船停停止止旋旋转转时时，其其角角动动量量为为零零。系系统统这这时时的的总总角角动动量量L L1 1就就是是全全部部排排出出的的废废气气的的总总角角动动量量，即即为为在在整整个个喷喷射射过过程程中中，系系统统所所受受的的对对于于飞飞船船中中心心轴轴的的外外力力矩矩为为零零，所所以以系系统统对对于于此此轴轴的的角角动动量量守守恒恒，即即L L0 0=L=L1 1 ，由此得，由此得即即定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律于是所需的时间为于是所需的时间为定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律例例1 一长为一长为l、质量为、质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴的匀质细杆，可绕光滑轴O 在在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹水的子弹水平射入与轴相距为平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到转到q q=300，求子弹的初速，求子弹的初速v0。解：分两个阶段进行考虑解：分两个阶段进行考虑其中其中(1)子子弹弹射射入入细细杆杆,使使细细杆杆获获得得初初速速度度。因因这这一一过过程程进进行行得得很很快快,细细杆杆发发生生偏偏转转极极小小,可可认认为为杆杆仍仍处处于于竖竖直直状状态态。子子弹弹和和细细杆杆组组成成待待分分析析的的系系统统,无无外外力力矩矩,满满足足角角动动量量守守恒恒条条件件。子子弹弹射射入入细细杆杆前前、后后的一瞬间的一瞬间,系统角动量分别为系统角动量分别为定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律(2)(2)子弹随杆一起绕轴子弹随杆一起绕轴O O 转转动。以子弹、细杆及地球构动。以子弹、细杆及地球构成一系统，只有保守内力作成一系统，只有保守内力作功，机械能守恒。选取细杆功，机械能守恒。选取细杆处于竖直位置时子弹的位置处于竖直位置时子弹的位置为为重力势能零点重力势能零点，系统在始，系统在始末状态的机械能为：末状态的机械能为：由角动量守恒，得：由角动量守恒，得：(1)势能零点势能零点定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律由机械能守恒，由机械能守恒，E=E0,代入代入q q=300，得：得：将上式与将上式与 联立，并代入联立，并代入J 值，得值，得定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律例例2 2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：为：A=50=50rad.s-1-1,B=200=200rad.s-1-1。已知。已知A A 圆盘半径圆盘半径R RA A=0.2m,=0.2m,质量质量m mA A=2kg,=2kg,B B 圆盘的半径圆盘的半径R RB B=0.1m,=0.1m,质量质量m mB B=4kg.=4kg.试求两圆盘对心衔接后的角速度试求两圆盘对心衔接后的角速度 .解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因此系统角间切向摩擦力属于内力。因此系统角动量守恒，得到动量守恒，得到定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律例例2 2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：为：A=50=50rad.s-1-1,B=200=200rad.s-1-1。已知。已知A A 圆盘半径圆盘半径R RA A=0.2m,=0.2m,质量质量m mA A=2kg,=2kg,B B 圆盘的半径圆盘的半径R RB B=0.1m,=0.1m,质量质量m mB B=4kg.=4kg.试求两圆盘对心衔接后的角速度试求两圆盘对心衔接后的角速度 .解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因此系统角间切向摩擦力属于内力。因此系统角动量守恒，得到动量守恒，得到定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律