高一数学必修二课件第七章 第六节空间直角坐标系、空间向量及其运算.ppt

第六节 空间直角坐标系、空间向量及其运算1.1.空间直角坐标系及有关概念空间直角坐标系及有关概念(1)(1)空间直角坐标系：空间直角坐标系：名名 称称 内内 容容 空间直角空间直角坐标系坐标系 以空间一点以空间一点O O为原点，具有相同的单位长为原点，具有相同的单位长度度,给定正方向给定正方向,建立三条两两垂直的数轴：建立三条两两垂直的数轴：x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴，这时建立了一个空间直角轴，这时建立了一个空间直角坐标系坐标系_._.坐标原点坐标原点 点点O O 坐标轴坐标轴 _、_、_坐标平面坐标平面 通过每两个坐标轴的平面通过每两个坐标轴的平面 OxyzOxyzx x轴轴y y轴轴z z轴轴(2)(2)空间中点空间中点M M的坐标：的坐标：空间中点空间中点M M的坐标常用有序实数组的坐标常用有序实数组(x,y,z)(x,y,z)来表示，记作来表示，记作M(x,y,z)M(x,y,z)，其中，其中x x叫做点叫做点M M的的_，y y叫做点叫做点M M的的_，z z叫做点叫做点M M的的_._.建立了空间直角坐标系后，空间中的点建立了空间直角坐标系后，空间中的点M M和有序实数组和有序实数组(x,y,z)(x,y,z)可建立一一对应的关系可建立一一对应的关系.横坐标横坐标纵坐标纵坐标竖坐标竖坐标2.2.空间两点间的距离空间两点间的距离(1)(1)设点设点A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则|=_.|=_.特别地，点特别地，点P(x,y,z)P(x,y,z)与坐标原点与坐标原点O O的距离为的距离为|=_.|=_.(2)(2)设点设点A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2)是空间中两点，则线段是空间中两点，则线段ABAB的中点坐标为的中点坐标为_._.3.3.空间向量的有关概念空间向量的有关概念名名 称称 概概 念念 表表 示示 零向量零向量 模为模为_的向量的向量 0 单位向量单位向量 长度长度(模模)为为_的向量的向量 相等向量相等向量 方向方向_且模且模_的向量的向量 a=b 相反向量相反向量 方向方向_且模且模_的向量的向量 a的相反的相反向量为向量为-a 共线向量共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直表示空间向量的有向线段所在的直线互相线互相_的向量的向量 ab 共面向量共面向量 平行于同一个平行于同一个_的向量的向量 0 01 1相同相同相等相等平行或重合平行或重合平面平面相反相反相等相等4.4.空间向量的有关定理空间向量的有关定理(1)(1)共线向量定理：对空间任意两个向量共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b0),),ab的的充要条件是存在实数充要条件是存在实数，使得，使得_._.(2)(2)共面向量定理：如果两个向量共面向量定理：如果两个向量a,b_，那么向量，那么向量p与与向量向量a,b共面的充要条件是存在共面的充要条件是存在_的有序实数对的有序实数对(x,y)(x,y)，使使_._.(3)(3)空间向量基本定理：如果三个向量空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c_，那么，那么对空间任一向量对空间任一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组x,y,zx,y,z，使得，使得_._.其中，其中，a,b,c 叫做空间的一个基底叫做空间的一个基底.惟一惟一a=bp=x=xa+y+yb不共面不共面p=x=xa+y+yb+z+zc不共线不共线5 5空间向量的数量积及运算律空间向量的数量积及运算律AOB AOB a,b 00a,b|a|b|cos|cosa,b (ab)a(b)ba ab+ac 6 6空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算a=(a=(a1 1,a,a2 2,a,a3 3),),b=(b=(b1 1,b,b2 2,b,b3 3)，(a,b均为非零向量均为非零向量)a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3=0=0 a a1 1b b1 1+a+a2 2b b2 2+a+a3 3b b3 3 判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(1)(1)空间中任意两非零向量空间中任意两非零向量a,b共面共面.().()(2)(2)对于任意两个空间向量对于任意两个空间向量a,b,若若ab=0=0，则，则ab.().()(3)(3)在向量的数量积运算中在向量的数量积运算中(ab)c=a(bc).().()(4)(4)对于非零向量对于非零向量b,由由ab=bc,则则a=c.().()(5)(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同的范围相同.().()【解析解析】(1)(1)正确正确.由于向量可平移，因此空由于向量可平移，因此空间任意两向量都可平移到同一起点，故空间间任意两向量都可平移到同一起点，故空间任意两向量共面任意两向量共面.(2)(2)错误错误.若若a与与b是非零向量，才有是非零向量，才有ab=0=0 ab.(3)(3)错误错误.因为两个向量的数量积的结果是数因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向量，量而不是向量，(ab)c=c,a(bc)=)=a,故故(ab)c与与a(bc)不一定相等不一定相等.(4)(4)错误错误.根据向量数量积的几何意义，根据向量数量积的几何意义，ab=bc说明说明a在在b方向上的射影与方向上的射影与c在在b方向方向上的射影相等，而不是上的射影相等，而不是a=c.(5)(5)错误错误.两向量夹角的范围是两向量夹角的范围是0 0，两异面直线所成角的范围是两异面直线所成角的范围是(0(0，答案：答案：(1)(2)(1)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)1.1.在空间直角坐标系中，点在空间直角坐标系中，点A(1A(1，1 1，1)1)与点与点B B(2(2，2 2，-1)-1)之间的距离为之间的距离为()()(A)(B)6 (C)(D)2(A)(B)6 (C)(D)2【解析解析】选选A.A.由空间两点间的距离公式可得由空间两点间的距离公式可得 故选故选A.A.2.2.有有4 4个命题：个命题：若若px xa+y+yb,则则p与与a，b共共面；面；若若p与与a，b共面，则共面，则px xa+y+yb;若若 则则P P，M M，A A，B B共面；共面；若点若点P P，M M，A A，B B共面，则共面，则 其中真命题的个数是其中真命题的个数是()()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析解析】选选B.B.正确，正确，中若中若a,b共线，共线，p与与a不共线，则不共线，则p=x=xa+y+yb就不成立，就不成立，正确，正确，中若中若M M，A A，B B共线，点共线，点P P不在此直线上，则不在此直线上，则 不正确不正确.3.3.在在ABCABC中，已知中，已知D D是是ABAB边上的一点，若边上的一点，若 则则的值等于的值等于_._.【解析解析】答案：答案：4.4.已知空间三点已知空间三点A(1A(1，1 1，1)1)，B(-1B(-1，0 0，4)4)，C(2C(2，-2-2，3)3)，则，则 的夹角的夹角_._.【解析解析】(-2(-2，-1-1，3)3)，(-1(-1，3 3，-2)-2)，(-2)(-2)(-1)+(-1)(-1)+(-1)3+33+3(-2)=2-3-6=-7.(-2)=2-3-6=-7.又又0,0,=.=.答案：答案：5.5.在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中，中，=_.=_.【解析解析】设设 =b，=c，=d，则则 =d-c,=,=d-b,=,=c-b.原式原式=b(d-c)+()+(c-b)d-c(d-b)=0)=0答案答案:0 0 考向考向 1 1 求空间点的坐标求空间点的坐标 【典例典例1 1】(1)(1)空间直角坐标系中空间直角坐标系中,点点P(2,3,4)P(2,3,4)在在x x轴上的射影的坐标为轴上的射影的坐标为_._.(2)(2)已知正三棱柱已知正三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1的各棱长均为的各棱长均为2 2，以以A A为坐标原点建立适当的空间直角坐标系，为坐标原点建立适当的空间直角坐标系，求其各顶点的坐标求其各顶点的坐标.【思路点拨思路点拨】(1)(1)空间直角坐标系中空间直角坐标系中,点在点在x x轴轴上的射影的坐标满足横坐标相同上的射影的坐标满足横坐标相同,纵、竖坐标纵、竖坐标均为零均为零.(2)(2)分析正三棱柱底面三角形角的大小，正确分析正三棱柱底面三角形角的大小，正确选择原点及坐标轴建系选择原点及坐标轴建系.【规范解答规范解答】(1)(1)点点P(2,3,4)P(2,3,4)在在x x轴上的射轴上的射影的横坐标与点影的横坐标与点P P的横坐标相同的横坐标相同,纵坐标、纵坐标、竖坐标均为竖坐标均为0.0.故射影坐标为故射影坐标为(2,0,0).(2,0,0).答案：答案：(2,0,0)(2,0,0)(2)(2)以以A A点为坐标原点，点为坐标原点，ACAC，AAAA1 1所在直线分别所在直线分别为为y y轴、轴、z z轴建立空间直角坐标系，如图所示轴建立空间直角坐标系，如图所示.设设ACAC的中点是的中点是D D，连接，连接BDBD，则则BDyBDy轴，且轴，且BD=BD=，A(0,0,0),B(,1,0),A(0,0,0),B(,1,0),C(0,2,0)AC(0,2,0)A1 1(0,0,2),(0,0,2),B B1 1(,1,2),C(,1,2),C1 1(0,2,2).(0,2,2).【互动探究互动探究】本例题本例题(2)(2)中若以中若以ACAC的中点的中点D D为坐为坐标原点，以标原点，以DB,DCDB,DC所在直线分别为所在直线分别为x x轴、轴、y y轴建轴建立空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标立空间直角坐标系，试写出各顶点的坐标.【解析解析】建立空间直角坐标系如图所示，则建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,-1,0),B(,0,0),A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0)C(0,1,0)，A A1 1(0,-1,2),(0,-1,2),B B1 1(,0,2),C(,0,2),C1 1(0,1,2(0,1,2).).【拓展提升拓展提升】求空间中点求空间中点P P的坐标的方法的坐标的方法(1)(1)垂面法：过点垂面法：过点P P作与作与x x轴垂直的平面，垂足轴垂直的平面，垂足在在x x轴上对应的数即为点轴上对应的数即为点P P的横坐标；同理可的横坐标；同理可求纵坐标、竖坐标求纵坐标、竖坐标.(2).(2)垂线法：从点垂线法：从点P P向三个向三个坐标平面作垂线，所得点坐标平面作垂线，所得点P P到三个平面的距离到三个平面的距离等于点等于点P P的对应坐标的绝对值，再判断出对应的对应坐标的绝对值，再判断出对应数值的符号，进而可求得点数值的符号，进而可求得点P P的坐标的坐标.【变式备选变式备选】已知正方体已知正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的的棱长为棱长为2 2，M M为为A A1 1C C1 1中点，中点，N N为为ABAB1 1中点，建立中点，建立适当的坐标系，写出适当的坐标系，写出M M，N N两点的坐标两点的坐标.【解析解析】如图，以如图，以A A为原点，以为原点，以ABAB，ADAD，AAAA1 1所在直线为所在直线为x x轴，轴，y y轴，轴，z z轴建立空间直角坐标轴建立空间直角坐标系系.从从M M点分别向平面点分别向平面yAzyAz、平面、平面xAzxAz、平面、平面xAyxAy作垂线作垂线.正方体的棱长为正方体的棱长为2 2，M M点的坐标为点的坐标为(1(1，1 1，2).2).同理，同理，N N点坐标为点坐标为(1(1，0 0，1).1).考向考向 2 2 空间向量的线性运算空间向量的线性运算 【典例典例2 2】(1)(1)向量向量a=(3,5,-4),=(3,5,-4),b=(2,1,8)=(2,1,8)，则，则3 3a-2-2b=_.(2)=_.(2)如图所示，在平行六面体如图所示，在平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，设中，设 a,=,=b,=,=c,M M，N N，P P分别是分别是AAAA1 1，BCBC，C C1 1D D1 1的中点，试用的中点，试用a,b,c表示以下各向量：表示以下各向量：【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据向量坐标运算的法则根据向量坐标运算的法则解题即可解题即可.(2)(2)用已知向量表示未知向量时，在转化时用已知向量表示未知向量时，在转化时要结合向量的线性运算要结合向量的线性运算.【规范解答规范解答】(1)3(1)3a-2-2b=3(3,5,-4)-=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-2(2,1,8)=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28).28).答案：答案：(5,13,-28)(5,13,-28)(2)P(2)P是是C C1 1D D1 1的中点，的中点，N N是是BCBC的中点，的中点，=-=-a+b+=-+=-a+b+=-+=-a+b+c.MM是是AAAA1 1的中点，的中点，-a+(+(a+c+b)=)=a+b+c.又又【互动探究互动探究】在本例题在本例题(2)(2)中，若中，若O O为底面为底面ABCDABCD对角线对角线ACAC与与BDBD的交点，试用的交点，试用a,b,c表示向表示向量量【解析解析】【拓展提升拓展提升】空间向量线性运算的方法空间向量线性运算的方法几几 何何 表表 示示 坐坐 标标 表表 示示 加法加法 满足三角形法则和满足三角形法则和平行四边形法则平行四边形法则 对应坐标相加对应坐标相加 减法减法 满足三角形法则满足三角形法则 对应坐标相减对应坐标相减 数乘数乘 与平面向量数乘类与平面向量数乘类似似 把每个坐标同乘以把每个坐标同乘以常数常数 空间向量的加法与数乘满足的运算律与平面空间向量的加法与数乘满足的运算律与平面向量的对应运算满足的运算律相同向量的对应运算满足的运算律相同 【提醒提醒】(1)(1)进行向量的加法运算时，若用三进行向量的加法运算时，若用三角形法则，必须使两向量首尾相接；若用平角形法则，必须使两向量首尾相接；若用平行四边形法则，必须使两向量共起点行四边形法则，必须使两向量共起点(2)(2)进行向量减法时，必须使两向量共起点进行向量减法时，必须使两向量共起点【变式备选变式备选】如图，已知空间四边形如图，已知空间四边形OABCOABC，其对角线为其对角线为OBOB，AC.MAC.M，N N分别是对边分别是对边OAOA，BCBC的中点，点的中点，点G G在线段在线段MNMN上，且上，且MGMG2GN2GN，用基，用基底向量底向量 表示向量表示向量【解析解析】考向考向 3 3 共线向量定理、空间向量基本定理共线向量定理、空间向量基本定理的应用的应用【典例典例3 3】(1)(1)已知向量已知向量a,b且且 a+2+2b,=-,=-5 5a+6+6b,=7,=7a-2-2b,则一定共线的三点是则一定共线的三点是()()(A)A(A)A，B B，D (B)AD (B)A，B B，C (C)BC (C)B，C C，D D (D)A(D)A，C C，D D(2)(2)已知已知 a,b,c 是空间的一个基底，是空间的一个基底，a+b,a-b,c 是空间的另一个基底，一向量是空间的另一个基底，一向量p在基底在基底 a,b,c 下的坐标为下的坐标为(4(4，2 2，3)3)，则向量，则向量p在基在基底底 a+b,a-b,c 下的坐标是下的坐标是()()(A)(4(A)(4，0 0，3)(B)(33)(B)(3，1 1，3)3)(C)(1(C)(1，2 2，3)(D)(23)(D)(2，1 1，3)3)【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用三点共线的条件验证即利用三点共线的条件验证即可可.(2)(2)用基底用基底 a+b,a-b,c 表示表示p即可即可.【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.=-5A.=-5a+6+6b,=7 =7a-2-2b,=(-5 =(-5a+6+6b)+(7)+(7a-2-2b)=2)=2a+4+4b.又又 =a+2+2b,BDBD与与ABAB有公共点有公共点B B，A,B,DA,B,D三点共线三点共线.(2)(2)选选B.B.向量向量p在基底在基底 a,b,c 下的坐标为下的坐标为(4(4，2 2，3)3)，p=4=4a+2+2b+3+3c.设设p=x(=x(a+b)+y()+y(a-b)+z)+zc=(x+y)=(x+y)a+(x-y)+(x-y)b+z+zc,向量向量p在基底在基底 a+b,a-b,c 下的坐标为下的坐标为(3(3，1 1，3).3).【拓展提升拓展提升】空间共线向量定理、共面向量定理的应用空间共线向量定理、共面向量定理的应用三点三点(P(P，A A，B)B)共线共线 空间四点空间四点(M(M，P P，A A，B)B)共面共面 对空间任一点对空间任一点O O，对空间任一点对空间任一点O O，对空间任一点对空间任一点O O，对空间任一点对空间任一点O O，【变式训练变式训练】给出命题：给出命题：若若a与与b共线，则共线，则a与与b所在的直线平行；所在的直线平行；若若a与与b共线，则存在共线，则存在唯一的实数唯一的实数，使，使b=a；若若A A，B B，C C三点不三点不共线，共线，O O是平面是平面ABCABC外一点，外一点，则点则点M M一定在平面一定在平面ABCABC上，且在上，且在ABCABC的内部的内部.上述命题中的真命题是上述命题中的真命题是_._.【解析解析】中向量中向量a与与b所在的直线也有可能重合，故所在的直线也有可能重合，故是假是假命题；命题；中当中当a=0,b0时，找不到实数时，找不到实数,使使b=a，故，故是是假命题；可以证明假命题；可以证明中中A A，B B，C C，M M四点共面，因为四点共面，因为 等式两边同时加上等式两边同时加上 则则 又又M M是三个有向线段的公是三个有向线段的公共点，故共点，故A A，B B，C C，M M四点共面，四点共面，M M是是ABCABC的重心，所以点的重心，所以点M M在在平面平面ABCABC上，且在上，且在ABCABC的内部，故的内部，故是真命题是真命题.答案：答案：考向考向 4 4 空间向量的数量积及其应用空间向量的数量积及其应用 【典例典例4 4】(1)(1)已知向量已知向量a=(1,1,0)=(1,1,0)，b=(-=(-1,0,2)1,0,2)且且k ka+b与与2 2a-b互相垂直，则互相垂直，则k=_k=_(2)(2)如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，中，AB=AC=CD=1AB=AC=CD=1，ACD=90ACD=90，把，把ADCADC沿对角线沿对角线ACAC折起，使折起，使ABAB与与CDCD成成6060角，求角，求BDBD的长的长.【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用两向量数量积等于零，利用两向量数量积等于零，列出方程求解即可列出方程求解即可.(2)(2)由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中由图形折叠的相关知识得到折叠后图形中线段的位置关系和数量关系，然后用线段的位置关系和数量关系，然后用 根据根据 求解求解【规范解答规范解答】(1)(1)由题意得，由题意得，k ka+b=(k-=(k-1,k,2),21,k,2),2a-b=(3,2=(3,2，-2)-2)所以所以(k(ka+b)(2(2a-b)=3(k-1)+2k-2)=3(k-1)+2k-22=2=5k-7=05k-7=0，解得，解得k=k=答案答案:(2)AB(2)AB与与CDCD成成6060角，角，=60 =60或或120120，又，又AB=AC=CD=1AB=AC=CD=1，ACCDACCD，ACABACAB，|=2|=2或或 BDBD的长为的长为2 2或或 【拓展提升拓展提升】1.1.空间向量数量积的计算方法空间向量数量积的计算方法(1)(1)定义法：设向量定义法：设向量a,b的夹角为的夹角为，则则ab=abcos.cos.(2)(2)坐标法：设坐标法：设a=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2)，则，则ab=x=x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2+z+z1 1z z2 2解题时可根据条件灵活选解题时可根据条件灵活选择方法择方法2.2.数量积的应用数量积的应用(1)(1)求夹角求夹角:设向量设向量a,b所成的所成的角为角为，则，则cos cos 进而可求两异面直进而可求两异面直线所成的角线所成的角.(2).(2)求长度求长度(距离距离):):运用公式运用公式a2 2=aa，可使线段长度的计算问题转化，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题为向量数量积的计算问题.(3).(3)解决垂直问题解决垂直问题:利用利用abab=0(=0(a0,b0)，可将垂直，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题问题转化为向量数量积的计算问题【变式训练变式训练】如图所示，在空间直角坐标系中，如图所示，在空间直角坐标系中，BCBC2 2，原点，原点O O是是BCBC的中点，点的中点，点A A的坐标是的坐标是(0)(0)，点点D D在平面在平面yOzyOz上，且上，且BDCBDC90,DCB=30.90,DCB=30.(1)(1)求向量求向量 的坐标的坐标.(2)(2)设向量设向量 的的夹角为夹角为，求求cos cos 的值的值.【解析解析】(1)(1)如图所示，过如图所示，过D D作作DEBCDEBC，垂足为，垂足为E E，在在RtBDCRtBDC中，由中，由BDC=90BDC=90,DCB=30DCB=30,BC=2,BC=2,得得BDBD1 1，CDCDDEDECDCDsin 30sin 30=OE=OB-BDOE=OB-BDcos 60cos 60=1-=1-DD点坐标为点坐标为(0(0，)，即向量即向量 的坐标为的坐标为(0(0，).).(2)(2)依题意知，依题意知，(0)(0)，(0(0，-1-1，0)0)，(0(0，1 1，0).0).所以所以 (0(0，2 2，0).0).则则cos=cos=【满分指导满分指导】空间向量解答题的规范解答空间向量解答题的规范解答 【典例典例】(12(12分分)(2013)(2013长沙模拟长沙模拟)已知空间已知空间中三点中三点A(-2A(-2，0 0，2)2)，B(-1B(-1，1 1，2)2)，C(-C(-3,0,4),3,0,4),设设 (1)(1)若若c=3,=3,且且c ,求向量求向量c的坐标的坐标.(2).(2)若若m(m(a+b)+n()+n(a-b)与与2 2a-b垂直，求垂直，求m,nm,n应满足的关系式应满足的关系式.【思路点拨思路点拨】已已 知知 条条 件件条条 件件 分分 析析A A，B B，C C的坐标的坐标求求a与与b，c c=|c|=3|=3根据模的公式建立根据模的公式建立关于关于的方程的方程m(m(a+b)+n()+n(a-b)与与2 2a-b垂直垂直数量积为数量积为0 0，建立关，建立关于于m,nm,n的方程的方程【规范解答规范解答】(1)(1)由条件得由条件得a=(1=(1，1 1，0)0)，b=(-1=(-1，0 0，2)2)，=(-2,-1,2).=(-2,-1,2).2 2分分c .4 4分分c=3=3=3,=3,=1=1或或=-1=-1.c=(-2,-1,2)=(-2,-1,2)或或c=(2,1,-2).=(2,1,-2).6 6分分(2)(2)由条件得由条件得a+b=(0,1,2),=(0,1,2),a-b=(2,1,-2),=(2,1,-2),2 2a-b=(3,2,-2).=(3,2,-2).m(m(a+b)+n()+n(a-b)=(2n,m+n,2m-2n).)=(2n,m+n,2m-2n).8 8分分m(m(a+b)+n()+n(a-b)与与2 2a-b垂直，垂直，m(m(a+b)+n()+n(a-b)(2(2a-b)=3=32n+2(m+n)-2(2m-2n)=12n-2m=0.2n+2(m+n)-2(2m-2n)=12n-2m=0.m=6nm=6n.1111分分即当即当m=6nm=6n时，可使时，可使m(m(a+b)+n()+n(a-b)与与2 2a-b垂直垂直.1212分分【失分警示失分警示】(下文下文见规范解答过程见规范解答过程)1.(20131.(2013岳阳模拟岳阳模拟)在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，给出以下向量表达式：给出以下向量表达式：其中能够化简为向量其中能够化简为向量 的是的是()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选A.A.2.(20132.(2013郴州模拟郴州模拟)已知四边形已知四边形ABCDABCD满足：满足：则该四边形为则该四边形为()()(A)(A)平行四边形平行四边形 (B)(B)梯形梯形(C)(C)长方形长方形 (D)(D)空间四边形空间四边形【解析解析】选选D.D.假设为平面四边形，则由已假设为平面四边形，则由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中，任一四边形的外角和是在平面四边形中，任一四边形的外角和是360360,这与四个外角均为锐角矛盾，故该这与四个外角均为锐角矛盾，故该四边形是一个空间四边形四边形是一个空间四边形.3.(20133.(2013常德模拟常德模拟)在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，中，M,NM,N分别为棱分别为棱AAAA1 1和和BBBB1 1的中点，则的中点，则sinsin 的值为的值为()()【解析解析】选选B B设正方体的棱长为设正方体的棱长为2 2，以，以D D为原为原点建立如图所示空间直角坐标系，则点建立如图所示空间直角坐标系，则 =(2,-2,1),=(2,2,-1),=(2,-2,1),=(2,2,-1),coscos =sinsin =4.(20134.(2013怀化模拟怀化模拟)已知已知O(0O(0，0 0，0)0)，A(1A(1，2 2，3)3)，B(2B(2，1 1，2)2)，P(1P(1，1 1，2)2)，点，点Q Q在直线在直线OPOP上运动，当上运动，当 取最小值时，点取最小值时，点Q Q的坐的坐标是标是_._.【解析解析】O(0O(0，0 0，0)0)，P(1P(1，1 1，2)2)，=(1,1,2).=(1,1,2).点点Q Q在直线在直线OPOP上运动，上运动，,故可设故可设Q Q点的坐标为点的坐标为(,2)(,2)，(1-,2-,3-2),=(2-,1-(1-,2-,3-2),=(2-,1-,2-2),=(1-,2-,3-,2-2),=(1-,2-,3-2)2)(2-,1-,2-2)(2-,1-,2-2)=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=2)=2 2-3+2+-3+2+2 2-3+2+4-3+2+42 2-10+6-10+6=6=62 2-16+10,-16+10,当当=时时,取得最小值，此时取得最小值，此时Q Q点的坐标是点的坐标是答案：答案：5.(20135.(2013株洲模拟株洲模拟)给出下列命题：给出下列命题：=0；a-b=a+b是是a,b共线的充要条件；共线的充要条件；若若a与与b共共面，则面，则a与与b所在所在的直线在同一平面的直线在同一平面内；内；若若 ，则，则P,A,BP,A,B三点共线三点共线其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_【解析解析】由向量的运算法则知由向量的运算法则知正确；只有正确；只有当向量当向量a，b共线反向且共线反向且|a|b|时成立，故时成立，故不正确；当不正确；当a与与b共面时，向量共面时，向量a与与b所在的所在的直线平行、重合、相交或异面，故直线平行、重合、相交或异面，故不正确；不正确；由由 1 1知，三点不共线，故知，三点不共线，故不正确不正确综上可得综上可得正确正确答案答案:1.1.设设A A，B B，C C，D D是空间不共面的四点，且是空间不共面的四点，且满足满足 则点则点A A在平面在平面BCDBCD内的射影是内的射影是BCDBCD的的()()(A)(A)垂心垂心 (B)(B)外心外心 (C)(C)内心内心 (D)(D)不能确定不能确定【解析解析】选选A.A.由由 所以所以 ，即，即ACBD.ACBD.同理可得同理可得ABCDABCD，ADBCADBC，所以，所以A A点在平面点在平面BCDBCD内的射影是内的射影是BCDBCD的垂心的垂心.2.2.已知向量已知向量a=(1,2,3),=(1,2,3),b=(x,x=(x,x2 2+y-2,y),+y-2,y),并且并且a与与b同向，则同向，则x,yx,y的值分别为的值分别为_._.【解析解析】由题意知由题意知ab,所以所以 b=(-2,-4,-6)=-2=(-2,-4,-6)=-2a,即即a与与b反向，不符合题意，应反向，不符合题意，应舍去舍去.b=(1,2,3)=(1,2,3)=a,即即a与与b同向，故同向，故答案：答案：1 1，3 3