高数同济4.1不定积分.ppt

第四章微分法:积分法:互逆运算不定积分 4.1 不定积分的概念与性质0 原函数与不定积分的概念0 基本积分公式0 不定积分的性质例定义：一、原函数与不定积分的概念问题:1.在什么条件下,一个函数的原函数存在?2.若原函数存在,它如何表示?定理1.存在原函数.(下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数原函数存在定理：连续函数一定有原函数.原函数存在定理：连续函数一定有原函数.注意：(1)原函数不唯一;例(2)原函数之间的关系:若 和 都是 的原函数，不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.任意常数积分号被积函数不定积分的定义：被积表达式积分变量例1 求解解例2 求例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）所求曲线方程为注:1)求导数与求不定积分是互逆运算2)同一函数的不定积分的结果形式会不同可用求导数的方法验证正确性.实例积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.二、基本积分表基本积分表是常数);说明：简写为例4 求积分解根据积分公式（2）证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）三、不定积分的性质证例5 求积分解说明：被积函数需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.分项积分例6 求积分解分项积分解：原式例7：求加项减项例8 求积分解例9：求解：原式三角公式三角公式例10 求积分解 利用三角公式内容小结1.不定积分的概念 原函数与不定积分的定义 不定积分的性质 基本积分表(见P 186)2.直接积分法:利用恒等变形,及 基本积分公式进行积分.常用恒等变形方法分项积分加项减项利用三角公式,代数公式,积分性质思考与练习1.若提示:2.若是 的原函数,则提示:已知3.若的导函数为则的一个原函数是().提示:已知求即B?或由题意 其原函数为4.求下列积分:提示:5.求不定积分解：6.已知求 A,B.解:等式两边对 x 求导,得作业P192 2(1),(3),(5),(7),(25);2;5;6