高数A习题课多元微分学.ppt

课件制作：易学军 胡合兴 二、作业讲析三、典型例题讲解四、练习题一、内容总结1、隐函数的导数：一、内容总结 一个方程的情形定理1 设函数 在点 的邻域 内有连续偏导数，且，则方程 在点 的某邻域内唯一确定一个有连续导数的（单值）函数，它满足，且：定理2 设三元函数 在 的邻域内有连续偏导数，则方程 在 的某邻域内唯一确定一个有连续偏导的（单值）函数，满足，且：方程组的情形定理3 设，若（1），（2），（3）雅克比行列式在 的值不为0，即则方程组（3）在 的某邻域内唯一确定两个二元函数，满足 且 设多元函数，则在内，任一 阶混合偏导数的值与求导的次序无关.22、高阶偏导数：高阶偏导数：若 的两个混合偏导数 和 在 的某邻域 内存在且在 连续，则 33、多元函数的泰勒公式：多元函数的泰勒公式：设，则其中 称为拉格朗日型余项.44、方向导数与梯度：方向导数与梯度：若 在点 处可微，则 在 沿任一方向 的方向导数存在,且：其中 为单位向量，最后两式为数量积.记grad 称为 在点 处的梯度.二、作业讲析 略三、典型例题讲解例 1 设方程 y+x exy=0 确定了函数 y=y(x)，解 方程两边求微分，得d(y+x exy)=d0，即dy+dx-dexy=0，dy+dx exy(xdy+ydx)=0.当 1-xexy 0 时，解得即解 用全微分形式不变性，得故求得：例 2 设方程组，确定，求解所以例 3 求函数 的所有二阶偏导数.因为例 4 设，试求.解解 因为所以例 5 设，求.例 6 将函数 展成麦克劳林公式.解 函数 在 存在任意阶连续偏导数，且和 是任意非负整数，则有：故所求方向导数为：例 7 求函数 在点 处沿从点 到点 的方向的方向导数.解 这里方向 即为 故 轴到方向 的转角为解 由梯度计算公式得：故在 处的梯度为零.例 8 求函数 在点 处的梯度，并问在哪些点处梯度为零？4、.四、练习题1、设，求2、设F(x,y)具有连续偏导数,已知方程3、设，求5、设，（具有二阶连续偏导数），求：6、求函数 在点 沿与 轴方向夹角为 的方向射线 的方向导数，并问在怎样的方向上此方向导数有：（1）最大值（2）最小值（3）等于零？7、求 在点 处沿点的向径 的方向导数，问 具有什么关系时此方向导数等于梯度的模？答案：1.2.3.4.略。5.略。6.方向导数为 7.方向导数为；