高考文科数学一轮复习考案2.4二次函数与幂函数.ppt

2.4二次函数与幂函数真题探究考纲解读知识盘点典例精析例题备选命题预测基础拾遗技巧归纳考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选考点 考纲解读1二次函数的性质及应用 掌握含参数的二次函数的最值、单调性,会利用分类讨论解决问题.2二次函数与方程、不等式、函数会用函数研究方程和不等式,结合其他函数研究二次函数的性质.3幂函数 了解幂函数的性质.高考中常以二次函数为载体,考查数形结合及等价转化、函数与方程的思想.在高考中对基础知识的考查多以选择题、填空题为主,对知识技能的考查多出现与函数的性质、二次方程、不等式相结合的综合性较强的解答题,极可能出现与导数相结合的解答题.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选 一般式:y=ax2+bx+c(a 0).顶点式:f(x)=a(x-k)2+h(其中点(k,h)为二次函数的顶点).零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(其中二次函数的零点为 x1与 x2).2.二次函数的图象与性质1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式:考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选f(x)=ax2+bx+c a0 a0,=0,0 三种情况定义域R值域,+)(-,考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选(续表)f(x)=ax2+bx+c a0 a0单调性在(-,-)上单调递减在(-,+)上单调递增在(-,-)上单调递增在(-,+)上单调递减对称性图象关于直线x=-对称a、b、c 的作用 a决定图象开口方向,a与b决定对称轴,c 决定与y 轴的交点,a、b、c 共同决定图象的顶点.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选3.幂函数(1)幂函数的概念:形如 y=x的函数称为幂函数,其中 为常数.(2)幂函数(y=x)的性质:当 0 时 图象都通过点(1,1).在第一象限内,函数值随 x 的增大而 增大.在第一象限内,1 与0 1 的图象凹凸性不一样.图象在点(1,1)处发生交叉.当 0 时 图象都通过点(1,1).在第一象限内,函数值随 x 的增大而 减小.图象在点(1,1)处发生交叉.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选1.(2011 年辽宁沈阳二中月考)已知幂函数 f(x)过点(4,2),则 f(9)等于()(A)1.(B)2.(C)3.(D)4【解析】设 f(x)=x,点(4,2)在函数图象上,2=4,=,f(9)=3.【答案】C考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选2.(2011 届福州三中月考)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 满足2 a+b 且 c b 且 c0 且 c0,在(-2,0)内存在零点.【答案】A考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选3.(2011 年广东中山实验高中)在同一坐标系内,函数 y=xa(a 0)和 y=ax-的图象可能是()【解析】当 a0 时,直线的斜率为正,在 y 轴上的截距为-1,而直线的斜率0 a1,不符合.故选B.【答案】B考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选4.若 f(x)=x2-ax+1 有负值,则实数 a 的取值范围是()(A)a-2.(B)-2 a2 或 a-2.(D)1 a0,即 a2 或 a-2.【答案】C考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选例1(1)已知函数 f(x)=-2 x2+6 x-m 的值恒小于0,则实数 m 取值范围为.题型1 二次函数、幂函数基础试题(2)若-1 x0,则0.5x、5-x及5x从小到大的顺序为.【分析】(1)二次函数的开口向下,故只需二次函数的顶点在 x 轴的下方即可.(2)三个数的指数都有 x,故把三个数的指数化成正数,再分析底数即可.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选【解析】(1)f(x)=-2 x2+6 x-m=-2(x2-3 x+)-m+=-2(x-)2-m+-m+,函数 f(x)=-2 x2+6 x-m 的值恒小于0,-m+.(2)0.5x=2-x,5x=0.2-x,-1 x0,0-x1,0.20.50)在(0,+)上是增函数,0.2-x2-x5-x(-1 x0),5x0.5-x5-x.【答案】(1)(,+)(2)5x0.5-x5-x【点评】(1)从二次函数的开口方向与参数的结合命题,属二次函数的性质与应用范围.(3)从比较大小入手,考查幂函数的性质.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选变式训练1(1)若函数 f(x)=x2+ax(a R),则下列结论成立的是()(A)函数 f(x)一定是偶函数.(B)函数 f(x)一定存在零点.(C)函数 f(x)在(0,+)上一定是增函数.(D)函数 f(x)在(a,+)上一定是增函数.(2)当 x(0,+)时,幂函数 f(x)=(m2-m-1)x-m+1为减函数,则实数 m=.【解析】(1)只有 a=0 时,函数 f(x)才是偶函数,故A 错;函数 f(x)在(-,-)上是减函数,在(-,+)上是增函数,故C、D 错.(2)由题知 m=2.【答案】(1)B(2)2考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选 题型2 与二次函数有关的问题例2已知二次函数 f(x)满足:f(3-x)=f(x),f(1)=0,对任意实数 x,f(x)-恒成立,求 f(x)的解析式.【分析】由 f(3-x)=f(x),可得到 f(x)的对称轴为 x=;由 f(1)=0 可得 a、b、c 的一个方程;由 对任意实数 x,f(x)-恒成立,可知把 f(x)表示成 a 的形式后转化为含参不等式恒成立问题.【解析】f(x)为二次函数,故设 f(x)=ax2+bx+c(a 0),f(3-x)=f(x),可得到 f(x)的对称轴为 x=,-=,b=-3 a,考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选 f(1)=0,a+b+c=0,c=-a-b=2 a,f(x)=ax2-3 ax+2 a,对任意实数 x,f(x)-恒成立,ax2-3 ax+2 a-恒成立.ax2-3 ax+2 a-+0 恒成立.a=1.f(x)=x2-3 x+2.【点评】本题利用数形结合的思想确定函数的对称轴,并对恒成立问题进行转化分析再结合二次函数图象确定 0.本题也可以设出 f(x)=ax2+bx+c(a 0),直接分析 f(3-x)=f(x),可得到 a、b 的关系.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选变式训练2 函数 f(x)=x2-2 x+2 在 t,t+1(t R)上的最小值为 g(t),求 g(t)的解析式.【解析】函数 f(x)=x2-2 x+2 的对称轴为 x=1,开口向上,f(x)在(-,1)上是减函数;在(1,+)上是增函数.当 t0 时,t+11 时,函数 f(x)在 t,t+1 上是增函数,g(t)=f(t)=t2-2 t+2.g(t)=考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选 例3 已知函数 f(x)=(a R).题型3 二次函数与其他基本函数的结合(1)若函数的单调递增区间为(-,1),求 a 的值;(2)若函数 f(x)的值域为(0,9,求 a 的值.【分析】(1)利用复合函数确定函数的单调区间,再利用单调区间求a 的值;(2)利用函数的值域分析指数的范围,再求 a 的值.【解析】(1)设 g(x)=-2 x2-ax+1,对称轴为 x=-,开口向下,则 g(x)在(-,-)上是增函数,在(-,+)上是减函数.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选y=3x在R 上是增函数,则 f(x)=(a R)在(-,-)上是增函数,在(-,+)上是减函数.-=1,a=-4.(2)函数 f(x)的值域为(0,9,则 g(x)=-2 x2-ax+1 的值域为(-,2,g(x)=-2(x+)2+1+1,+1=2,a=2.【点评】本题需要对问题进行转化,对二次函数有关问题的探究需要数形结合,故需要运用化归与数形结合的思想,第一小题也可以用导数的方法进行解答.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选(1)方程 f(x)=0 有实根;(2)-20,求证:考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选得=4(a2+c2-ac)=4(a-c)2+c20,故方程 f(x)=0 有实根.(2)f(0)f(1)0,c(3 a+2 b+c)0,由条件 a+b+c=0,消去 c,得(a+b)(2 a+b)0,(1+)(2+)0,故-2-1.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选1.注意数形结合,密切联系图象是研究掌握二次函数性质的基本方法.二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象开口方向、顶点坐标、对称轴及单调区间等是处理二次函数的重要依据.2.注意二次函数与方程、不等式和导数等的结合,充分利用二次函数的性质解决问题.3.注意对二次函数的零点问题、判别式、函数区间端点值的正负的分析.帮助学生从知识、方法、思想等方面总结归纳,反思提高.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选1.(2011 年安徽卷)设 f(x)是定义在R 上的奇函数,当 x 0 时,f(x)=2 x2-x,则 f(1)等于()(A)-3.(B)-1.(C)1.(D)3.【解析】f(x)为奇函数,则 f(1)=-f(-1)=-2(-1)2-(-1)=-3.【答案】A考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选2.(2011 年浙江卷)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a=.【解析】因为 f(x)为偶函数,所以 f(-x)=f(x),即 x2-|x+a|=(-x)2-|-x+a|x+a|=|x-a|,所以 a=0.【答案】0考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选3.(2011 年广东卷)设 a0,讨论函数 f(x)=ln x+a(1-a)x2-2(1-a)x 的单调性.【解析】函数的定义域为(0,+),对 f(x)求导可得:f(x)=+2 a(1-a)x-2(1-a)=,令 g(x)=2 a(1-a)x2-2(1-a)x+1,(1)当 a=1 时,g(x)=1,f(x)0,此时函数在(0,+)是增函数;(2)当0 a1 时,令 g(x)=0,则=4(1-a)2-8 a(1-a)=4(1-a)(1-3 a),考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选 当0 a0,x2=,且 x2 x1,函数开口向上,当 x(0,x1)时,g(x)0,此时 f(x)0,函数在(0,x1)上单调递增;当 x(x1,x2)时,g(x)0,此时 f(x)0,此时 f(x)0,函数在(x2,+)上单调递增.当 a=时,g(x)=0 有两个相等正实根,则 g(x)0,此时 f(x)0,函数在(0,+)是增函数.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选 当 a0,则 f(x)0,函数在(0,+)是增函数.(3)当 a1 时,函数图象开口向下,g(x)=0 有一正根和一负根,其中 x1=0,x2=0,函数在(0,x1)上单调递增,在(x1,+)上单调递减.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选例1已知二次函数 f(x)=ax2+bx 满足条件:f(0)=f(1);f(x)的最小值为-.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)设数列 an 的前 n 项积为 Tn,且 Tn=()f(n),求数列 an 的通项公式.【解析】(1)由题知:解得故 f(x)=x2-x.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选(2)Tn=a1a2 an=(,Tn-1=a1a2 an-1=(n 2),an=()n-1(n 2),又 a1=T1=()f(1)=1 满足上式,所以 an=()n-1(n N*).考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选例2已知幂函数 f(x)的图象过点(2,4),幂函数g(x)的图象过点(2,).(1)求 f(x),g(x)的解析式;(2)解不等式 f(x)g(x).【解析】(1)设 f(x)=x,g(x)=x,幂函数 f(x)的图象过点(2,4),幂函数 g(x)的图象过点(2,),2=4,2=,=2,=-3,f(x)=x2,g(x)=x-3.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选(2)由 f(x)g(x)可得 x2 x-3,当 x 0 时,x2 x-30,x51,x1.当 x0,x-3 x-3恒成立.综上:不等式 f(x)g(x)的解集为(-,0)(1,+).考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选例3已知函数 f(x)=4 x2-4 ax+a2-2 a+2 在区间0,2上有最小值3,求a 的值.【解析】f(x)=4(x-)2-2 a+2,对称轴为 x=.当 0,即 a 0 时,函数 f(x)在0,2 上是增函数,f(x)min=f(0)=a2-2 a+2.由 a2-2 a+2=3,得 a=1.a0,a=1-.当02,即0 a4 时,考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选f(x)min=f()=-2 a+2.由-2 a+2=3,得 a=-(0,4),舍去.当 2,即 a 4 时,函数 f(x)在0,2 上是减函数,f(x)min=f(2)=a2-10 a+18.由 a2-10 a+18=3,得 a=5,a 4,a=5+.综上所述,a=1-或 a=5+.考纲解读 命题预测 知识盘点典例精析 技巧归纳 真题探究基础拾遗例题备选