土木工程制图第三章点-直线和平面的投影.ppt

第第3 3章章 点、直线和平面的投影点、直线和平面的投影教学提示：教学提示：任何形体，不论其复杂程度如任何形体，不论其复杂程度如 何，何，都可以都可以看成由空间几何元素看成由空间几何元素点、线、面点、线、面所组成。所组成。本章主要研究本章主要研究点、各种位置直线、各种位点、各种位置直线、各种位置平面置平面的投影规律和图示方法，为正确绘的投影规律和图示方法，为正确绘制和阅读形体的投影图打基础。制和阅读形体的投影图打基础。学习要求：学习要求：掌握点、直线和平面的投影规律和方法，掌握点、直线和平面的投影规律和方法，在学习的过程中要注意将所学内容与实际在学习的过程中要注意将所学内容与实际工程结合起来，以加强空间想象能力。工程结合起来，以加强空间想象能力。3.1 3.1 点的投影点的投影 如右图所示，一个形体如右图所示，一个形体由多个侧面围成，各侧面相由多个侧面围成，各侧面相交于多条侧棱，各侧棱相交交于多条侧棱，各侧棱相交于多个顶点于多个顶点A、B、CJ 等。等。如果画出各点的投影，再把如果画出各点的投影，再把各点的投影一一连接，就可各点的投影一一连接，就可以作出一个形体的投影。以作出一个形体的投影。点是形体的最基本的元点是形体的最基本的元素。素。点的投影规律是点、线、点的投影规律是点、线、面投影的基础面投影的基础。一、点的单面投影一、点的单面投影 1 1）过空间点）过空间点A A的投射线与投影面的投射线与投影面P P的交点即为点的交点即为点A A在在P P面面 上的投影。上的投影。2 2）点在一个投影面上的投影）点在一个投影面上的投影不能不能确定点的空间位置。确定点的空间位置。二二.点的两面投影点的两面投影点的两面投影规律：点的两面投影规律：1)1)点的水平投影和正面投影之间的连系线垂直于点的水平投影和正面投影之间的连系线垂直于OX轴。轴。aaOX。2)2)点的水平投影到点的水平投影到OX轴的距离等于空间点轴的距离等于空间点A到到V面的距离面的距离aaX=Aa。3)3)点的正面投影到点的正面投影到OX轴的距离等于空间点轴的距离等于空间点A A到到H面的距离面的距离aaX=Aa。WHVoXa 点点A A的正面投影的正面投影a 点点A A的水平投影的水平投影a 点点A A的侧面投影的侧面投影空间点用大写字母表空间点用大写字母表示，点的投影用小写示，点的投影用小写字母表示。字母表示。a aa AZY三三.点在三面投影体系中的投影点在三面投影体系中的投影点的三面投影规律：点的三面投影规律：(1)(1)投影之间连系线垂直于投影轴，投影之间连系线垂直于投影轴，aaOX，aaOZ。(2)(2)点的点的H面投影面投影a到到OX的距离等于点的的距离等于点的W面投影面投影a到到OZ轴轴的距离，的距离，aaX=aaZ。(a)(a)空间状况空间状况 (b)(b)展开图展开图 (c)(c)投影图投影图 a aax例例1 1：已知点的两个投影，求第三投影。：已知点的两个投影，求第三投影。a a aaxazaz解法一解法一:通过作通过作45线线使使a az=aax解法二解法二:用圆规直接量用圆规直接量取取a az=aaxa 例例2 2：已知点的两面投影，求第三：已知点的两面投影，求第三 投影，如下图所示。投影，如下图所示。(a)(a)已知已知 (b)(b)作图作图分析：因为根据点的任意两面投影可以求出第三投影。分析：因为根据点的任意两面投影可以求出第三投影。四、特殊位置的点四、特殊位置的点注意：注意：A点的侧面投影点的侧面投影a应在应在OYW轴上，轴上，C点的水平投影点的水平投影应在应在OYH轴上。轴上。五、点的坐标五、点的坐标 已知点的已知点的3 3个坐标，可作出该点的三面投影，已个坐标，可作出该点的三面投影，已知点的三面投影，可以量出该点的知点的三面投影，可以量出该点的3 3个坐标。个坐标。例例3 3：已知点：已知点A A(18(18，1515，20)20)，作点，作点A A的三的三面投影图和立体图，如下图所示。面投影图和立体图，如下图所示。分析：分析：由于已知点的由于已知点的3 3个坐标，可作出该点的三面投影图，个坐标，可作出该点的三面投影图，并且点的空间位置可用坐标来确定。并且点的空间位置可用坐标来确定。方法一 方法二 立体图六、空间两点的相对位置六、空间两点的相对位置1.1.相对位置的判断相对位置的判断 两点的相对位置指两点在空间的两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右上下、前后、左右位置关系。位置关系。X X坐标值大的点在左，小的在右。坐标值大的点在左，小的在右。Y Y坐标值大的点在前，小的在后。坐标值大的点在前，小的在后。Z Z坐标值大的点在上，小的在下。坐标值大的点在上，小的在下。A在在B的左、的左、前、下方前、下方作图步骤：作图步骤：1 1）在）在a a左方左方12 mm 12 mm，上上方方8 mm 8 mm 处确定处确定b b；2 2）作）作b bb bOX OX 轴，且在轴，且在a a 前前10 mm 10 mm 处确定处确定b b；3 3）按投影关系求得）按投影关系求得b b。ayayZaa axazXYH YWOa bybybxbzb bb 12810例例4 4：如图，已知点：如图，已知点A A 的三投影，另一点的三投影，另一点B B在点在点A A 上方上方8 mm8 mm，左方，左方12 mm12 mm，前方，前方10 mm10 mm处，处，求点求点B B 的三个投影。的三个投影。空间两点在某一投影面上空间两点在某一投影面上的的投影重合为一点投影重合为一点时，则称此时，则称此两点为两点为该投影面该投影面的重影点。的重影点。A、C为为H面的重影点面的重影点a a c c 被挡住的投被挡住的投影加影加()()A、C为哪个投为哪个投影面的重影点影面的重影点呢？呢？a c2.重影点重影点 H面重影点面重影点 V面重影点面重影点 W面重影点面重影点重影点重影点例例5 5：已知形体的立体图及投影图，试在投影图：已知形体的立体图及投影图，试在投影图 上上标记形体上的重影点的投影，如下图所示。标记形体上的重影点的投影，如下图所示。一般情况下，直线的一般情况下，直线的投影仍为直线。投影仍为直线。两点确定一条直线，将两点确定一条直线，将直线上两点的直线上两点的同名投影同名投影用直用直线线连接连接起来，就得到直线的起来，就得到直线的三个投影。三个投影。一、直线的投影一、直线的投影aa a b b bXZYHYWo直线的投影规定用直线的投影规定用粗实线粗实线绘制。绘制。1.1.直线投影的形成直线投影的形成3.2 3.2 直线的投影直线的投影ABab直线垂直于投影面直线垂直于投影面投影重合为一点投影重合为一点 积聚性积聚性直线平行于投影面直线平行于投影面投影反映线段实长投影反映线段实长 abab=ABAB直线倾斜于投影面直线倾斜于投影面投影比空间线段短投影比空间线段短 abab=ABABcoscosABabAMBabm直线与投影面的相对位置直线与投影面的相对位置投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面）水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面一、各种位置直线投影一、各种位置直线投影1.1.投影面平行线投影面平行线(1)(1)投影面平行线是指在空间与一个投影面平行同投影面平行线是指在空间与一个投影面平行同时与另外两个投影面倾斜的直线。时与另外两个投影面倾斜的直线。(2)(2)投影面平行线分为投影面平行线分为水平线、正平线、侧平线水平线、正平线、侧平线。水平线与水平线与H面平行同时与面平行同时与V V面、面、W面倾斜。面倾斜。正平线与正平线与V面平行同时与面平行同时与H H面、面、W面倾斜。面倾斜。侧平线与侧平线与W面平行同时与面平行同时与H H面、面、V面倾斜。面倾斜。(3)(3)投影面平行线的投影特点为：投影面平行线的投影特点为：在它所平行的投在它所平行的投影面上的投影反应其实长并且反映与另外两个影面上的投影反应其实长并且反映与另外两个投影面的倾角。投影面的倾角。投影面平行线投影面平行线 (a)(a)水平线水平线 (b)(b)正平线正平线 (c)(c)侧平线侧平线b aa b ba XZYHYWb a aba b XZYHYWba aa b b XZYW水平线水平线YH1 1）在其平行的那个投影面上的投影反映）在其平行的那个投影面上的投影反映实长实长，并反映直线与另两投影面的并反映直线与另两投影面的真实倾角真实倾角。2 2）另两个投影面上的投影）另两个投影面上的投影平行于平行于相应的相应的投影轴投影轴。侧平线侧平线正平线正平线投投 影影 特特 性性与与H H面的夹角面的夹角:与与V V面的夹角面的夹角:与与W W面的夹角面的夹角:实长实长实长实长实长实长 投影面平行线投影特性投影面平行线投影特性 水平线水平线 正平线正平线 侧平线侧平线投影面平行线在形体投影图和立体图中的位置投影面平行线在形体投影图和立体图中的位置 2.2.投影面垂直线投影面垂直线(1)(1)投影面垂直线是指在空间与一个投影面垂投影面垂直线是指在空间与一个投影面垂 直，直，同时与另外两个投影面平行的直线。同时与另外两个投影面平行的直线。(2)(2)投影面垂直线分为投影面垂直线分为铅垂线、正垂线、侧垂线铅垂线、正垂线、侧垂线。铅垂线与铅垂线与H H面垂直同时与面垂直同时与V V面、面、W W面平行。面平行。正垂线与正垂线与V V面垂直同时与面垂直同时与H H面、面、W W面平行。面平行。侧垂线与侧垂线与W W面垂直同时与面垂直同时与H H面、面、V V面平行。面平行。(3)(3)投影面垂直线的投影特点为投影面垂直线的投影特点为：在它所垂直的投：在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点，另外两个投影垂直影面上的投影积聚为一点，另外两个投影垂直于相应的投影轴，如图于相应的投影轴，如图3.153.15所示。所示。投影面垂直线投影面垂直线(a)(a)水平线水平线 (b)(b)正平线正平线 (c)(c)侧平线侧平线 （1 1）在其垂直的投影面上，投影有）在其垂直的投影面上，投影有积聚性积聚性。（2 2）另外两个投影）另外两个投影,反映线段反映线段实长实长，且，且垂直于垂直于相应相应的投影轴。的投影轴。投投 影影 特特 性性侧垂线侧垂线e f efe(f)XZoYHYW正垂线正垂线c(d)cdd c XZoYHYW铅垂铅垂线线a b a(b)a b XZoYWYH投影面垂直线投影特性投影面垂直线投影特性铅垂线铅垂线 正垂线正垂线 侧垂线侧垂线投影面垂直线在形体投影图和立体图中的位置投影面垂直线在形体投影图和立体图中的位置投影特性：投影特性：三个投影都不反映空三个投影都不反映空间线段的实长及与三个投间线段的实长及与三个投影面夹角的真实大小，且影面夹角的真实大小，且与各投影轴都倾斜。与各投影轴都倾斜。abb a b a 返回xyHywz3.一般位置直线一般位置直线xzyABbbaa=ab=abB0 ZaZaBBBB。=Bb-bB=Bb-bB。实长=Zb-Za=Zb-Za=ZZaZaAB B0实长=Zb-Za=Zb-Za=Z=ab=ab直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角直角三角形法求一般位置直线的实长和倾角B B。=ab=ab实长ZZA AB B在直角三角形中在直角三角形中O OX Xaba ab bB B。ZZ实长O OX XabZaZaZbZbZ求直线段求直线段ABAB的的实长和倾角实长和倾角1 1）H H面投影长、面投影长、Z Z坐标差、坐标差、实长。、实长。2 2）V V面投影长、面投影长、Y Y坐标差、坐标差、实长。、实长。3 3）W W面投影长、面投影长、X X坐标差、坐标差、实长。、实长。1 1、直角三角形法的四要素：、直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长投影长、坐标差、实长和倾角和倾角2 2、应用总结：不同条件的四要素、应用总结：不同条件的四要素总结总结直线对投影面的倾角直线对投影面的倾角、直角三角形法求直线段的实长及倾角直角三角形法求直线段的实长及倾角已知已知 作图作图 例例1：用直角三角形法求：用直角三角形法求、oabax例例2 2：已知直线：已知直线ABAB的投影的投影ab和和a a及及 AB=35mmAB=35mm，B B点在点在A A点的前方，求点的前方，求b b。分析：分析：由点的投影规律由点的投影规律可知，可知，b 必定位于必定位于b正下方的正下方的H H投影面上，投影面上，只要作出只要作出A、B 两点两点的的Y 坐标差坐标差，即可以，即可以确定确定b b。o实长实长B0YYbabax作图过程及结果作图过程及结果二、二、直线上的点直线上的点 点在直线上，则点的投影必在直线的同名投影上且符合点点在直线上，则点的投影必在直线的同名投影上且符合点的投影规律。直线上两线段长度之比等于它们的同名投影长度的投影规律。直线上两线段长度之比等于它们的同名投影长度之比，即之比，即 AC：CB=ac：cb=ac：cb=ac：cb。点点C C不不在直在直线ABAB上上abca b c c abca b 点点C C在直在直线ABAB上上返回xxoo例例3 3：判断点：判断点C C是否在线段是否在线段ABAB上。上。Za b c 因因c c 不在不在a a b b 上，故点上，故点C C不在不在ABAB上。上。应用应用等比定理等比定理abca b c 另一判断法另一判断法?XoYHYW例例4 4：判断点：判断点C C 是否在线段是否在线段ABAB上。上。例例3.83.8：判断点：判断点K K是否在线段是否在线段ABAB上上三、两直线的相对位置关系三、两直线的相对位置关系平行平行相交相交交叉交叉垂直垂直空间两直线空间两直线的相对位置的相对位置厂房形体厂房形体分分为1.1.平行两直线平行两直线aVHc bcdABCDb d a 投影特性：投影特性：空间两直线平行空间两直线平行则其各则其各同面投影同面投影必相互必相互平行；平行；各同名投影的各同名投影的长长度之比相等；度之比相等；各各同名投同名投影影的的指向相同。指向相同。ABCDABCD，则则abcdabcd、abcdabcd、abcdabcd ABCD=ABCD=abcd=abcd=abcdabcd=abcd=abcd 若两直线的三组同面投影都平行若两直线的三组同面投影都平行：则两直线在空间：则两直线在空间平行平行。若两一般位置直线：若两一般位置直线：任意两组同面投影平行，则可判断任意两组同面投影平行，则可判断两直线在空间两直线在空间平行平行。若两直线同时平行于某一投影面：若两直线同时平行于某一投影面：则需通过两直线在该则需通过两直线在该投影面上的投影来判断；或者通过投影面上的投影来判断；或者通过定比性定比性和和指向指向来判断。来判断。判断方法：判断方法：对于对于一般位一般位置直线置直线，只要有，只要有两个同面投影互两个同面投影互相平行相平行，空间两，空间两直线就平行。直线就平行。AB/CDAB/CDabcdc a b d X例例5 5：判断图中两条直线是否平行：判断图中两条直线是否平行b d c a cbadd b a c 对于对于特殊位特殊位置直线置直线，只有两，只有两个同个同面面投影互相投影互相平行，空间直线平行，空间直线不一定平行。不一定平行。求出求出 W W面投影后可知：面投影后可知：ABAB与与CDCD不平行。不平行。XZoYHYW例例6 6：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。abcdb a c d kk X投影特点：投影特点：若空间两直线相交，则其若空间两直线相交，则其同面投影必相交同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交点是两直线的交点是两直线的共有点共有点HVABCDKabcdka b c k d X2.2.相交两直线相交两直线判断方法：判断方法：若两直线的三组同面投影都若两直线的三组同面投影都相交，且交点符合点的投影规律，相交，且交点符合点的投影规律，则两直线在空间则两直线在空间相交相交；两一般位置直线，任意两组两一般位置直线，任意两组同面投影相交，且交点符合点的同面投影相交，且交点符合点的投影规律，则可判断两直线在空投影规律，则可判断两直线在空间间相交相交；两直线中其中之一平行于某两直线中其中之一平行于某一投影面，则需作出两直线在该一投影面，则需作出两直线在该投影面上的投影来判断；或者通投影面上的投影来判断；或者通过过定比性定比性来判断。来判断。cabb a c d k kd例例7 7：过过C C点点作水平线作水平线CDCD与与ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影ox思考思考：如果给出：如果给出CDCD的长度，的长度，解题过程有何变化？解题过程有何变化？提示：提示：H H面投影反映实长。面投影反映实长。分析：分析：因两直线中因两直线中CDCD平行于平行于W W投影面，则需作投影面，则需作 出两直线在出两直线在W W投影面投影面上的投影来判断；或上的投影来判断；或者通过者通过定比性定比性来判断。来判断。例例3.103.10：判断两直线：判断两直线ABAB与与CDCD是否相交。是否相交。d b a abcdc1(2 )3(4)两直线交叉两直线交叉投影特性投影特性：、是面的重影点，是面的重影点，、是是H H面的重影点。面的重影点。123 4 交叉两直线既不交叉两直线既不平行又不相交。其投平行又不相交。其投影既不符合平行两直影既不符合平行两直线的投影特性，也不线的投影特性，也不符合相交符合相交 两直线的两直线的投影特性。投影特性。答案：交叉答案：交叉判断下列两直线的位置关系：判断下列两直线的位置关系：HVXabcb a c ACB直线在直线在H H面上投面上投影互相垂直影互相垂直cabb a c ox 两垂直相交直线之一平行于某投影面，另一边不两垂直相交直线之一平行于某投影面，另一边不平行也不垂直于该投影面时，则在该投影面上的投平行也不垂直于该投影面时，则在该投影面上的投影是直角。影是直角。4.4.垂直两直线垂直两直线 反之反之，相交两直线之一是某投影面的平行线，相交两直线之一是某投影面的平行线，且两直线在该投影面上的同名投影互相垂直，且两直线在该投影面上的同名投影互相垂直，则两直线在空间互相则两直线在空间互相垂直垂直。abb a c oxcHVXadeb a c CBAd e DE(c)(b)当空间当空间交叉垂直交叉垂直两直线之一平行于某投影面，另两直线之一平行于某投影面，另一直线不平行也不垂直于该投影面时，则这两直线在一直线不平行也不垂直于该投影面时，则这两直线在该投影面上的投影也该投影面上的投影也垂直垂直。ad（b）eb a e oxd 直线在直线在H H面上投面上投影互相垂直影互相垂直 反之反之，交叉两直线之一是某投影面平行线，且两，交叉两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面上的同名投影互相垂直，则在空间直线在该投影面上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相交叉垂直。两直线互相交叉垂直。ad（b）eb a e oxd cabda c b d ZD0实长Z分析：分析：1 1、点到直线的距离即、点到直线的距离即 点到垂足的距离的点到垂足的距离的实长实长 2 2、直线、直线ABAB是水平线是水平线 例例3.113.11：求点求点C C到直线到直线ABAB的距离的距离例例3.123.12补全矩形补全矩形ABCDABCD的两面投影的两面投影。c a XOb d abcd一、平面的表示法一、平面的表示法abca b c 不在同一不在同一直线上的直线上的三个点三个点abca b c 直线及直线及线外一线外一点点abca b c dd 两平行直两平行直线线abca b c 两相交两相交直线直线abca b c 平面平面图形图形xxxxxooooo3.4 3.4 平面的投影平面的投影平行平行垂直垂直倾斜倾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影反映投影反映实形实形 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影投影积聚积聚成线段成线段 平面倾斜投影面平面倾斜投影面-投影投影类似类似原平面原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性二、各种位置平面的投影二、各种位置平面的投影投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 铅垂面铅垂面 正平面正平面 侧平面侧平面 水平面水平面平面对于三投影面的位置可分为平面对于三投影面的位置可分为三类三类：各种位置平面各种位置平面（1)1)投影面平行面是指在空间与一个投影面平行投影面平行面是指在空间与一个投影面平行同时与另外两个投影面垂直的平面。同时与另外两个投影面垂直的平面。（2)2)投影面平行面分为投影面平行面分为水平面、正平面、侧平面水平面、正平面、侧平面。水平面与水平面与H H面平行同时与面平行同时与V V面、面、W W面垂直。面垂直。正平面与正平面与V V面平行同时与面平行同时与H H面、面、W W面垂直。面垂直。侧平面与侧平面与W W面平行同时与面平行同时与H H面、面、V V面垂直。面垂直。（3 3）投影面平行面的投影特点为投影面平行面的投影特点为：在它所平行的：在它所平行的 投影面上的投影反应其实形，另外两个投影积聚投影面上的投影反应其实形，另外两个投影积聚成直线并平行于相应的投影轴。成直线并平行于相应的投影轴。1 1投影面的平行面投影面的平行面1 1、投影面的平行面、投影面的平行面水平面水平面 正平面正平面 侧平面侧平面投影面平行面在形体投影图和立体图中的位置投影面平行面在形体投影图和立体图中的位置2.2.投影面的垂直面投影面的垂直面（1)1)投影面垂直面是指在空间与一个投影面垂直同投影面垂直面是指在空间与一个投影面垂直同 时与另外两个投影面倾斜的平面。时与另外两个投影面倾斜的平面。（2)2)投影面垂直面分为投影面垂直面分为铅垂面、正垂面、侧垂面铅垂面、正垂面、侧垂面。铅垂面与铅垂面与H H面垂直同时与面垂直同时与V V面、面、W W面倾斜。面倾斜。正垂面与正垂面与V V面垂直同时与面垂直同时与H H面、面、W W面倾斜。面倾斜。侧垂面与侧垂面与W W面垂直同时与面垂直同时与H H面、面、V V面倾斜。面倾斜。（3)3)投影面垂直面的投影特点为：投影面垂直面的投影特点为：在它所垂直的投在它所垂直的投影面上的投影积聚为直线且反映平面与另外两影面上的投影积聚为直线且反映平面与另外两个投影面的倾角。个投影面的倾角。铅垂面铅垂面 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面2.投影面的垂直面投影面的垂直面投影面垂直面在形体投影图和立体图中的位置投影面垂直面在形体投影图和立体图中的位置 3.3.一般位置平面一般位置平面 一般位置平面在空间与三个投影面都倾斜，它一般位置平面在空间与三个投影面都倾斜，它的三面投影都没有积聚性，也不反映平面的实形及的三面投影都没有积聚性，也不反映平面的实形及与各投影面的倾角的大小。与各投影面的倾角的大小。三、平面上的点和直线三、平面上的点和直线 1 1平面上的点平面上的点 一个点如果在一个平面一个点如果在一个平面上，它一定在这个平面的一上，它一定在这个平面的一根直线上。根直线上。如右图所示的如右图所示的E点，由点，由于它在平面于它在平面SBC的一根直线的一根直线DC上，所以它必然在平面上，所以它必然在平面SBC上。上。2.2.平面上的直线平面上的直线 一直线如果通过平面上一直线如果通过平面上两个点或者通过平面上一个两个点或者通过平面上一个点且平行于平面上的一条直点且平行于平面上的一条直线，线，则该直线在该平面上。则该直线在该平面上。如右图所示的直线如右图所示的直线 DC通过平面通过平面SBC上的点上的点D、C，则则DC在平面在平面SBC上；直线上；直线DF通过平面上点通过平面上点D且平行于平面且平行于平面上的一条直线上的一条直线BC，则，则DF在平在平面面SBC上。上。ba cc a k b ka bca b k c d kd利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解xx例例8 8：已知：已知K K点在平面点在平面ABCABC上，求上，求K K点的水平投影。点的水平投影。平面上的点平面上的点abcb c a abcb c a d mnn m d例例9 9：已知平面由直线：已知平面由直线ABAB、ACAC所确定，试所确定，试 在平面内任作一条直线。在平面内任作一条直线。解法一解法一解法二解法二有多少解？有多少解？有无数解有无数解。xxoo平面上直线平面上直线例例2 2：在平面：在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H H面的距面的距 离为离为10mm10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？ox3 3平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线平面上的投影面平行线有以下平面上的投影面平行线有以下3 3种。种。平面上平行于平面上平行于H H面的直线称为平面上的面的直线称为平面上的水平线水平线。平面上平行于平面上平行于V V面的直线称为平面上的面的直线称为平面上的正平线正平线。平面上平行于平面上平行于W W面的直线称为平面上的面的直线称为平面上的侧平线侧平线 常用的是平面上的常用的是平面上的水平线水平线和平面上的和平面上的正平线正平线。平面上的投影面平行线既符合直线在平面上的几何平面上的投影面平行线既符合直线在平面上的几何条件，又具有投影面平行线的投影特点，因此它的条件，又具有投影面平行线的投影特点，因此它的投影特性具有二重性。投影特性具有二重性。(a)(a)已知已知(b)(b)在平面上作水平线在平面上作水平线(c)(c)在平面上作正平线在平面上作正平线 图图3.43 3.43 在平面上作水平线和正平线在平面上作水平线和正平线【例【例3.16】过平面】过平面ABC上点上点C作平面作平面ABC 内的水平线，如图内的水平线，如图3.44所示。所示。分析：分析：平面上的投影面平行线既符合直线在平面上的几平面上的投影面平行线既符合直线在平面上的几 何条件，又具有投影面平行线的投影特点。何条件，又具有投影面平行线的投影特点。4 4平面上的最大斜度线平面上的最大斜度线 平面上对投影面倾角最大的直线，称为平面的最平面上对投影面倾角最大的直线，称为平面的最大斜度线，它必垂直于平面内相应的投影面平行线。大斜度线，它必垂直于平面内相应的投影面平行线。【例【例3.173.17】求三角形】求三角形ABC对对H面和面和V面的倾面的倾角角和和，如图，如图3.46(a)3.46(a)所示。所示。(a)(a)已知已知 (b)(b)求作求作 (c)(c)求作求作 图图3.46 3.46 求三角形求三角形ABC对对H面和面和V面的倾角面的倾角和和章章 后后 小小 结结(1)(1)任何形体都是由任何形体都是由点、线、面点、线、面组成的，本组成的，本章内容主要讲述点、直线、平面的投影章内容主要讲述点、直线、平面的投影规律和特点，掌握本章内容能培养空间规律和特点，掌握本章内容能培养空间想象能力和空间思维能力。想象能力和空间思维能力。(2)(2)理解并掌握理解并掌握各种位置直线各种位置直线和和各种位置平各种位置平面的投影特性面的投影特性且学会应用，学习这些线且学会应用，学习这些线和面的投影是为后面的求解组合体和工和面的投影是为后面的求解组合体和工程形体的投影图打基础的，而且最终为程形体的投影图打基础的，而且最终为绘制和阅读施工图服务，学习时一定要绘制和阅读施工图服务，学习时一定要把把理论知识和实际工程理论知识和实际工程结合起来。结合起来。