基本不等式复习.ppt
广东碧桂园学校 陟乃赋书 山 有 路 勤 为 径，学 海 无 崖 苦 作 舟少 小 不 学 习，老 来 徒 伤 悲 成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话 习题课习题课不等式定理及其重要变形不等式定理及其重要变形：（定理）重要不等式（定理）重要不等式（推论）基本不等式（又叫均值不等式）（推论）基本不等式（又叫均值不等式）代数意代数意义：如果把如果把 看做是两正数看做是两正数a、b的等差中的等差中项,看做是两正数看做是两正数a、b 的的等比中等比中项,那么均那么均值不等式可叙述不等式可叙述为:两两个正数的个正数的等差中等差中项不小于它不小于它们的的等比中等比中项.几何意几何意义：均均值不等式的几何解不等式的几何解释是是:半径不小于半弦半径不小于半弦.结构特点：构特点：均均值不等式的左式不等式的左式为和和结构构,右式右式为积的形式的形式,该不等式表明两正不等式表明两正数的和与两正数的数的和与两正数的积之之间的大小关系的大小关系,运用运用该不等式可作不等式可作和与和与积之之间的不等的不等变换.ab二、公式的拓展二、公式的拓展当且仅当当且仅当a=b时时“=”成成立立（1）三、公式的应用（一）三、公式的应用（一）证明不等式证明不等式（2）已知已知求证求证（以下各式中的字母都表示正数）（以下各式中的字母都表示正数）证明：证明：注意注意:本题条件本题条件a,b,c为实数为实数法解不等式法解不等式求证:a+ac+c+3b(a+b+c)0 证明:原式=a+(c+3b)a+(c+3b+3bc)0 设f(a)=a+(c+3b)a+(c+3b+3bc)=(c+3b)-4(c+3b+3bc)=-3(c+b)f(a)0 (当且仅当-b=c=a取等号)四、公式的应用（二）四、公式的应用（二）求函数的最值求函数的最值（2）已知已知 是正数，是正数，（定值），（定值），求求 的最小值；的最小值；已知已知 是正数，是正数，（定值），（定值），求求 的最大值；的最大值；（1）一正二一正二定三相定三相等等和定积最大和定积最大积定和最小积定和最小已知已知 ，求函数，求函数 的最大值；的最大值；（3）已知已知 是正数，满足是正数，满足 ，求求 的最小值；的最小值；（4）创造条件创造条件注意取等号的条件注意取等号的条件（3 3）已知：）已知：0 0 x x，求函数，求函数y=xy=x（1-3x1-3x）的最大值）的最大值利用二次函数求某一区间的最值利用二次函数求某一区间的最值分析一、分析一、原函数式可化为：原函数式可化为：y=-3x2+x，分析二、分析二、挖掘隐含条件挖掘隐含条件即即x=x=时时 y ymaxmax=3x+1-3x=13x+1-3x=1为定值，且为定值，且0 0 x x则则1-3x1-3x0 0；00 x x，1-3x1-3x0 0y=xy=x（1-3x1-3x）=3x3x（1-3x1-3x）当且仅当当且仅当 3x=1-3x 3x=1-3x 可用均值不等式法可用均值不等式法配凑成和成定配凑成和成定值值广东碧桂园学校 陟乃赋（4 4）已知正数）已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求的最小值的最小值即即 的最小值为的最小值为过程中两次运用了过程中两次运用了均值不等式中取均值不等式中取“=”“=”号过渡，而这两次取号过渡，而这两次取“=”“=”号的条件是不同的，号的条件是不同的，故结果错。故结果错。错因：错因：解：解：（4 4）已知正数）已知正数x x、y y满足满足2x+y=12x+y=1，求，求的最小值的最小值正解：正解：当且仅当当且仅当即即:时取时取“=”号号即此时即此时“1”代换代换法法广东碧桂园学校 陟乃赋特别警示特别警示：用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的条件，特别地，如果多次运用均值不等式求条件，特别地，如果多次运用均值不等式求最值，则要考虑多次最值，则要考虑多次“”“”（或者（或者“”“”）中取）中取“=”“=”成立的诸条件是否相容。成立的诸条件是否相容。阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。阅读下题的各种解法是否正确，若有错，指出有错误的地方。（5）错题辨析）错题辨析正确解法一正确解法一“1”代换法代换法（5 5）已知正数）已知正数a a、b b满足满足a+2b=1a+2b=1，求，求的最小值的最小值正解：正解：当且仅当当且仅当即即:时取时取“=”号号即此时即此时“1”的代换五五：公式应用（三）解决实际问题例例3.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？APBHba例3.如图，教室的墙壁上挂着一块黑板，它的上、下边缘分别在学生的水平视线上方a米和b米，问学生距离墙壁多远时看黑板的视角最大？问 题 与与 思思 考考4。某种商品准。某种商品准备两次提价两次提价,有三种方案有三种方案:A.第一次提价第一次提价 m,第二次提价第二次提价 n;B.第一次提价第一次提价 n,第二次提价第二次提价 m;C.两次均提价两次均提价 .D.试问哪种方案提价后的价格高哪种方案提价后的价格高?设原价原价为M元元,令令a=m,b=n,则按三种方案提价后的价格分按三种方案提价后的价格分别为:A.(1+a)(1+b)M=(1+a+b+ab)MC.(1+)2 M=1+a+b+M只需比只需比较 ab 与与 的大小的大小.易知易知B.(1+b)(1+a)M=(1+a+b+ab)M5.5.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为容积为 ,深为深为3m3m，如果池底每平方，如果池底每平方米的造价为米的造价为150150元，池壁每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为120120元，问怎样设计水池才能使造价最低，元，问怎样设计水池才能使造价最低，最低造价是多少元？最低造价是多少元？问 题 与与 思思 考考实际问题实际问题抽象概括抽象概括引入变量引入变量数学模型数学模型数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原还原说明说明推推 理理演演 算算建立目建立目标函数函数均均值不不等等式式2 2、解、解应用用题思路思路反思研究反思研究1 1、设、设 且且a+b=3,a+b=3,求求a ab b的最小值的最小值_。2 2、设则的最大值为、设则的最大值为_。、设、设 满足满足 ，且，且 则则 的最大值是（的最大值是（）A、40 B、10 C、4 D、2（）（）各项或各因式为各项或各因式为正正（）（）和或积为和或积为定值定值（）（）各项或各因式能取得各项或各因式能取得相等的值相等的值，必要时作适当变形，必要时作适当变形，以满足上述前提，即以满足上述前提，即“一正二定三相等一正二定三相等”、二元均值不等式具有将、二元均值不等式具有将“和式和式”转化为转化为“积式积式”和将和将“积积式式”转转化为化为“和式和式”的的放缩功能放缩功能；创设应用均值不等式的条件，创设应用均值不等式的条件，合理拆分项合理拆分项或或配凑因式配凑因式是常是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立使等号能够成立；、应用均值不等式须注意以下三点：、应用均值不等式须注意以下三点：3、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到、均值不等式在实际生活中应用时，也应注意取值范围和能取到等号的前提条件。等号的前提条件。乘积乘积倒数倒数其他其他平方平方设设你能给出几个含有你能给出几个含有字母字母a a和和b b的不等式的不等式
