实践应用能力与创新意识.ppt

第第2424讲讲 实践应用能力与创新意识实践应用能力与创新意识 江苏省高考数学科考试说明指出：江苏省高考数学科考试说明指出：“注重数学的应注重数学的应用意识和创新意识的考查用意识和创新意识的考查.要求能够运用所学的数学要求能够运用所学的数学知识、思想和方法构造数学模型，将一些简单的实际知识、思想和方法构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决问题转化为数学问题，并加以解决.要求能够综合、要求能够综合、灵活运用所学的数学知识和思想方法灵活运用所学的数学知识和思想方法,创造性地解决创造性地解决问题问题.”.”对实践能力和创新意识的考查可涉及高中阶段所学任何知对实践能力和创新意识的考查可涉及高中阶段所学任何知识点，题型多为应用题，可以是填空题，也可以是解答题识点，题型多为应用题，可以是填空题，也可以是解答题.其其解题程序一般为：读懂题意解题程序一般为：读懂题意构建数学模型构建数学模型解决数学解决数学模型问题模型问题解决实际问题解决实际问题.读题读题:理解题意理解题意,将将“应用问题应用问题”化为化为“数学问题数学问题”.”.建模：构建数学模型建模：构建数学模型.解模：用恰当方法，解决构建的数学问题解模：用恰当方法，解决构建的数学问题.回归：将数学问题的结果依照实际意义，回归到实际问题回归：将数学问题的结果依照实际意义，回归到实际问题上去上去.【例例1 1】（】（20092009木渎高中调研）假设木渎高中调研）假设A A型进口车关税税型进口车关税税 率在率在20032003年是年是100%100%，在，在20082008年是年是25%25%，在，在20032003年年A A型进型进 口车每辆价格为口车每辆价格为6464万元（其中含万元（其中含3232万元关税税款）万元关税税款）（1 1）已知与）已知与A A型车性能相近的型车性能相近的B B型国产车，型国产车，20032003年每辆年每辆 价格为价格为4646万元万元,若若A A型车的价格只受关税降低的影响型车的价格只受关税降低的影响,为为 了保证了保证20082008年年B B型车的价格不高于型车的价格不高于A A型车价格的型车价格的90%90%，B B 型车价格要逐年等额降低型车价格要逐年等额降低,问每年至少下降多少万元？问每年至少下降多少万元？（2 2）某人在）某人在20032003年将年将3333万元存入银行，假设银行扣利万元存入银行，假设银行扣利 息税后的年利率为息税后的年利率为1.8%1.8%（5 5年内不变），且每年按复利年内不变），且每年按复利 计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5 5年到年到 期时这笔钱连本带息是否一定能买按（期时这笔钱连本带息是否一定能买按（1 1）中所述降价）中所述降价 后的后的B B型车一辆？（参考数据：型车一辆？（参考数据：1.0181.0185 51.0931.093）.分析分析 依题意，可化为等差数列与等比数列问题依题意，可化为等差数列与等比数列问题 解决解决.解解 (1)2008 (1)2008年年A A型车价格为型车价格为32+3225%=40(32+3225%=40(万元万元).).设设B B型车每年下降型车每年下降d d万元，万元，20032003，20042004，20082008 年年B B型车价格分别为型车价格分别为a a1 1，a a2 2，a a3 3，a a6 6（a a1 1，a a2 2，a a6 6为公差是为公差是-d d的等差数列），的等差数列），a a6 64090%4090%，即，即46-546-5d d36,36,d d2,2,故每年至少下降故每年至少下降2 2万元万元.（2 2）20082008年到期时共有钱年到期时共有钱 33 33（1+1.8%1+1.8%）5 5331.093=36.06936(331.093=36.06936(万元万元).).故故5 5年到期后这笔钱够买一辆降价后的年到期后这笔钱够买一辆降价后的B B型车型车.探究拓展探究拓展 依题意，问题转化为数列问题，依等依题意，问题转化为数列问题，依等 差数列、等比数列相关知识迅速获解差数列、等比数列相关知识迅速获解.注意解题过注意解题过 程的规范化叙述与实际意义的认定程的规范化叙述与实际意义的认定.变式训练变式训练1 1 某单位用某单位用3.23.2万元购买了一台实验仪万元购买了一台实验仪 器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，器，假设这台仪器从启用的第一天起连续使用，第第n n天的维修保养费为天的维修保养费为 (n nN N*)元，若使元，若使 用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用用这台仪器的日平均费用最少，则一共使用 天天.解析解析 连续连续n n天，每天保养费构成等差数列，天，每天保养费构成等差数列，n n天天 保养费之和为保养费之和为 答案答案 800800【例例2 2】（】（20092009海门中学模拟）如海门中学模拟）如 图所示，某动物园要为刚入园的小图所示，某动物园要为刚入园的小 老虎建造一间两面靠墙的三角形露老虎建造一间两面靠墙的三角形露 天活动室，已知已有两面墙的夹角为天活动室，已知已有两面墙的夹角为60(60(即即 C C=60)=60)，现有可供建造第三面围墙的材料，现有可供建造第三面围墙的材料6 6米米 （两面墙的长均大于（两面墙的长均大于6 6米），为了使得小老虎能健米），为了使得小老虎能健 康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能 大，记大，记ABC=ABC=，问当，问当 为多少时，所建造的三为多少时，所建造的三 角形露天活动室的面积最大？角形露天活动室的面积最大？解解 在在ABCABC中，由正弦定理：中，由正弦定理：答答 当当 =60 =60时，所建造的三角形露天活动室时，所建造的三角形露天活动室 的面积最大的面积最大.探究拓展探究拓展 以角度为自变量（或涉及角度）的问以角度为自变量（或涉及角度）的问 题，多建立三角函数模型，利用三角变换，结合题，多建立三角函数模型，利用三角变换，结合 三角函数的图象、性质、有界性结论等解决问题三角函数的图象、性质、有界性结论等解决问题.变式训练变式训练2 2 （20092009通州调研）如图所示，一条通州调研）如图所示，一条 直角走廊宽为直角走廊宽为2 2米米.现有一转动灵活的平板车，其现有一转动灵活的平板车，其 平板面为矩形平板面为矩形ABEFABEF，它的宽为，它的宽为1 1米米.直线直线EFEF分别交分别交 直线直线ACAC、BCBC于于MM、N N，过墙角，过墙角D D作作DPDPACAC于于P P，DQDQBCBC于于Q Q；（1）若平板车卡在直角走廊内，且）若平板车卡在直角走廊内，且CAB=，试，试 求平板面的长求平板面的长l（用（用 表示）；表示）；（2）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不 能超过多少米？能超过多少米？（1 1）若平板车卡在直角走廊内，且）若平板车卡在直角走廊内，且CABCAB=，试，试 求平板面的长求平板面的长l l（用（用 表示）；表示）；（2 2）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不）若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不 能超过多少米？能超过多少米？解解 （1 1）（2 2）“平板车要想顺利通过直角走廊平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意即对任意 角角 平板车的长度不能超过平板车的长度不能超过l l，即平板车，即平板车 的长度的长度 l lminmin;记记 此后研究函数此后研究函数f f(t t)的最小值的最小值,方法很多；如换元方法很多；如换元 （记（记4 4t t-2=-2=m m，则，则 )或直接求导或直接求导,以确定函以确定函 数数f f(t t)在在1 1，上的单调性；当上的单调性；当t t=时时,l l取得取得 最小值最小值 4 -2.4 -2.所以平板车的长度不能超过所以平板车的长度不能超过4 -24 -2米米.【例例3 3】（】（20092009兴化调研）兴化调研）某海滨城市坐落在一个三角形某海滨城市坐落在一个三角形 海域的顶点海域的顶点O O处（如图所示）处（如图所示）,一条海岸线一条海岸线AOAO在城市在城市O O的正东方向，另一条海岸的正东方向，另一条海岸 线线OBOB在城市在城市O O北偏东北偏东 方向，位于城市方向，位于城市O O 北偏东北偏东 方向方向15 km15 km的的P P处有一个美丽处有一个美丽 的小岛的小岛.旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市从城市O O出发沿海岸线出发沿海岸线OAOA到达到达C C处，再从海面处，再从海面 直线航行，途经小岛直线航行，途经小岛P P到达海岸线到达海岸线OBOB的的D D处，然后处，然后 返回城市返回城市O O.为了节省开发成本，要求这条旅游观为了节省开发成本，要求这条旅游观 光线路所围成的三角形区域面积最小，问光线路所围成的三角形区域面积最小，问C C处应选处应选 址何处？并求这个三角形区域的最小面积址何处？并求这个三角形区域的最小面积.解解 以以O O为原点为原点,直线直线OAOA为为x x轴建立平面直角坐标轴建立平面直角坐标 系系.据题意，直线据题意，直线OBOB的倾斜角为的倾斜角为 从而直线从而直线OBOB的方程为的方程为y y=3=3x x.由已知由已知POCPOC=，|POPO|=15|=15，得点得点P P的坐的坐 标为（标为（9 9，1212），设点），设点C C的坐标为（的坐标为（t t,0,0）,则直线则直线PCPC的方程为的方程为 联立联立y y=3=3x x,得得 答答 当当C C地处于城市地处于城市O O正东方向正东方向10 km10 km处时，能使处时，能使 三角形区域面积最小，其最小面积为三角形区域面积最小，其最小面积为120 km120 km2 2.探究拓展探究拓展 函数、不等式与方程是设计应用类问函数、不等式与方程是设计应用类问 题的热点题材，结合函数性质、图象及不等式性题的热点题材，结合函数性质、图象及不等式性 质是解决问题的关键质是解决问题的关键.解题之后认真反思与体会是解题之后认真反思与体会是 提高能力的必要环节提高能力的必要环节.变式训练变式训练3 3 （20092009南京调研）某工厂有南京调研）某工厂有216216名名 工人接受了生产工人接受了生产1 0001 000台台GHGH型高科技产品的总任型高科技产品的总任 务，已知每台务，已知每台GHGH型产品由型产品由4 4个个G G型装置和型装置和3 3个个H H型装型装 置配套组成置配套组成.每个工人每小时能加工每个工人每小时能加工6 6个个G G型装置或型装置或 3 3个个H H型装置型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每现将工人分成两组同时开始加工，每 组分别加工一种装置组分别加工一种装置.设加工设加工G G型装置的工人有型装置的工人有x x 人，他们加工完人，他们加工完G G型装置所需时间为型装置所需时间为g g（x x），其余），其余 工人加工完工人加工完H H型装置所需时间为型装置所需时间为h h（x x）（单位：小）（单位：小 时，可不为整数）时，可不为整数）.（1 1）写出）写出g g（x x），），h h（x x）的解析式；）的解析式；（2 2）比较）比较g g（x x）与）与h h（x x）的大小，并写出这）的大小，并写出这216216名名 工人完成总任务的时间工人完成总任务的时间f f（x x）的解析式；）的解析式；(3)(3)应怎样分组应怎样分组,才能使完成总任务所用时间最少？才能使完成总任务所用时间最少？解解 (1)(1)由题知由题知,需加工需加工G G型装置型装置4 0004 000个个,加工加工H H型型 装置装置3 0003 000个个,所用工人分别为所用工人分别为x x人人,（216-216-x x）人）人.0 0 x x216,216-0.0.当当000,0,g g(x x)-)-h h(x x)0,)0,g g(x x)h h(x x););当当8787x x216216时，时，432-5432-5x x0,0,g g(x x)-)-h h(x x)0,)0,g g(x x)h h(x x).).（3 3）完成总任务所用时间最少即求）完成总任务所用时间最少即求f f(x x)的最小值的最小值.当当00 x x8686时，时，f f(x x)递减，递减，f f（x x）minmin=f f（8686），此时），此时216-216-x x=130.=130.当当8787x x216216时，时，f f(x x）递增，）递增，加工加工G G型装置、型装置、H H型装置的人数分别为型装置的人数分别为8686、130130或或 87 87、129.129.【例例4 4】（】（20092009盐城三检）某高中地处县城，学校盐城三检）某高中地处县城，学校 规定家到学校的路程在规定家到学校的路程在1010里以内的学生可以走里以内的学生可以走 读，因交通便利，所以走读生人数很多读，因交通便利，所以走读生人数很多.该校学生该校学生 会先后会先后5 5次对走读生的午休情况作了统计，得到如次对走读生的午休情况作了统计，得到如 下资料：下资料：若把家到学校的距离分为五个区间若把家到学校的距离分为五个区间:0 0，2 2），），2 2，4 4），），4 4，6 6），），6 6，8 8），），8 8，1010，则，则 调查数据表有午休的走读生分布在各个区间内的调查数据表有午休的走读生分布在各个区间内的 频率相对稳定，得到如图所示的频率分布直方频率相对稳定，得到如图所示的频率分布直方 图；图；走读生是否午休与下午开始上课的时间有密切走读生是否午休与下午开始上课的时间有密切 的关系的关系.下表是根据下表是根据5 5次调查数据得到的下午开始次调查数据得到的下午开始 上课时间与平均每天午休的走读生人数的统计表上课时间与平均每天午休的走读生人数的统计表.（1 1）若随机地调查一位午休的走读生，其家到学）若随机地调查一位午休的走读生，其家到学 校的路程校的路程(单位：里单位：里)在在2 2，6 6）的概率是多少？）的概率是多少？（2 2）如果把下午开始上课时间）如果把下午开始上课时间130130作为横坐标作为横坐标 0 0，然后上课时间每推迟，然后上课时间每推迟1010分钟，横坐标分钟，横坐标x x增加增加1 1，并以平均每天午休人数作为纵坐标并以平均每天午休人数作为纵坐标y y，试根据表中，试根据表中 的的5 5列数据求平均每天午休人数列数据求平均每天午休人数y y与上课时间与上课时间x x之间之间 的线性回归方程的线性回归方程下午开始上下午开始上课时间课时间1:301:301:401:401:501:502:002:002:102:10平均每天午平均每天午休人数休人数250250350350500500650650750750 (3)(3)预测当下午上课时间推迟到预测当下午上课时间推迟到220220时时,家距学校家距学校 的路程在的路程在6 6里路以上的走读生中约有多少人午休？里路以上的走读生中约有多少人午休？解解 （1 1）P P=（0.15+0.2000.15+0.200）2=0.7.2=0.7.（2 2）根据题意，可得如下表格：）根据题意，可得如下表格：x x0 01 12 23 34 4y y250250350350500500650650750750 （3 3）下午上课时间推迟到）下午上课时间推迟到220220时，时，x x=5=5，=890=890，890 890（0.050+0.0250.050+0.025）2=133.52=133.5，此时，家距学校的路程在此时，家距学校的路程在6 6里路以上的走读生中约里路以上的走读生中约 有有133133人（人（134134人）人）.探究拓展探究拓展 概率与统计是数学与现实生活联系较概率与统计是数学与现实生活联系较 密切的素材之一，近几年新课标高考强化对数据密切的素材之一，近几年新课标高考强化对数据 处理能力的要求，更加突显了这部分知识的重要处理能力的要求，更加突显了这部分知识的重要 性，增大了被考查的可能性，备考者要有一定的性，增大了被考查的可能性，备考者要有一定的 思想准备思想准备.变式训练变式训练4 4 在生产过程中，测得纤维产品的纤度在生产过程中，测得纤维产品的纤度 （表示纤维粗细的一种量）共有（表示纤维粗细的一种量）共有100100个数据，将数个数据，将数 据分组如下表：据分组如下表：分组分组频数频数1.301.30，1.341.34）4 41.341.34，1.381.38）25251.381.38，1.421.42）30301.421.42，1.461.46）29291.461.46，1.501.50）10101.501.50，1.541.54 2 2合计合计100100 （1 1）列出频率分布表，并在坐标系中画出频率分）列出频率分布表，并在坐标系中画出频率分 布直方图；布直方图；（2 2）估计纤度落在）估计纤度落在1.381.38，1.501.50）中的概率及）中的概率及 纤度小于纤度小于1.401.40的概率各是多少？的概率各是多少？（3 3）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中 点值（例如区间点值（例如区间1.301.30，1.341.34）的中点值是）的中点值是 1.32 1.32）作为代表）作为代表.据此，估计纤度的期望据此，估计纤度的期望.解解 （1 1）频率分布表如下：）频率分布表如下：分组分组频数频数频率频率1.301.30，1.341.34）4 40.040.041.341.34，1.381.38）25250.250.251.381.38，1.421.42）30300.300.301.421.42，1.461.46）29290.290.291.461.46，1.501.50）10100.100.101.501.50，1.541.54 2 20.020.02合计合计 1001001.001.00 频率分布直方图如下频率分布直方图如下:(2)(2)纤度落在纤度落在1.38,1.50)1.38,1.50)中的概率约为中的概率约为0.30+0.30+0.29+0.10=0.69,0.29+0.10=0.69,纤度小于纤度小于1.401.40的概率约为的概率约为0.04+0.04+0.25+0.30=0.44.0.25+0.30=0.44.（3 3）总体数据的期望约为）总体数据的期望约为 1.320.04+1.360.25+1.400.30+1.44 1.320.04+1.360.25+1.400.30+1.44 0.29+1.480.10+1.520.02=1.408 8.0.29+1.480.10+1.520.02=1.408 8.规律方法总结规律方法总结1.1.解实际应用题的思路和方法：解实际应用题的思路和方法：2.2.实践能力问题常见的考查类型：实践能力问题常见的考查类型：(1)(1)解概率统计有关的应用题；解概率统计有关的应用题；(2)(2)图表型应用题；图表型应用题；实际问题实际问题数学问题数学问题实际问题的结论实际问题的结论数学问题的答案数学问题的答案建模建模审题、抽象、转化审题、抽象、转化问题解决问题解决解模解模 推理、运算推理、运算检验检验 （3 3）构造）构造“函数、方程、不等式模型函数、方程、不等式模型”求解的应求解的应 用题；用题；（4 4）构造）构造“数列模型数列模型”求解的应用题；求解的应用题；（5 5）构造）构造“三角函数、平面向量模型三角函数、平面向量模型”求解的应求解的应 用题；用题；（6 6）构造）构造“线性规划模型线性规划模型”求解的应用题求解的应用题.3.3.创新类问题是以创新类问题是以“传统知识传统知识”为基础设计，是在为基础设计，是在 “传统方法传统方法”之上的创新，是通性、通法的升华之上的创新，是通性、通法的升华 与灵活应用，备考过程中不必求奇、求异，应立与灵活应用，备考过程中不必求奇、求异，应立 足根本实现创新，不可本末倒置足根本实现创新，不可本末倒置.一、填空题一、填空题1.1.平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点平面直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点 称为格点，如果函数称为格点，如果函数f f（x x）的图象恰好通过）的图象恰好通过k k个格个格 点，则称函数点，则称函数f f(x x)为为k k阶格点函数阶格点函数.下列函数：下列函数：f f(x x)=sin)=sin x x;f f(x x)=()=(x x-1)-1)2 2+3;+3;f f(x x)=log)=log0.60.6x x.其中是一阶格点函数的有其中是一阶格点函数的有 .（填上所有满足题意的序号）（填上所有满足题意的序号）解析解析 函数函数f f(x x)=sin)=sin x x只过格点（只过格点（0 0，0 0）；函数）；函数 f f（x x）=（x x-1-1）2 2+3+3只过格点（只过格点（1 1，3 3）；函数）；函数 f f(x x)=log)=log0.60.6x x只过格点（只过格点（1 1，0 0）.2.2.一个小水库的承包人为了估计小水库中养殖的鱼一个小水库的承包人为了估计小水库中养殖的鱼 的数量，先从小水库的不同位置捕捞出了的数量，先从小水库的不同位置捕捞出了100100条条 鱼，分别作好记号后再放回水库，几天后再从水鱼，分别作好记号后再放回水库，几天后再从水 库的几处不同位置捕捞出库的几处不同位置捕捞出108108条鱼，其中带记号的条鱼，其中带记号的 鱼有鱼有3 3条，请估计水库中鱼的总条数为条，请估计水库中鱼的总条数为 条条.解析解析 将水库中的鱼分为带记号的和不带记号的将水库中的鱼分为带记号的和不带记号的 两类，从中抽取两类，从中抽取108108条，可近似地看作分层抽样条，可近似地看作分层抽样.设水库中的鱼有设水库中的鱼有n n条，条，故水库中的鱼的总条数大概是故水库中的鱼的总条数大概是3 6003 600条条.3 6003 6003.3.对任意实数对任意实数x x、y y，规定运算，规定运算x xy y=axax+byby+cxycxy,其中其中 a a、b b、c c是常数，等式右边的运算是通常的加法是常数，等式右边的运算是通常的加法 和乘法运算，已知和乘法运算，已知12=312=3，23=423=4，并且有一个，并且有一个 非零常数非零常数m m，使得对任意实数，使得对任意实数x x,都有都有x xm m=x x,则则m m=.解析解析 依题意，依题意，x xm m=axax+bmbm+cxmcxm=x x对任意实数对任意实数x x恒恒 成立，令成立，令x x=0=0，则，则mbmb=0=0，由于，由于m m是非零常数，得是非零常数，得 b b=0=0，故，故x xy y=axax+cxycxy.由已知得由已知得 故故5 5x x-mxmx=x x对任意实数对任意实数x x恒成立，则恒成立，则 m m=4.=4.44.4.将自然数将自然数1,2,3,4,1,2,3,4,排成数阵排成数阵(如如 图图),),在在2 2处转第一个弯处转第一个弯,在在3 3处转第处转第 二个弯二个弯,在第在第5 5处转第三个弯处转第三个弯,则转第则转第100100个弯处的数为个弯处的数为 .解析解析 a a1 1-a a0 0=1=1 a a2 2-a a1 1=1=1 a a3 3-a a2 2=2=2 a a4 4-a a3 3=2=2 a a5 5-a a4 4=3=3 a a6 6-a a5 5=3=3 a a9999-a a9898=50=50 a a100100-a a9999=50=50 相加得相加得a a100100-a a0 0=2(1+2+3+50)=2 550.=2(1+2+3+50)=2 550.a a100100=2 551.=2 551.2 5512 5515.5.如图是如图是20082008年北京奥运会上男子跳台跳水比赛年北京奥运会上男子跳台跳水比赛 中，中，1212位评委为某个运动员打出的分数的茎叶统位评委为某个运动员打出的分数的茎叶统 计图，去掉一个最高分和一个最低分之后，所剩计图，去掉一个最高分和一个最低分之后，所剩 数据的标准差为数据的标准差为 .解析解析 依方差公式求出依方差公式求出.4 46.6.水管或煤气管的外部经常需要包扎，水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很以便对管道起保护作用，包扎时用很 长的带子缠绕在管道外部长的带子缠绕在管道外部.若需要使若需要使 带子全部包住管道且没有重叠的部分带子全部包住管道且没有重叠的部分 (不考虑管子两端的情况不考虑管子两端的情况,如图所示如图所示)，这就要精确计算带子的这就要精确计算带子的“缠绕角度缠绕角度”(”(指缠绕指缠绕 中将部分带子拉成图中所示的平面中将部分带子拉成图中所示的平面ABCDABCD时的时的 ABCABC，其中，其中ABAB为管道侧面母线的一部分），若为管道侧面母线的一部分），若 带子宽度为带子宽度为1 1，水管直径为，水管直径为2 2，则，则“缠绕角度缠绕角度”的余弦值为的余弦值为 .解析解析 由展开图知由展开图知,AEAE=1,=1,ACAC=2 ,=2 ,Rt RtAECAEC中中,答案答案二、解答题二、解答题7.7.以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及商品以一年为一个周期调查某商品的出厂价格及商品 在商店的销售价格时发现，该商品出厂价格是在在商店的销售价格时发现，该商品出厂价格是在 每件每件6 6元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知元的基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3 3月份的出厂价格最高，为月份的出厂价格最高，为8 8元，元，7 7月份的出厂价格月份的出厂价格 最低，为最低，为4 4元；而该商品在商店的销售价格是在每元；而该商品在商店的销售价格是在每 件件8 8元的基础上按月份也随正弦曲线波动，并在元的基础上按月份也随正弦曲线波动，并在5 5 月份的销售价格最高，为月份的销售价格最高，为1010元，元，9 9月份的销售价格月份的销售价格 最低，为最低，为6 6元，假设某商店每月购进这种商品元，假设某商店每月购进这种商品m m 件，且在当月售完，请估算哪个月赢利最大？并件，且在当月售完，请估算哪个月赢利最大？并 说明理由说明理由.解解 依题意，出厂价格函数为依题意，出厂价格函数为 8.8.深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市深夜，一辆出租车被牵涉进一起交通事故，该市 有两家出租车公司有两家出租车公司红色出租车公司和蓝色出红色出租车公司和蓝色出 租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公租车公司，其中蓝色出租车公司和红色出租车公 司分别占整个城市出租车的司分别占整个城市出租车的85%85%和和15%.15%.根据现场一根据现场一 个目击证人说，事故现象的出租车是红色，并对个目击证人说，事故现象的出租车是红色，并对 该证人的视觉辨别能力作了测试，测得他辨认的该证人的视觉辨别能力作了测试，测得他辨认的 正确率为正确率为80%80%，对此警察就认定红色出租车具有较，对此警察就认定红色出租车具有较 大的肇事嫌疑大的肇事嫌疑.请问警察的认定对红色出租车公平请问警察的认定对红色出租车公平 吗？试说明理由吗？试说明理由.解解 设该城市有出租车设该城市有出租车1 0001 000辆，那么依题意可得辆，那么依题意可得 如下信息：如下信息：从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且从表中可以看出，当证人说出租车是红色时，且 它确实是红色的概率为它确实是红色的概率为 而它是蓝色的概而它是蓝色的概 率为率为 故以证人的证词作为推断的依据对故以证人的证词作为推断的依据对 红色出租车显然是不公平的红色出租车显然是不公平的.证人所说的颜色（正确证人所说的颜色（正确80%80%）真真实实颜颜色色蓝色蓝色红色红色合计合计蓝色蓝色(85%)(85%)680680170170850850红色红色(15%)(15%)3030120120150150合计合计7107102902901 0001 0009.9.某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均 有如图所示的自动通风设施有如图所示的自动通风设施.该设施的下部该设施的下部ABCDABCD 是矩形，其中是矩形，其中ABAB=2=2米，米，BCBC=0.5=0.5米米.上部上部CmDCmD是个是个半圆，固定点半圆，固定点E E为为CDCD的中点的中点.EMNEMN是由电脑控制其是由电脑控制其 形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MNMN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和ABAB平平 行的伸缩横杆（行的伸缩横杆（MNMN和和ABAB、DCDC不重合）不重合）.(1(1)(2(2)（1 1）当）当MNMN和和ABAB之间的距离为之间的距离为1 1米时，求此时三角米时，求此时三角 通风窗通风窗EMNEMN的通风面积；的通风面积；（2 2）设）设MNMN与与ABAB之间的距离为之间的距离为x x米，试将三角通风米，试将三角通风 窗窗EMNEMN的通风面积的通风面积S S（平方米）表示成关于（平方米）表示成关于x x的函的函 数数S S=f f（x x）；）；（3 3）当）当MNMN与与ABAB之间的距离为多少米时，三角通风之间的距离为多少米时，三角通风 窗窗EMNEMN的通风面积最大？并求出这个最大面积的通风面积最大？并求出这个最大面积.解解 (1)(1)由题意由题意,当当MNMN和和ABAB之间的距离为之间的距离为1 1米时，米时，MNMN应位于应位于DCDC上方，且此时上方，且此时EMNEMN中中MNMN边上的高边上的高 为为0.50.5米米.又因为又因为EMEM=ENEN=DCDC=1=1米，可得米，可得MNMN=米米.即三角通风窗即三角通风窗EMNEMN的通风面积为的通风面积为 平方米平方米.（2 2）如图（如图（1 1）所示，当）所示，当MNMN在矩形区域滑动，在矩形区域滑动，EMNEMN的面积的面积 如图（如图（2 2）所示，当）所示，当MNMN在半圆形区域滑动，在半圆形区域滑动，10.10.已知数列已知数列 a an n，b bn n,c cn n 的通项公式满足的通项公式满足 b bn n=a an n+1+1-a an n,c cn n=b bn n+1+1-b bn n(n nN N+)，若数列，若数列 b bn n 是一是一 个非零常数列，则称数列个非零常数列，则称数列 a an n 是一阶等差数列；若是一阶等差数列；若 数列数列 c cn n 是一个非零常数列，则称数列是一个非零常数列，则称数列 a an n 是二阶是二阶 等差数列等差数列.（1 1）试写出满足条件）试写出满足条件a a1 1=1,=1,b b1 1=1,=1,c c1 1=1=1的二阶等差数的二阶等差数 列列 a an n 的前五项；的前五项；（2 2）求满足条件（）求满足条件（1 1）的二阶等差数列）的二阶等差数列 a an n 的通项的通项 公式公式a an n；（3 3）若数列）若数列 a an n 首项首项a a1 1=2=2，且满足，且满足c cn n-b bn n+1+1+3+3a an n=-2 -2n n+1+1(n nN N+),),求数列求数列 a an n 的通项公式的通项公式.解解 （1 1）a a1 1=1,=1,a a2 2=2,=2,a a3 3=4,=4,a a4 4=7,=7,a a5 5=11.=11.（2 2）依题意有）依题意有b bn n+1+1-b bn n=c cn n=1,=1,n n=1,2,3,=1,2,3,所以所以b bn n=(=(b bn n-b bn n-1-1)+()+(b bn n-1-1-b bn n-2-2)+()+(b bn n-2-2-b bn n-3-3)+()+(b b2 2-b b1 1)+)+b b1 1=1+1+1+1+1=1+1+1+1+1=n n.又又a an n+1+1-a an n=b bn n=n n,n n=1,2,3,=1,2,3,所以所以a an n=(=(a an n-a an n-1-1)+()+(a an n-1-1-a an n-2-2)+()+(a an n-2-2-a an n-3-3)+)+(a a2 2-a a1 1)+)+a a1 1 =(=(n n-1)+(-1)+(n n-2)+2+1+1-2)+2+1+1 （3 3）由已知）由已知c cn n-b bn n+1+1+3+3a an n=-2=-2n n+1+1,可得可得b bn n+1+1-b bn n-b bn n+1+1+3+3a an n=-2=-2n n+1+1,即即b bn n-3-3a an n=2=2n n+1+1.a an n+1+1=4=4a an n+2+2n n+1+1.方法一方法一 整理整理，得，得a an n+1+1+2+2n n+1+1=4(=4(a an n+2+2n n).).因而数列因而数列 a an n+2+2n n 是首项为是首项为a a1 1+2=4,+2=4,公比为公比为4 4的等比的等比 数列数列.a an n+2+2n n=44=44n n-1-1=4=4n n.即即a an n=4=4n n-2-2n n.方法二方法二 在等式在等式a an n+1+1=4=4a an n+2+2n n+1+1两边同时除以两边同时除以2 2n n+1+1，则则k kn n+1+1=2=2k kn n+1.+1.则则k kn n+1+1+1=2(+1=2(k kn n+1).+1).故数列故数列 k kn n+1+1是首项为是首项为2 2，公比为，公比为2 2的等比数列的等比数列.所以所以k kn n+1=22+1=22n n-1-1=2=2n n.即即k kn n=2=2n n-1.-1.a an n=2=2n nk kn n=2=2n n（2 2n n-1-1）=4=4n n-2-2n n.方法三方法三 a a1 1=2=2，a a2 2=12=2=12=22 2（2 22 2-1-1），），a a3 3=56=2=56=23 3（2 23 3-1-1），），a a4 4=240=2=240=24 4（2 24 4-1-1），），猜想：猜想：a an n=2=2n n（2 2n n-1-1）=4=4n n-2-2n n.下面用数学归纳法证明如下：下面用数学归纳法证明如下：当当n n=1=1时，时，a a1 1=2=4-2,=2=4-2,猜想成立；猜想成立；假设假设n n=k k（k kN N*）时，猜想成立，即）时，猜想成立，即a ak k=4=4k k-2-2k k，那么当那么当n n=k k+1+1时，时，a ak k+1+1=4=4a ak k+2+2k k+1+1=4(4=4(4k k-2-2k k)+2)+2k k+1+1=4=4k k+1+1-2-2k k+1+1,结论也成立结论也成立.由由可知，可知，a an n=4=4n n-2-2n n.返回