微分的概念及运算-PPT.ppt

二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用一、微分的概念一、微分的概念 2.32.3 微分的概念及运算微分的概念及运算正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.一一.微分的概念微分的概念 1.1.引例：引例：再例如再例如,既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题:这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?的的微分微分,2.2.定义定义:若函数若函数在点在点 的增量可表示为的增量可表示为(A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数则称函数而而 称为称为记作记作即即定理定理:函数函数在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是即即在点在点可微可微,在点在点 处可导处可导,且且3.3.可微的条件：可微的条件：定理定理:函数函数证证:“必要性必要性”已知已知在点在点 可微可微,则则故故在点在点 可导可导,且且在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是在点在点 处可导处可导,且且即即定理定理:函数函数在点在点 可微的充要条件是可微的充要条件是在点在点 处可导处可导,且且即即“充分性充分性”已知已知即即在点在点 的可导的可导,则则说明说明:时时 ,所以所以时时很小时很小时,有近似公式有近似公式与与是等价无穷小是等价无穷小,当当故当故当二二.微分的几何意义微分的几何意义当当 很小时很小时,则有则有从而从而导数也叫作微商导数也叫作微商切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量自变量的微分自变量的微分,记作记作记记大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流三三.微分的计算微分的计算求法求法:计算函数的导数计算函数的导数,乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式(P57P57)2 2.微分运算法则微分运算法则设设 u(x),v(x)均可微均可微,则则(C 为常数为常数)分别可微分别可微,的微分为的微分为微分形式不变性微分形式不变性5.复合函数的微分复合函数的微分则复合函数则复合函数例例1 1解解方法方法二二:用微分形式的不变性用微分形式的不变性方法方法一一:用定义用定义例例2 2解解例例3 3.设设求求 解解:利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 ,有有例例4.在下列括号中填入适当的函数使等式成立在下列括号中填入适当的函数使等式成立:说明说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.练习练习 P.60 3(1,3,5,7)1 1.计算函数增量的近似值计算函数增量的近似值四四.微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用2.2.计算函数的近似值计算函数的近似值使用原则使用原则:的近似值的近似值.解解:取取则则例例.求求设设常用近似公式常用近似公式:很小很小)证明证明(5)3.3.计算计算 在在 点附近的函数近似值点附近的函数近似值例例解解例例.有一批半径为有一批半径为1cm 1cm 的球的球,为了提高球面的光洁度为了提高球面的光洁度,解解:已知球体体积为已知球体体积为镀铜体积为镀铜体积为 V V 在在时体积的增量时体积的增量因此每只球需用铜约为因此每只球需用铜约为(g)用铜多少克用铜多少克 .估计一下估计一下,每只球需每只球需要镀上一层铜要镀上一层铜,厚度定为厚度定为 0.01cm,练习练习 P.60 5(2,4),6作业作业 P.60 3(2,4,6),4(在书上填在书上填),5(3)小结小结