高一数学必修二课件第八章 第十节圆锥曲线的综合问题.ppt

第十节 圆锥曲线的综合问题考向考向 1 1 圆锥曲线中的定点问题圆锥曲线中的定点问题【典例典例1 1】(2012(2012福建高考福建高考)如图，如图，等边三角形等边三角形OABOAB的边长为的边长为8 8 ，且其，且其三个顶点均在抛物线三个顶点均在抛物线E E：x x2 2=2py=2py(p0)(p0)上上.(1)(1)求抛物线求抛物线E E的方程的方程.(2)(2)设动直线设动直线l与抛物线与抛物线E E相切于点相切于点P P，与直线，与直线y=-1y=-1相交于点相交于点Q.Q.证证明以明以PQPQ为直径的圆恒过为直径的圆恒过y y轴上某定点轴上某定点.【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用等边三角形边长为利用等边三角形边长为8 8 及抛物线的性质及抛物线的性质确定出点确定出点B B的坐标，从而用待定系数法求出的坐标，从而用待定系数法求出p.p.(2)(2)设出设出P P点坐标，建立直线点坐标，建立直线l的方程，与的方程，与y=-1y=-1联立求得联立求得Q Q点坐点坐标，再设以标，再设以PQPQ为直径的圆恒过为直径的圆恒过y y轴上的点轴上的点M(0,yM(0,y1 1)，根据，根据0 0恒成立，求出恒成立，求出y y1 1为常数得证，或对为常数得证，或对P P点坐标取特殊值，先研点坐标取特殊值，先研究出以究出以PQPQ为直径的圆与为直径的圆与y y轴交于的定点，再证明与变量无关轴交于的定点，再证明与变量无关.【规范解答规范解答】(1)(1)依题意，依题意，OBOB8 ,BOy=308 ,BOy=30.设设B(x,yB(x,y)，则，则x=|x=|OB|sinOB|sin 30 304 4 ，y=|y=|OB|cosOB|cos 30 301212，所以，所以B(4 ,12).B(4 ,12).因为点因为点B B在在x x2 2=2py=2py上，上，所以所以(4 )(4 )2 2=2p=2p1212，解得，解得p=2.p=2.故抛物线故抛物线E E的方程为的方程为x x2 2=4y.=4y.(2)(2)由由(1)(1)知知y=xy=x2 2,y=x,y=x,设设P(xP(x0 0,y,y0 0)(x)(x0 00)0)，且且l的方程为的方程为y-yy-y0 0=x=x0 0(x-x(x-x0 0),),方法一：设以方法一：设以PQPQ为直径的圆与为直径的圆与y y轴的一个交点为轴的一个交点为M(0M(0，y y1 1)，令令 0 0对满足对满足y y0 0=(x=(x0 00)0)的的x x0 0,y,y0 0恒成立恒成立.由由 (x(x0 0,y,y0 0-y-y1 1),),得得即即(y +y(y +y1 1-2)+(1-y-2)+(1-y1 1)y)y0 0=0 (*)=0 (*)由于由于(*)(*)式对满足式对满足y y0 0=(x=(x0 00)0)的的y y0 0恒成立，恒成立，解得解得y y1 1=1.=1.故以故以PQPQ为直径的圆恒过为直径的圆恒过y y轴上的定点轴上的定点M(0,1).M(0,1).方法二：取方法二：取x x0 0=2,=2,此时此时P(2,1),Q(0,-1),P(2,1),Q(0,-1),以以PQPQ为直径的圆为为直径的圆为(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=2,=2,交交y y轴于点轴于点M M1 1(0(0，1)1)或或M M2 2(0(0，-1)-1)；取取x x0 0=1,=1,此时此时P(1,),Q(-,-1),P(1,),Q(-,-1),以以PQPQ为直径的圆为为直径的圆为(x+)(x+)2 2+(y+)+(y+)2 2=交交y y轴于轴于M M3 3(0,1)(0,1)或或M M4 4(0,-).(0,-).故若满足条件的故若满足条件的M M存在，是存在，是M(0M(0，1).1).以下证明点以下证明点M(0M(0，1)1)就是所要求的点，就是所要求的点，因为因为 -2y-2y0 0+2=2y+2=2y0 0-2-2y-2-2y0 0+2=0,+2=0,故以故以PQPQ为直径的圆恒过为直径的圆恒过y y轴上的定点轴上的定点M(0M(0，1).1).【拓展提升拓展提升】圆锥曲线中定点问题的两种解法圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关再证明该定点与变量无关.【变式训练变式训练】(2013(2013天津模拟天津模拟)在平面直角坐标系中，已知向在平面直角坐标系中，已知向量量a=(=(x,yx,y)，b=(x,ky-4)(kR),=(x,ky-4)(kR),ab,动点动点P(x,yP(x,y)的轨迹为的轨迹为T.T.(1)(1)求轨迹求轨迹T T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状的方程，并说明该方程表示的曲线的形状.(2)(2)当当k=0k=0时，过点时，过点F(0F(0，1)1)，作轨迹，作轨迹T T的两条互相垂直的弦的两条互相垂直的弦ABAB，CDCD，设，设ABAB，CDCD的中点分别为的中点分别为M M，N N，试判断直线，试判断直线MNMN是否过定点？是否过定点？并说明理由并说明理由.【解析解析】(1)(1)ab,ab=(x,y)=(x,y)(x,ky-4)=0,(x,ky-4)=0,得得x x2 2+ky+ky2 2-4y=0.-4y=0.当当k=0k=0时，方程为时，方程为x x2 2=4y=4y表示抛物线；表示抛物线；当当k=1k=1时，方程表示以时，方程表示以(0(0，2)2)为圆心，为圆心，2 2为半径的圆；为半径的圆；当当k0k0且且k1k1时，方程表示椭圆；时，方程表示椭圆；当当k0kb0)=1(ab0)的的左焦点左焦点F F1 1(-1(-1，0)0)，长轴长与短轴长的比是，长轴长与短轴长的比是22(1)(1)求椭圆的方程求椭圆的方程.(2)(2)过过F F1 1作两直线作两直线m m，n n交椭圆于交椭圆于A A，B B，C C，D D四点，若四点，若mnmn,求证：求证：为定值为定值.【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据左焦点坐标，长轴长与短轴长的比以及根据左焦点坐标，长轴长与短轴长的比以及椭圆的性质，列方程组求出椭圆的性质，列方程组求出a,ba,b可得结果可得结果.(2)(2)设出直线设出直线m m的方程，联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式，的方程，联立直线与椭圆的方程，利用弦长公式，求出求出AB|AB|，根据，根据m m与与n n的关系，得到的关系，得到CDCD，代入化简求解，代入化简求解.注注意直线意直线m m的斜率要分类讨论的斜率要分类讨论.【规范解答规范解答】(1)(1)由已知得由已知得解得解得a=2,b=a=2,b=故所求椭圆方程为故所求椭圆方程为(2)(2)当直线当直线m m斜率存在时，斜率存在时，设直线设直线m m的方程为：的方程为：y=k(x+1)(k0).y=k(x+1)(k0).由于由于00，设，设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则有则有同理同理CD|=CD|=所以所以当直线当直线m m斜率不存在时，斜率不存在时，此时此时ABAB3 3，CDCD4 4，【拓展提升拓展提升】圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法(1)(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.(2)(2)两大解法：两大解法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关量无关.引进变量法：其解题流程为引进变量法：其解题流程为【变式训练变式训练】(2013(2013岳阳模拟岳阳模拟)已知椭圆已知椭圆C C：=1=1(ab0)(ab0)的右焦点为的右焦点为F(1F(1，0)0)，且点，且点(-1(-1，)在椭圆在椭圆C C上上.(1)(1)求椭圆求椭圆C C的标准方程的标准方程.(2)(2)已知点已知点Q(Q(，0)0)，动直线，动直线l过点过点F F，且直线，且直线l与椭圆与椭圆C C交于交于A A，B B两点，证明：两点，证明：为定值为定值.【解析解析】(1)(1)由题意知：由题意知：c=1.c=1.根据椭圆的定义得：根据椭圆的定义得：2a=2a=即即a=a=所以所以b b2 2=2-1=1=2-1=1，所以椭圆所以椭圆C C的标准方程为的标准方程为 +y+y2 2=1.=1.(2)(2)当直线当直线l的斜率为的斜率为0 0时，时，A(A(，0)0)，B(-B(-，0)0)，则则当直线当直线l的斜率不为的斜率不为0 0时，设直线时，设直线l的方程为：的方程为：x=ty+1,A(xx=ty+1,A(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2).).因为因为x x1 1=ty=ty1 1+1,x+1,x2 2=ty=ty2 2+1,+1,所以所以=(ty=(ty1 1-)(ty-)(ty2 2-)+y-)+y1 1y y2 2=(t=(t2 2+1)y+1)y1 1y y2 2-t(y-t(y1 1+y+y2 2)+)+考向考向 3 3 圆锥曲线中的最值与取值范围问题圆锥曲线中的最值与取值范围问题 【典例典例3 3】(1)(2013(1)(2013湘潭模拟湘潭模拟)椭圆椭圆b b2 2x x2 2+a+a2 2y y2 2=a=a2 2b b2 2(ab0)(ab0)和和圆圆x x2 2+y+y2 2=(+c)=(+c)2 2有四个交点，其中有四个交点，其中c c为椭圆的半焦距，则椭圆为椭圆的半焦距，则椭圆离心率离心率e e的范围为的范围为()()(2)(2012(2)(2012山东高考山东高考)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，中，F F是抛物线是抛物线C:xC:x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点，的焦点，M M是抛物线是抛物线C C上位于第一象限内的任上位于第一象限内的任意一点，过意一点，过M M，F F，O O三点的圆的圆心为三点的圆的圆心为Q Q，点，点Q Q到抛物线到抛物线C C的准的准线的距离为线的距离为求抛物线求抛物线C C的方程；的方程；是否存在点是否存在点M M，使得直线，使得直线MQMQ与抛物线与抛物线C C相切于点相切于点M M？若存在，？若存在，求出点求出点M M的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理由;若点若点M M的横坐标为的横坐标为 ，直线，直线l：y=y=kxkx+与抛物线与抛物线C C有两个不有两个不同的交点同的交点A A，B B，l与圆与圆Q Q有两个不同的交点有两个不同的交点D D，E E，求当，求当 kk22时，时，AB|AB|2 2+|DE|+|DE|2 2的最小值的最小值.【思路点拨思路点拨】(1)(1)利用椭圆的两个顶点利用椭圆的两个顶点(a,0)(a,0)与与(0,b)(0,b)一个在一个在圆外，一个在圆内构建不等式组求解圆外，一个在圆内构建不等式组求解.(2)(2)利用抛物线定义及三角形的外接圆圆心在三边的垂直利用抛物线定义及三角形的外接圆圆心在三边的垂直平分线上构建平分线上构建p p的方程求解；的方程求解；利用斜率与导数相等求解；利用斜率与导数相等求解；分别利用弦长公式求出分别利用弦长公式求出|AB|AB|2 2与与DEDE2 2，再利用导数求，再利用导数求ABAB2 2+DEDE2 2的最小值的最小值.【规范解答规范解答】(1)(1)选选A.A.此题的本质是椭圆的两个顶点此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)(a,0)与与(0(0，b)b)一个在圆外、一个在圆内，即一个在圆外、一个在圆内，即(2)(2)由由F F是抛物线是抛物线C C：x x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点，的焦点，点点F F的坐标为的坐标为(0(0，),),抛物线的准线为抛物线的准线为y=-,y=-,过过M M，F F，O O三点的圆的圆心为三点的圆的圆心为Q Q，则圆心则圆心Q Q在线段在线段OFOF的垂直平分线的垂直平分线y=y=上上,所以所以 所以所以p p1.1.所以抛物线所以抛物线C C的方程为的方程为x x2 2=2y.=2y.假设存在这样的点假设存在这样的点M M，设点，设点M M的坐标为的坐标为(x(x0 0,y,y0 0)(x)(x0 00,y0,y0 00),0),焦点焦点F F的坐标为的坐标为(0(0，)，所以线段所以线段MOMO的中点坐标为的中点坐标为(),(),圆心圆心Q Q在在MOMO的垂直平分线上，因为的垂直平分线上，因为k kMOMO=所以所以MOMO的垂直平分线方程为的垂直平分线方程为圆心圆心Q Q在线段在线段OFOF的垂直平分线的垂直平分线y=y=上，解得点上，解得点Q Q坐标为坐标为直线直线MQMQ与抛物线与抛物线C C相切于点相切于点M M，抛物线抛物线y=y=的导数为的导数为y=x,y=x,过点过点M M的切线斜率为的切线斜率为整理得整理得2y -y2y -y0 0-1=0,-1=0,解得解得:y:y0 0=1=1或或y y0 0=-(=-(舍去舍去)，所以所以x x0 0=,=,所以点所以点M M的坐标为的坐标为(,1).(,1).点点M M的横坐标为的横坐标为 ,由由知圆心知圆心Q(),Q(),半径半径圆心圆心Q()Q()到直线到直线l:y:y=kxkx+的距离为：的距离为：设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),|AB|AB|2 2=(1+k=(1+k2 2)(x)(x1 1+x+x2 2)2 2-4x-4x1 1x x2 2(1+k(1+k2 2)(4k)(4k2 2+2),+2),于是，于是，ABAB2 2+DEDE2 2(1+k(1+k2 2)(4k)(4k2 2+2)+2)+令令1+k1+k2 2=t =t ，55，ABAB2 2+DEDE2 2(1+k(1+k2 2)(4k)(4k2 2+2)+2)+=t(4t-2)+=t(4t-2)+=4t=4t2 2-2t+-2t+设设g(tg(t)=4t)=4t2 2-2t+-2t+g(tg(t)=8t-2-)=8t-2-当当tt ,5,5时，时，g(tg(t)=8t-2-0)=8t-2-0恒成立恒成立,所以当所以当t=,t=,即即k=k=时，时，g(t)g(t)minmin=故当故当k=k=时，时，(|AB|(|AB|2 2+DEDE2 2)minmin=【互动探究互动探究】本例本例(2)(2)中条件不变，求中条件不变，求ABAB2 2+DEDE2 2的取的取值范围值范围.【解析解析】在例在例(2)(2)中已解出中已解出ABAB2 2+|DE|+|DE|2 2的最小值为的最小值为由例由例(2)(2)解题过程可知，设解题过程可知，设1+k1+k2 2=t ,5=t ,5，g(tg(t)=|AB|)=|AB|2 2+|DE|+|DE|2 2=4t=4t2 2-2t+-2t+g(tg(t)=8t-2-)=8t-2-当当t t ，55时，时，g(tg(t)=8t-2-0)=8t-2-0恒成立恒成立,当当t=5t=5，即，即k=2k=2时，时，g(t)g(t)maxmax=4=45 52 2-2-25+5+综上可得综上可得AB|AB|2 2+|DE|+|DE|2 2的取值范围为的取值范围为 .【拓展提升拓展提升】1.1.解决圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法解决圆锥曲线中的取值范围问题的五种常用解法(1)(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围定参数的取值范围.(2)(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间等量关系心是建立两个参数之间等量关系.(3)(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围围.(4)(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围围.(5)(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围求其值域，从而确定参数的取值范围.2.2.圆锥曲线中常见最值问题及解题方法圆锥曲线中常见最值问题及解题方法(1)(1)两类最值问题：两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题素存在最值时确定与之有关的一些问题.(2)(2)两种常见解法：两种常见解法：几何法几何法,若题目的条件和结论能明显体现若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法代数法,若若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解方法及导数法求解.【提醒提醒】求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论求最值问题时，一定要注意对特殊情况的讨论.如直如直线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等线斜率不存在的情况，二次三项式最高次项的系数的讨论等.【变式备选变式备选】(1)(1)已知双曲线已知双曲线 =1(a0,b0)=1(a0,b0)的左，的左，右焦点分别为右焦点分别为F F1 1，F F2 2，点，点P P在双曲线的右支上，且在双曲线的右支上，且PFPF1 14 4PFPF2 2，则此双曲线的离心率，则此双曲线的离心率e e的取值范围是的取值范围是_._.【解析解析】由题意结合双曲线的定义得由题意结合双曲线的定义得PFPF1 1|-|PF|-|PF2 2|=2a,|=2a,设设PFPF2 2r,r,则则PFPF1 14r4r，故故3r3r2a2a，即，即r r ,|PF,|PF2 2|=.|=.根据双曲线的几何性质，根据双曲线的几何性质，PFPF2 2|c-a|c-a，即，即 c-a,c-a,即即 ,即即e .e .又又e1,e1,故双曲线的离心率故双曲线的离心率e e的取值范围是的取值范围是(1(1，.答案：答案：(1,(1,(2)(2013(2)(2013重庆模拟重庆模拟)如图，已知半椭圆如图，已知半椭圆C C1 1:+y:+y2 2=1(a1,=1(a1,x0)x0)的离心率为的离心率为 ，曲线，曲线C C2 2是以半椭圆是以半椭圆C C1 1的短轴为直径的的短轴为直径的圆在圆在y y轴右侧的部分，点轴右侧的部分，点P(xP(x0 0,y,y0 0)是曲线是曲线C C2 2上的任意一点，过上的任意一点，过点点P P且与曲线且与曲线C C2 2相切的直线相切的直线l与半椭圆与半椭圆C C1 1交于两个不同点交于两个不同点A A，B.B.求求a a的值及直线的值及直线l的方程的方程(用用x x0 0,y,y0 0表示表示)；OABOAB的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由存在，说明理由.【解析解析】由题意知由题意知b=1,e=b=1,e=所以所以a a2 2=4,a=2.=4,a=2.故半椭圆故半椭圆C C1 1的方程为的方程为 +y+y2 2=1(x0),=1(x0),曲线曲线C C2 2的方程为的方程为x x2 2+y+y2 2=1(x0).=1(x0).如果如果x x0 000且且y y0 00,0,则直线则直线OPOP的斜率为的斜率为从而过点从而过点P P的圆的切线的圆的切线l的斜率为的斜率为因此，所求直线因此，所求直线l的方程为的方程为y-yy-y0 0=-(x-x=-(x-x0 0),),化简，得化简，得x x0 0 x+yx+y0 0y=x +y ,y=x +y ,而而x +y =1,x +y =1,所以，直线所以，直线l的方程为的方程为x x0 0 x+yx+y0 0y=1.y=1.如果如果x x0 0=0=0或或y y0 0=0=0，当当x x0 0=0=0时，直线时，直线l与半椭圆只有一个交点，不满足题意与半椭圆只有一个交点，不满足题意.当当y y0 0=0=0时，可以验证切线的方程也可以表示为时，可以验证切线的方程也可以表示为x x0 0 x+yx+y0 0y=1.y=1.所以，所求直线所以，所求直线l的方程为的方程为x x0 0 x+yx+y0 0y=1(xy=1(x0 00).0).()()当当y y0 000时，时，因为点因为点P(xP(x0 0,y,y0 0)在在C C2 2:x:x2 2+y+y2 2=1(x0)=1(x0)上，上，所以所以所以所以(*)(*)式即为式即为(3x +1)x(3x +1)x2 2-8x-8x0 0 x+4x =0.x+4x =0.设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)，因为原点因为原点O O到直线到直线l的距离等于的距离等于1,x1,x0 00,0,所以所以OABOAB的面积的面积当且仅当当且仅当3x3x0 0=,=,即即x x0 0=(x=(x0 0=-=-舍去舍去)时，时，OABOAB的面积的面积存在最大值，且最大面积等于存在最大值，且最大面积等于1.1.(ii)(ii)当当y y0 0=0=0时，直线时，直线lxx轴，轴，ABAB ，此时，此时OABOAB的面的面积积综上，综上，OABOAB的面积存在最大值，且最大面积等于的面积存在最大值，且最大面积等于1.1.【满分指导满分指导】解答圆锥曲线的综合问题解答圆锥曲线的综合问题 【典例典例】(12(12分分)(2012)(2012江苏高考江苏高考)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOyxOy中，中，椭圆椭圆 =1(ab0)=1(ab0)的左、右焦点分别为的左、右焦点分别为F F1 1(-c,0),F(-c,0),F2 2(c,(c,0).0).已知已知(1(1，e)e)和和(e,)(e,)都在椭圆上，其中都在椭圆上，其中e e为椭圆的离心率为椭圆的离心率.(1)(1)求椭圆的方程求椭圆的方程.(2)(2)设设A A，B B是椭圆上位于是椭圆上位于x x轴上方的两点，且直线轴上方的两点，且直线AFAF1 1与直线与直线BFBF2 2平行，平行，AFAF2 2与与BFBF1 1交于点交于点P.P.若若|AF|AF1 1|-|BF|-|BF2 2|，求直线，求直线AFAF1 1的斜率；的斜率；求证：求证：|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|是定值是定值.【思路点拨思路点拨】已知条件已知条件条件分析条件分析(1(1，e)e)和和(e,)(e,)都在椭圆上都在椭圆上代入代入 =1=1并结合并结合a a2 2=b=b2 2+c+c2 2,e=,e=求出求出a a2 2,b,b2 2AFAF1 1BFBF2 2，|AF|AF1 1|-|BF|-|BF2 2|设出直线设出直线AFAF1 1，BFBF2 2的方程，求出的方程，求出A A，B B两点纵坐标，并将两点纵坐标，并将|AF|AF1 1|，|BF|BF2 2|表示表示出出来来,构建方程求解构建方程求解AFAF1 1BFBF2 2,AF,AF2 2与与BFBF1 1交于点交于点P P得得从而将从而将|PF|PF1 1|，|PF|PF2 2|分别用分别用|AF|AF1 1|，|BF|BF2 2|表示，再将表示，再将|AF|AF1 1|，|BF|BF2 2|用变量表示用变量表示 【规范解答规范解答】(1)(1)由题设知，由题设知，=1=1 b b2 2+c+c2 2=a=a2 2b b2 2 a a2 2=a=a2 2b b2 2 b b2 2=1,=1,cc2 2=a=a2 2-1.-1.2 2分分 椭圆的方程为椭圆的方程为 +y+y2 2=1.=1.4 4分分(2)(2)由由(1)(1)得得F F1 1(-1,0),F(-1,0),F2 2(1,0),(1,0),又又AFAF1 1BFBF2 2，设设AFAF1 1，BFBF2 2的方程分别为的方程分别为my=x+1,my=x-1,my=x+1,my=x-1,A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),y),y1 10,y0,y2 20.0.|AF|AF1 1|=|=6 6分分|AF|AF1 1|-|BF|-|BF2 2|解解 得得m m2 2=2.=2.7 7分分AFAF1 1BFBF2 2,由点由点B B在椭圆上知，在椭圆上知，|BF|BF1 1|+|BF|+|BF2 2|2 2 ，9 9分分同理同理.|PF.|PF2 2|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|.1010分分|AF|AF1 1|+|BF|+|BF2 2|=|=|AF|AF1 1|BF|BF2 2|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|=|=|PF|PF1 1|+|PF|+|PF2 2|是定值是定值.1212分分【失分警示失分警示】(下文下文见规范解答过程见规范解答过程)1.(20131.(2013长沙模拟长沙模拟)过点过点P(-3P(-3，0)0)的直线的直线l与双曲线与双曲线=1=1交于点交于点A A，B B，设直线，设直线l的斜率为的斜率为k k1 1(k(k1 10),0),弦弦ABAB的中点为的中点为M,M,OMOM的斜率为的斜率为k k2 2(O(O为坐标原点为坐标原点)，则，则k k1 1kk2 2=()=()【解析解析】选选A.A.从特殊值入手，取从特殊值入手，取k k1 1=1,=1,则直线则直线l的方程为的方程为y=x+3,y=x+3,与与 =1=1联立消去联立消去y y得：得：7x7x2 2+96x+288=0,+96x+288=0,设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),x),x1 1+x+x2 2=又又y y1 1=x=x1 1+3,y+3,y2 2=x=x2 2+3,y+3,y1 1+y+y2 2=(x=(x1 1+x+x2 2)+6)+62.(20132.(2013郴州模拟郴州模拟)过点过点M(1M(1，0)0)作直线与抛物线作直线与抛物线y y2 2=4x=4x交于交于A,BA,B两点，则两点，则 =_.=_.【解析解析】当直线的斜率存在时，设直线方程为当直线的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-1),y=k(x-1),代入代入y y2 2=4x,=4x,得得k k2 2x x2 2-(2k-(2k2 2+4)x+k+4)x+k2 2=0,=0,设设A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),则则x x1 1+x+x2 2=,x=,x1 1x x2 2=1,=1,当直线的斜率不存在时，当直线的斜率不存在时，|AM|=|BM|=2,|AM|=|BM|=2,则则答案：答案：1 13.(20133.(2013西安模拟西安模拟)设设F F是椭圆是椭圆 =1=1的右焦点，且椭圆的右焦点，且椭圆上至少有上至少有2121个不同的点个不同的点P Pi i(i(i=1,2,3,)=1,2,3,)，使，使FPFP1 1,FPFP2 2，FPFP3 3，组成公差为组成公差为d d的等差数列，则的等差数列，则d d的取值范围为的取值范围为_._.【解析解析】若公差若公差d0d0，则，则FPFP1 1最小，最小，FPFP1 1 -1-1；数列中的最大项为数列中的最大项为 +1+1，并设为第，并设为第n n项，项，则则 +1+1 -1+(n-1)d-1+(n-1)d n=+121n=+121 d ,d ,注意到注意到d0,d0,得得0d ;0d ;若若d0d0，易得，易得-d0.-db0)=1(ab0)的离心的离心率为率为 ，其左焦点到点，其左焦点到点P(2P(2，1)1)的距离为的距离为 ，不过原点，不过原点O O的直线的直线l与与C C相交于相交于A,BA,B两点，且线段两点，且线段ABAB被直线被直线OPOP平分平分.(1)(1)求椭圆求椭圆C C的方程的方程.(2)(2)求求APBAPB面积取最大值时面积取最大值时直线直线l的方程的方程.【解析解析】(1)(1)左焦点左焦点(-c,0)(-c,0)到点到点P(2,1)P(2,1)的距离为的距离为解得解得c=1,c=1,又离心率为又离心率为 ，可得，可得a a2 2=4,=4,所以所以b b2 2=3,=3,所以椭圆所以椭圆C C的方程为的方程为(2)(2)由题意可知，直线由题意可知，直线l不垂直于不垂直于x x轴，轴，故可设直线故可设直线l:y:y=kx+m(m0),=kx+m(m0),交点交点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),消去消去y y并整理得并整理得(4k(4k2 2+3)x+3)x2 2+8kmx+4m+8kmx+4m2 2-12=0.-12=0.ABAB的中点为的中点为而直线而直线OP:yOP:y=x,=x,可得可得解得解得k=-,k=-,即直线即直线l:y:y=-=-x+mx+m,而点而点P(2P(2，1)1)到直线到直线l：y=-y=-x+mx+m的距离为的距离为d=d=APBAPB面积为面积为 ABABd d 8-2m|8-2m|其中其中m(-2 ,0)(0,2 )m(-2 ,0)(0,2 )令令f(mf(m)=(12-m)=(12-m2 2)(4-m)(4-m)2 2,m(-2 ,0)(0,2 ),m(-2 ,0)(0,2 ),则则f(mf(m)4(m4(m2 2-2m-6)(4-m)-2m-6)(4-m)=4(m-1-)(m-1+)(4-m)=4(m-1-)(m-1+)(4-m)所以当且仅当所以当且仅当m=1-m=1-时，时，f(mf(m)取得最大值，即取得最大值，即S S取得最大值取得最大值.此时直线此时直线l:3x+2y+2 -2=0.:3x+2y+2 -2=0.1.1.如图，在平面直角坐标系如图，在平面直角坐标系xOyxOy中，中，设点设点F(0F(0，p)(pp)(p0),0),直线直线l:y:y=-p,=-p,点点P P在直线在直线l上移动，上移动，R R是线段是线段PFPF与与x x轴的交点，过轴的交点，过R R，P P分别作直线分别作直线l1 1，l2 2，使，使l1 1PF,PF,l2 2l,l1 1l2 2=Q.=Q.(1)(1)求动点求动点Q Q的轨迹的轨迹C C的方程的方程.(2)(2)在直线在直线l上任取一点上任取一点M M作曲线作曲线C C的两条切线，设切点为的两条切线，设切点为A A，B B，求证：直线求证：直线ABAB恒过一定点恒过一定点.【解析解析】(1)(1)依题意知，点依题意知，点R R是线段是线段PFPF的中点，的中点，且且RQPFRQPF，RQRQ是线段是线段PFPF的垂直平分线的垂直平分线.PQPQQFQF.故动点故动点Q Q的轨迹的轨迹C C是以是以F F为焦点，为焦点，l为准线的抛物线，为准线的抛物线，其方程为：其方程为：x x2 2=4py(p0).=4py(p0).(2)(2)设设M(m,-pM(m,-p),),两切点为两切点为A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)，由由x x2 2=4py=4py得得y=,y=,求导得求导得y=y=两条切线方程分别为两条切线方程分别为y-yy-y1 1=x=x1 1(x-x(x-x1 1)y-yy-y2 2=x=x2 2(x-x(x-x2 2)对于方程对于方程，代入点，代入点M(m,-pM(m,-p)得得,-p-y-p-y1 1=x=x1 1(m-x(m-x1 1),),又又y y1 1=-p-(m-x-p-(m-x1 1)整理得：整理得：x -2mxx -2mx1 1-4p-4p2 2=0.=0.同理对方程同理对方程有有x -2mxx -2mx2 2-4p-4p2 2=0.=0.即即x x1 1,x,x2 2为方程为方程x x2 2-2mx-4p-2mx-4p2 2=0=0的两根的两根.xx1 1+x+x2 2=2m,x=2m,x1 1x x2 2=-4p=-4p2 2 设直线设直线ABAB的斜率为的斜率为k,k,所以直线所以直线ABAB的方程为的方程为y-(xy-(x1 1+x+x2 2)(x-x)(x-x1 1),),展开得：展开得：y=(xy=(x1 1+x+x2 2)x-)x-代入代入得得:y=:y=直线恒过定点直线恒过定点(0,p).(0,p).2.2.已知点已知点A(0,1)A(0,1)，B(0B(0，-1)-1)，P P为一个动点，且直线为一个动点，且直线PAPA，PBPB的的斜率之积为斜率之积为(1)(1)求动点求动点P P的轨迹的轨迹C C的方程的方程.(2)(2)设设Q(2Q(2，0)0)，过点，过点(-1(-1，0)0)的直线的直线l交交C C于于M M，N N两点，两点，QMNQMN的的面积记为面积记为S,S,若对满足条件的任意直线若对满足条件的任意直线l,不等式不等式StanMQNStanMQN恒恒成立，求成立，求的最小值的最小值.【解析解析】(1)(1)设动点设动点P P的坐标为的坐标为(x,yx,y),),则直线则直线PAPA，PBPB的斜率分的斜率分别是别是由条件得由条件得所以动点所以动点P P的轨迹的轨迹C C的方程为的方程为 +y+y2 2=1(x0).=1(x0).(2)(2)设点设点M M，N N的坐标分别是的坐标分别是(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2).).当直线当直线l垂直于垂直于x x轴时，轴时，x x1 1=x=x2 2=-1,y=-1,y2 2=-y=-y1 1,所以所以 =(x=(x1 1-2,y-2,y1 1)=(-3,y)=(-3,y1 1),),=(x =(x2 2-2,y-2,y2 2)=(-3,-y)=(-3,-y1 1),),所以所以当直线当直线l不垂直于不垂直于x x轴时，设直线轴时，设直线l的方程为的方程为y=k(x+1).y=k(x+1).所以所以x x1 1+x+x2 2=,x=,x1 1x x2 2=所以所以 =(x=(x1 1-2)(x-2)(x2 2-2)+y-2)+y1 1y y2 2=x=x1 1x x2 2-2(x-2(x1 1+x+x2 2)+4+y)+4+y1 1y y2 2.因为因为y y1 1=k(x=k(x1 1+1),y+1),y2 2=k(x=k(x2 2+1).+1).所以所以 =(k=(k2 2+1)x+1)x1 1x x2 2+(k+(k2 2-2)(x-2)(x1 1+x+x2 2)+k)+k2 2+4=+4=综上所述综上所述 的最大值是的最大值是StanMQNStanMQN恒成立恒成立,即即由于由于所以所以0 0cosMQN1.cosMQN1.即使即使 cosMQNcosMQN恒成立恒成立.所以所以的最小值为的最小值为