数列的极限性质及运算.ppt
LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED 有许多实际问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来有许多实际问题的精确解，仅仅通过有限次的算术运算是求不出来的，而必须通过考察一个无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生的，而必须通过考察一个无限变化过程的变化趋势才能求得，由此产生了极限的理论和方法。了极限的理论和方法。例如，设有一圆，首先作内接正例如，设有一圆，首先作内接正6边形，把它的面积记为边形，把它的面积记为A1；再作内接正再作内接正12边形，其面积记为边形，其面积记为A2；在做正；在做正24边形，把它的面积记为边形，把它的面积记为A3；循环下去循环下去，每次边数加倍，一般地把内接正，每次边数加倍，一般地把内接正62n-1边形的面积记为边形的面积记为An（n=1,2,3,.）这样就得到一系列内接正多边形的面积：这样就得到一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3，An，它们构成一列有次序的数。它们构成一列有次序的数。N越大，内接正多边形与圆的差别就越小越大，内接正多边形与圆的差别就越小,从而以从而以An作为圆的面积的作为圆的面积的近似值也越精确。但无论近似值也越精确。但无论n取多么大，取多么大，An终究只是多边形的面积，而终究只是多边形的面积，而不是圆的面积。设想不是圆的面积。设想n无限增大，即内切正多边形的边数无限增加，在无限增大，即内切正多边形的边数无限增加，在这个过程中，从图形上看，内接正多边形将无限接近于圆；因此从数这个过程中，从图形上看，内接正多边形将无限接近于圆；因此从数值上看，内接正多边形的面积值上看，内接正多边形的面积An将将无限接近于一个确定的值，这个将将无限接近于一个确定的值，这个数值就是所要求的圆的面积。数值就是所要求的圆的面积。在数学上，将这个确定的数值称为上面这列有次序的数（称作数列）在数学上，将这个确定的数值称为上面这列有次序的数（称作数列）A1，A2，A3，An，的极限。可以看到，正是这个数列的极限精确地的极限。可以看到，正是这个数列的极限精确地表达了圆的面积。表达了圆的面积。LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED 设xn=f(n)是一个以自然数集为定义域的函数,将其函数值按自变量大小顺序排成一列，x1,x2,xn,称为一个数列数列.xn称为数列的第n项，也称为通项,数列也可表示为xn或xn=f(xn)第一节数列的极限第一节数列的极限一、数列的极限一、数列的极限LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED例例.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED1x 看数列1.从直观上看,这个数列当n越来越大时,对应的项xn会越来越接近于1,或者说“当n趋向于无穷大时,数列xn趋近于1.如何用精确的,量化的数学语言来刻划这一事实?2x1x2x3x4xnLISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED 注意到,实数a,b的接近程度由|ab|确定.|ab|越小,则a,b越接近.因此,要说明“当n越来越大时,xn越来越接近于1”就只须说明“当n越来越大时,|xn1|会越来越接近于0”.而要说明“|xn1|越来越接近于0”则只须说明“当n充分大时,|xn1|能够小于任意给定的,无论多么小的正数”就行了,也就是说无论你给一个多么小的正数,当n充分大时,|xn1|比还小,由于是任意的,从而就说明了|xn1|会越来越接近于0.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED事实上,给,很小,只须n1000 即可,数列中,从第1001项开始,以后各项都有要也即在这个LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED又给,则从第10001项开始,以后各项都有LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED一般,任给 0,不论多么小,只须.因此,从第项开始,以后各项都有.因是任意的,这就说明了当n越来越大时,xn会越来越接近于1.要使LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED定义定义:设xn是一个数列,a是一个常数,若 0,正整数N,使得当nN时,都有|xna|100,即从第101项其，以后的一切项均能满足这个要求；如果要|xn0|1000，即从第1001项起，以后的一切项均能满足这个要求；一般地，如果要|xn0|10k，即从第10k+1项起，以后的一切项均能满足这个要求。这就是“当n无限增大时，无限接近于常数0”的含义。LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED 比如,对于刚才的数列1.有若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|0.由于|xn1|=|c c|=0取N=1,当nN时,有|xnc|=0 故即常数的极限就是常数本身.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED例例2 2.已知已知证明数列的极限为1.证证:欲使即只要因此,取则当时,就有故机动 目录 上页 下页 返回 结束 LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED例例3 3.已知已知证明证证:欲使只要即取则当时,就有故故也可取也可由N 与 有关,但不唯一.不一定取最小的 N.说明说明:取机动 目录 上页 下页 返回 结束 LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITEDbaxb+证证:反设xn收敛,但极限不唯一,设bN1时,N2,当nN2时,取N=maxN1,N2,则当nN时,上两式同时成立.从而当 nN时,有矛盾,故极限唯一.若 0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|0,使得|xn|M,n=1,2,.则称数列xn有界,否则,称xn无界.由于|xn|MMxnM xnM,M.故,所谓xn有界,就是xn要全部落在某个对称区间M,M内.看图0MxxnM)(LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED例例1.1.xn=(1)n有界,而xn=n2无界.x11x0 194x1x2x30 x2nx2n-1LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED设xna(n),则对n=1,2,有|xn|M证证:由定义,对=1,存在自然数N,当nN时,有|xna|1,故|xn|xna|+|a|0,正整数N,使得当nN 时,都有|xna|0(aN时,有xn0(xnN时,则 有 xn0(xn0).且a0(a0).LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED夹逼准则夹逼准则.xn yn zn证证:0,N1,当n N1时,有|xn a|.(1)即 a xn N 时,有LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITEDN2,当n N2时,有 a zn N*时,(1),(2),(3)同时成立.有a xn yn zn a+即|yn a|b0时,有移项,有即LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED(1)取有即LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED(2)取有即LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED由于单调有界,从而必有极限.(e=2.71828,为一无理数)LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED定义定义1.1.或,0,N 0,当 n N 时,有|xn|0,N 0,当 n N 时,有|xna|.即|n|0,N 0,当 n N 时,有|n|.即|xna|N 时),LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED性质性质4.4.若若 xn 是无穷小量是无穷小量,yn a(0),则则1.两个无穷小量的商不一定是无穷小量.2.性质1,2中的条件有限多个不能丢.如n个注注:LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED例例1.1.解解:例例2.2.解解:故 原式=0.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITEDLISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED看数列 xn=n2,即，1,22,32,n2,.x322210当 n 越来越大时,数列 xn 的值也越来越大,要多么大就有多么大,可以大于预先给定的任意大的数G.称为无穷大数列(无穷大量).二、无穷大量二、无穷大量LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED定义定义2.2.若若 G 0(无论多么大无论多么大),N 0,当当 n N时时,有有|xn|G,则称则称 xn 为无穷大量为无穷大量,记作记作(1)(2)任何常数列(常量)都不是无穷大量.注注:LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITEDxxN+2Gx10 xNGxN+1即,当n N 时,xn 都落在区间 G,G外面.在 G,G内,只有 xn 的有限多个项.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED例例3.3.设|q|1.证证:G 0,(要证N 0,当 n N 时,有|qn|G)要使|qn|=|q|n G.只须则当 n N 时,有|qn|G 故LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED例例4.4.数列 xn=(1+(1)n)n 是否为无穷大量?解解:数列 xn 为0,22,0,24,0,26,.如图x2624x2k+122因不论 n 多么大,总有|xn|=|x2k+1|=0 G.所以 xn 不是无穷大量.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED定义定义3.3.从几何上看,xn.xx1x20G xn xxnx30G x1 x2xn+.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED证证:设 xn 为无穷大量,要证 为无穷小量.0,因 xn 为无穷大量.从而定理定理2.2.若 xn 是为无穷大量,则 为无穷小量.若 xn 是为无穷小量(xn 0),则 为无穷大量.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED(1)两个无穷大量的和,差,两个无穷大量的商都不一定是无穷大量.比如,当n+时,n2,n2,但 n2+(n2)=0,都不是无穷大量.但,+(+)=+,+()=.注注:LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED(2)有界量乘无穷大量不一定是无穷大量.无穷小量乘无穷大量不一定是无穷大量(无穷小量)特别,比如,当xn=n2,yn=0,则 xnyn=0 不是无穷大量.(3)若数列 xn,则 xn 无界,但反之不对.如,当xn=(2+(1)n)n.无界,但不是无穷大量.(4)=,(有界量)=.无穷大量无穷小量LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED定理定理3.3.设数列 xn和 yn 的极限都存在.且则(1)(2)(3)设 C 为常数，有(4)当 b0 时，有三、数列极限的运算法则三、数列极限的运算法则LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED证：证：只证(1).因由极限与无穷小关系，有，xn=a+n,yn=b+n，其中n,n0(n+).从而 xn yn=(a b)+(n n)由无穷小量性质知n n0(n+)再由极限与无穷小的关系定理，知LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED定理定理4.4.若证：证：由于注意到不等式|A|B|A B|从而|xn|a|xn a|故LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED反之不对反之不对.比如,设 xn=(1)n.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED例例5.5.求解解:一般,称形为 f(x)=a0 xk+a1xk1+ak1x+ak 为 x 的一个 k 次多项式.其中k为非负整数，ai为常数,a00.两个多项式的商称为有理式(有理函数).对这种以n为自变量的有理函数的极限问题(n时),可将分子，分母同除以分母的最高次幂n2.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED由于分母的极限等于5(0),分子的极限等于3，=0，=.故LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED一般，若 a0,b0 都非0，则，0，k LLISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED例例6.6.求解：解：有理化有理化.=50.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED例例7.7.求求解：解：注意到求和公式=2.LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED例例8.8.求解：解：注意到从而所以，原式=LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED例例9.9.求解：解：注意到从而，故 LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED内容小结内容小结1.数列极限的“N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准则:夹逼准则;单调有界准则;机动 目录 上页 下页 返回 结束 LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED(1)无穷小量是指该数列以0为极限,任何一个量若其极限不为0,则不是无穷小量.所以,除0外的任何常量(常数列)都不是无穷小量.(3)常数列 xn=0 是无穷小量.无穷小量定义与性质：LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED(2)有界量乘无穷大量不一定是无穷大量.无穷小量乘无穷大量不一定是无穷大量(无穷小量)特别,(3)若数列 xn,则 xn 无界,但反之不对.(4)=,(有界量)=.(1)两个无穷大量的和,差,两个无穷大量的商都不一定是无穷大量.无穷大量的定义与性质：LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED极限与无穷小的关系定理：若 xn 是为无穷大量,则 为无穷小量.若 xn 是为无穷小量(xn 0),则 为无穷大量.无穷小量与无穷小量的关系：LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED设数列 xn和 yn 的极限都存在.且则(1)(2)(3)设 C 为常数，有(4)当 b0 时，有数列极限的运算法则数列极限的运算法则LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED思考与练习思考与练习2、用“N”语言证明下列数列的极限：3、利用夹逼定理求1、观察下列数列的变化趋势，判断哪些数列有极限，如果有极限，写出它们的极限：LISP 主导国际科技专家Leading International Scientific ProfessionalPAIK(HONGKONG)GROUP HOLDING LIMITED5、求下列数列的极限：4、利用无穷小的性质求下列极限：
