2023年高三数学 专题复习精品讲义.pdf

第 1 讲 简易逻辑 一、高考要求 理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义 二、两点解读 重点：逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；充要条件的概念；反证法的应用 难点：充要条件的判断；以简易逻辑为载体命制的开放性问题、新情景问题 三、课前训练 1设qp,为简单命题，则“p且q为假”是“p或q为假”的 （B）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分又不必要条件 2条件甲：“aa”是条件乙：“1a”的 （A）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 3|1|(0)x 的充要条件是)0(11x 4命题“若ba,都是偶数，则ba 是偶数”的逆否命题是：“若ba 不是偶数，则ba,不都是偶数”四、典型例题 例 1.直线22xaya与1axya 平行（不重合）的充要条件是（）(A)21a (B)21a (C)1a (D)1a或1a 解：12211aaaa，所以1a；故选 C 例 2 命题 p：若a、bR，则1ba是1 ba的充要条件；命题 q：函数21 xy的定义域是),3 1,(则 （）（A）“p 或 q”为假 （B）“p 且 q”为真 （C）p 真 q 假 （D）p 假 q 真 解：由三角形不等式1baba知：1ba是1 ba的必要不充分条件，即 p 为假命题；由021x可得1x或3x，即q为真命题故选 D 例 3 在空间中：若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线以上两个命题中逆命题为真命题的是 解：的逆命题为：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面例如：正方形的四个顶点不共线但共面，故其不正确；的逆命题为：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点由异面直线定义知，异面直线没有公共点，故的逆命题为真命题 例 4.关于 x 的一次函数()ym xn的图象过第二、三、四象限的充要条件是_ 解：直线bkxy过二、三、四象限，则0,0 bk，故本题中00mnm，即0,0 nm 例 5 已知：三个方程222443 0,(1)0,xaxaxax a 2220 xaxa中至少有一个方程有实数解，试求实数 a 的取值范围 解：假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于 0，即：123021312123024)2(04)1(0)34(4)4(2222aaaaaaaaaaa或，至少有一个方程有实数解为123|aa的补集，所以a的范围是23a或1a 例 6 已知 p：)(1xf是xxf31)(的反函数，且2)(1af；q：集合,01)2(|2RxxaxxA，B=x|x 0，且 AB=求实数 a 的取值范围，使“p 或 q”为真命题，“p 且 q”为假命题 解：先考虑p：)(1xf是 f(x)=13x 的反函数，31)(1xxf，由2)(1af，可得2|31|a，解得：75a；再考虑q：当0 时，A，BA，此时：由04)2(2a得04a；当0 时，由BA可得：010)2(04)2(21212xxaxxa，解得0a由可知4a 要使 p 真 q 假，则45475aaa；要使 p 假 q 真，则 7475aaaa或，综上所述，当a的范围是),7 4,5(时，p、q 中有且只有一个为真命题 第 2 讲 函数的概念与性质 一、高考要求 了解映射的概念，理解函数的概念；了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法；了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；理解分数指数幂的概念，掌握有理数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质；理解对数函数的概念、图象和性质；能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题 二、两点解读 重点：求函数定义域；求函数的值域或最值；求函数表达式或函数值；二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题；指数函数与对数函数；求反函数；利用原函数和反函数的定义域值域互换关系解题 难点：抽象函数性质的研究；二次方程根的分布 三、课前训练 1函数2log)(2xxf的定义域是 （D ）（A）),3(（B）),3 （C）),4(（D）),4 2函数)0(1lnxxy的反函数为 （B）（A）)(1Rxeyx （B）)(1Rxeyx （C）)(1Rxeyx （D）)1(1xeyx 3设,0,ln,0,)(xxxexgx则)21(gg 21 4设1,0 aa，函数xaxf)(是增函数，则不等式0)75(log2 xxa的解集为(2,3)四、典型例题 设xxxf22lg)(，则)2()2(xfxf的定义域为 （）（A）)4,0()0,4(（B）)4,1()1,4(（C）)2,1()1,2(（D）)4,2()2,4(解：在xxxf22lg)(中，由022xx，得0)2)(2(xx，22x，在)2()2(xfxf中，4114,11,44,222,222xxxxxxx或或 故选 B 已 知1,log,1,4)13()(xxxaxaxfa是),(上 的 减 函 数，那 么 a的 取 值 范 围 是 （）（A）)1,0(（B）)31,0(（C）)31,71 （D）)1,71 解：)(xf是),(上的减函数，当1x时，xxfalog)(，10 a；又当1x时，axaxf4)13()(，013a，31a，且1log41)13(aaa，解得：71a综上，3171a，故选 C 函数)(xf对于任意实数x满足条件)(1)2(xfxf，若5)1(f，则)5(ff 解：函数)(xf对于任意实数x满足条件)(1)2(xfxf，)()(11)2(1)22()4(xfxfxfxfxf，即)(xf的周期为 4，5)1()5(ff，)45()5()5(ffff51)1(1)21(1)1(fff 设3()log(6)f xx的反函数为1()fx,若 6)(1mf 27 6)(1nf，则()f mn 2 解：,63)(1xxf,63)(,63)(11nmnfmf,27333 6)(6)(11mmnmnfmf m+n=3，f(m+n)=log3(3+6)=log39=2（另解11333log()6)log()6)log 273mnfmfn ,3()log 9 2f m n）已知,是关于x的方程042)3(22kxkx的两个实根，则实数k为何值时，大于 3 且小于 3？x y O 3 解：令42)3(2)(2kxkxxf，则方程 042)3(22kxkx的两个实根可以看成是抛物线)(xf与x轴的两个交点（如图所示），故有：0)3(f，所以：042)3(69kk，解之得：831k 已知函数xaxy有如下性质:如果常数0a,那么该函数在,0(a上是减函数,在),a上是增函数如果函数)0(2xxxyb的值域为),6，求 b 的值；解：函数)0(2xxxyb的最小值是b22，则b226，9log2b；第 3 讲 函数图象与变换 一、高考要求 给出函数的解析式或由条件求出函数的解析式，判断函数的图象；给出函数的图象求解析式；给出含有参数的解析式和图象，求参数的值或范围；考查函数图的平移、对称和翻折；和数形结合有关问题等函数的图象是函数的直观体现,运用函数的图象研究函数的性质非常方便函数的图象正成为高考命题的热点之一 二、两点解读 重点：已知解析式判断函数图象或已知图象判断解析式中参数的范围；函数图的平移、对称和翻折；从基本函数的图象变换到复合函数的图象等 难点：利用函数性质识图；和数形结合有关问题 三、课前训练 1函数)(xfy 的图象与函数2()log(0)g xx x的图象关于原点对称，则()f x的表达式为 （D）（A）21()(0)logf xxx （B）21()(0)log()f xxx （C）2()log(0)f xx x （D）2()log()(0)f xx x 2函数)(xfy 的反函数1()yfx的图像与y轴交于点(0,2)P（如图2所 示），则 方 程()0f x 在1,4上 的 根 是x （C）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1 x y 1 2 4 3 1()yfx O 图 2 3若函数)1(xfy是偶函数，则函数)(xfy 的图象关于 x=1 对称 4若函数)10(1aabayx且的图象经过第二、三、四象限，则一定有010ba且 四、典型例题 函数)(xf的图象无论经过平移还是沿直线翻折后仍不能与xy21log的图象重合，则)(xf是 （）（A）x2（B）x4log2 （C）)1(log2x （D）x421 解：将xxy212的图象沿直线xy 翻折即可与xy21log的图象重合，排除 A；将xxy214loglog2沿x轴 翻 折 即 可 与xy21log图 象 重 合，排 除B；将)1(log)1(log212xxy的图象向右平移 1 个单位，在沿x轴翻折即可与xy21log的图象重合，排除 C，故选 D 设0b，二次函数122abxaxy的图象下列之一：(A)(B)(C)(D)则 a 的值为 （）（A）1（B）1 （C）251（D）251 解：前两个函数图象关于y轴对称，故0b，与条件不符，后两个函数图象都过定点（0，0），故012a，即1a，又由对称轴大于零，即02abx，由0b得0a，所以取1a，故选 B 设 函 数)(xf的 图 象 关 于 点(1,2)对 称，且 存 在 反 函 数)(1xf,0)4(f,则)4(1f=解：由0)4(f，即)(xf过点（4，0），又)(xf的图象关于点(1,2)对称，可知：)(xf过点（2，4），4)2(f，故)4(1f=2 x y O x y O x y O x y O-11 1 1 yx 1 2 1 1 1 2 2 3 O 在同一平面直角坐标系中，函数)(xfy 和)(xgy 的图像关于直线xy 对称现将)(xgy 图像沿 x 轴向左平移 2 个单位，再沿 y轴向上平移个单位，所得的图像是由两条线段组成的折线（如图所示），则函数)(xf的表达式为 解：将原图象沿 y 轴向下平移个单位，再沿x轴 向右平移个单位得)(xg的图象（如右图），求得：32,4220,12)(xxxxxg 又函数)(xfy 和)(xgy 的图像关于直线xy 对称，求)(xg反函数得：20,2201,22)(1xxxxxg，故20,2201,22)(xxxxxf 已知函数2)()(bxaxxf，m、n是方程0)(xf的两根，且ba，nm 试判断实数a，b，m，n的大小关系 解：2)()(bxaxxf，2)(af，2)(bf，a，b是方程2)(xf的两根，即为函数)(xfy 的图象与直线2y交点的 横坐标而m，n是方程0)(xf的两根，m，n为函数)(xfy 的图象与x轴交点的横坐标又ba，nm，故如图所示可得nbam 已知函数)1,0)(1(log)(aaaxfxa，（1）证明：函数)(xf的图象在y轴一侧；（2）设),(11yxA，)(,(2122xxyxB是图象上的两点，证明直线AB的斜率大于零；（3）求函数)2(xfy 与)(1xfy的图象交点坐标 yxo21112321 3y x om a b ny=-2 解：（1）由01xa即1xa，当1a时，0 x，函数图象在y轴右侧；当10 a时，0 x，函数图象在y轴左侧，故函数图象总在y轴一侧（2）由于2121xxyykAB，又由21xx，故只需证012yy即可 因为11log)1(log)1(log121212xxaxaxaaaaayy，当1a时，由210 xx 得210 xxaa，即11021xxaa，故 有11112xxaa，011log12xxaaa，即012yy；当10 a时，由210 xx 得121xxaa，即01121xxaa，故有111012xxaa，011log12xxaaa，即012yy 综上直线 AB的斜率总大于零.（3）)(1xf)1(logxaa，)1(log)2(2xaaxf，当它们图象相交时：1xa12xa可解得：2xa，所以2logax，3logay，即交点坐标为：2(loga，)3loga 第 4 讲 函数性质的综合应用 一、高考要求 函数的综合应用在高考中的分值大约为 20 分左右，题型的设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其它知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的综合应用是高考考查的主要着力点之一 二、两点解读 重点：函数的奇偶性、单调性和周期性；函数与不等式结合；函数与方程的综合；函数与数列综合；函数与向量的综合；利用导数来刻画函数 难点：新定义的函数问题；代数推理问题，常作为高考压轴题 三、课前训练 1已知 aR，函数axxfsin)(，xR为奇函数，则a（B ）（A）1 （B）0 （C）1 （D）1 2“1a”是“函数|)(axxf在区间),1 上为增函数”的（A ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 3若函数42212xxy的定义域、值域都是闭区间2,2b，则b的值为 2 4已知)(46)(Rkxkxxf，0)2(lgf，则)21(lgf -8 四、典型例题 设函数)(xf是定义在 R上的以 3 为周期的奇函数，若1)1(f，143)2(aaf，则a的取值范围是 （）（A）43a（B）43a且1a （C）43a或1a（D）431a 解：)(xf以 3 为周期，所以)1()2(ff，又)(xf是 R上的奇函数，)1()1(ff，则)1()1()2(fff，再由1)1(f，可得1)2(f，即1143aa，解之得431a，故选 D 设)(1xf是函数1()()(1)2xxf xaaa的反函数，则使 1)(1xf成立的 x 的取值范围为 （）（A）),21(2aa （B）)21,(2aa （C）),21(2aaa （D）),a 解：)(xf是 R上的增函数，1()1fx，即 x f(1).又aaaaf21)(21)1(21，aax212，故选 A 已知函数xbxxf32)(，若方程xxf2)(有两个相等的实根，则函数 f(x)的解析式为 解：xbxxf32)(，方程xxf2)(即为xxbx232，则0)4(62xbx因为方程有两个相等的实数根，所以 b=4 时 x=0，符合题意234)(xxxf 对 a，bR，记,max,.a aba bb ab函数()max1,3f xxx（xR）的最小值是 解：.31,3,31,13,1max)(xxxxxxxxxf 化简得：.1,3,1,1)(xxxxxf 在坐标系中作出)(xf的图象，可知：当1x，时)(xf为增函数，2)1()(minfxf；当1x，时)(xf为减函数。2)1()(fxf。综上，2)1()(minfxf 对定义域是fD，gD的函数)(xfy，)(xgy，规定：函数.),(,),(,),()()(gfgfgfDxDxxgDxDxxfDxDxxgxfxh且当且当且当（）若函数11)(xxf，2)(xxg，写出函数)(xh的解析式；（）求问题（1）中函数)(xh的值域；（）若)()(xfxg，其中是常数，且,0，请设计一个定义域为 R 的函数)(xfy，及一个的值，使得xxh4cos)(，并予以证明 解：()2,(,1)(1,),()11,1 .xxh xxx()当x1 时,()h x=12xx=（x1）+11x+2 若x1 时,则()h x4，其中等号当2x时成立；若x1时，则()h x 0，其中等号当x=0 时成立所以函数()h x的值域是(，014，+)()令xxxf2cos2sin)(，4，则)4(2cos)4(2sin)()(xxaxfxg=xx2sin2cos，xxxxxaxfxfxh4cos)2sin2)(cos2cos2(sin)()()(设cbxaxxf23)(2，若0cba，0)1()0(ff，求证：（）方程0)(xf有实根，且12ab；（）设12,x x是方程()0f x 的两个实根，则323321xx；（）方程0)(xf在（0，1）内有两个实根 解：（）若0a，则cb，0)23()1()0(2ccbacff，与已知矛盾，0a方程232axbxc=0 的 判 别 式24(3),bac由 条 件0cba，消 去 b，得043)21(4)(42222ccaacca，故方程0)(xf有实根由0)1()0(ff，得0)23(cbac，由条件0cba消去c，得0)2)(baba，故12ab（）由条件知abxx3221，abaacxx3321，212212214)()(xxxxxx 31)23(942ab。12ab，所以94)(31221xx，故323321xx（）抛物线2()32f xaxbxc的顶点坐标为（),33,32abacab 在12ab的 两 边 乘 以31，得31ab30，f(1)0，而f(ab3)=0322aacca，所以方程()0f x 在区间（与)3,0ab（)1,3ab内分别有一实根 故方程()0f x 在(0,1)内有两个实根 第 5 讲 导数的概念与应用 一、高考要求 了解导数的实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数定义和导数几何意义，理解导函数的概念；熟记导数的基本公式，掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数；理解可导函数的单调性与其导数的关系，了解可导函数在某点取得极值时的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号），会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值 二、两点解读 重点:利用导数求切线的斜率；利用导数判断函数单调性或求单调区间；利用导数求极值或最值；利用导数求实际问题最优解 难点：理解导数值为零与极值点的关系；导数的综合应用 三、课前训练 1若函数cbxxxf2)(的图象的顶点在第四象限，则函数)(/xf的图 象是 （A）（A）（B）（C）（D）2 函数93)(23xaxxxf，已知)(xf在3x时取得极值，则a=（D）（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 3若函数 f（x）=ax3x2+x5 在 R上单调递增，则 a 的范围是31a 4与函数123xxy的图象相切，切线斜率为 1 的切点是)2,1(),0,1(四、典型例题 例 1 函数13)(3xxxf在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是（）（A）1，-1 （B）1，-17（C）3，-17 （D）9，-19 解：由13)(3xxxf得33)(2/xxf，令0)(/xf得1,121xx，令0)(/xf得1x或1x，令0)(/xf可得11x，考虑到 0,3x，所以)(xf的增区间是 1,3，减区间为 0,1，又17)3(f，3)1(f，1)0(f，所以最大值、最小值分别为 3，17故选 C 例 2 设函数)(xf在定义域内可导，)(xfy 的图象如右图所示，则导函数y=f(x)可能为（）解：由)(xf图象知，当0 x时，)(xf为增，所以这时导数为正，可排除选项 A、C；又当0 x时，)(xf存在减区间，所以导数存在负值，于是可排除选项 B，选D x y O x y O x y O x y O x y O（A）x y O（B）x y O x y O（D）（C）x y O 92 xy x O y)(xfy P 4 例 3 如右下图,函数)(xfy 的图象在点 P 处的切线方程是92 xy，则)4()4(/ff的值为 解：从图中可见，P 点是直线92 xy和曲线)(xfy 的公共点，所以由 P 点的纵坐标19420y，可 得1)4(f；又 P 点 处 切线 的 斜 率为2，即2)4(/f，故121)4()4(/ff 例 4（）曲线31yxx 在点(1,3)处的切线方程是 ；（）已 知 函 数xxxf3)(3，过 点)6,2(P作 曲 线)(xfy 的 切 线 的 方程 解：（）设切线的斜率为k，因为132/xy，故4131/xyk所以所求的切线的点斜式方程为：)1(43xy，化简得：014yx；（）33)(2/xxf，设切点为),(00yxQ，则：03326200 xxxxy，即：33263200030 xxxx，解得：00 x或30 x，由)(0/xfk 得3k或24，得：xy3或5424 xy 例 5 已知函数1)(3axxxf（）若)(xf在实数集 R上单调递增，求a的范围；（）是否存在实数a使)(xf在)1,1(上单调递减若存在求出a的范围，若不存在说明理由 解：axxf2/3)(（）若)(xf在实数集 R上单调递增，则032 ax恒成立，即0a（）axxf2/3)(在)1,1(上小于等于零即：30)1(0)1(/aff 函数324()()63f xxmxmx在 R上有极值，求m取值范围 解：对函数6)34()(23xmmxxxf求导得：3423)(2/mmxxxf，令0)(/xf，即得方程：034232mmxx，此方程的判别式：161242mm若0，显然方程0)(/xf无解，函数)(xf无极值；若0，则方程有两个相等实根0 x，这时20/)(3)(xxxf，所以在0 x两侧)(/xf均大于零，因此)(0 xf不是函数)(xf的极值；当0时，方程0)(/xf有两个不等的实根)(,2121xxxx且)(/xf的符号如下表：因此函数在1x处取得极大值，在2x处取得极小值综上所述，函数)(xf当且仅当0时有极值，由0161242 mm得1m或4m 第 6 讲 等差数列和等比数列 一、高考要求 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题；理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题 二、两点解读 重点：等差数列的概念及其通项公式与前 n 项和公式；等比数列的概念及其等比数列通项公式与前 n 项和公式；等差数列和等比数列的性质；等差数列、等比数列的综合及其应用 难点：等差数列和等比数列的性质；等差数列、等比数列的综合及其应用 三、课前训练 1已知na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2008na，则序号n等于 （D ）（A）667 （B）668 （C）669 （D）670 2 等差数列na中,1030a,2050a，则通项na 210n，前 11 项和为 242.3 数列na中，21a，17a，又数列11na为等差数列，则11a117 4设数列na的前n项和cSnn3，且数列na是一个等比数列,则c=1 四、典型例题 已知数列na的前n项和qqaaqSnn,1,0(1为非零常数），则数列 na为 （）（A）等差数列 （B）等比数列（C）既不是等差数列，又不是等比数列 （D）既是等差数列又是等比数列 x),(1x 1x),(21xx 2x),(2x)(/xf+0 0+解：当1n时，aSa11，当2n时，)1(11qaqSSannnn，)1(1qaqann，)2(1nqaann为常数,但qqaa112，数列na从第二项起为等比数列，故选 C 若na是等差数列，首项01a，020082007 aa，020082007 aa，则使数列na的前 n 项和nS为正数的最大自然数 n 是（）（A）4013 （B）4014 （C）4015 （D）4016 解：由条件可知：02007a，02008a考虑020082007 aa及等差数列性质知02)(40142)(401420082007401414014aaaaS，即04014S；考 虑02008a及 等 差 数 列 性 质 知040152)(40152008401514015aaaS，即04015S，故选 B 设等差数列na的前 n 项和为nS，已知366S，324nS，若)6(1446nSn，则 n 的值为 解：由条件知54321nnnnnnaaaaaa=1801443246nnSS，又366654321Saaaaaa，651aaaann，21618036)(61 aan，361 aan，3242362)(1naanSnn，n=18 已知函数)(xf定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有)()1(2)2(xfxfxf，且6)3(,2)1(ff，则)2007(f 解：由)1(2)()2(xfxfxf知函数)(*Nxxf当x从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，)2005(,),3(),1(fff形成一个首项为2，公差为4的等差数列，所以40144)11004(2)2007(f 设数列na、nb满足：naaaabnn321(nN*)（）若2nbn，求数列na的通项公式；（）若nb是等差数列，求证na也是等差数列 解：设na的前n项和为nS（）由题意：2nnSbnn，即)2(nnSn)(*Nn，当2,*nNn时，有)1)(1(1nnSn，由两式相减可得：12 nan，当1n时，311Sa，也可用12 nan表示，所以对任意的*Nn都有：12 nan（）若nb是等差数列，设首项为1b，公差为d，由nSbnn可得 dnbnSn)1(1，于是dnnnbSn)1(1，当2,*nNn时，有dnnbnSn)2)(1()1(11，由 两 式 相 减 可 得：dnban2)1(1，当1n时，111bSa，也可用dnban2)1(1表示，所以对任意的*Nn都有：dnban2)1(1，而daann21（2,*nNn），由等差数列的定义知：na也是等差数列 设数列na的首项411aa,且.,41,211为奇数为偶数nanaannn 记.,3,2,1,4112nabnn（）求2a，3a；（）判断数列nb是否为等比数列，并证明你的结论 解：（）414112aaa，81212123aaa；（）因 为83214134aaa，所 以163412145aaa 所 以0414111aab，)41(214132aab，)41(414153aab猜想，nb是公比为21的等比数列 证明如下：因为)(,21)41(2141)41(21412141*12122121Nnbaaaabnnnnnn所以nb是首项为41a，公比为21的等比数列 第 7 讲 数列的通项和求和 一、高考要求 数列的通项和求和是一节综合性内容，在高考卷中有小题也有大题，其中大题有简单的数列求通项或求和题，也有复杂的数列和不等式、数列和函数、数列和方程等的综合题数列的通项和求和是高考对数列考查的主要着力点之一 二、两点解读 重点：等差、等比数列的通项和求和公式；利用相关数列nS和na的关系求数列的通项公式；数列求和的几种常用方法；数列与不等式或函数等结合的综合题 难点：利用递推关系求数列的通项公式；数列与不等式或函数等结合的综合题 三、课前训练 1化简)1(1431321211nn的结果是 （D）（A）12nn （B）1nn （C）12 nn （D）122nn 2.若数列an 的通项公式为11nann，求其前 n 项和 Sn1 1n 3已知数列na的前四项分别为：3219,1617,815,413，试写出数列na的一个通项公式12112nnna 四、典型例题 例 1 在等比数列na中，12a，前n项和为nS若数列 1na也是等比数列，则nS等于 （）（A）221n （B）n3 （C）n2 （D）13 n 解：na是等比数列，设公比为 q，1na是等比数列，12121111nnnnqqaa是一常数，设为k，则kqqnn12121对任意的正整数n都成立，可解得：1k，q=1，nnaSn21，故选 C 例 2 设1)1()(3 xxf，利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法，可求得)6()5()0()4(ffff的值为：解：课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法即为“倒序相加法”令Sfffff)6()5()0()3()4(则也有Sfffff)4()3()0()5()6(由21)1(1)1()2()(33xxxfxf 可得：2)5()3()6()4(ffff，于是由两式相加得2112S，所以11S 已知)12)(1(613212222nnnn，则 数列)1(,43,32,21nn的前 n 项和为：解：数列)1(,43,32,21nn的通项为：nnnnan2)1(所以：)21()21(22221nnaaaSnn)1(21)12)(1(61nnnnn3)2)(1(nnn 例 4 对正整数 n，设曲线)1(xxyn在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为na，则数列1nnan的前 n 项和的公式是 解：1nnxxy，11122)2(2)22(2nnnxnnnyk，切点为)2,2(n，切线方程点斜式为：)2(2)2(21xnynn，令0 x得nnna2)1(，令1nnabnn，则nnnb2，令nnbbbS21，由错位相减法可得：12)1(2nnnS 例 5 设数列na的前 n 项和nS=2214nna，求na.解：nS=2214nna，得1nS=11214nna，1na=1nSnS=na1na+（221n121n）1na=na21+n21，两边同乘以12n，得12n1na=n2na+2，nna2是首项为 1 公差为 2 的等差数列，n2na=2+2)1(n=n2，解得：na=12nn 例 6 已知二次函数)(xfy 的图像经过坐标原点，其导函数为26)(xxf，数列na的前n项和为nS，点),(nSn(nN*)均在函数)(xfy 的图像上（）求数列na的通项公式；（）设13nnnaab，nT是数列nb的前n项和，求使得20mTn对所有 nN*都成立的最小正整数m；解：（）依题设)0()(2abxaxxf，由baxxf2)(又由26)(xxf得3a,2b,xxxf23)(2，所以nnSn232，当2n时 1nnnSSa56)1(2)1(3)23(22nnnnn，当1n时，51611213211Sa也符合，)(56*Nnnan（）由（）得)161561(21 5)1(6)56(331nnnnaabnnn，)1611(21)161561()13171()711(211nnnbTniin，要使)(20)1611(21*Nnmn恒成立，只要20)1611(21maxmn，又21)1611(21n，只要2021m，即10m，m的最小整数为 10 第 8 讲 递推数列 一、高考要求 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义 了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项；并能解决简单的实际问题 特别值得一提的是近年高考试卷对数列要求较高，已超出了考纲要求 二、两点解读 重点：求递推数列的通项公式递推数列的求和；函数与数列综合；数列与不等式结合；数列与对数的综合 难点：数阵数表类递推问题；数列推理问题，常作为高考压轴题 三、课前训练 1若满足21a，)2(11nnnaann，则4a=（C ）（A）34 （B）1 （C）54 （D）32 2 若数列na满足：nnaa111且21a，则2008a（C ）（A）-1 （B）1 （C）2 （D）21 3定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和 已知数列na是等和数列，且21a，公和为 5，那么18a的值为 3 ，这个数列的前 n 项和nS的计算公式为当 n 为偶数时nSn25；当 n 为奇数时，2125 nSn 4 已知数列na满足11a，)2(311naannn，则通项公式na312n 四、典型例题 例 1.在数列na中，11a，22a且)()1(1*2Nnaannn，则100S(C)（A）150 （B）5050 （C）2600 （D）48251 解：当n为奇数时，0)1(12nnnaa，即19931aaa，当n为偶数时，2)1(12nnnaa，即100642,aaaa成以 2 为首项，2 为公差的等差数。所以260022)150(5025050100S，故选 C 例 2.已知数列na满足11a，1321)1(32nnanaaaa，则2n 时，数列na的通项na （）（A）!2n （B）(1)!2n （C）!n （D）(1)!n 解：在1321)1(32nnanaaaa两边都加上nna，则有：1nnnaana，即11naann（*），当2n时，由1321)1(32nnanaaaa得112 aa，由（*）取 2，3，n 累乘可得：naan5432，即2!nan 例 3.已知()1(1)()1f nf nf n(nN*)，2)1(f，则)2007(f _ 解：)1(111)1(1)1(11)1(1)1(1)(1)()1(nfnfnfnfnfnfnfnf，,)(1)2(nfnf),()2(1)4(nfnfnf 即)(nf是以周期为 4 的数列，所以21)1(1)3()32004()2007(ffff 例 4.在数列na中，13a，且对任意大于 1 的正整数n，点1(,)nnaa在直线30 xy 上，则na=_ 解：点1(,)nnaa在直线30 xy，即31nnaa，又31a，所以na是以3为首项，3为公差的等差数列，故3)1(3nan，即23nan 例 5.数列na的前 n 项和记为 Sn，已知).3,2,1(2,111nSnnaann 证明：（）数列nSn是等比数列；（）nnaS41 解：（）nnnnnSnnaSSa2,111，),()2(1nnnSSnSn 整理得 nnSnnS)1(21，所以 nSnSnn211.故nSn是以 2 为公比的等比数列；（）由（）知)2(14111nnSnSnn，于是)2(41)1(411nanSnSnnn，又 3312 Sa，故4212aaS，因此对于任意正整数 1n，都有nnaS41 第 9 讲 数列的综合应用 一、高考要求 高考对数列的考查比较全面，重点是等差、等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式、等差（比）中项及等差和等比性质的灵活运用；在能力要求上，主要考查学生的运算能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力，其中考查思维能力是支柱，运算能力是主体，应用是归宿 二、两点解读 重点：等差和等比数列基本概念和公式的应用；难点：由递推公式求通项以及数列与不等式等知识的综合问题 三、课前训练 1如果等比数列an 的首项为正数，公比大于 1，那么数列na31log(D )（A）是递增的等比数列 （B）是递减的等比数列（C）是递增的等差数列 （D）是递减的等差数列 2在ABC中，tanA 是以 4 为第三项，4 为第七项的等差数列的公差，tanB 是以31为第三项，9 为第六项的等比数列的公比则这个三角形是 （B ）（A）钝角三角形 （B）锐角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）非等腰直角三角形 3若数列na满足：*11,2,1Nnaaann，则naaa2112 n 4 莱因德纸草书(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一 书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每个所得成等差数列,且使最大的三份之和的71是较小的两份之和,则最小 1 份的量为 35 四、典型例题 例 1.在各项均不为零的等差数列na中，若)2(0121naaannn，则nSn412 （）（A）2 （）0 （）1 （）2 解：由na是等差数列，当2n时，nnnaaa211，又0121nnnaaa，故可解得：2na，又 242)12(242)12)(412112nnannaanSnnn，故选 A 例 2已知()f x为偶函数，且(2)(2)fxfx，当20 x 时()2xf x，若 nN*，()naf n，则2007a（）（A）2006 （B）2006 （C）4 （D）14 解：由()f x为偶函数可得：)()(xfxf，又由)2()2(xfxf 可得)4()(xfxf，所以)4()(xfxf，即)(xf的周期为 4，21)1()3()32004()2007(2007ffffa 例 3.定义一个“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它