2023年高中不等式所有知识及典型例题超全.pdf

1 一不等式的性质：二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式）；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。三重要不等式 1.（1）若Rba,，则abba222 (2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba 时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2 (2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba 时取“=”）(3)若*,Rba，则22 baab (当且仅当ba 时取“=”）3.若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）;若0 x，则12xx (当且仅当1x 时取“=”）若0 x，则11122-2xxxxxx 即或 (当且仅当ba 时取“=”）若0ab，则2abba (当且仅当ba 时取“=”）若0ab，则22-2abababbababa 即或 (当且仅当ba 时取“=”）4.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba 时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 5.a3+b3+c33abc（a,b,c R+）,a+b+c3 3abc（当且仅当 a=b=c 时取等号）；6.1n(a1+a2+an)12nna aaL(ai R+,i=1,2,，n)，当且仅当 a1=a2=an取等号；变式：a2+b2+c2ab+bc+ca;ab(a+b2)2(a,b R+);abc(a+b+c3)3(a,b,c R+)a 2aba+b ab a+b2 a2+b22 b.(0ab)7.浓度不等式：bnan ba bn0,m0;应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域（1）y3x 212x 2 （2）yx1x 解题技巧：2 技巧一：凑项 例 1：已知54x，求函数14245yxx 的最大值。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数 例 1.当时，求(82)yxx的最大值。技巧三：分离 例 3.求2710(1)1xxyxx 的值域。技巧四：换元 解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt ）当,即 t=时,4259ytt （当 t=2 即 x1 时取“”号）。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af xxx 的单调性。例：求函数2254xyx的值域。解：令24(2)xt t，则2254xyx22114(2)4xtttx 因10,1ttt，但1tt解得1t 不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt 在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。2已知01x，求函数(1)yxx的最大值.；3203x，求函数(2 3)yxx的最大值.条件求最值 1.若实数满足2 ba，则ba33 的最小值是 .分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且ba33 定值，因此考虑利用均值定理求最小值，解：ba33 和都是正数，ba33 632332 baba 当ba33 时等号成立，由2 ba及ba33 得1 ba即当1 ba时，ba33 的最小值是 6 变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求 x,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知0,0 xy，且191xy，求xy的最小值。3 技巧七、已知 x，y 为正实数，且 x 2y 22 1，求 x1y 2 的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 aba 2b 22。同时还应化简1y 2 中 y2前面的系数为 12，x 1y 2 x 21y 22 2 x12 y 22 下面将 x，12 y 22 分别看成两个因式：x12 y 22 x 2(12 y 22 )22 x 2y 22 12 2 34 即 x1y 2 2 x 12 y 22 34 2 技巧八：已知 a，b 为正实数，2baba30，求函数 y1ab 的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一：a302bb1，ab302bb1 b2 b 230bb1 由 a0 得，0b15 令 tb+1，1t16，ab2t 234t31t 2（t16t）34t16t 2t16t 8 ab18 y 118 当且仅当 t4，即 b3，a6 时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 2 ab 30ab2 2 ab 令 u ab 则 u22 2 u300，5 2 u3 2 ab 3 2，ab18，y118 点评：本题考查不等式abba2）（Rba,的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等式230abab）（Rba,出发求得ab的范围，关键是寻找到abba与之间的关系，由此想到不等式abba2）（Rba,，这样将已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.变式：1.已知 a0，b0，ab(ab)1，求 ab 的最小值。2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值。技巧九、取平方 5、已知 x，y 为正实数，3x2y10，求函数 W 3x 2y 的最值.解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，ab2 a 2b 22，本题很简单 3x 2y 2（3x）2（2y）2 2 3x2y 2 5 解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再 4 向“和为定值”条件靠拢。W0，W23x2y2 3x 2y 102 3x 2y 10(3x)2(2y)2 10(3x2y)20 W 20 2 5 应用二：利用基本不等式证明不等式 1已知cba,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba222 1）正数 a，b，c 满足 abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc 例 6：已知 a、b、cR，且1abc 。求证：1111118abc 分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又1121abcbcaaaa，可由此变形入手。解：Qa、b、cR，1abc 。1121abcbcaaaa。同理121acbb，121abcc。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1112221118bcacababcabc gg。当且仅当13abc 时取等号。应用三：基本不等式与恒成立问题 例：已知0,0 xy且191xy，求使不等式xym 恒成立的实数m的取值范围。解：令,0,0,xyk xy 191xy，991.xyxykxky1091yxkkxky 10312kk 。16k ，,16m 应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,的大小关系是 .分析：1 ba 0lg,0lgba21Q（pbabalglg)lglg QababbaRlg21lg)2lg(RQ 四不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。2.一元二次不等式的解法 3.简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x的符号变化规律，写出不等式的解集。如（1）解不等式2(1)(2)0 xx。（答：|1x x 或2x ）；5（2）不等式2(2)230 xxx 的解集是_（答：|3x x 或1x ）；（3）设函数()f x、()g x的定义域都是 R，且()0f x 的解集为|12xx，()0g x 的解集为，则不等式()()0f x g x g的解集为 _（答：(,1)2,)U）；（4）要使满足关于x的不等式0922axx（解集非空）的每一个x的值至少满足不等式08603422xxxx和中的一个，则实数a的取值范围是_.（答：817,)8）4分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如（1）解不等式25123xxx （答：(1,1)(2,3)U）；（2）关于x的不等式0 bax的解集为),1(，则关于x的不等式02xbax的解集为_（答：),2()1,(）.5.指数和对数不等式。6绝对值不等式的解法：（1）含绝对值的不等式|x|a 与|x|a 的解集（2）|ax+b|c(c 0)和|ax+b|c(c 0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;|ax+b|c ax+b c 或 ax+b-c.（3）|x-a|+|x-b|c(c 0)和|x-a|+|x-b|c(c 0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。方法四：两边平方。例 1：解下列不等式：2(1).2xxx 1(2).-3x 或 x2-2x3 或 x0 或 0 x1 原不等式的解集为xx0 或 0 x3 解法 2（数形结合法）作出示意图，易观察原不等式的解集为xx0 或 0 x3 6 第（1）题图 第（2）题图【解析】：此题若直接求解分式不等式组，略显复杂，且容易解答错误；若能结合反比例函数图象，则解集为1|2x x1或x-3,结果一目了然。例 2：解不等式：1|xx【解析】作出函数 f(x)=|x|和函数 g(x)=1x的图象，易知解集为01（，），）例 3：.|1|1|32xx 解不等式。【解法 1】令 2(1)()|1|1|2(11)2(1)xg xxxxxx 令()32h x，分别作出函数 g(x)和h(x)的图象，知原不等式的解集为3,)4|1|1|32xx 【解法 2】原不等式等价于令3()|1|,()|1|2g xxh xx 分别作出函数g(x)和 h(x)的图象，易求出g（x）和h（x）的图象的交点坐标为3 7(,)4 4 所以不等式|1|1|32xx 的解集为3,)4【解法 3】由|1|1|32xx 的几何意义可设 1（，），（，），（x，y），7 若1232MFMF，可知的轨迹是以1、2 为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为（，），由双曲线的图象和 x+1x-1 知 x.7含参不等式的解法：求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集.如（1）若2log13a，则a的取值范围是_（答：1a 或203a）；（2）解不等式2()1axx aRax（答：0a 时，|x0 x；0a 时，1|x xa或0 x；0a 时，1|0 xxa 或0 x）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式0 bax 的解集为)1,(，则不等式02baxx的解集为_（答：（1,2）五绝对值三角不等式 定理 1：如果 a,b 是实数，则|a+b|a|+|b|,当且仅当 ab0 时，等号成立。注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当ar，br不共线时，|ar+br|ar|+|br|，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。（2）不等式|a|-|b|a b|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是 ab0，左侧“=”成立的条件是 ab0 且|a|b|;不等式|a|-|b|a-b|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是 ab0，左侧“=”成立的条件是 ab0 且|a|b|。定理 2：如果 a,b,c是实数，那么|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)时，等号成立。例 1.已知0，ax，by，求证 53232bayx.例 2.(1)求函数13xxy的最大和最小值；(2)设Ra，函数)11(2xaxaxxf.若1a，求 xf的最大值 例 3.两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路牌的第10km和第 20km处.现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次.要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？六柯西不等式 8 22211nnbababa 222221222221nnbbbaaaniRbaii2,1,等号当且仅当021naaa或iikab 时成立（k 为常数，ni2,1）类型一：利用柯西不等式求最值 1求函数的最大值 一：且，函数的定义域为，且，即时函数取最大值，最大值为 二：且，函数的定义域为 由，得 即，解得 时函数取最大值，最大值为.当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解 类型二：利用柯西不等式证明不等式 2设、为正数且各不相等，求证：又、各不相等，故等号不能成立 。类型三：柯西不等式在几何上的应用 6ABC 的三边长为 a、b、c，其外接圆半径为 R，求证：证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=。9 七证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1 的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧有：211111111(1)(1)1nnn nnn nnn 11111121kkkkkkkkk 如（1）已知cba，求证：222222cabcabaccbba；(2)已知Rcba,，求证：)(222222cbaabcaccbba；（3）已知,a b x yR，且11,xyab，求证：xyxayb；(4)若 a、b、c 是不全相等的正数，求证：lglglglglglg222abbccaabc；（5）已知Rcba,，求证：2222a bb c22()c aabc abc；(6)若*nN，求证：2(1)1(1)nn 21nn；(7)已知|ab，求证：|abababab；（8）求证：2221111223n L。八不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题 若不等式 Axf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 minf xA 若不等式 Bxf在区间D上恒成立,则等价于在区间D上 maxf xB 如（1）设实数,x y满足22(1)1xy，当0 xyc 时，c的取值范围是 _（答：21,）；（2）不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围_（答：1a）；（3）若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都成立，则x的取值范围_（答：（712,312）；（4）若不等式nann1)1(2)1(对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_（答：3 2,)2）；（5）若不等式22210 xmxm 对01x 的所有实数x都成立，求m的取值范围.若不等式21log,(0,)2axxx对恒成立，则实数 a 的取值范围是 此题直接求解无从着手，结合函数 1 0 21yy=log0,2axx 及在（）上的图象 易知，a 只需满足条件：0a1，且11log24a 即可从而解得1,1)16a 2).能成立问题 若在区间D上存在实数x使不等式 Axf成立,则等价于在区间D上 maxf xA；若在区间D上存在实数x使不等式 Bxf成立,则等价于在区间D上的 minf xB.如 已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围_（答：1a）3).恰成立问题 若不等式 Axf在区间D上恰成立,则等价于不等式 Axf的解集为D；若不等式 Bxf在区间D上恰成立,则等价于不等式 Bxf的解集为D.例：若不等变2-2x-2ax+62恰有一解，求实数 a 的值 引导分析：此题若解不等式组，就特别麻烦了。结合二次函数的图形就会容易得多。图解：由图象易知：a=2 或者 a=-2 九线性规划