2023年矩形、菱形、正方形经典难题复习巩固精品讲义.pdf
努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 1 DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列第 4 讲 矩形、菱形、正方形 一、导入 老先生与服务生 老先生常到一家商店买报纸，那里的服务生总是一脸傲慢无礼的样子，就连基本的礼貌都没有。做事追求效率固然重要，可是缺乏礼貌一定会流失客人，没有了客人服务速度再快，又有什么用？朋友对老先生说，为何不到其他地方去买？老先生笑着回答：“为了与他赌气，我必须多绕一圈，浪费时间，徒增麻烦，再说礼貌不好是他的问题，为什么我要因为他而改变自己的心情?”大道理：不要因为别人的不好而影响了自己做事情时候的心情，也不要因外界的不如人意而影响了一生的幸福快乐。想想美好的一面，心情也会是很快乐的。二、知识点回顾 矩形、菱形、正方形 1.性质：（1）矩形：矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等矩形具有平行四边形的所有性质（2）菱形：菱形的四条边都相等菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角具有平行四边形所有性质（3）正方形：正方形的四个角都是直角，四条边都相等正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 2判定：（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形 （2）菱形：对角线互相垂直的平行四边形是菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形（3）正方形：有一个角是直角的菱形是正方形有一组邻边相等的矩形是正方形对角线相等的菱形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形 3.面积计算：（1）矩形：S=长宽；（2）菱形：1212Sll（12ll、是对角线）（3）正方形：S=边长2 努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 2 三、专题讲解 考点一、特殊平行四边形的性质【例】如图,矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，OFBC，CEBD，OEBE=13，OF=4，求ADB的度数和 BD 的长.解：由矩形的性质可知 OD=OC.又由 OEBE=13 可知 E 是 OD 的中点.又因为 CEOD，根据三线合一可知 OC=CD,即 OC=CD=OD，即OCD 是等边三角形,故CDB=60.所以ADB=30.又由矩形是轴对称图形得 CD=2OF=8,即 BD=2OD=2CD=16.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM 为折痕,折叠后的 C 点落在 BM 或 BM 的延长线上,那么EMF 的度数是()A.85 B.90 C.95 D.100 解析：EMF=EMB+FMB=21BMC+21CMC=21 180=90 答案:B 考点二、会用“阶梯型”思路判定特殊平行四边形【例 】如图,在 RtABC 中，ACB=90，BAC=60，DE 垂直平分 BC，垂足为 D，交 AB 于点 E.又点 F 在 DE 的延长线上，且 AF=CE.求证：四边形 ACEF 是菱形.答案:证明：ACB=90，DE 是 BC 的中垂线，E 为 AB 边的中点.CE=AE=BE.BAC=60，ACE 为正三角形.在AEF 中，AEF=DEB=BAC=60，而 AF=CE，又 CE=AE,AE=AF.AEF 也为正三角形.CAE=AEF=60.ACEF.努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 3 四边形 ACEF 为平行四边形.又 CE=AC，平行四边形 ACEF 为菱形.如图，在YABCD 中，E、F分别为边 AB、CD的中点，BD是对角线，AG DB交 CB的延长线于 G（1）求证：ADE CBF；（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形 AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论 【解析】（1）四边形 ABCD 是平行四边形 1=C，AD=CB，AB=CD 点 E、F分别是 AB、CD的中点，AE=12AB，CF=12CD AE=CF ADE CBF （2）当四边形 BEDF是菱形时，四边形 AGBD 是矩形 四边形 ABCD 是平行四边形，AD BC AG BD，四边形 AGBD 是平行四边形 四边形 BEDF是菱形，DE=BE AE=BE，AE=BE=DE 1=2，3=4 1+2+3+4=180，22+23=180 2+3=90 即ADB=90，四边形 AGBD 是矩形 考点三、作辅助线构造特殊平行四边【例 3】如图 E是矩形 ABCD 的边 AD上一点，BE=ED，P是对角线 BD上任意一点，PFBE,PGAD,垂足分别为 F,G.求证：PF+PG=AB 如图，点 M 是矩形 ABCD 的边 AD 中点，点 P 是 BC 边上一动点，PEMC，PFBM，垂足分别为 E、F，（1）当四边形 PEMF 为矩形时，矩形 ABCD 的长与宽应满足什么条件？（2）在（1）中，当点 P 运动到什么位置时，四边形 PEMF 变为正方形？为什 努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 4 么？考点四、会解决与特殊平行四边形有关的动手操作问题【例 4】如图,在一张长 12 cm、宽 5 cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形 EFGH（见方案一），张丰同学按照沿矩形的对角线 AC 折出CAE=DAC，ACF=ACB 的方法得到菱形 AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？解：（方案一）S菱形=S矩形-4SAEH=12 5-421 625=30（cm2）.（方案二）设 BE=x，则 CE=12-x,AE=22225xABBE.因为四边形 AECF 是菱形，则 AE2=CE2,25+x2=(12-x)2.x=24119.S菱形=S矩形-2SABE=12 5-221 52411935.21(cm2).经比较可知，(方案二)张丰同学所折的菱形面积较大.如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB=33，BC=6，沿 EF折叠后，点 C落在 AB边上的点 P处，点 D落在点 Q处，AD与 PQ相交于点 H，BPE=30 努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 5 （1）求 BE、QF的长（2）求四边形 PEFH的面积 【分析】折叠型试题是近年中考试题的热点，要想解好此类题，考 生必须有想像力，抓住折叠的角与边不发生变化，必要时需要考生剪一个四边形实际折叠一下帮助理（1）BE=2，QF=1 （2）73 四、巩固练习：（1）填空题 1如图 1，在菱形 ABCD 中，已知 AB=10，AC=16，那么菱形 ABCD 的面积为_ 2（黄冈市）如图 2,将边长为 8cm的正方形 ABCD 的四边沿直线 L向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点 A所经过的路线的长是_cm (1)(2)(3)3用两个全等的直角三角形拼下列图形：平行四边形；矩形；菱形；正方形；等腰三角形；等边三角形；一定可以拼成的是_（只填序号）4如图 3，点 E、F是菱形 ABCD 的边 BC、CD上的点，请你添加一个条件（不得另外添加辅助线和字母），使 AE=AF，你添加的条件是_ (5)(6)(7)(8)（2）填空题 6（广安市）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）A对角线相等 B对角线互相垂直平分 C 对角线平分一组对角 D四条边相等 7如图 5，在菱形 ABCD 中，E、F分别是 AB，AC的中点，如果 EF=2，那么菱形 ABCD的周长是（）A4 B8 C12 D16 8（江阴市）已知如图 6，则不含阴影部分的矩形的个数是（）A15 B24 C25 D16 9（潍坊市）如图 7，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A逆时针旋转 30 到正方形 AB CD，图中阴影部分的面积为（）A12 B33 C1-33 D1-34 10（淄博市）将一矩形纸片按如图 8 方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后 A B与 EB在同一条直线上，则CBD的度数（）A大于 90 B等于 90 C小于 90 D不能确定（3）解答题 努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 6 12（泉州市）如图，在矩形 ABCD 中，E、F分别是 BC、AD上的点，且 BE=DF 求证：ABE CDF 13（沪州市）如图，在矩形 ABCD 中，点 E是 BC上一点，AE=AD，DF AE，垂足为 F线段 DF与图中哪一条线段相等？先将你的猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明 即 DF=_ （写出一线段即可）14已知：如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于 E、F，求证：四边形 AFCE是菱形 五、拓展训练 15（河南省）如图，在ABC中，ACB=90，AC=2，BC=3 D是 BC边上一点，直线 DE BC于 D，交AB于 E，CFAB交直线 DF于 F设 CD=x （1）当 x 取何值时，四边形 EACF是菱形？请说明理由；（2）当 x 取何值时，四边形 EACD 的面积等于 2？考点精练 196 2 16+162 3 4BAE=DAF（答案不唯一）5B（4，0），（23，2），C（4，3），（4 33 3 34,22）6A 7 D 8 C 9 C 10 B 努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 7 12根据 SAS证ABE CDF 13DF=DC 证略 14证AOE COF 即得 AE/FC四边形 AFCE是平行四边形 又 AC EF，四边形 AFCE是菱形 15解：（1）ACB=90，AC BC 又DE BC，EFAC 又AE CF，四边形 EACF是平行四边形 当 CF=AC 时，四边形 ACFE是菱形 此时，CF=AC=2，BD=3-x，tan B=23，ED=BD tan B=23（3-x），DF=EF-ED=2-23（3-x）=23x 在 RtCDF中，CD2+DF2=CF2，x2+（23x）2=22，x=61313（负值不合题意，舍去），即当 x=61313时，四边形 ACFE是菱形 （2）由已知得，四边形 EACD 是直角梯形，S梯形EACD=12（4-23x）x=-13x2+2x 依题意，得-13x2+2x=2，整理得，x2-6x+6=0解之，得 x1=3-3，x2=3+3 x=3+3BC=3，x=3+3舍去，当 x=3-3时，梯形 EACD 的面积等于 2 六、反思总结 当堂过手训练 （快练 5 分钟，稳准建奇功）1、如图,工人师傅砌门时,常用木条 EF 固定矩形门框 ABCD,使其不变形,这种做法的根据是()A.两点之间线段最短 B.矩形的对称性 C.矩形的四个角都是直角 D.三角形的稳定性 解析：因钉上 EF 后,构成CEF,根据三角形的稳定性使其不变形.答案:D 1 图 EODCBA （1 题图）（2 题图）（3 题图）2、如图，已知矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD相交于点 O，AE BD，垂足为 E，DAE BAE 31，努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 8 EAC=分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解。解略，答案 450。3、如图是一块矩形 ABCD 的场地，长 AB=102 m，宽 AD=51 m，从 A、B 两处入口的中路宽都为 1 m，两小路会合处路宽为 2 m，其余部分为草坪，则草坪面积为()A.5 050 m2 B.4 900 m2 C.5 000 m2 D.4 998 m2 解析：根据平移的性质：平移不改变图形的大小.本题可将两侧的草坪分别向中间平移 1 m，向下平移 1 m，三块草坪拼成了一个长为 100 m，宽为 50 m 的矩形，因此草坪的面积为 100 50=5 000 m2.答案:C 4、如图，矩形 ABCD 中，M是 AD的中点 （1）求证：ABM DCM；（2）请你探索，当矩形 ABCD 的一组邻边满足何种数量关系时，有 BM CM成立，说明你的理由 （1）略 （2）AB=12AD时，BMCM 5、如图,在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，请添加一个条件，使四边形 EFGH 为菱形，并说明理由.解：添加条件：对角线相等.理由：连结 AC、BD.在ABC 中，AE=BE，BF=CF，EF 为ABC 的中位线.EF=AC21.同理可得 FG=BD21，GH=AC21，HE=BD21.又AC=BD（添加条件）,EF=FG=GH=HE.故四边形 EFGH 为菱形.6.如图,已知过平行四边形 ABCD 的对角线交点 O 作互相垂直的两条直线 EG、FH 与平行四边形 ABCD 各边分别相交于点 E、F、G、H.求证：四边形 EFGH 是菱形.答案:证明：在ABCD 中，OD=OB，OA=OC，ABCD，OBG=ODE.又BOG=DOE，OBGODE.OE=OG.同理 OF=OH.四边形 EFGH 是平行四边形.又EGFH，四边形 EFGH 是菱形.7、如图,已知平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别相交于 E、F.求证:四边形AFCE 是菱形.努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 9 答案:证明：EF 垂直平分 AC,EFAC,AO=CO.四边形 ABCD 为平行四边形,ADBC.AEO=CFO.AOECOF.OE=OF.四边形 AECF 是平行四边形.又ACEF,四边形 AFCE 是菱形.
