2023年相似三角形基本知识点归纳总结及典型例题.pdf

1 相似三角形 一、知识点梳理 知识点一：比例线段 1、比例：如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例，通常我们把dcba,四个实数成比例表示成：acbd或者 a：b=c：d，期中 b，c 称为比例内项，a，d 称为比例外项。acbd等式两边同乘以 bd，可得 ad=bc，反过来等式 ad=bc 同除以 bd，可得acbd 2、比例线段：在四条线段dcba,中，如果ba和的比等于dc和的比，即acbd，那么这四条线段dcba,叫做成比例线段，简称比例线段。3、比例中项：如果三个数 a，b，c 满足比例式abbc，那么 b 叫做 a、c 的比例中项，此时有2bac。4、黄金分割：如果点 P 把线段AB分成两条线段 AP和 PB，使PBAPAPAB，那么称线段 AB被点 P 黄金分割，点 P叫做线段AB的黄金分割点，比值叫做黄金比。512长短全长0.618 5、比例式变形：acabcdbdbd 或aacbbd()()()abcdacdcbdbadbca，交换内项，交换外项 同时交换内外项 例 1、如果ab 23，那么aab。例 2、若ab35，则abb的值是()A、85 B、35 C、32 D、58 例 3、若 4x=5y,则 xy .例 4、若3x4y5z，则yzyxxxzy .例 5、已知13yx 7y，则yyx 的值为 .例 6、如果 xyz135，那么zyxzyx33 例 7、如果32ba，且3,2 ba，那么51baba 例 8、如果2czbyax，那么cbazyx3232 2 例 9、已知cba=acb=bac x，求 x 知识点二：相似三角形 1、定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。如ABC 与DEF 相似，记作ABC DEF。几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等边三角形一定相似。两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。知识点三：相似三角形的判定 1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似 3、判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似 4、判定定理 2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 5、判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似 相似三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A型”与“X型”图）(2)如图：其中1=2，则ADE ABC称为“斜交型”的相似三角形。（有“反 A共角型”、“反 A共角共边型”、“蝶型”）（3）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”）”“三垂直型”）ABCDE12AABBCCDDEE12412ECABDEABC(D)EADCB(1)EABCD(3)DBCAE 3(4)如图：1=2，B=D，则ADE ABC，称为“旋转型”的相似三角形。例 1、如图，ABCAED,其中 DEBC，写出对应边的比例式。例 2、如图，已知ABCADE，AE=50 cm，EC=30 cm，BC=70 cm，BAC=45，ACB=40，求：1）AED和ADE的度数；2）DE的长。例 3、如图，小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形(阴影部分)与ABC 相似的是()例 4、如图所示，已知中，E 为 AB 延长线上的一点，AB=3BE，DE 与 BC 相交于 F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.例 5、已知：如图正方形 ABCD 中，P 是 BC 上的点，且 BP=3PC，Q 是 CD 的中点 求证：ADQQCP 例 6、已知：如图，AD 是ABC 的高，E、F 分别是 AB、AC 的中点 求证：DFEABC BEACD12 4 知识点四：相似三角形的性质及其应用(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方 例 1、ABCDEF，若ABC 的边长分别为 5cm、6cm、7cm，而 4cm 是DEF 中一边的长度，你能求出DEF 的另外两边的长度吗？试说明理由.例 2、ABC 中，DEBC，M 为 DE 中点，CM 交 AB 于 N，若，求.例 3、如图，已知 AB CD EF,AC=CE=EP,PAB的面积为 182cm，求四边形 CDEF 的面积。例 4、如图，在ABC在边中，点 D,E,F 分别在边 AB,AC,BC 上，DE BC,DF AC.已知ADBD=23，ABCSaDFCE，求的面积。例 5 有一块三角形的余料 ABC，它的边长 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB,AC 上，问加工成的正方形零件的边长为多少 mm？