2023年精品同角三角函数的基本关系知识点归纳总结与题型全面汇总归纳超详细知识汇总全面汇总归纳良心出品必属精品.pdf

1 高考明方向 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2cos21，sincostan.2.能利用单位圆中的三角函数线 推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式 备考知考情 同角关系式和诱导公式中的，2 是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题，主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、2 和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法.一、知识梳理名师一号P47 知识点一 同角三角函数的基本关系 平方关系：;1cossin22 商数关系：sintancos 注意：名师一号P50 问题探究 问题 1 在利用同角三角函数的基本关系中应注意哪些技巧？利用同角三角函数基本关系式化简求值时，涉及两个同角基本关系 sin2cos21 和tansincos，它们揭示同一角 的各三角函数 3 间的关系，需要在复习中通过解题、理解、掌握 尤其是利用sin2cos21及变形形式sin21cos2 或 cos21sin2 进行开方运算时，要注意符号判断 知识点二 诱导公式 记忆口诀:奇变偶不变，符号看象限!注意：名师一号P50 问题探究 问题 2 诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与 的大小有 4 关？无关，只是把 从形式上看作锐角，从而 2k(k Z)，2，2 分别是第一、三、四，二、一、二象限角 二、例题分析：（一)求值 例 1(1)名师一号P50 对点自测 4（09 全国卷文）o585sin的值为(A)22 (B)22 (C)32 (D)32 答案：A 例 1(补充)（2）17cos3的值为 5 答案：12 例 1(补充)（3）tan1665的值为 答案：1 注意：(补充)求任意角的三角函数值：负化正正化主0,2主化锐 例 1.(4)名师一号P51 高频考点 例 2(1)(2014安徽卷)设函数 f(x)(xR)满足f(x)f(x)sinx.当 0 x 时，f(x)0，则 f236()A.12 B.32 C0 D12 6 解:(1)由题意得 f236f176sin176 f116sin116sin176f56sin56sin116 sin176012121212.练习:(补充)（2009 重庆卷文）下列关系式中正确的是（）A000sin11cos10sin168 B000sin168sin11cos10 C000sin11sin168cos10 D000sin168cos10sin11 7 【答案】C sin168sin(18012)sin12,cos10cos(9080)sin80由于正弦函数sinyx在区间0,90 上为递增函数，因此sin11sin12sin80，即sin11sin168cos10。练习：如图所示的程序框图，运行后输出结果为()8 A1 B2680 C2010 D 1340 答案：C 例 2.(1)名师一号P51 高频考点 例 1(1)已知，32，tan 2，则 cos_.9 解:依题意得 tansincos2，sin2cos21，由此解得 cos215；又，32，因此 cos55.法二:?利用直角三角形求解 注意：(补充)三角函数求值中直角三角形的运用 先根据所给三角函数值，把角看成锐角构造相应的直角三角形，求出该锐角的各三角函数值，再添上符号即可 10 变式 1:已知 是第三象限角，tan 2，则cos _.变式 2:已知 tan 2，则 cos _.注意：(补充)利用同角关系由正弦、余弦、正切三个中知一求二 关注角终边所在位置对三角函数值符号的影响 练习：已知12cos13，求sin和tan。【答案】当是第一象限时，55sin,tan1312 当是第四象限时，55sin,tan1312 11 例 2.(2)名师一号P51 高频考点 例 3(1)(1)记 cos(80)k，那么 tan100等于()A.1k2k B 1k2k C.k1k2 D k1k2 解析 因为 cos(80)cos80 k，所以 sin801cos280 1k2，所以 tan100tan80sin80cos801k2k.例 3（1）名师一号P51 高频考点 例 2(2)12 已知 tan6 33，则 tan56 _.例 3（2）(补充)已知 cos414，则 sin2()A 78 B.78 C 3132 D.3132 答案：A 注意：(补充)关注已知角与待求角是否满足 2kkZ 或是倍半关系。13 练习 1:已知3cos63，则25cossin66 答案：233 练习 2:已知 cos(512)13，且2，则 cos(12)_.答案：2 23 练习 3:已知 sin6 14，则 sin62 _.答案 78 14 解析 sin62 cos262 cos32 12sin26 78.练习 4:对任意的 a(，0)，总存在 x0使得acosx a0 成立，则 sin(2x06)的值为_ 答案：12 例 4 名师一号P52 特色专题 【典例】(1)已知 sincos18，且5432，则 cossin的值为()15 A32 B.32 C34 D.34 【规范解答】(1)5432；cos0，sin0 且|cos|0.又(cossin)212sincos 121834，cossin32.(2)已知 sin()cos()23(2)，则 sincos _.16 【规范解答】(2)由 sin()cos()23.得 sincos23，将两边平方得 12sincos29，故 2sincos79.(sincos)212sincos 179169.又20，cos0.sincos43.【名师点评】解决此类问题的关键是等式(sincos)212sincos.但要特别注意对 sincos，sincos，sincos 17 符号的关注 数学思想系列之(三)sincos及 sincos 间的方程思想 对于 sincos，sincos，sincos这三个式子，已知其中的一个式子的值，可利用公式(sincos)212sincos，求其余两式的值，体现了方程思想的应用 6 月 19 日 15 班讲解至此 例 5(补充)（2）已知5sincos2，则1tantan 答案：8 注意：(补充)（1）2sincos12sincos （2）利用sintancos，进行切化弦 涉及sincos,sincos,sincos的问题 18 常采用平方法求解 例 4（3）名师一号P51 高频考点 例 3（2）已知 sin5a(a1，a0)求 cos145tan115tan95cos265的值 解 cos145tan115tan95cos265 19 cos5tan5tan5cos5 sin5sin5cos25aa1a2a32a1a2.练习：已知10,sincos25xxx 求sincosxx的值；求2sin 22sin1tanxxx的值 答案：75 24175 20 练习：已知sin,cos是方程244210 xmxm 的两个根，322，求角 答案：132m或132m（舍去）53 法二：21 2210 xxm 11,22xxm 例 5（1）名师一号P50 对点自测 2 若 tan 2，则sincossincos的值为()A13 B53 C.13 D.53 21 解析 sincossincostan 1tan 1212113.例 5（1）名师一号P51 高频考点 例 1(2)已知sin3cos3cossin5，则 sin2sincos的值是()A.25 B25 C2 D2 解:由sin3cos3cossin5，得tan 33tan5，即 tan 2.所以 sin2sincos 22 sin2sincossin2cos2 tan2tantan2125.注意：(补充)知tan的值，求关于sincos、齐次式的值（1）利用;1cossin22 将关于sincos、齐次整式化为 关于sincos、齐次分式，如s i nc o ss i nc o sabcd等。（2）利用sintancos，进行弦化切，即将关于sincos、齐次分式的分子、分母 同除以2coscos、等转化为关于tan的表达式求解。周练 15-16（2）16、（本小题满分 12 分）已知tan2 1求tan4的值；23 2求2sin2sinsincoscos 21的值 （二)化简 例 1.(补充)化简：1sin1sin1sin1sin1cos1cos1cos1cos 分析：“脱”去根号是我们的目标，这就希望根号下能成为完全平方式，注意到同角三角函数的平方关系式，利用分式的性质可以达到目标 解析：原式 24 2cos22cos2 2sin22sin2 1sin|cos|1sin|cos|1cos|sin|1cos|sin|2sin|cos|2cos|sin|注意：名师一号P48 高频考点 例 2 规律方法 注意：名师一号P51 问题探究 问题 3 三角函数值求值与化简有哪些常用方法？(1)弦切互化法：25 主要利用公式 tansincos化成正、余弦(2)和积转换法：利用(sincos)212sincos的关系进行变形、转化(3)巧用“1”的变换：1 sin2cos2cos2(1 tan2)tan4.课后作业 计时双基练 P243 基础 1-11、培优 1-4 课本 P51 变式思考 1、2、3；对应训练 1、2 预习 第三章 第三节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式