2023年等差数列知识点归纳总结全面汇总归纳及练习.pdf

等差数列 【知识点】1等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 an,若 an an 1=d(与 n 无关的数或字母)，n 2，n N，则此 数列是等差数列，其中 d 为公差 2等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d【或 an am(n m)d】d=am an m n 3等差中项 如果三个数 x，A，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的等差中项，如果 A 是 x xy 和 y 的等差中项，则 A 2.4等差数列的前 n 项和公式 n(a1 an)Sn n(n 1)d 1：Sn 2 na1 2：2 公式二又可化成式子：Sn d n 2(a1 d)n 2 2，当 d 0，是一个常数项为零的二次式 5.性质：等差数列 an 中，公差为 d，若 d0，则 an 是递增数列；若 d=0，则 an 是常数列；若 d0，则 an 是递减数列 （1）an 是等差数列，若 m n p q am an ap aq a1 an a2 an 1 ar an r 1 （2）若 p，q，r 成等差数列，ap，aq，ar 也成等差数列。（3）公差为 d 的等差数列 an 中，其子系列 ak，ak m，ak 2 m，(m N)也 成等差数列，且公差为 md。（4）公差为 d 的等差数列 an 中，连续相同个数的项的和也成等差数列，即 Sm，S2 m Sm，S3m S2m，也成等差数列，其公差为 m 2d。1 （5）等差数列的前 n 项和的性质：若项数为 2n n*，则 S2n n an S S nd S奇 an，an 1 ，且 偶 奇 S偶 an 1 若项数为 2n 1 n *，则 S2 n 1 2n 1 an，且 S奇 S偶 an，S奇 n S偶 n 1（其中 S奇 na n，S偶 n 1 an）6.充要条件的证明：an 1 an d 2a n 1an an 2 an dn c（关于 n 的一次函数）an 为等差数列 Sn an2 bn（a、b 为常数，是关于 n 的常数项 为 0 的二次函数）d 0 递增数列 d 0 常数列 d 0 递减数列 7、最值问题 在等差数列 an 中，a1 0，d 0，则 Sn 存在最大值，若 a1 0，d 0，则 Sn 存在最小值一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式：Sna1 a2 a3 an，Snan an 1 a1，n a1 an.得：Sn 2 【对应练习】题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、.等差数列 a n 的前三项依次为 a-6，2a-5，-3a+2，则 a 等于（)A.-1 B.1 C.-2 D.2 2在数列 a 中，a=2，2a=2a+1，则 a 的值为（）n 1 n+1 n 101 A49 B 50 C 51 D 52 3等差数列 1，1，3，89 的项数是（）A92 B 47 C 46 D 45 4、已知等差数列 a 中，a7 a9 16,a4 1,则 a12 的值是()n A 15 B 30 C 31 D 64 5.首项为 24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是 （）A.d 8 B.d3 C.8 d3 D.8 d 3 3 3 3 2 6、.在数列 an 中，a1 3，且对任意大于 1 的正整数 n，点(an,an 1)在直 x y 3 0 上，则 an=_.7、在等差数列 a n 中，a5 3，a6 2，则 a4a5 a10 8、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 a2 1,a3 3,则 S4（）（A）12 （B）10 （C）8（D）6 9、设数列 an 的首项 a1 7,且满足 a n 1 an 2(n N)，则 a1 a2 a17 _.10、已知 a n 为等差数列，a3 +a 8=22，a6=7，则 a5=_ 11、已知数列的通项 an=-5 n+2,则其前 n 项和为 Sn=.12、设 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和，S4 ，30，则 S9 .14 S10 S7 题型二、等差数列性质 1、已知 an为等差数列，a2+a8=12,则 a5 等于（）(A)4(B)5 (C)6 (D)7 2、设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 S7 35，则 a4（）A8B 7 C 6 D 5 3、若等差数列 an 中，a3 a7 a10 8,a11 a4 4,则 a7 _.4、记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S2 4，S4 20，则该数列的公差 d=（）A 7 B.6 C.3 D.2 5、等差数列 an 中，已知 a1 1，a2 a5 4，an 33，则 n 为（）3 （A）48 （B）49 a3（C）50（D）51 则 n（）6.、等差数列 an 中，a1=1,a5 ，其前 n 项和 Sn=100,+=14 =(A)9 (B)10 (C)11 (D)12 n 是等差数列 a n a5 5 则 S9（）7、设 S 的前 n 项和，若,S5 a3 9 A 1B1C2 D1 2 8、已知等差数列 a n 满足 1 2 3 1010 则有()A 0 B 2 0 C 0 D 51 1 101 100 3 99 51 9、如果 a1，a2，a8 为各项都大于零的等差数列，公差 d 0，则()（A）a1 a8 a4 a5（）a8 a1 a4a5（）a1+a8 a4+a5（）a1 a8=a4 a5 B C D 10、若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和 为 390，则这个数列有（）（A）13 项 （B）12 项 （C）11 项 （D）10 项 题型三、等差数列前 n 项和 1、等差数列 an 中，已知 a1 a2 a3 L a10 p，an 9 an 8 L an q，则其 前 n 项和 Sn 3 2、等差数列 2,1,4,的前 n 项和为（）A.1 3 4 B.1 n 3n 7 C.1 4 D.1 n n 2 n 3n n 3n 7 2 2 2 3、已知等差数列 an 满足 a1 a2 a3 a99 0，则 （）A.a 1 a 99 0 B.a 1 99 0 C.a 1 a 99 0 D.a 50 50 ZXXK a 4、在等差数列 an 中，a1 a2 a3 15,an an 1 an 2 78，Sn 155，则 n 。5、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S2 2,S4 10,则 S6等于（）A12 B 18 C 24 D 42 6、若等差数列共有 2n 1 项 n N*，且奇数项的和为 ，偶数项的和为，44 33 则项数为 （）A.5 B.7 C.9 D.11 7、设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S3 9，S6 36，则 a7 a8 a9 8、若两个等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别是 Sn，Tn，已知 Sn 7n，则 a5 Tn n 3 b5 等于（）7 2 27 21 3 8 4 题型四、等差数列综合题精选 1、等差数列 an 的前 n 项和记为 Sn.已知 a10 30,a20 50.（）求通项 an；n=242，求 n.（）若 S 2、已知数列 an 是一个等差数列，且 a2 1，a5 5。（1）求 an 的通项 an；（）求 an 前 n 项和 Sn 的最大值。2 4 3、设 an 为等差数列，Sn 为数列 an 的前 n 项和，已知 S7 7，S15 75，Tn 为数列 Sn 的前 n 项和，求 Tn。n 4、已知 an 是等差数列，a1 2，a3 18；bn 也是等差数列，a2 b2 4，b1 b2 b3 b4 a1 a2 a3。（1）求数列 bn 的通项公式及前 n 项和 Sn 的公式；（2）数列 an 与 bn 是否有相同的项？若有，在 100 以内有几个相同项？若没有，请说明理由。5、设等差数列 an 的首项 a1 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn.()若 a11=0,S14=98,求数列 an的通项公式；()若 a1 6，a110，S1477，求所有可能的数列 an的通项公式.5 6、已知二次函数 y f(x)的图像经过坐标原点，其导函数为 f (x)6x 2，数 列 an 的前 n 项和为 Sn，点(n,Sn)(n N)均在函数 y f(x)的图像上。()求 数列 an 的通项公式；()设 b n 3,Tn 是数列 bn 的前 n 项和，求使得 Tn m 对所有 n N 都成 an an 1 20 立的最小正整数 m；【课后练习】1、等差数列 an 的前三项依次为 x，2x 1，4 x 2，则它的第 5 项为（）A、5x 5 B 、2x 1 C、5 D 、4 2、设等差数列 an 中，a4 5,a9 17,则 a14 的值等于（）A、11 B 、22 C、29 D 、12 3、设 an 是公差为正数的等差数列，若 1 2 3 1 2 3 a a a 15，a a a 80，则 a11 a12 a13()A120 B 105 C 90 D 75 4、若等差数列 an 的公差 d 0，则（）（A）a2 a6 a3a5 （B）a2 a6 a3a5 （C）a2 a6 a3a5 （D）a2 a6 与 a3a5 的大小不确定 5、已知 an 满足，对一切自然数 n 均有 an 1 an，且 an n2 n 恒成立，则实 数 的取值范围是（）0 0 0 3 6、等差数列 an 中，a1 1,公差 d 0,若 a1,a2,a5成等比数列，则 d 为（）(A)3 (B)2 (C)2(D)2 或 2 7、在等差数列 an 中，a p q,aq p(p q)，则 ap q（）A、p q B、(p q)C 、0 D、pq 6 8、设数列 an 是单调递增的等差数列，前三项和为 12，前三项的积为 48，则它 的首项是（）A、1 B、2 C、4 D 、8 9、已知 为等差数列，a1 a3 a5 105,a2 a4 a6 99，则 a20 等于（）A.-1 B.1 C.3 D.7 10、已知 an 为等差数列，且 a7 2 a4 1,a3 0,则公差 d（）A.2 B.1 C.1 D.2 2 2 、在等差数列 a 中，a2 a8 4,则 其前 9 项的和 9 等于（）11 n S A18 B 27 C 36 D 9 12、设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S3 9，S6 36，则 a7 a8 a9（）A63 B 45 C 36 D 27 13、数列 an 是等差数列，它的前 n 项和可以表示为（）A.Sn An2 Bn C B.Sn An 2 Bn C.Sn An2 Bn C a 0 D.Sn An 2 Bn a 0 14、在等差数列 an 中，a1 a2 a3 15,an an 1 an 2 78，Sn 155，则 n 。15、在等差数列 a n 中，an=m，an+m=0，则 am=_ _。16、在等差数列 a 中，a+a+a+a=20，则 S=_。n 4 710 13 16 17、在等差数列 a n 中，a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8+a9+a10=30，则从 a15 到 a30 的和是 _ 。18、已知等差数列 110，116，122，则大于 450 而不大于 602 的各 项之和为 _ 。19、已知等差数列 a n 的公差 d=，前 100 项的和 S100=145 求：a 1+a3+a5+a99 的值。7 20、已知等差数列 a n 的首项为 a，记 (1)求证：b n 是等差数列 (2)已知 a n 的前 13 项的和与 b n 的前 13 的和之比为 3 ：2，求b n 的公差。21、在等差数列 a n 中，a1=25，S 17=S9 (1)求 a n 的通项公式 (2)这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值。22、等差数列 a n 的前 n 项的和为 Sn，且已知 Sn 的最大值为 S99，且|a 99|a 100|求使 Sn 0 的 n 的最大值。8 【思考题】例 1已知两个等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且 An 7n 45，Bn n 3 则使 an 得为整数的正整数 n 的个数是()bn (A)2(B)3(C)4(D)5 例 2已知函数 f(x)4x :4x 2 ()若 x1+x2=1，求 f(x1)+f(x2)的值；()设 an f(n)，求数列 an 的前 2010 项的和 2011 例 3数列 an 的前 n 项和为 Sn=npan(n N*)且 a1a2，()求常数 p 的值；()证明：数列 an 是等差数列 9