2023年相似三角形讲义及练习.pdf
相似三角形 一、比例线段 1、定义：对于四条线段 a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另外两条线段长度的比 ，即 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。2、比例线段的基本性质：dcba dbca bcad cbba acb 2 其中 b 为比例中项 合比性质：ddcbbadcba 等比性质：badbcanfdbmecanmfedcba 3、黄金分割：一条线段 AB,点 P 是线段 AB上的一个点，如果满足：ABAPAPPB，那么称线段 AB被 P 点黄金分割，点 P为线段 AB的黄金分割点，AP与 AB的比值约为，这个比值称为黄金比。例 1、判断下列线段是否是成比例线段：（1）a=2 cm,b=12 cm,c=8 cm,d=3 cm;（1）a=7,b=3,c=21,d=9.例 2、若 a:3=b:7,则（a+3b）:2b=.例 3、已知三条线段 a=1cm,b=2cm,c=3cm,若线段 d 与 a、b、c 成比例，请求出线段 d 的长度。例 4、已知53efdcba，且032edb，求edbfca3232的值。例 5、等腰三角形ABC中，AB=AC，72ABC，ABC的角平分线 BD交 AC于 D，且 D是线段 AC的黄金分割点，若 AB=8cm，求 AD的长。二、相似图形的性质 1、定义：我们把具有 的图形称为相似图形。2、相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等。3、判定两个多边形是否相似：对应边成比例，对应角相等。三、相似三角形 1、定义：对应 相等，且对应 成比例的三角形，叫做相似三角形。2、表示方法：用符号表示，读作相似于。3、相似三角形的相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。4、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。5、判定三角形相似的思路：、有平行截线-用判定定理中的基本定理 、有一对等角，找 a、另一对等角，b、夹边成比例 、有两边对应成比例，找 a、夹角相等，b、第三边也对应成比例，c、有一对直角。、直角三角形，找 a、一对锐角相等，b、斜边、直角边对应成比例 、等腰三角形，找 a、顶角相等，b、一对底角相等，c、底和腰成比例。6、相似三角形的判定定理：（1）SAS：两边对应成比例且两对应边的夹角相等。（2）SSS：三条边对应成比例。（3）ASA：两角对应相等。7、对于直角三角形相似的判定法则：一条直角边与对应斜边成比例。8、对于全等三角形的判定法则：对应边相等。9、直角三角形相似定理：（1）直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一 条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。10、相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若 a/b=b/c，即 b2=ac，b 叫做 a,c 的比例中项(8)c/d=a/b 等同于 ad=bc.定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个 三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三 角形相似。11、中位线：（1）定义：我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。（2）定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半。（3）重心定理：三角形三条边上的中线交与一点，这个角就是三角形的重心，重心与一边中点的连线长是对应中线的31。（4）梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底和的一半。例 1、已知：如图，E是 BA的延长线上的一点，F 是 BC的中点，连接 EF交 AC于D。求证：EBEADCAD.例 2、如图所示，在ABC中，BA=BC=20CM，AC=30CM，点 P 从 A点出发，沿着 AB以每秒 4CM的速度向 B 点运动；同时点 Q从 C 点出发，沿 CA以每秒 3CM的速度向 A点运动，设运动时间为x。（1）当x为何值时，PQ/BC（2）当31ABCBCQSS,求ABCBPQSS的值；（3）APQ能否与CQB相似若能，求出 AP的长；若不能，请说明理由。例 3、如图，某同学想测旗杆高度 AB，他在某一时刻得 1 米的竹竿直立时影长为米，在同一时刻，测得旗杆影长时，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长 AC为 21 米，留在墙上的影高 CD为 2 米，求旗杆 AB的高 例 4、如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，求证：AB:AC=BD:DC。例 5、如图所示，在ABC中，AM是 BC边上的中线，AE平分BAC，BD AE的延长线于 D，且交 AM延长线于 F，求证：EF/AB。练习：1、若,0,032,053xyzzyxzyx且求zyx:的值。2、已知0753zyx，求zyxzyx35432的值。3、已知 a、b、c 为ABC的三边，且cmcba60，5:4:3:cba，求ABC的面积。4、已知4:3:2:zyx，50zyx，5axy，求 a 的值。5、已知mcbabcaacb，求 m的值，并判断直线mmxy经过哪些象限 6、若 a、b、c是 非 零 实 数，并 满 足acbabcbaccba，且abcaccbbax)()(，求 x 的值。7、设 P、Q是线段 AB上的黄金分割点，且 PQ=a，求 AB的长。8、如图，线段 AB=2，点 C是 AB的黄金分割点，点 D在 AB上，且ABBDAD2,求ACCD的值。9、如图，ABC中，D是 BC边上的中点，E在 AD上，且ADAE61，求FBAF的值。10、如图，在ABC中，2:1:FCAF，G是 BF的中点，AG的延长线交 BC于 E，求ECBE:。11、如图，DE/BC，9:4:COBDOESS,求 AD:BD。12、在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法 小芳的测量方法是：拿一根高米的竹竿直立在离旗杆 27 米的 C处（如图），然后沿 BC方向走到 D处，这时目测旗杆顶部 A与竹竿顶部 E恰好在同一直线上，又测得 C、D两点的距离为 3 米，小芳的目高为米，这样便可知道旗杆的高你认为这种测量方法是否可行请说明理由 相似三角形巩固练习题 一、填空题 1在ABC中，B=25，AD是 BC边上的高，并且 AD2=BDDC，则BCA的度数为 _ 2已知：如图，在ABC中，AB=15m，AC=12m，AD是BAC的外角平分线，DEAB交 AC的延长线于点 E，那么 CE=_ m （2 题）（3 题）（4 题）3如图，已知 RtABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点 C作 CA1AB，垂足为A1，再过A1作 A1C1BC，垂足为C1，过 C1作 C1A2AB，垂足为A2，再过 A2作 A2C2BC，垂足为C2，这样一直做下去，得到了一组线段 CA1，A1C1，C1A2，则 CA1=_，=_ 4如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AC，BD交于点 O，SAOD：SCOB=1：9，则 SDOC：SBOC=_ 5如图，在平行四边形 ABCD 中，E是边 BC上的点，AE交 BD于点 F，如果，那么=_ (6 题)（7 题）（5 题）6如图，在ABD中，ADB=90，C是 BD上一点，若 E、F 分别是 AC、AB的中点，DEF的面积为，则ABC的面积为 _ 7在矩形 ABCD 中，E、F分别是边 AD、BC的中点，点 G、H在 DC边上，且 GH=DC 若AB=10，BC=12，则图中阴影部分的面积为 _ 8如图，在 ABCD 中，E为 CD中点，AE与 BD相交于点 O，SDOE=12cm2，则 SAOB等于 _ cm2 9 如图，在ABC中，EFBC，AE=2BE，则AEF与梯形 BCFE的面积比 _ 10如图，在ABC中，C=90，AC=8，CB=6，在斜边 AB上取一点 M，使 MB=CB，过 M作 MNAB 交 AC于 N，则 MN=11 如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB 于D，若AD=1，BD=4，则CD=_ 12如图，在ABC中，M、N是 AB、BC的中点，AN、CM交于点 O，那么MON 与AOC面积的比是 _ 13如图，AD=DF=FB，DEFGBC，则 S：S：S=_ 14 如图，已知点 D是 AB边的中点，AFBC，CG：GA=3：1，BC=8，则 AF=_ 二、解答题 15已知：如图，在直角梯形 COAB 中，OCAB，以 O为原点建立平面直角坐标系，A，B，C三点的坐标分别为 A（8，0），B（8，10），C（0，4），点 D为线段 BC的中点，动点 P从点 O出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线 OABD 的路线移动，移动的时间为 t秒（1）求直线 BC的解析式；（2）若动点 P 在线段 OA上移动，当 t 为何值时，四边形 OPDC 的面积是梯形 COAB 面积的；（3）动点 P 从点 O出发，沿折线 OABD 的路线移动过程中，设OPD的面积为 S，请直接写出 S 与 t 的函数关系式，并指出自变量 t 的取值范围；16在平面直角坐标系内，已知点 A（0，6）、点 B（8，0），动点 P从点 A开始在线段AO上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O移动，同时动点 Q从点 B开始在线段 BA上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A移动，设点 P、Q移动的时间为 t 秒（1）求直线 AB的解析式；（2）当 t 为何值时，以点 A、P、Q为顶点的三角形与AOB相似（3）当 t=2 秒时，四边形 OPQB 的面积多少个平方单位
