2023年精品北师大版九上第一章特殊平行四边形单元评价检测含超详细解析超详细解析答案解析1.pdf

-1-第一章特殊平行四边形评价检测(45 分钟100 分)一、选择题(每小题 4 分,共 28 分)1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是()A.每一条对角线平分一组对角;B.对角线相等;C.对角线互相平分;D.对角线互相垂直【解析】选 C.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形,平行四边形具有的性质就是矩形,菱形,正方形都具有的性质,矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分.【知识归纳】矩形、菱形、正方形对角线性质的区别(1)矩形的对角线相等但不垂直.(2)菱形的对角线垂直但不相等.(3)正方形的对角线相等而且垂直.2.如图,矩形 ABCD 中,E 在 AD 上,且 EFEC,EF=EC,DE=2,矩形的周长为16,则 AE 的长是()A.3 B.4 C.5 D.7【解题指南】解答本题的三个关键(1)由矩形的性质和EF EC,EF=EC,得出 AEFDCE.(2)由全等得 AE=CD,再结合矩形的周长,求出 AD.(3)用 AD 减 DE 得出 AE 的长.【解析】选 A.矩形 ABCD 中,EF EC,DEC+DCE=90,DEC+AEF=90,AEF=DCE,又 EF=EC,AEFDCE,AE=CD,矩形的周长为16,即 2CD+2AD=16,CD+AD=8,AD-2+AD=8,AD=5,AE=AD-DE=5-2=3.3.下列说法正确的是()A.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形B.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形-2-C.对角线互相垂直的四边形是平行四边形D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形【解析】选 D.对角线相互平分且互相垂直的四边形是菱形,A,B 选项错误;对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形,C 选项错误;D 选项正确,故选 D.4.如图,在矩形 ABCD 中,BC=2,AE BD,垂足为 E,BAE=30 ,那么 ECD 的面积是()A.2B.C.D.【解析】选 C.如图,过点 C 作 CF BD 于 F.矩形 ABCD 中,BC=2,AE BD,BAE=30,ABE=CDF=60,AB=CD,AD=BC=2,AEB=CFD=90 .ABECDF.AE=CF.ADE=BAE=30,AE=AD=1,DE=,SECD=ED CF=ED AE=.【变式训练】如图,在矩形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,BAE=30,AE=2,则矩形 ABCD 的面积为.【解析】在 RtABE 中,AE=2,BAE=30,BE=AE=1,AB=.E 是 BC 的中点,BC=2BE=2,矩形 ABCD 的面积=AB BC=2.答案:2的性质就是矩形菱形正方形都具有的性质矩形菱形正方形都具有的性质是对角线互相平分知识归纳矩形菱形正方形对在上且矩形的周长为则的长是解题指南解答本题的三个关键由矩形的性质和得出由全等得再结合矩形的周长求出用减直且平分的四边形是正方形对角线互相垂直的四边形是平行四边形对角线相等且互相平分的四边形是矩形解析选对角-3-5.如图,已知菱形ABCD 与 ABE,其中 D 在 BE 上.若 AB=17,BD=16,AE=25,则 DE 的长度为()A.8 B.9 C.11 D.12【解析】选 D.连接 AC,设 AC 交 BD 于 O 点,四边形 ABCD 为菱形,ACBD,且 BO=DO=8,在 AOD 中,AOD=90 ,AO=15,在 AOE 中,AOE=90 ,OE=20,又 OD=8,DE=OE-OD=20-8=12.6.如图,在矩形 ABCD 中,AB=10,BC=5,点 E,F 分别在 AB,CD 上,将矩形 ABCD 沿 EF 折叠,使点 A,D 分别落在矩形 ABCD 外部的点A1,D1处,则阴影部分图形的周长为()的性质就是矩形菱形正方形都具有的性质矩形菱形正方形都具有的性质是对角线互相平分知识归纳矩形菱形正方形对在上且矩形的周长为则的长是解题指南解答本题的三个关键由矩形的性质和得出由全等得再结合矩形的周长求出用减直且平分的四边形是正方形对角线互相垂直的四边形是平行四边形对角线相等且互相平分的四边形是矩形解析选对角-4-A.15 B.20 C.25 D.30【解 析】选D.根 据 折 叠 的 性 质,A1E=AE,A1D1=AD,D1F=DF;所 以 阴 影 部 分 的 周 长=矩 形 的 周 长=2(10+5)=30.7.如图,正方形 ABCD 中,AB=3,点 E 在边 CD 上,且 CD=3DE.将 ADE 沿 AE 对折至AFE,延长 EF 交边 BC 于点 G,连接 AG,CF.下列结论:点 G 是 BC 的中点;FG=FC;SFGC=.其中正确的是()A.B.C.D.【解析】选 B.正确.理由:正方形 ABCD 中,AB=3,CD=3DE,ED=CD=1.EC=2.由对折得 AFE ADE.进而得,AF=AD,EF=ED =1,AFE=D=90.可证 ABG AFG.设 BG=x,则 FG=x,GC=3-x.在 RtEGC 中,由勾股定理得GC2+EC2=EG2,即(3-x)2+22=(1+x)2.解得 x=,即 BG=BC.不正确.理由:GF=,EF=1,点 F 不是 GE 的中点.假设 FG=FC,则FGC=FCG.由等角的余角相等,得FEC=FCE.EF=FC.FG=EF.这与前面的结论:点 F 不是 GE 的中点相矛盾.所以假设不成立.正确.理由:GFC 中,设 GC 边上的高为 h,则 h=EC=.SGFC=GC h=.二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)8.等边三角形、平行四边形、矩形、正方形四个图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是.【解析】等边三角形是轴对称图形,不是中心对称图形;平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形;矩形、正方形是轴对称图形,也是中心对称图形.答案:矩形和正方形【易错提醒】平行四边形是中心对称图形,但不是轴对称图形,本题易误认为平行四边形既是轴对称图形又是中心对称图形.【知识归纳】特殊平行四边形的对称性(1)矩形、菱形、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.的性质就是矩形菱形正方形都具有的性质矩形菱形正方形都具有的性质是对角线互相平分知识归纳矩形菱形正方形对在上且矩形的周长为则的长是解题指南解答本题的三个关键由矩形的性质和得出由全等得再结合矩形的周长求出用减直且平分的四边形是正方形对角线互相垂直的四边形是平行四边形对角线相等且互相平分的四边形是矩形解析选对角-5-(2)矩形与菱形有两条对称轴,正方形有四条对称轴.(3)对角线的交点是它们的对称中心,过对称中心的任一条直线均把原图形分成面积相等的两部分.9.如图所示,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,试添加一个条件:,使得平行四边形ABCD 是菱形.【解析】添加ACBD,则对角线互相垂直的平行四边形是菱形;添加AD=DC,则一组邻边相等的平行四边形是菱形.答案:AC BD(或 AD=DC,答案不唯一)10.如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD相交于点O,点 E,F 分别是 AO,AD 的中点,若 AB=6cm,BC=8 cm,则AEF 的周长=.【解析】在 RtABC 中,AC=10(cm),点 E,F 分别是 AO,AD 的中点,EF 是 AOD 的中位线,EF=OD=BD=AC=2.5(cm),AF=AD=BC=4(cm),AE=AO=AC=2.5(cm),AEF 的周长=AE+AF+EF=9cm.答案:9cm【变式训练】如图,顺次连接菱形ABCD的各边中点E,F,G,H.若 AC=a,BD=b,则四边形EFGH的面积是.【解析】点 E,F 分别是菱形边AB,BC 的中点,EF 是 ABC 的中位线,EF=AC,且 EFAC.同理,HG=AC,且 HG AC,EF=HG,且 EFHG.四边形 EFGH 是平行四边形,且 EHFG,EH=FG=BD.又四边形ABCD 是菱形,的性质就是矩形菱形正方形都具有的性质矩形菱形正方形都具有的性质是对角线互相平分知识归纳矩形菱形正方形对在上且矩形的周长为则的长是解题指南解答本题的三个关键由矩形的性质和得出由全等得再结合矩形的周长求出用减直且平分的四边形是正方形对角线互相垂直的四边形是平行四边形对角线相等且互相平分的四边形是矩形解析选对角-6-ACBD,EF EH,四边形 EFGH 的面积=EF EH=ab=ab.答案:ab11.如图,在矩形 ABCD 中,AE=AF,过点 E 作 EH EF 交 DC 于点 H,过 F 作 FG EF 交 BC 于 G,连接 GH,当AD,AB 满足时,四边形 EFGH 为矩形.【解析】四边形 ABCD 是矩形,A=90.AE=AF,AFE=AEF=45.又 EH EF,FG EF GFB=HED=45,DHE 和 BGF 都是等腰直角三角形.如果四边形EFGH 是矩形,则 EH=FG,ED=FB,又 AE=AF,AD=AB.答案:AD=AB12.如 图,四 边 形ABCD与AEFG都 是 菱 形,其 中 点C在AF上,点E,G分 别 在BC,CD上,若BAD=135,EAG=75,则=.【解析】作 EHAB 于 H,的性质就是矩形菱形正方形都具有的性质矩形菱形正方形都具有的性质是对角线互相平分知识归纳矩形菱形正方形对在上且矩形的周长为则的长是解题指南解答本题的三个关键由矩形的性质和得出由全等得再结合矩形的周长求出用减直且平分的四边形是正方形对角线互相垂直的四边形是平行四边形对角线相等且互相平分的四边形是矩形解析选对角-7-由对称性知,两菱形分别关于AF 对称,BAE=DAG=(BAD-EAG)=30,B=180-BAD=45.在 RtBHE 中,B=BEH=45,设 BH=x,则 EH=BH=x,在 RtEHA 中,BAE=30,AE=2 HE=2x,AH=x.AB=BH+AH=x+x,故=.答案:三、解答题(共 47 分)13.(10 分)如图,在四边形 ABFC 中,ACB=90 ,BC 的垂直平分线EF 交 BC 于点 D,交 AB 于点 E,且 CF=AE.(1)求证:四边形 BECF 是菱形.(2)若四边形 BECF 为正方形,求 A 的度数.【解析】(1)BC 的垂直平分线EF 交 BC 于点 D,BF=FC,BE=EC.又 ACB=90 ,EFAC.=.D 为 BC 中点,=,E 为 AB 中点,即 BE=AE,CF=AE,的性质就是矩形菱形正方形都具有的性质矩形菱形正方形都具有的性质是对角线互相平分知识归纳矩形菱形正方形对在上且矩形的周长为则的长是解题指南解答本题的三个关键由矩形的性质和得出由全等得再结合矩形的周长求出用减直且平分的四边形是正方形对角线互相垂直的四边形是平行四边形对角线相等且互相平分的四边形是矩形解析选对角-8-CF=BE,CF=FB=BE=CE,四边形 BECF 是菱形.(2)四边形 BECF 为正方形,BEC=90 .又 AE=CE,A=45.【互动探究】四边形 BECF 的面积与 ABC 的面积有什么关系?为什么?提示:四边形 BECF 的面积与 ABC 的面积相等,理由如下:四边形 BECF 是菱形,CF AB.CF=AE,SCFB=SAEC,SCFB+SCEB=SAEC+SCEB,即:四边形 BECF 的面积=ABC 的面积.14.(12 分)如图,已知菱形 ABCD,AB=AC,E,F 分别是 BC,AD 的中点,连接 AE,CF.(1)证明:四边形 AECF 是矩形.(2)若 AB=8,求菱形的面积.【解析】(1)四边形 ABCD 是菱形,AB=BC,又 AB=AC,ABC 是等边三角形,E 是 BC 的中点,AEBC,AEC=90 ,E,F 分别是 BC,AD 的中点,AF=AD,EC=BC,四边形 ABCD 是菱形,ADBC 且 AD=BC,AFEC 且 AF=EC,四边形 AECF 是平行四边形,又 AEC=90 ,四边形 AECF 是矩形.的性质就是矩形菱形正方形都具有的性质矩形菱形正方形都具有的性质是对角线互相平分知识归纳矩形菱形正方形对在上且矩形的周长为则的长是解题指南解答本题的三个关键由矩形的性质和得出由全等得再结合矩形的周长求出用减直且平分的四边形是正方形对角线互相垂直的四边形是平行四边形对角线相等且互相平分的四边形是矩形解析选对角-9-(2)在 RtABE 中,AE=4,所以,S菱形=8 4=32.15.(12分)(2014新民市一模)已知:如图,在四边形ABCD 中,点 G 在边 BC 的延长线上,CE 平分 BCD,CF平分 GCD,EF BC 交 CD 于点 O.(1)求证:OE=OF.(2)若点 O 为 CD 的中点,求证:四边形 DECF 是矩形.【解析】(1)CE 平分 BCD,CF 平分 GCD,BCE=DCE,DCF=GCF,EF BC,BCE=FEC,EFC=GCF,DCE=FEC,EFC=DCF,OE=OC,OF=OC,OE=OF.(2)点 O 为 CD 的中点,OD=OC,又 OE=OF,四边形 DECF是平行四边形,CE 平分 BCD,CF 平分 GCD,DCE=BCD,DCF=DCG,DCE+DCF=90,即 ECF=90,四边形 DECF是矩形.16.(13 分)(2013青岛中考)已知:如图,在矩形 ABCD 中,M,N 分别是边 AD,BC 的中点,E,F 分别是线段 BM,CM的中点.的性质就是矩形菱形正方形都具有的性质矩形菱形正方形都具有的性质是对角线互相平分知识归纳矩形菱形正方形对在上且矩形的周长为则的长是解题指南解答本题的三个关键由矩形的性质和得出由全等得再结合矩形的周长求出用减直且平分的四边形是正方形对角线互相垂直的四边形是平行四边形对角线相等且互相平分的四边形是矩形解析选对角-10-(1)求证:ABM DCM.(2)判断四边形MENF 是什么特殊四边形,并证明你的结论.(3)当 AD AB=时,四边形 MENF 是正方形(只写结论,不需证明)【解析】(1)在矩形 ABCD 中,AB=CD,A=D=90,又 M 是 AD 的中点,AM=DM,ABM DCM(SAS).(2)四边形 MENF 是菱形.证明:E,F,N 分别是 BM,CM,CB 的中点,NFME,NF=ME,四边形MENF 是平行四边形,由(1)得 BM=CM,ME=MF,MENF 是菱形.(3)2 1.的性质就是矩形菱形正方形都具有的性质矩形菱形正方形都具有的性质是对角线互相平分知识归纳矩形菱形正方形对在上且矩形的周长为则的长是解题指南解答本题的三个关键由矩形的性质和得出由全等得再结合矩形的周长求出用减直且平分的四边形是正方形对角线互相垂直的四边形是平行四边形对角线相等且互相平分的四边形是矩形解析选对角