2023年精品讲义.第二讲逻辑代数基础知识.pdf

第二讲 逻辑代数基础知识 本讲重点 1.三种基本逻辑运算和几种常用逻辑运算；2.逻辑代数的基本公式、常用公式及定理；3.逻辑函数及其表示方法。本讲难点 1.常用逻辑公式的证明；2.逻辑真值表、逻辑式、逻辑图、波形图之间的相互转换。教学手段 本讲多数是基础概念问题，宜于教师讲授为主，用多媒体演示为主、板书为辅。教学步骤 教学内容 设计意图 表达方式 1 回忆上一 讲 反码、补码和补码运算内容，导入逻辑代数基础知识。上一讲反码、补码和补码运算内容回忆：原码：最高位为符号位，正数为 0，负数为 1。补码：最高位作为符号位，正数为 0，负数为 1。正数的补码和它的原码相同；负数的补码需先将原码数值逐位求反，然后在最低位加 1。逐位求反也是基本逻辑运算之一 1 1001 补=1 1011例：N=1 0101，1 0101 反=1 1010 计算9-5=(1001)B-(0101)B补码运算例：舍去1 0 0 1-0 1 0 10 1 0 0补码补码0 1 0 0 1+1 1 0 1 11 0 0 1 0 0减法变加法 为 了 与 前次 课 内 容衔接，需要进 行 简 单回 忆。之后，引入新教学内容，效果会好。为 了 节 约课 时 采 用课 件 PPT演 示 方 式组织教学。2 提出问题，导入逻辑代数基础知识所要讲述的内容。1数字电路、逻辑电路以及逻辑代数之间是何种关系；2基本逻辑运算和几种常用逻辑运算有哪些，都是如何定义的；3逻辑代数有哪些公式和定理或规则；4逻辑函数如何定义其表示方法有哪些；5如果有多种方式表示逻辑函数，它们之间如何转换？用 问 题 激发 学 生 听课的兴趣。3 对问题的逐一讲解、解答。3.1 讲解数 字 电路、逻辑电路以及逻辑代数之间是何种关系。3.2 讲解基本逻辑运算和常用逻辑运算概念和定义。3.2.1讲解基本逻辑运算概念 1数字电路的基本概念 在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是逻辑代数布尔代数或开关代数。逻辑变量：用字母表示，取值只有 1 和 0。此时，1 和 0 不再表示数量的大小，只代表两种不同的状态。表示事件的发生与否、电平的高低、指示灯的亮灭、开关的通断等二值信息。2基本逻辑运算和几种常用逻辑运算 三种基本逻辑运算 1与逻辑与运算 与逻辑：仅当决定事件(Y)发生的所有条件(A，B，C，)均满足时，事件(Y)才能发生。表达式为：。例：开关 A，B 串联控制灯 Y 亮或灭。开关闭合定义为控制事件发生，灯被点亮定义为被控事件发生。EABY 功能表灯开关灭灭灭亮断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合YA 开关B 真值表YA B00010 0011 01 1 将开关接通记作 1，断开记作 0；灯亮记作 1，灯灭记作 0。可以作出表格来描述与逻辑关系真值表方式描述。两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为：。实现与逻辑的电路称为与门。与门的逻辑符号如下。该 部 分 主要 是 让 学生 们 掌 握数 字 电 路研 究 工 具逻 辑 代 数基础知识。为 了 节 约课 时 采 用课 件 PPT演 示 方 式组织教学。此处注意：要 提 醒 学生，正负逻辑问题，课程 主 要 针对 正 逻 辑进行讨论。3.2.2讲解几种常用逻辑运算概念 Y A B&ABY CABYCAYBC&2或逻辑或运算 或逻辑：当决定事件Y发生的各种条件A，B，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件Y就发生。表达式为：=。例：开关 A，B 并联控制灯 Y，只要任意有一个开关接通，灯就会亮。逻辑表达式为：=+。EABY 功能表灯开关灭亮亮亮断开断开断开闭合闭合断开闭合闭合YA 开关B 真值表YA B01110 001101 1 实现或逻辑的电路称为或门。或门的逻辑符号：Y=A+BABYAB1Y Y=A+B+CABYCABC1Y 3非逻辑非/反运算 非逻辑：当决定事件(Y)发生的条件(A)满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为：AY。例：实现非逻辑功能的开关 A 控制灯 Y，如下图。EAYR功能表亮断开灭闭合灯Y开关A真值表10 01YA 实现非逻辑的电路称为非门。非门的逻辑符号：YA1AYAY 课堂设计：与 逻 辑 运算 可 采 用实例教学，这 易 于 学生 理 解 和掌握。课堂设计：或 逻 辑 运算 可 采 用实例教学，这 易 于 学生 理 解 和掌握。课堂设计：非 逻 辑 运算 可 采 用 3.3 讲解逻辑代数 常用的逻辑运算 与非运算 逻辑表达式为：BAY YA B11100 00 11 01 1真值表BAYAAYB&BY 或非运算 逻辑表达式为：BAY YA B10000 00 11 01 1真值表BAYAAYB1BY 异或运算 逻辑表达式为：BABABAY YA B01100 00 11 01 1真值表BAYAAYB=1BY00=0；01=1；10=1；11=0。A。1AA；A 0；AA1；0AA异或逻辑的运算规则：同或运算 逻辑表达式为：BABAYAB 10010 00 11 01 1YA BY=AB真值表AAYB=BY同或逻辑的运算规则：00=1；01=0；10=0；11=1。A0=；AA1=A；AA=1；A=0。A BAAB 与或非运算 实例教学，这 易 于 学生 理 解 和掌握。为 了 节 约课 时 采 用课 件 PPT演 示 方 式组织教学。此处强调：常 用 逻 辑运 算 只 是“与、或、非”三种基本 逻 辑 运算的组合。为 了 节 约课 时 采 用课 件 PPT演 示 方 式组织教学。公式和定理与规则 3.3.1讲解逻辑代数的基本公式和常用公式 DCBAYABCDYADY1&BCAY1&BCDEFABCDYEFAY1&BCDEFABEFYCDFEDCBAYFEDCBAY 3逻辑代数有哪些公式和定理或规则 逻辑代数的基本公式和常用公式 公理交换律结合律分配律0 0=00 1=1 0=0 1 1=10+0=01+0=0+1=1 1+1=1A B=B A A+B=B+A(A B)C=A(B C)(A+B)+C=A+(B+C)A(B+C)=A B+A C A+B C=(A+B)(A+C)求证：A+BC=(A+B)(A+C)证明：右式=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC=A+A(B+C)+BC=A(1+B+C)+BC=A1+BC=A+BC=左式 注：也可以用真值表证明。公式推广：A+BCD=(A+B)(A+CD)=(A+B)(A+C)(A+D)0-1律A 0=0 A+1=1自等律A 1=AA+0=A互补律A A=0 A+A=1重叠律A A=A A+A=A反演律A B=A+BA+B=A B 此处注意：需 要 详 细解 释 异 或运 算 概 念和含义。此处注意：需 要 详 细解 释 同 或运 算 概 念和含义，并提 醒 学 生异 或 和 同或 运 算 关系 互 为 反函数。为 了 节 约课 时 采 用课 件 PPT 3.3.2讲解逻辑代数的基本定理和规则 3.4 讲解逻辑函数定义其表示方法 3.4.1讲解求证反演律正确性的真值表证明法：A BA BA+BABA+B111100011100110010110000 消因律A+A B=A+B A(A+B)=A B包含律AB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)还原律A=A合并律A B+A B=A (A+B)(A+B)=A 吸收律A+A B=A A(A+B)=A CAABBCCAABBCAACAABBCCAAB)(求证：BCAABCCAAB)()(BCACAB11CAAB左=右 包含律公式推广：CAABBCDECAAB 逻辑代数的基本定理/规则 代入定理/规则 在任一含有变量 A的逻辑等式中，如果用另一个逻辑函数去代替所有的变量 A，则等式仍然成立。例：已 知 等 式BABA，假 设 令A=X+Y，则BYXYX)(B)(。对偶定理/规则 对偶式：逻辑函数式 Y中，进行乘加互换，01 互换，得到的新逻辑式称为 Y的对偶式。对偶规则：有一逻辑等式，对等号两边进行对偶变换，得到的新逻辑函数式仍然相等。例：A(B+C)=A B+A CA+B C=(A+B)(A+C)。反演定理/规则 逻辑函数式 Y 中，进行乘加互换，01 互换，原变量反变量互换，得到的新的逻辑式为 Y。演 示 方 式组织教学。此处注意：应 该 针 比照 较 难 理解 的 分 配律 进 行 证明，使学生能 更 好 地掌握。此处注意：逻辑函数定义 3.4.2讲解逻辑函数逻辑函数几种表示方法 3.5 讲解逻辑函数表示方法应用反演规则应注意两点：保持原来的运算优先顺序不变，即如果在原函数表达式中，AB 之间先运算，再和其它变量进行运算，那么非函数的表达式中，仍然是 AB 之间先运算。不属于单个变量上的反号应保留不变！例：CDCBAY)(，则CDCBAY)(。4逻辑函数定义及表示方法 逻辑函数定义 如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。表示为：Y=F(A,B,C,)。逻辑函数几种表示方法 常用逻辑函数的表示方法有：逻辑真值表真值表、逻辑函数式逻辑式或函数式、逻辑图、波形图。此外还有卡诺图及硬件描述语言，这两种方法留给后面章节详细介绍。例：举重裁判逻辑电路。设 A为主裁判、B 和 C 为副裁判，裁判控制开关闭与断开，闭合用“1”表示，断开用“0”表示；灯 Y亮用“1”表示，灯灭用“0”表示。EBCYA 根据电路图得到函数式描述：)(CBAABCCABCBAY。应 该 针 比照 较 难 理解 的 反 演律 进 行 证明，使学生能 更 好 地掌握。此处注意：比 照 较 难理 解 的 包含 律 进 行证明，使学生 能 更 好地掌握。为 了 节 约课 时 采 用课 件 PPT演 示 方 式组织教学。之间的相互转换 3.5.1讲解函数表示方法之间的相互转换 用真值表描述A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1ABCY用逻辑图描述 ABCYtttt用波形图描述 真值表：将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。函数式：把输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或”形式。逻辑图：把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。波形图：将输入、输出的所有可能状态一一对应用波形描述出来。一般用高电平代表逻辑“1”，用低电平代表逻辑“0”。5各种逻辑函数表示方法之间的相互转换 函数表示方法之间的相互转换 真值表逻辑函数式 方法：将真值表中为 1 的项相加，写成“与或式”。举例：A B C Y0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 0 CABCBABCAY 逻辑式真值表 方法：将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函数 此处强调：应 用 反 演规 则 两 个必 须 注 意的问题。此处说明：卡 诺 图 及硬 件 描 述语 言 需 要专门研究，该 讲 暂 不介绍。此处提醒：3.5.2讲解逻辑函数的标准与或表示形式 值，列成表即得真值表。举例：CBACBAY1 1 1 A B C Y0 0 00 0 10 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 01111110 逻辑式逻辑图 方法：用图形符号门电路符号代替逻辑式中的运算符号，就可以画出逻辑图。举例：BACYACBY 逻辑图逻辑式 方法：从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式.ABBABAABY举例：BABAY 波形图真值表 函 数 式 描述 可 能 有多种形式，以 后 要 介绍 标 准 与或 逻 辑 表示形式。课堂设计：函 数 表 示方 法 之 间的 相 互 转换 易 于 采用 给 出 方法 并 实 例 ABCYtttt000000110101011010001011110011111 1 1 A B C Y0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 01100101举例：逻辑函数的标准与或表示形式 最小项概念 在 n 变量逻辑函数中，假设 m 为包含 n 个因子的乘积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在m中出现，且仅出现一次，则这个乘积项 m 称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。三个变量 A、B、C 可组成 8(23)个最小项：ABCCABCBACBABCACBACBACBA、ABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBAm76543210、四个变量可组成 16(24)个最小项，记作 m0m15。逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用以下两公式来配项展开成最小项表达式。A+A=1、A(B+C)=A B+A C 例：ACCDADCBAYCBBACDBBADCBAY)()()15,14,11,10,9,7,3()()(15141110973mmmmmmmmABCDDABCCDBADCBABCDACDBADCBADDABCDDCBABCDACDBADCBAY 如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为 1 的那些最小项方式教学，这 易 于 学生 理 解 和掌握。为 了 节 约课 时 采 用课 件 PPT演 示 方 式组织教学。为 了 节 约课 时 采 用相加，便是函数的最小项表达式。A B C Y 最小项 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 mCBAm2CBA1BCAm3CBAm5 CBABCACBACBAmmmmmY)5,3,2,1(5321 课 件 PPT演 示 方 式组织教学。此处提醒：通 过 不 同方 法 得 到函 数 式 描述 逻 辑 功能时，可能有 多 种 形式 且 都 是正确的，为便 于 统 一需 要 采 用标 准 与 或表示。此处强调：逻 辑 函 数都 可 以 表示 成 唯 一的 一 组 最小 项 之 和的 标 准 与或表达式，但 该 表 达式 也 是 最繁琐的。4.小结逻辑代数基础知识内1基本逻辑运算与、或、非逻辑运算。2常用逻辑运算与非、或非、与或非、异或和同或逻辑运算。3逻辑函数定义及表示方法逻辑真值表真值表、逻辑函数通 过 课 堂总结，使学生 加 深 对容 式逻辑式或函数式、逻辑图、波形图。此外还有卡诺图及硬件描述语言。4逻辑函数表示方法之间的相互转换。本 节 课 逻辑 代 数 基础 知 识 内容的印象。5.课后讨论与思考 问题：设计三人表决电路A、B、C。每人一个按键，如果同意则按下按键，用“1”表示，不同意则不按按键，用“0”表示。表决结果用指示灯 Z 表示，多数同意时指示灯 Z 亮，用“1”表示；否则指示灯 Z 不亮，用“0”表示。分别用真值表、标准与或逻辑函数式、逻辑图、波形图描述该逻辑电路功能。让 学 生 思考，利于对该 节 课 内容的掌握。