2023年相似三角形讲义.pdf
中小学 1 对 1 课外辅导专家 龙文教育教育是一项良心工程 武汉龙文教育学科辅导讲义 授课对象 徐志远 授课教师 杨鹏 授课时间 8:00-10:00 授课题目 相似三角形 课 型 复习课 使用教具 讲义、白纸 教学目标 1、经历相似三角形性质“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”，“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的探究过程.2、掌握“相似三角形对应高线、对应中线、对应角平分线之比等于相似比”“相似三角形的周长之比等于相似比”和“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的两个性质.3、会运用上述两个性质解决简单的几何问题 教学重点和难点 1、本节教学的重点是关于相似三角形的周长和面积的两个性质及对应线段的性质.2、相似三角形的性质的证明，要用到相似三角形的判定及性质，过程比较复杂，是本节教学的难点.参考教材 非常考题 中小学 1 对 1 课外辅导专家 2 教学流程及授课详案 相似三角形 1、相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。2、相似三角形的基本定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。用数学语言表述如下：DEBC，ADEABC 相似三角形的等价关系：（1）反身性：对于任一ABC，都有ABCABC；（2）对称性：若ABCA B C，则A B C ABC（3）传递性：若ABCA B C，并且A B C ABC，则ABCABC。3、三角形相似的判定（1）三角形相似的判定方法 定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似 平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似（2）直角三角形相似的判定方法 以上各种判定方法均适用 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。4、相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比（3）相似三角形周长的比等于相似比（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。时间分配及备注 中小学 1 对 1 课外辅导专家 3 ABCDE 1 典型例题 1、已知：如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AC=6，DB=5，求AD的长 分析：由已知AC=6，DB=5，选用ABADAC2来解决，考虑ACDABC 解：在ACD和ABC中，A=A，ADC=ACB=90，ACDABC ACADABACABADAC2 设AD=x，则AB=x+5，又AC=6，)5(62 xx 03652 xx 解得：x=4（舍去负值）AD=4 针对练习：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，底边上的高 AD=10cm，腰 AC上的高 BE=12cm（1）求证：35BDAB；2 典型例题2 已知：如图，ABC 中，ABAC，BD AC 于 D 求证：BC22CD AC 思考：欲证 BC22CD AC，只需证BCACCDBC2但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，该怎么办？证法一（构造 2CD）：如图，在 AC 截取 DE DC，BD AC 于 D，BD 是线段 CE 的垂直平分线，BC=BE，C=BEC，又 ABAC，C=ABC BCE ACB BCACCEBC，BCACCDBC2 BC22CD AC ABCDABCDE 中小学 1 对 1 课外辅导专家 4 针对练习：证法二（构造 2AC）：证法三（构造BC21）：典型例题如图，AD为ABC的角平分线，BE垂直于AD的延长线于E，ADCF 于F，BF，EC的延长线交于点P，求证：APCF/证明 ADCF，ADBE，90CFABEA，BECF/.PECPBECF 又CAFBAE，ABEACF AFAECFBE，即AEAFBECF.AEAFPECP APCF/针对练习：如图，梯形ABCD中，CDAB/，M为AB的中点，分别连结AC，BD，MD，MC，且AC与MD交于E，DB与MC交于F，求证：CDEF/典型例题 例：两相似三角形的对应边的比为 4：5，周长和为 360cm，这两个三角形的周长分别是多少？解：因为相似三角形的周长比等于对应比，所以相似三角形的对应边是 4 比 5，则周长比也是 4 比 5 设小三角形周长为 A，大三角形周长为 B ABCD 中小学 1 对 1 课外辅导专家 5 A：B=4：5 A=360（4+5）4=160 cm B=360（4+5）5=200 cm 所以这两个三角形的周长分别是 160 cm和 200 cm 针对练习：如图，D、E分别是 AC，AB上的点，ADE B，AG BC于点 G，AF DE 于点 F.若 AD3，AB 5，求：（1）AGAF；（2）ADE 与ABC的周长之比；典型例题 1如图，已知：在ABC与CAD中，BCDA/，CD交AB于E，且2:1:EBAE，BCEF/交AC于F，1 ADES。求BCES和AEFS 解答：BCDA/，ADEBCE22:BEAESSBCEADE 又2:1:BEAE，4:1:BCEADESS 1 ADES，4 BCES BCEF/，AEFABC ABAEBCEF:2:1:EBAE，3:1:ABAEBCEF 又ADEBCE，2:1:BCAD，ADBC23:2:ADEF EFAD/，ADE与AEF等高 3:2:ADEFSSADEAEF 32 AEFS 针对练习 如图，已知，在梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若COD的面积为2a，AOB的面积为2b，其中0a，0b.求：梯形ABCD的面积S ABCDEFG 中小学 1 对 1 课外辅导专家 6 典型例题 2已知等腰直角三角形的面积为2cm36，它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比为 5：2，求矩形的面积 解：如图，ABC中，90A，ACAB，内接矩形DEFG 由等腰直角三角形和矩形的性质，得FCGFDEBE 2:5:DEEF，2:5:2:FCEFBE 设AB为x，则36212xSABC 由勾股定理得222xBC 1442BC 12BC 38129292 BCDE 320129595 BCEF 矩形DEFG面积)cm(9717320382 针对练习 1：如图所示直角ABC中，两直角边长分别为 3 和 4，它的内接正方形有两种情况：一边在斜边上；一边在直角边上。试比较这两种情况中正方形的大小。针对练习 2：AD是ABC的高，E是BC的中点，BCEF 交AC于F，若15BD，27DC，45AC，求AF 课堂练习：1.若ABCDEF,ABC 的面积为 81cm2,DEF 的面积为 36cm2,且 AB=12cm,则 DE=cm 2.等腰三角形 ABC和 DEF相似，其相似比为 3：4，则它们底边上对应高线的比为（）中小学 1 对 1 课外辅导专家 7 A、3：4 B、4：3 C、1：2 D、2：1 3.如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形）的示意图.已知桌面直径为 1.2 米，桌面离地面 1 米.若灯泡离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积为 （-）A.、0.36米2 B、0.81米2 C、2米2 D、3.24米2 4.如图，分别取等边三角形ABC 各边的中点 D、E、F，得DEF.若ABC 的边长为 a.（1）DEF 与ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？（2）分别求出这两个三角形的面积.（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？5.如图，在ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点 P从 A点出发，沿着 AB以每秒 4c m的速度向 B点运动；同时点 Q从 C点出发，沿 CA以每秒 3cm的速度向 A点运动，设运动时间为 x.（1）当 x 为何值时，PQBC？（2）当31ABCBCQSS，求ABCBPQSS的值；拔高训练：1、如图，在Rt ABC中，ACB=090,AC=6,BC=8,点 D 在边 AB 上运动，DE 平分CDB 交边 BC 于点 E，EMBD垂足为 M，ENCD垂足为 N。（1）当 AD=CD 时，求证：DEAC；（2）探究：AD 为何值时，BME 与CNE 相似？中小学 1 对 1 课外辅导专家 8（3）探究：AD 为何值时，四边形 MEND 与BDE 的面积相等？2.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转 45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？课后作业：1.在ABC 中，AEEB=1 2，EFBC，ADBC 交 CE 的延长线于D，求SAEFSBCE的值.D F B A C E 图 F B A D C E G 图 F B A D C E G 图 中小学 1 对 1 课外辅导专家 9 A B C Q M D N P E 2.如图，ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120mm，高 AD=80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在 BC 上，其余两个顶点分别在边 AB、AC 上，（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）若这个矩形的长是宽的 2 倍，则边长是多少？家长签名：
