2023年相似三角形详细讲义1.pdf

教育教学讲义 学员姓名：年 级：学科教师：上课时间：辅导科目：数学 课时数：2 课 题 相似三角形 教学目标 1 通过本章的学习，要熟悉数学中的转化思想，数形结合，分类讨论思想特殊值法。2 转化思想：利用相似性质解决问题时，经常用到转化思想，如在有关面积的问题中，往往要借助于线段的比，周长的比等进行转化，进而解决问题。3 数形结合思想：对于很多几何图形，我们都要善于观察，找出其中的隐含条件，做到数形结合，从而解决问题。4 分类讨论思想：在运用相似三角形的对应边成比例的性质时，如果题目的条件中，不能确定如何对应，则应给予讨论。教学内容 课前检测 全等三角形的概念?知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形 相似用符号“”表示，读作“相似于”相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)相似三角形对应角相等，对应边成比例 注意：对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的 两个三角形形状一样，但大小不一定一样 全等三角形是相似比为 1 的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例 相似三角形的基本定理 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似 定理的基本图形：用数学语言表述是：BCDE/，ADEABC 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC有ABCABC (2)对称性：若ABCCBA，则CBAABC (3)传递性：若ABCCBA，且CBACBA，则ABCCBA 三角形相似的判定方法 1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似 2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角 形与原三角形相似 3、判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似 4、判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹 角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 5、判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这 两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似（在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑，把边长分别从小到大排列，然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似）6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似 直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式 如图，RtABC 中，BAC=90，AD 是斜边 BC 上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）2=BD DC，（2）（AB）2=BD BC，（3）（AC）2=CD BC。证明：在 BAD 与ACD 中，B+C=90，DAC+C=90，B=DAC，又BDA=ADC=90，BAD ACD 相似，AD/BD CD/AD，即（AD）2=BD DC。其余类似可证。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB）2+（AC）2=BD BC+CD BC=（BD+CD)BC=（BC）2，即（AB）2+（AC）2=（BC）2。这就是勾股定理的结论。判断相似三角形的几条思路：1 条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角，可再找一对等角（用判定 1）或再找夹边成比例。（用判定 2）3 条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等（直角可以直接得出相似）4 条件中若有一对直角，可考虑在找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例。5 条件中若 有等腰关系，可找顶角相等，也可找一对底角相等，也可找底和腰对应成比例。对应角和对应边关系是 对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。对应角相等一般是公共角，平行时的内错角，同位角相等，对顶角相等，同角的余角或补角相等。大边对大角，大角对大边。温馨提示：在解题中要善于借助于中间量的牵线搭桥，这里的中间量主要指中间比，中间线段，中间角，中间等积式等。灵活的运用等积式与比例式的互化，寻找解题思路，创设条件，善于运用类比的方法分析思考问题。加强运用观察，分析，联想，归纳，探索等方法技巧。相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 相似三角形与全等三角形相关联系：不相似的三角形一定不是全等三角形。（对）相似三角形也可能是全等三角形。（对）全等三角形一定是相似三角形。（对）不全等的三角形一定不是相似三角形（错）相似三角形一定不是全等三角形（错）全等三角形不一定是相似三角形（错）相似三角形常见的图形 （1）若 DEBC（A型和 X型）则ADEABC （2）射影定理 若 CD为 RtABC斜边上的高（双直角图形）则 RtABCRtACDRtCBD且 AC2=AD AB，CD2=AD BD，BC2=BD AB；EADCB EADCB ADCB（3）满足 1、AC2=ADAB，2、ACD=B，3、ACB=ADC，都可判定ADCACB（4）当ADAEACAB或 ADAB=ACAE时，ADEACB ADCB EADCB ABCDE（直角梯形）相似三角形的应用 1 测量物体的高度（宽度，长度）在利用相似三角形的性质解题的过程中要牢记（1）太阳光线是平行线，易找到相似三角形。2 在某一时刻，某物体的实际高度被测物体的实际高度影子的长度被测物体的影子的长度3 台球的入射角和反射角会形成相似。镜子的反射，球的反弹等都会形成相似。测量物高的方法有 1 利用阳光下的影子 原理 旗杆高：人高旗杆影长：人影长 缺点 需要阳光，阴天不行 2 利用标杆 在人和旗杆中间树立一个可以测量长度的标杆，形成两个三角形相似 优点无需阳光，有关数据易测，测量工具简单。缺点增加了标杆的测量，要求观察者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端对齐，三点共线。如图若 AD.AC AE.AB,DAB CAE则ADE与ABC相似吗？ABCDEADEBC 1 典型例题 1、已知：如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AC=6，DB=5，求AD的长 分析：由已知AC=6，DB=5，选用ABADAC2来解决，考虑ACDABC 解：在ACD和ABC中，A=A，ADC=ACB=90，ACDABC ACADABACABADAC2 设AD=x，则AB=x+5，又AC=6，)5(62 xx 03652 xx 解得：x=4（舍去负值）AD=4 针对练习：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，底边上的高 AD=10cm，腰 AC 上的高 BE=12cm（1）求证：35BDAB；2 典型例题 2 已知：如图，ABC 中，ABAC，BD AC 于 D 求证：BC22CD AC 思考：欲证 BC22CD AC，只需证BCACCDBC2但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，该怎么办？证法一（构造 2CD）：如图，在 AC 截取 DE DC，BD AC 于 D，BD 是线段 CE 的垂直平分线，BC=BE，C=BEC，又 ABAC，C=ABC ABCDABCD BCE ACB BCACCEBC，BCACCDBC2 BC22CD AC 针对练习：证法二（构造 2AC）：证法三（构造BC21）：典型例题如图，AD为ABC的角平分线，BE垂直于AD的延长线于E，ADCF 于F，BF，EC的延长线交于点P，求证：APCF/证明 ADCF，ADBE，90CFABEA，BECF/.PECPBECF 又CAFBAE，ABEACF AFAECFBE，即AEAFBECF.AEAFPECP APCF/针对练习：如图，梯形ABCD中，CDAB/，M为AB的中点，分别连结AC，BD，MD，MC，且AC与MD交于E，DB与MC交于F，求证：CDEF/求相似三角形的周长 典型例题 例：两相似三角形的对应边的比为 4：5，周长和为 360cm，这两个三角形的周长分别是多少？如果ABCABC，相似比为 3：2，若它们的周长的差为 40 厘米，则 ABC的周长为 厘米。针对练习：如图，D、E分别是 AC，AB上的点，ADE B，AG BC于点 G，AF DE 于点 F.若 AD 3，AB 5，求：（1）AGAF；ABCDEFGABCDE （2）ADE 与ABC的周长之比；如图，梯形 ABCD 中，DCAB，DC2cm，AB3.5cm，且 MNPQAB，DMMPPA，则 MN ，PQ 。求多边形的面积 典型例题 1 如图，已知：在ABC与CAD中，BCDA/，CD交AB于E，且2:1:EBAE，BCEF/交AC于F，1 ADES。求BCES和AEFS 解答：BCDA/，ADEBCE22:BEAESSBCEADE 又2:1:BEAE，4:1:BCEADESS 1 ADES，4 BCES BCEF/，AEFABC ABAEBCEF:2:1:EBAE，3:1:ABAEBCEF 又ADEBCE，2:1:BCAD，ADBC23:2:ADEF EFAD/，ADE与AEF等高 3:2:ADEFSSADEAEF 32 AEFS 针对练习如图，已知，在梯形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若COD的面积为2a，AOB的面积为2b，其中0a，0b.求：梯形ABCD的面积S 典型例题 2已知等腰直角三角形的面积为2cm36，它的内接矩形的一边在斜边上，且矩形的两边之比为 5：2，求矩形的面积 解：如图，ABC中，90A，ACAB，内接矩形DEFG 由等腰直角三角形和矩形的性质，得FCGFDEBE 2:5:DEEF，2:5:2:FCEFBE 设AB为x，则36212xSABC 由勾股定理得222xBC D C M P N Q A B ABCDEFK1442BC 12BC 38129292 BCDE 320129595 BCEF 矩形DEFG面积)cm(9717320382 漏解：如图所示的情况时，2:5:EFDE，同理可得2cm10DEFGS矩形 针对练习 1：如图所示直角ABC中，两直角边长分别为 3 和 4，它的内接正方形有两种情况：一边在斜边上；一边在直角边上。试比较这两种情况中正方形的大小。针对练习 2：AD是ABC的高，E是BC的中点，BCEF 交AC于F，若15BD，27DC，45AC，求AF 一、如何证明三角形相似 例 1、如图：点 G在平行四边形 ABCD 的边 DC的延长线上,AG交 BC、BD于点 E、F，则 AGD 。例 2、已知ABC中，AB=AC，A=36，BD是角平分线，求证：ABC BCD 例 3：已知，如图，D为ABC内一点连结 ED、AD，以 BC为边在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD 求证：DBEABC 二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式 例 1、ABC中，在 AC上截取 AD，在 CB延长线上截取 BE，ABCDEFG1234 使 AD=BE，求证：DFAC=BCFE 例 2：已知：如图，在ABC中，BAC=900，M是 BC的中点，DMBC 于点 E，交 BA的延长线于点 D。求证：（1）MA2=MDME；（2）MDMEADAE22 例 3：如图ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交 AD于 E，交 AB于 F，证：AE：ED=2AF：FB。已知：如图，梯形 ABCD 中，ABDC，E 是 AB 的中点，直线 ED 分别与对角线 AC 和 BC 的延长线交于 M、N 点 求证：MD：MEND：NE 证明：三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。例 1：已知：如图 E、F分别是正方形 ABCD 的边 AB和 AD上的点，且31ADAFABEB。求证：AEF=FBD 例 2、在平行四边形 ABCD 内，AR、BR、CP、DP各为四角的平分线，求证：SQAB，RP BC 例 3、直角三角形 ABC中，ACB=90，A B C D F G E ABCDEFGABCDEM12N D C A E B M BCDE 是正方形，AE交 BC于 F，FG AC交 AB于 G，求证：FC=FG 测量旗杆的高度 例 1.AB 是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚 B 距墙 80cm，梯上点 D 距墙 70cm，BD 长 55cm，求梯子的长。2（2009 定西）如图，小东用长为 3.2m 的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点此时，竹竿与这一点相距 8m，与旗杆相距 22m，则旗杆的高为（）A12m B10m C8m D7m （2011 丹东）某一时刻，身髙 1.6m 的小明在阳光下的影长是 0.4m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是 5m，则该旗杆的高度是（）A1.25m B10m C20m D8m（2008 金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图点P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 ABBD，CDBD，且测得 AB=1.2 米，BP=1.8 米，PD=12 米，那么该古城墙的高度是（）A6 米 B8 米 C18 米 D24 米 课堂练习 练习题 1、如图1,ADC=ACB=900,1=B,AC=5,AB=6,则AD=_.2.如图2,ADEFBC,则图的相似三角形共有_对.3.如图3,正方形ABCD 中,E是AD的中点,BMCE,AB=6,CE=35,则BM=_.4.ABC的三边长为2,10,2,ABC 的两边为1和5,若ABCABC,则ABC 的笫三边长为_.已知cba,是ABC 的三条边，对应高分别为cbahhh,，且6:5:4:cba，那么cbahhh:等于（）A、4：5：6 B、6：5：4 C、15：12：10 D、10：12：15 5.两个相似三角形的面积之比为15,小三角形的周长为4,则另一个三角形的周长为_.6.如图4,RtABC中,C=900,D为AB的中点,DEAB,AB=20,AC=12,则四边形ADEC的面积为_.7.如图5,RtABC中,ACB=900,CDAB,AC=8,BC=6,则AD=_,CD=_.8.如图6,矩形ABCD 中,AB=8,AD=6,EF 垂直平分BD,则EF=_.9.如图7,ABC中,A=DBC,BC=,SBCDSABC=23,则CD=_.10.如图8,梯形ABCD 中,ADBC,两腰BA与CD的延长线相交于P,PFBC,AD=3.6,BC=6,EF=3,则PF=_.11.如图9,ABC中,DEBC,AD DB=23,则SADESABE=_.12.如图10,正方形ABCD 内接于等腰PQR,P=900,则PAAQ=_.13.如图11,ABC中,DEFGBC,AD DFFB=123,则S四边形DFGES四边形FBCG=_.14.如图12,ABC中,中线BD与CE相交于O点,SADE=1,则S四边形BCDE-=_.15.已知:如图,ABC中,CEAB,BFAC.求证:AEF ACB.EAFDCB 16.已知:如图,ABC中,ABC=2C,BD平分ABC.求证:AB BC=AC CD.17.已知：ACB为等腰直角三角形，ACB=900 延长BA至E，延长AB至F，ECF=1350。求证：EAC CBF 18已知:如图,ABC中,AD=DB,1=2.求证:ABCEAD.19已知:如图,CE是RtABC的斜边AB上的高,BGAP。求证:(1)CE2=AE EB;(2)AE EB=ED EP 20 已知，如图，在ABC 中，D 为 BC 的中点，且 AD=AC，DEBC，DE 与 AB 相交于点 E，EC与 AD 相交于点 F （1）求证：ABCFCD；（2）若 SFCD=5，BC=10，求 DE 的长。