2023年线性代数第三章向量复习题超详细解析超详细解析答案.pdf

线性代数第三章向量复习题答案 第 1 页(共 6 页)第三章 向量复习题 一、填空题:1、当t_3t 时,向量123(1,2,2),(4,3),(3,1,1)TTTt线性无关、3、如 果n,21线 性 无 关,且1n不 能 由n,21线 性 表 示,则121,n 的线性 无关 4、设T)5,2(1,Ta)1(2，,当a 时,21,线性相关、5、一个非零向量就是线性 无关;的,一个零向量就是线性 相关的、6、设向量组 A:321,线性无关,31,12,32线性 相关 7、设A为n阶方阵,且1)(nAr,21,就是 AX=0 的两个不同解,则21，一定线性 相关 8、向量组1,lL能由向量组1,mL线性表示的充分必要条件就是12(,)mR L 等于 1212(,)mlR LL,。(填大于,小于或等于)9、设 向量 组 11,1,1,21,2,3,31,3,t线性相 关,则t的 值为 5t。二、选择题:1、n阶方阵A的行列式0A,则A的列向量(A ).线性相关.线性无关.0)(AR.0)(AR 2、设A为n阶方阵,nrAR)(,则A的行向量中(A)A、必有r个行向量线性无关 B、任意r个行向量构成极大线性无关组 C、任意r个行向量线性相关 D、任一行都可由其余r个行向量线性表示 3、设有n维向量组():12,r L与():12,()mmr L,则(B).A、向量组()线性无关时,向量组()线性无关 线性代数第三章向量复习题答案 第 2 页(共 6 页)B、向量组()线性相关时,向量组()线性相关 C、向量组()线性相关时,向量组()线性相关 D、向量组()线性无关时,向量组()线性相关 4、下列命题中正确的就是(C )(A)任意n个1n维向量线性相关 (B)任意n个1n维向量线性无关(C)任意1n个n 维向量线性相关 (D)任意1n个n维向量线性无关 5、向量组r,21线性相关且秩为 s,则(D )(A)sr (B)sr (C)rs (D)rs 6、n维向量组 s，21(3 s n)线性无关的充要条件就是(B )、(A)s，21中任意两个向量都线性无关(B)s，21中任一个向量都不能用其余向量线性表示(C)s，21中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)s，21中不含零向量 7、向量组n,21线性无关的充要条件就是(D )A、任意i不为零向量 B、n,21中任两个向量的对应分量不成比例 C、n,21中有部分向量线性无关 D、n,21中任一向量均不能由其余 n-1个向量线性表示 8、设A为n阶方阵,nrAR)(,则A的行向量中(A )A、必有r个行向量线性无关 B、任意r个行向量构成极大线性无关组 C、任意r个行向量线性相关 D、任一行都可由其余r个行向量线性表示 9、设A为n阶方阵,且秩12()1.,An 就是非齐次方程组AXB的两个不同的解向量,则AX0的通解为(C )性相关设为阶方阵且就是的两个不同解则一定线性相关向量组能由向量组线性表示的充分必要条件就是等于填大于小量中必有个行向量线性无关任意个行向量构成极大线性无关组任意个行向量线性相关任一行都可由其余个行向量线性关时向量组线性相关向量组线性相关时向量组线性相关向量组线性无关时向量组线性相关下列命题中正确的就是任意线性代数第三章向量复习题答案 第 3 页(共 6 页)A、1k B、2k C、)(21k D、)(21k 10、已知向量组1231,1,1,1,2,0,0,0,2,5,2t的秩为 2,则t(A)、A、3 B、-3 C、2 D、-2 11、设A为n阶方阵,nrAR)(,则A的行向量中(A)A、必有r个行向量线性无关 B、任意r个行向量构成极大线性无关组 C、任意r个行向量线性相关 D、任一行都可由其余r个行向量线性表示 12、设向量组 A:321,线性无关,则下列向量组线性无关的就是(C )A、321,321232,321323 B、21,32,13 C、212,3232,133 D、12-,32,3212 14、已知向量组 A 线性相关,则在这个向量组中(C )(A)必有一个零向量、(B)必有两个向量成比例、(C)必有一个向量就是其余向量的线性组合、(D)任一个向量就是其余向量的线性组合、15、设A为n阶方阵,且秩()1R An,12,a a就是非齐次方程组Axb的两个不同的解向量,则0Ax 的通解为 ()(A)12()k aa (B)12()k aa (C)1ka (D)2ka 16、已知向量组1,mK 线性相关,则(C )(A)该向量组的任何部分组必线性相关、(B)该向量组的任何部分组必线性无关 、(C)该向量组的秩小于m、(D)该向量组的最大线性无关组就是唯一的、17.已知123234(,)2,(,)3,RR 则 (C )性相关设为阶方阵且就是的两个不同解则一定线性相关向量组能由向量组线性表示的充分必要条件就是等于填大于小量中必有个行向量线性无关任意个行向量构成极大线性无关组任意个行向量线性相关任一行都可由其余个行向量线性关时向量组线性相关向量组线性相关时向量组线性相关向量组线性无关时向量组线性相关下列命题中正确的就是任意线性代数第三章向量复习题答案 第 4 页(共 6 页)(A)123,线性无关 (B)234,线性相关(C)1能由23,线性表示 (D)4能由123,线性表示 18、若有 1133016,02135kkk 则 k 等于(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 第三题 计算题:1、已知向量组0221,8451,6352,2130,421154321(1)求向量组54321,的秩以及它的一个极大线性无关组;(2)将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。解:000001000002110012014422002110163301120108624243122553111201 3),(54321r 其极大线性无关组可以取为521,且:521302,521402 2、求向量组A:T)-2,6,2,0(1,T)1,-2,-1,0(2,T)-2,-4,0,2(3,T)22,10,0(4，,的一个极大无关组,并将其余向量由它线性表示、解:由题意,故向量组 A 的一个极大无关组为321,其中314 3、设1231,4,32,12,3,1TTTa,22100200012426212A22100200200101021231312rrrr011000001001010121121211334rrrr01010001000100012110213231rrrrrr性相关设为阶方阵且就是的两个不同解则一定线性相关向量组能由向量组线性表示的充分必要条件就是等于填大于小量中必有个行向量线性无关任意个行向量构成极大线性无关组任意个行向量线性相关任一行都可由其余个行向量线性关时向量组线性相关向量组线性相关时向量组线性相关向量组线性无关时向量组线性相关下列命题中正确的就是任意线性代数第三章向量复习题答案 第 5 页(共 6 页):-线-1)a 为何值时,123,线性无关、2)a 为何值时,123,线性相关、4、求向量组123:1,2,1,12,3,1,24,1,1,0TTTA、的极大无关组,并把其余向量用极大无关组线性表示、解 第一步先用初等行变换把矩阵化成行(最简形)阶梯形矩阵.2211231324142122734124124124102231077011011111033000000120044000000rrrrrrrrrrrrrAF ()2r A 知，即123,2r,12,或13,均 为A的 极 大 无 关 组,记123,Ffff,由矩阵F 可见3122fff,则有3122、5、已知1231,4,22,7,30,1,3,10,4TTTTa,问a为何值时,可由123,唯一线性表示？并写出表示式 解 23110212443 3373313301ccAaaaa （1）当3a 时,123,线性相关、当3a 时,123,线性无关、7、求向量组A:T)2,1,1(1,T)1,3,0(2,3(1,5,4)T,T)2,2,1(4,5(2,3,4)T的一个极大无关组,并将其余向量由它线性表示、解:由题意,213110 1121 0 1121 3 5230 3 611221 4240 1 200rrArr uuuuuu r 性相关设为阶方阵且就是的两个不同解则一定线性相关向量组能由向量组线性表示的充分必要条件就是等于填大于小量中必有个行向量线性无关任意个行向量构成极大线性无关组任意个行向量线性相关任一行都可由其余个行向量线性关时向量组线性相关向量组线性相关时向量组线性相关向量组线性无关时向量组线性相关下列命题中正确的就是任意线性代数第三章向量复习题答案 第 6 页(共 6 页)23231321 0 1 1 21 0 1 0 130 0 0 1 10 1 2 0 00 1 2 0 00 0 0 1 1rrrrrrruuuuuu u ruuuuuuu r 故向量组 A 的一个极大无关组为421,其中3122,512 8、试求向量组1=(1,1,2,2)T,2=(0,2,1,5)T,3=(2,0,3,-1)T,4=(1,1,0,4)T的秩与该向量组的一个最大无关组,并将其她向量用此最大无关组表示。解:以1,2,3,4作为列构造矩阵 A,即 A=(1,2,3,4)用初等行变换化 A 为行阶梯形矩阵 T,则 T 的非零行的行数 r 即为 R(A),再化 T 为行最简形 T0,则 T0中任意 r 个线性无关的向量所对应的向量组即为该向量组的最大无关组、A=(1,2,3,4)=4152031210211201255021100220120110210110000200020000100001101201=T,所以 R(A)=3、故 R(1,2,3,4)=3、四、证明题:(10 分)1、设向量组A:321,线性无关,求证:212,3232,133线性无关、证明:设存在数321,kkk,使0)3()32()2(133312211kkk成立。由0)3()32()2(133312211kkk得,0)33()22()(332221131kkkkkk。2 分 321,aaa线性无关 0330220332131kkkkkk000321kkk性相关设为阶方阵且就是的两个不同解则一定线性相关向量组能由向量组线性表示的充分必要条件就是等于填大于小量中必有个行向量线性无关任意个行向量构成极大线性无关组任意个行向量线性相关任一行都可由其余个行向量线性关时向量组线性相关向量组线性相关时向量组线性相关向量组线性无关时向量组线性相关下列命题中正确的就是任意线性代数第三章向量复习题答案 第 7 页(共 6 页)4 分 212,3232,133线性无关、2、已知向量组123,a aa线性无关,1223132 +2,+2,线性无关、证:因为 122313123101,2,210022 +2+2 2121011011221001216022022022rr g 因而向量组1223132 +2,+2,线性无关、3、若向量组 123,线性无关,而1123 ,21232,312323,试 证:123,线性无关。证明:设存在常数123,k k k,使得 kkk1122330 得()()()kkkkkkkkk1231123212333230 由 123,线性无关得 123123123020230kkkkkkkkk ,由于它的系数行列式11111210123D 由克莱姆法则,此方程只有零解 kkk1230,因此 123,线 性 无 关。方法 2 由已知,123,=123,111112123 性相关设为阶方阵且就是的两个不同解则一定线性相关向量组能由向量组线性表示的充分必要条件就是等于填大于小量中必有个行向量线性无关任意个行向量构成极大线性无关组任意个行向量线性相关任一行都可由其余个行向量线性关时向量组线性相关向量组线性相关时向量组线性相关向量组线性无关时向量组线性相关下列命题中正确的就是任意线性代数第三章向量复习题答案 第 8 页(共 6 页)由于11111210123 ,故矩阵111112123可逆,由矩阵的秩的性质可知:123,R=123,R 又因为向量组 123,线性无关,所以123,R=3、则123,R=3、故 123,线 性 无 关、性相关设为阶方阵且就是的两个不同解则一定线性相关向量组能由向量组线性表示的充分必要条件就是等于填大于小量中必有个行向量线性无关任意个行向量构成极大线性无关组任意个行向量线性相关任一行都可由其余个行向量线性关时向量组线性相关向量组线性相关时向量组线性相关向量组线性无关时向量组线性相关下列命题中正确的就是任意