2023年空间向量知识点归纳总结全面汇总归纳期末复习.pdf

1 空间向量期末复习 知识要点:1.空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2.空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABab;BAOAOBab;()OPaR 运算律：加法交换律：abba 加法结合律：)()(cbacba 数乘分配律：baba)(3.共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ba/。当我们说向量a、b共线（或a/b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b0），a/b存在实数 ，使ab。4.共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b不共线，p与向量,a b共面的条件是存在实数,x y使pxayb。5.空间向量基本定理：如果三个向量,a b c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组,x y z，使pxaybzc。若三向量,a bc不共面，我们把,a b c叫做空间的一个基底，,a b c叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,x y z，使OPxOAyOBzOC。6.空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O，作,OAa OBb，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作,a b；且规定0,a b，显然有,a bb a；若,2a b，则称a与b互相垂直，记作：ab。（2）向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a。（3）向量的数量积：已知向量,a b，则|cos,aba b叫做,a b的数量积，记 2 作a b，即a b|cos,aba b 。（4）空间向量数量积的性质：|cos,a eaa e。0aba b。2|aa a。（5）空间向量数量积运算律：()()()aba bab 。a bb a（交换律）。()abca ba c （分配律）。7.空间向量的坐标运算：(1).向量的直角坐标运算 设a123(,)a aa，b123(,)b b b则(1)ab112233(,)ab ab ab；(2)ab112233(,)ab ab ab；(3)a123(,)aaa (R)；(4)ab1 1223 3a ba ba b；(2).设 A111(,)x y z，B222(,)xyz，则ABOBOA=212121(,)xx yy zz.(3).设111(,)ax y z，222(,)bxy z，则 2|aa a=212121zyx a b(0)ab b；ab0a b1212120 x xy yz z.(4).夹角公式 设a123(,)a a a，b123(,)b b b，则1 1223 3222222123123cos,a ba ba ba baaabbb.(5)异面直线所成角 cos|cos,|a b=12121 2222222111222|x xy yz za babxyzxyz.(6).直线和平面所成的角的求法 如图所示，设直线 l 的方向向量为 e，平面 的法向量为 n，直线 l 与平面 所成的角为 ，两向量 e 与 n 的夹角为 ，则有 sin|cos|n e|n|e|.(7).二面角的求法(1)如图，AB，CD 是二面角 -l-的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小 AB，CD (2)如图，n1，n2分别是二面角 -l-的两个半平面 ，的法向量，则二面角的大小 n1，n2或 n1，n2 212121,coscosnnnnnn 练习题：1已知 a(3,2,5)，b(1，x，1)且 a b2，则 x 的值是()3 A3 B4 C5 D6 2已知 a(2,4,5)，b(3，x，y)，若 ab，则()Ax6，y15 Bx3，y152 Cx3，y15 Dx6，y152 3已知空间三点 A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|3，且 a 分别与AB，AC垂直，则向量 a 为()A(1,1,1)B(1，1，1)C(1,1,1)或(1，1，1)D(1，1,1)或(1,1，1)4若 a(2，3,5)，b(3,1，4)，则|a2b|_.5如图所示，已知正四面体 ABCD 中，AE14AB，CF14CD，则直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为_ 4.258 解析 a2b(8，5,13)，|a2b|82 52132 258.5.413 解析 因四面体 ABCD 是正四面体，顶点 A在底面 BCD 内的射影为BCD 的垂心，所以有 BCDA，ABCD.设正四面体的棱长为 4，则BFDE(BCCF)(DAAE)0BCAECFDA0 41cos 120 14cos 120 4，BFDE 4212241cos 60 13，所以异面直线 DE 与 BF 的夹角 的余弦值为：cos 413.6.如图所示，在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中，设1AAa，ABb，ADc，M，N，P 分别是 AA1，BC，C1D1的中点，试用 a，b，c 表示以下各向量：(1)AP；(2)1AN；4(3)MP1NC.解：(1)P 是 C1D1的中点，AP1AA11AD1D P aAD1211D C ac12AB ac12b.(2)N 是 BC 的中点，1AN1A AABBNab12BC ab12ADab12c.(3)M 是 AA1的中点，MPMAAP121A AAP 12aac12b 12a12bc，又1NCNC1CC12BC1AA 12AD1AA12ca，MP1NC12a12bc a12c 32a12b32c.7.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABC 为等腰直角三角形，BAC90，且 ABAA1，D，E，F 分别为 B1A，C1C，BC 的中点 (1)求证：DE平面 ABC；(2)求证：B1F平面 AEF.证明：以 A为原点，AB，AC，AA1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，令 ABAA14，则 A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B1(4,0,4)，D(2,0,2)，A1(0,0,4)，5 (1)DE(2,4,0)，平面 ABC 的法向量为1AA(0,0,4)，DE1AA0，DE 平面 ABC，DE平面 ABC.(2)1B F(2,2，4)，EF(2，2，2)，1B FEF(2)22(2)(4)(2)0，1B FEF，B1FEF，1B FAF(2)222(4)00，1B FAF，B1FAF.AFEFF，B1F平面 AEF.8.如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PC平面 ABCD，PC2，在四边形 ABCD 中，BC90，AB4，CD1，点 M 在 PB 上，PB4PM，PB 与平面 ABCD 成 30 的角求证：(1)CM平面 PAD；(2)平面 PAB平面 PAD.证明：以 C 为坐标原点，CB 为 x 轴，CD 为 y 轴，CP 为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz.PC平面 ABCD，PBC 为 PB 与平面 ABCD 所成的角，PBC30，PC2，BC2 3，PB4，D(0,1,0)，B(2 3，0,0)，A(2 3，4,0)，P(0,0,2)，M32，0，32，DP(0，1,2)，DA(2 3，3,0)，CM32，0，32.6(1)设 n(x，y，z)为平面 PAD 的一个法向量，由 DP n0，DA n0，即 y2z0，2 3x3y0，令 y2，得 n(3，2,1)nCM 332201320，nCM.又 CM 平面 PAD，CM平面 PAD.(2)如图，取 AP 的中点 E，连接 BE，则 E(3，2,1)，BE(3，2,1)PBAB，BEPA.又BEDA(3，2,1)(2 3，3,0)0，BEDA.BEDA.又 PADAA，BE平面 PAD.又BE平面 PAB，平面 PAB平面 PAD.9.如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，E 为 AB 的中点(1)求直线 AD 和直线 B1C 所成角的大小；(2)求证：平面 EB1D平面 B1CD.解：不妨设正方体的棱长为 2 个单位长度，以 DA，DC，DD1分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.7 根据已知得：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)(1)DA(2,0,0)，1CB(2,0,2)，cosDA，1CBDA1CB|DA|1CB|22.直线 AD 和直线 B1C 所成角为4.(2)证明：取 B1D 的中点 F，得 F(1,1,1)，连接 EF.E 为 AB 的中点，E(2,1,0)，EF(1,0,1)，DC(0,2,0)，EFDC0，EF1CB0，EFDC，EFCB1.DCCB1C，EF平面 B1CD.又EF平面 EB1D，平面 EB1D平面 B1CD.10 如图，直角梯形 ABCD 与等腰直角三角形 ABE 所在的平面互相垂直ABCD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求证：ABDE；(2)求直线 EC 与平面 ABE所成角的正弦值；(3)线段 EA上是否存在点 F，使 EC平面 FBD？若存在，求出EFEA；若不存在，请说明理由 解：(1)证明：取 AB的中点 O，连接 EO，DO.因为 EBEA，所以 EOAB.因为四边形 ABCD 为直角梯形 AB2CD2BC，ABBC，所以四边形 OBCD 为正方形，所以 ABOD.因为 EODOO，所以 AB平面 EOD，所以 ABED.(2)因为平面 ABE平面 ABCD，且 EOAB，所以 EO平面 ABCD，所以 EOOD.由 OB，OD，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.8 因为三角形 EAB为等腰直角三角形，所以 OAOBODOE，设 OB1，所以 O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，E(0,0,1)所以EC(1,1，1)，平面 ABE 的一个法向量为OD(0,1,0)设直线 EC 与平面 ABE所成的角为 ，所以 sin|cosEC，OD|ECOD|EC|OD|33，即直线 EC 与平面 ABE所成角的正弦值为33.11.(12 分)如图，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，PAAB2，BC4，E 是 PD 的中点(1)求证：平面 PDC平面 PAD；(2)求点 B 到平面 PCD 的距离 21.(1)证明 如图，以 A为原点，AD、AB、AP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知 A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，P(0,0,2)PD(4,0，2)，CD(0，2,0)，PA(0,0，2)设平面 PDC 的一个法向量为 n(x，y,1)，则 2y04x20 y0 x12，所以平面 PCD 的一个法向量为12，0，1.PA平面 ABCD，PAAB，又ABAD，PAADA，AB平面 PAD.平面 PAD 的法向量为AB(0,2,0)nAB0，nAB.平面 PDC平面 PAD.9(2)解 由(1)知平面 PCD 的一个单位法向量为n|n|55，0，2 55.4，0，0 55，0，2 554 55，点 B 到平面 PCD 的距离为4 55.12 如图所示，在多面体 ABCD-A1B1C1D1中，上、下两个底面 A1B1C1D1和 ABCD 互相平行，且都是正方形，DD1底面 ABCD，AB2A1B12DD12a.(1)求异面直线 AB1与 DD1所成角的余弦值；(2)已知 F 是 AD 的中点，求证：FB1平面 BCC1B1；(3)在(2)的条件下，求二面角 F-CC1-B 的余弦值 解：以 D 为坐标原点，分别以 DA，DC，DD1所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz，则 A(2a，0,0)，B(2a,2a,0)，C(0,2a,0)，D1(0,0，a)，F(a,0,0)，B1(a，a，a)，C1(0，a，a)(1)1AB(a，a，a)，1DD(0,0，a)，|cos1AB，1DD|1AB1DD|1AB|1DD|33，异面直线 AB1与 DD1所成角的余弦值为33.(2)证明：1BB(a，a，a)，BC(2a,0,0)，1FB(0，a，a)，1FB1BB0，1FBBC0，FB1BB1，FB1BC.BB1BCB，FB1平面 BCC1B1.(3)由(2)知，1FB为平面 BCC1B1的一个法向量 10 设 n(x1，y1，z1)为平面 FCC1的法向量，1CC(0，a，a)，FC(a,2a,0)，n1CC0，nFC0，得 ay1az10，ax12ay10.令 y11，则 n(2,1,1)，cos1FB，n1FB n|1FB|n|33，二面角 F-CC1-B 为锐角，二面角 F-CC1-B 的余弦值为33.13 如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，侧棱 A1A底面ABCD，ABDC，ABAD，ADCD1，AA1AB2，E 为棱AA1的中点(1)证明：B1C1CE;(2)求二面角 B1-CE-C1的正弦值(3)设点 M 在线段 C1E 上，且直线 AM 与平面 ADD1A1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长 解：法一：如图，以点 A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得 A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)(1)证明：易得11BC(1,0，1)，CE(1,1，1)，于是11BCCE0，所以 B1C1CE.(2)1B C(1，2，1)设平面 B1CE 的法向量 m(x，y，z)，则 m11BC0，mCE0，即 x2yz0，xyz0.消去 x，得 y2z0，不妨令 z1，可得一个法向量为 m(3，2,1)由(1)知，B1C1CE，又 CC1B1C1，可得 B1C1平面 CEC1，故11BC(1,0，1)为平面 CEC1的一个法向量 于是 cosm，11BCm11BC|m|11BC|414 22 77，11 从而 sin m，11BC217.所以二面角 B1-CE-C1的正弦值为217.(3)AE(0,1,0)，1EC(1,1,1)设EM1EC(，)，0 1，有AMAEEM(，1，)可取AB(0,0,2)为平面 ADD1A1的一个法向量设 为直线 AM 与平面 ADD1A1所成的角，则 sin|cosAM，AB|AMAB|AM|AB|22 2 122322 1.于是322 126，解得 13，所以 AM 2.法二：(1)证明：因为侧棱 CC1底面 A1B1C1D1，B1C1平面A1B1C1D1，所以 CC1B1C1.经计算可得 B1E 5，B1C1 2，EC1 3，从而 B1E2B1C21EC21，所以在B1EC1中，B1C1C1E，又CC1，C1E平面 CC1E，CC1C1EC1，所以 B1C1平面 CC1E.又CE平面 CC1E，故 B1C1CE.(2)过 B1作 B1GCE 于点 G，连接 C1G.由(1)知，B1C1CE，故 CE平面 B1C1G，得CEC1G，所以B1GC1为二面角 B1-CE-C1的平面角在CC1E 中，由 CEC1E 3，CC12，可得 C1G2 63.在 RtB1C1G 中，B1G423，所以 sin B1GC1217，即二面角 B1-CE-C1的正弦值为217.(3)连接 D1E，过点 M 作 MHED1于点 H，可得 MH平面 ADD1A1，连接 AH，AM，则MAH 为直线 AM 与平面 ADD1A1所成的角 设 AMx，从而在 RtAHM 中，有 MH26x，AH346x.在 RtC1D1E 中，C1D11，ED1 2，得 EH 2MH13x.在AEH 中，AEH135，AE1，由 AH2AE2EH22AE EHcos 135，得1718x2119x223x，整理得 5x22 2x60，解得 x 2.所以线段 AM 的长为 2.12