2023年电大《高等数学基础》期末考试复习最全面精品资料版.pdf

1 一、单项选择题 1-1下列各函数对中，（C）中的两个函数 相 等 C.3ln)(xxf，xxgln3)(1-设 函 数)(xf的 定 义 域 为),(，则函数)()(xfxf的图形关于（C ）对称C.y轴 设 函 数)(xf的 定 义 域 为),(，则函数)()(xfxf的图形关于（D）对称 D.坐标原点.函 数2eexxy的 图 形 关 于（A）对称(A)坐标原点 1-下列函数中为奇函数是（B）B.xxycos 下列函数中为奇函数是（A）A.xxy3 下列函数中为偶函数的是（D ）D)1ln(2xy 2-1 下 列 极 限 存 计 算 不 正 确 的 是（D ）D.01sinlimxxx 2-2 当0 x时，变量（C ）是无穷小量 C.xx1sin 当0 x时，变量（C）是无穷小量 C 1e x .当0 x时，变量（D ）是无穷小量 D )1ln(x 下 列 变 量 中，是 无 穷 小 量 的 为（B ）B ln10 xx 3-1 设)(xf在 点 x=1处 可 导，则hfhfh)1()21(lim0（D）D.)1(2 f 设)(xf在0 x可 导，则hxfhxfh)()2(lim000（D ）D)(20 xf 设)(xf在0 x可 导，则hxfhxfh2)()2(lim000（D）D.)(0 xf 设xxfe)(，则xfxfx)1()1(lim0（A）A e 3-2.下 列等式不 成立的是（D）D.)1(lnxdxdx 下列等式中正确的是（B）B.2)1(xdxxd 4-1 函数14)(2xxxf的单调增加区间是（D）D.),2(函 数542xxy在 区 间)6,6(内满足（A）A.先单调下降再单调上升 .函数62xxy在区间（5，5）内满足（A ）A 先单调下降再单调上升 .函 数622xxy在 区 间)5,2(内满足（D）D.单调上升 5-1 若)(xf的一个原函数是x1，则)(xf（D ）D.32x.若)(xF是)(xf 的一个原函数，则 下 列 等 式 成 立 的 是（A）。A)()()(aFxFdxxfxa 5-2 若xxfcos)(，则xxfd)(（B ）B.cxcos 下列等 式成 立的 是（D ）D.)(d)(ddxfxxfx xxfxxd)(dd32（B ）B.)(32xfx xxxfxd)(dd2（D）D xxxfd)(2 -3 若cxFxxf)(d)(，则xxfxd)(1（B ）B.cxF)(2 补充：xefexxd)(ceFx)(,无穷积分收敛的 是 dxx121 函 数xxxf1010)(的图形关于 y 轴 对称。二、填空题 函数)1ln(39)(2xxxxf的 定 义域是 （3，+）函数xxxy4)2ln(的定义域是 （2，3）（3，4 函 数xxxf21)5l n()(的定义域是 （5，2）若函数0,20,1)(2xxxxfx，则)0(f 1 2 若函数0,0,)1()(1xkxxxxfx，在0 x处连续，则k e .函 数002s i n)(xkxxxxf在0 x处连续，则k 2 函数0,sin0,1xxxxy的间断点是 x=0 函数3322xxxy的间断点是 x=3 。函数xey11的间断点是 x=0 3-曲线1)(xxf在)2,1(处的切线斜率是 1/2 曲线2)(xxf在)2,2(处的切线斜率是 1/4 曲线1)(xexf在（0，2）处的切线斜率是 1 .曲线1)(3xxf在)2,1(处的切线斜率是 3 3-2 曲线xxfsin)(在)1,2(处的切线方程是 y=1 切线斜率是 0 曲线 y=sinx 在点(0,0)处的切线方程为 y=x 切线斜率是 1 4 .函数)1ln(2xy的单调减少区间是（，0）函数2e)(xxf的单调增加区间是 （0，+）.函数1)1(2xy的单调减少区间是 （，1）.函数1)(2xxf的单调增加区间是 （0，+）函数2xey的单调减少区间是 （0，+）5-1 xxded2 dxex2 .2 xxdxddsin2 2si nx xx d)(tan tan x+C 若cxxxf3sind)(，则)(xf 9 sin 3x 5-2 335d)21(sinxx 3 11231dxxx 0 edxxdxd1)1ln(0 下列积分计算正确的是（B）A 0d)(11xeexx B0d)(11xeexx C0d112xx D 0d|11xx 三、计算题（一）、计算极限（1 小题，11 分）（1）利用极限的四则运算法则，主要是因式分解，消去零因子。（2）利用连续函数性质：)(0 xf有定义，则极限)()(lim00 xfxfxx 类 型1：利 用 重 要 极 限 1si nlim0 xxx，kxkxxsinlim0，kxkxxtanlim0 计算 1-1 求xxx5sin6sinlim0 解：565sin6sinlim5sin6sinlim00 xxxxxxxx 1-2 求 0tanlim3xxx 解：xxx3tanlim031131tanlim310 xxx 1-3 求xxx3tanlim0 解：xxx3tanlim0=3313.33tanlim0 xxx 类型 2：因式分解并利用重要极限 1)()sin(limaxaxax，1)sin(limaxaxax 化简计算。2-1 求)1sin(1lim21xxx 解：)1sin(1lim21xxx=2)11(1)1.()1sin()1(lim1xxxx 2-2 21sin1lim1xxx 解：211111)1(1.)1()1sin(lim1)1sin(lim121xxxxxxx 2-3 )3sin(34lim23xxxx 解：2)1(lim)3sin()1)(3(lim)3sin(34lim3323xxxxxxxxxx 类型 3：因式分解并消去零因子，再计算极限 3-1 4586lim224xxxxx 解：4586lim224xxxxx=)1)(4()2)(4(lim4xxxxx3212lim4xxx 3-2 2236lim12xxxxx 2233332625limlimlim123447xxxxxxxxxxxxx 3-3 423lim222xxxx 解 4121lim)2)(2()1)(2(lim423lim22222xxxxxxxxxxxx 其他：0sin21limsin11lim2020 xxxxxx，221sinlim11sinlim00 xxxxx 5456lim22xxxxx1lim22xxx，54362l i m22xxxxx3232lim22xxx（0807考题）计算xxx4sin8tanlim0 解：xxx4sin8tanlim0=248.4sin8tanlim0 xxxxx（0801考题.）计算xxx2sinlim0 解 xxx2sinlim021sinlim210 xxx（0707考题.）)1sin(32lim21xxxx=4)31(1)1sin()3).(1(lim1xxxx （二）求函数的导数和微分（1 小题，11分）（1）利 用 导 数 的 四 则 运 算 法 则 vuvu)(vuvuuv)(（2）利用导数基本公式和复合函数求导公式 xx1)(ln 1)(aaaxx xxee)(ueeuu.)(xxxxxxxx22csc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin xexeexexeexexeexxxxxxxxxsin).(cos)(cos).(sin)(2).()(coscoscossinsinsin2222 xxxxxeeeeexxxxxuuucos).(cos)(sincos2).(cos)(sin.cos)(sin2222 3 xxxxeeeeexxxxxuuusin).(sin)(cossin2)(sin)(cos.sin)(cos2222 类型 1：加减法与乘法混合运算的求导，先加减求导，后乘法求导；括号求导最后计算。1-1 xxxye)3(解：y 332233xxxexe1322332xxx exe1322332xxxe 1-2 xxxylncot2 解：xxxxxxxxxxxxyln2csc)(lnln)(csc)ln()(cot22222 1-3 设xxeyxlntan，求y 解：xxexexxexexxeyxxxxx1sectan1)(tantan)()(ln)tan(2 类型 2：加减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导 2-1 xxylnsin2，求y 解：xxxxxy1cos2)(ln)(sin22 2-2 2sinecosxyx，求y 解：2222co2esie).(cos).(sin)(sin)(cosxxxxeexeyxxxxx 2-3 xexy55ln，求y，解：xxxxexy5455e5ln5).()(ln 类型3：乘积与复合函数混合运算的求导，先乘积求导，后复合求导 xeyxcos2，求y。解：xexxexexeyxxxxsincos2)(coscos)(2222 其他：xxyxcos2，求y。解：2).(cos.)(cos2ln2)cos()2(xxxxxxxyxx2cossin2ln2xxxxx 0807.设2sinsin xeyx，求y 解：2si2sinco2co)(si)(xxxexeyxx 0801.设2xxey，求y 解：222222)()(xxxxexeexexy 0707.设2sinxeyx，求y 解：xxexxeyxx2cos)().(sinsin2sin 0701.设xxyecosln，求y 解：xxxxxeexyesie1).(sin)(ln （三）积分计算：（2 小题，共 22 分）凑微分类型1：)1(d12xdxx 计 算xxxd1c o s2 解：cxxdxxxx1s i n)1(1c o sd1c o s2 0707.计 算xxdx1s i n2 解：cxxxxx1cos)1(dx1sind1sin2 0701 计 算xxxde21 解：)1(dede121xxxxxcx1e 凑微分类型2：xdx2dx1.计算xxxdco s 解：cxxdxxxxsin2cos2dcos 0807.计 算xxdxsi n 解：xxdxxxc o s2si n2dxsi n 0801.计 算xexdx 解：cexdexexxx22dx 凑微分类型3：xdxlndx1，)ln(dx1xadx 计 算xdx l n x1 解：xduuxxdx|ln|ln1lnlndxlnx1.计 算e1dln2xxx 解：e1e1)ln2()dln2(dln2xxxxx25)ln2(2112ex 5 定积分计算题，分部积分法 类型1：xxaxdxaxdxxaaa11ln11ln11ln 计算e1lnx d xx 解：1a，xxxxdxxdxx22241ln21ln21ln ln2(ln21lnxd212e1xxxdxxxe()(1)ln(dlne1eeexxxxx 计算e12dlnxxx 解：2a，cxxxxxddxxx1ln1)1(lnln2 exxxxxxxx1)1ln()1(dlndlne1e12 4 计算dxxxe1ln 解：21a，cxxxxxddxxx4ln2ln2ln dxxxe1ln=421)4ln2(ln21eexxxxxde 0807 e1lnxdxx94921)94ln32(xlnxd32232323e123eexxx 0707 e13e12nxd31dlnxlxxx91921)91lnx31(333eexx 类型2 ceaxeaexdadxxeaxaxaxax211)(1 xxdexdxxe21010221414101)4121(222eexexx xxdexdxxe10101201)(1eexexx xxdexdxxe21010221414301)4121(222eexexx（0801考题）10 xdxex101)xe(xde10 xxxe 类型3：caxaaxxaaxdxaaxxaaxdxxsin1cos1cos1cos1sin2 caxaaxxaaxdxaaxxaaxdxxcos1sin1sin1sin1cos2 20sinxdxx10102)sincos(cos20 xxxxxd 20cosxdxx1202)cossin(sin20 xxxxxd cxxxxdxxxxxx2sin412cos212cos212cos21d2sin 202sinxdxx40402)2sin412cos21(2cos2120 xxxxxd 222200001111cos 2sin 2|sin 2cos 2|2242xxdxxxxdxx 四、应用题（1 题，16 分）类型 1：圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足 222lrh 圆柱体的体积公式为 hhlhrV)(222 求导并令 0)3(22hlV 得lh33，并 由 此 解 出lr36 即当底半径lr36，高lh33时，圆柱体的体积最大 类型 2：已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。2-1（0801 考题）某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为r，高为h，则其容积22.,.rVhhrV 表面积为rVrrhrS222222 224rVrS，由0S得32Vr，此时342Vrh。由 实 际 问 题 可 知，当 底 半 径32Vr 与高rh2 时可使用料最省。一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？解：本题的解法和结果与 2-1 完全相同。生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为r，高为h，则无 盖 圆 柱 形 容 器 表 面 积 为 rVrrhrS2222，令 0222rVrS，得 rhVr,3，由 实 际 问 题 可 知，当 底 半 径3Vr 与高rh 时可使用料最省。2-2 欲做一个底为正方形，容积为 32 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？（0707 考题）解：设底边的边长为x，高为h，用材料 为y，由 已 知322 Vhx，2xVh，表面积 xVxxhxy4422，l 5 令0422xVxy，得6423 Vx，此时,4x2xVh=2 由实际问题可知，4x是函数的极小值点，所以当4x，2h时用料最省。欲做一个底为正方形，容积为 62.5 立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：本题的解法与 2-2 同，只需把V=62.5 代入即可。类型 3 求求曲线kxy 2上的点，使其到点)0,(aA的距离最短 曲 线kxy 2上 的 点 到 点)0,(aA的距离平方为kxaxyaxL222)()(0)(2kaxL，kax22 3-1在抛物线xy42上求一点，使其与x轴上的点)0,3(A的距离最短 解：设所求点 P（x，y），则满足 xy42，点P 到点 A 的距离之平方为 xxyxL4)3()3(222 令04)3(2xL，解得1x是唯一驻点，易知1x是函数的极小值点，当1x时，2y或2y，所以满足条件的有两个点（1，2）和（1，2）3-2 求曲线xy22上的点，使其到点)0,2(A的距离最短 解：曲线xy22上的点到点 A（2，0）的距离之平方为xxyxL2)2()2(222 令02)2(2xL，得1x，由 此222 xy，2y 即曲线xy22上的点（1，2）和（1，2）到点A（2，0）的距离最短。08074 求曲线2xy 上的点，使其到点A（0，2）的距离最短。解：曲线2xy 上的点到点 A（0，2）的距离公式为 222)2()2(yyyxd d与2d在同一点取到最大值，为计算方便求2d的最大值点，22)2(yyd 32)2(21)(2yyd 令 0)(2d得23y，并由此解出26x，即 曲 线2xy 上 的 点（23,26）和点（23,26）到点 A（0，2）的距离最短