2023年直线与方程知识点归纳总结全面汇总归纳.pdf
直线与方程知识点总结 一、直线基本知识 1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点：.与 x 轴相交;.x 轴正向;.直线向上方向.直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为00.倾斜角的范围000180.0,900k；0,18090k（2）直线的斜率 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为090的直线斜率不存在。经过两点),(),(222111yxPyxP（21xx）的直线的斜率公式是1212xxyyk（21xx）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。2、两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l，其斜率分别为12,k k，则有1212/llkk。特别地，当直线12,l l的斜率都不存在时，12ll与的关系为平行。（2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l斜率存在，设为12,k k，则12121llk k g 注：两条直线12,l l垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0 时，12ll与互相垂直。二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式)(11xxkyy),(11yx为直线上一定点，k为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 bkxy k为斜率，b是直线在 y轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 121121xxxxyyyy),(2121yyxx其中),(),(2211yxyx是 直 线 上两定点 不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直线 截距式 1byax a是直线在 x 轴上的非零截距，b是直线在 y 轴上的非零截距 不包括垂直于 x 轴和 y 轴或过原点的直线 一般式 0CByAx）不同时为其中0,(BA A，B，C为系数 无限制，可表示任何位置的直线 注：过两点),(),(222111yxPyxP的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若2121yyxx 且，直线垂直于 x 轴，方程为1xx；（2）若2121yyxx 且，直线垂直于 y 轴，方程为1yy；（3）（3）若2121yyxx 且，直线方程可用两点式表示）2、线段的中点坐标公式 若两点),(),(222111yxPyxP，且线段21,PP的中点M的坐标为),(yx，则222121yyyxxx 3.过定点的直线系 斜率为k且过定点),(00yx的直线系方程为)(00 xxkyy；过两 条直 线0:1111CyBxAl,0:2222CyBxAl的交点的 直线 系方程为0)(222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线l2不在直线系中.三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是0:1111CyBxAl,0:2222CyBxAl两条直线的交点坐标就是方程组00222111CyBxACyBxA的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。2.几种距离（1）两点间的距离 平面上的两点),(),(222111yxPyxP间的距离公式21221221)()(yyxxPP 特别地，原点)0,0(O与任一点),(yxP的距离22yxOP（2）点到直线的距离 点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离2200BACByAxd（3）两条平行线间的距离 两条平行线0:11CByAxl,0:22CByAxl间的距离2212BACCd （注意：求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。）补充：1、直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角 （2）已知斜率 k 的范围，求倾斜角的范围时，若 k 为正数，则的范围为(0,)2的子集，且 k=tan为增函数；若 k 为负数，则的范围为(,)2的子集，且 k=tan为增函数。若 k 的范围有正有负，则可所范围按大于等于 0 或小于 0 分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。2、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x yB xyC xy若123ABACxxxkk或，则有 A、B、C三点共线。注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。3.两条直线位置关系的判定：已知 0:11CByAxl,0:22CByAxl，则：（1）0212121BBAAll （2）;0,0-/1221122121CACABABAll （3）;0,0-1221122121CACABABAll重合与（4）1l与2l相交01221BABA 如果2220A B C 时，则：(1)1221121BABAll(2)21/ll）不为0,(222212121CBACCBBAA；(3)1l与2l重合）不为0,(222212121CBACCBBAA(4)1l与2l相交）不为0,(222121BABBAA 4.有关对称问题 常见的对称问题：（1）中心对称 若点),(11yxM及),(22yxN关于),(baP对称，则由中点坐标公式得1122ybyxax 直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用21/ll，由点斜式得到所求直线方程。（2）轴对称 点关于直线的对称 若两点),(111yxP与),(222yxP关于直线0:CByAxl对称，则线段21PP的中点在对称轴l上，而且连接21PP的直线垂直于对称轴l上，由方程组 1)(0)2()2(12122121BAxxyyCyyBxxA22yx 可得到点1P关于l对称的点2P的坐标),(22yx（其中21,0 xxA）直线关于直线的对称 此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。注：曲线、直线关于一直线bxy对称的解法：y换x，x换y.例：曲线0),(yxf关于直线2xy对称曲线方程是0)2,2(xyf 曲线0),(:yxfC关于点),(ba的对称曲线方程是0)2,2(ybxaf 5.两条直线的交角 直线1l到2l的角（方向角）；直线1l到2l的角，是指直线1l绕交点依逆时针方向旋转到与2l重合时所转动的角，它的范围是),0(，当90时21121tankkkk.两条相交直线1l与2l的夹角：两条相交直线1l与2l的夹角，是指由1l与2l相交所成的四个角中最小的正角，又称为1l和2l所成的角，它的取值范围是2,0，当90，则有21121tankkkk.6.直线l上一动点 P到两个定点 A、B的距离“最值问题”：(1)在直线l上求一点 P，使PBPA 取得最小值，若点BA、位于直线l的同侧时，作点A（或点B）关于l的对称点/A或/B,.)(/即为所求点，则点于交或连接PPlABBA 若点BA、位于直线的异侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点。可简记为“同侧对称异侧连”.即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位于直线的异侧时，直接连接两点即可.（2）在直线l上求一点P使PBPA 取得最大值，方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”若点BA、位于直线l的同侧时，连接AB交于l点P，则P为所求点。若点BA、位于直线的异侧时，作点A（或点B）关于l的对称点/A或/B,.)(/即为所求点，则点于交或连接PPlABBA(3)22PBPA 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。7.直线过定点问题：含有一个未知参数，12)1(axay 1)2(xxay （1）令202xx，将3)1(2yx式，得代入，从而该直线过定点)3,2(含有两个未知参数 0)2()3(nynmxnm 0)12()3(yxnyxm 令1203yxyx 7371yx 从而该直线必过定点)73,71(8.点到几种特殊直线的距离（1）点00(,)P xy到 x 轴的距离0|dy。（2）点00(,)P xy到 y 轴的距离0|dx.（3）点00(,)P xy到与 x 轴平行的直线 y=a 的距离0|dya。（4）点00(,)P xy到与 y 轴平行的直线 x=b 的距离0|dxa.9.与已知直线平行的直线系有：（1）平行于直线)(00/CCCByAxCByAx的直线可表示为（2）平行于直线)(/bbbkxybkxy的所有直线为 10.易错辨析：（1）讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：斜率不存在时，是否满足题意；斜率存在时，斜率会有怎样关系。（2）注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解；（求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。）（3）直线到两定点距离相等，有两种情况：直线与两定点所在直线平行；直线过两定点的中点。（求解过某一定点的直线方程时，较为常见。）（4）过点),(00yxA，平行于x轴的直线方程为0yy 过点),(00yxA，平行于y轴的直线方程为0 xx
