2023年高中数学必修一第三章函数的应用知识点归纳总结全面汇总归纳.pdf

第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。2、函数零点的意义：函数)(xfy 的零点就是方程0)(xf实数根，亦即函数)(xfy 的图象与x轴交点的横坐标。即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy 的图象与x轴有交点函数)(xfy 有零点 3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程0)(xf的实数根；2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(xfy 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点 4、基本初等函数的零点：正比例函数(0)ykx k仅有一个零点。反比例函数(0)kykx没有零点。一次函数(0)ykxb k仅有一个零点。二次函数)0(2acbxaxy（1），方程20(0)axbxca 有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点（2），方程20(0)axbxca 有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点（3），方程20(0)axbxca 无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点 指数函数(0,1)xyaaa且没有零点。对数函数log(0,1)ayx aa且仅有一个零点 1.幂函数yx，当0n 时，仅有一个零点 0，当0n 时，没有零点。5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把 fx转化成 0fx，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,yy（基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数 fx零点的个数。6、选择题判断区间,a b上是否含有零点，只需满足 0faf b。Eg：试判断方程在区间01224xxx0,2 内是否有实数解？并说明理由。8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使0)(xf的实数；从“形”的角度看：即是函数)(xf的图象与x轴交点的横坐标；若函数)(xf的图象在0 xx 处与x轴相切，则零点0 x通常称为不变号零点；若函数)(xf的图象在0 xx 处与x轴相交，则零点0 x通常称为变号零点 一元二次方程根的分布的基本类型 设一元二次方程02cbxax（0a）的两实根为1x，2x，且21xx.k为常数，则一元二次方程根的k分布（即1x，2x相对于k的位置）或根在区间上的分布主要有以下基本类型：表一：（两根与 0 的大小比较）分布情况 两个负根即两根都小于 0 120,0 xx 两个正根即两根都大于 0 120,0 xx 一正根一负根即一个根小于 0，一个大于0120 xx 大致图象（0a）得出的结论 00200baf 00200baf 00 f 大致图象（0a）得出的结论 00200baf 00200baf 00 f 综合结论（不讨论a）00200baa f 00200baa f 00 fa 表二：（两根与k的大小比较）分布情况 两根都小于k即 kxkx21,两根都大于k即 kxkx21,一个根小于k，一个大于k即12xkx 大致图象（0a）得出的结论 020bkaf k 020bkaf k 0kf 大致图象（0a）得出的结论 020bkaf k 020bkaf k 0kf 综合结论（不讨论a）020bkaa f k 020bkaa f k 0 kfa kkk表三：（根在区间上的分布）分布情况 两根都在 nm,内 两根有且仅有一根在 nm,内（有两种情况，只画了一种）一根在 nm,内，另一根在 qp,内，qpnm 大致图象（0a）得出的结论 0002f mf nbmna 0 nfmf 0000f mf nfpf q或 00f m f nfp f q 大致图象（0a）得出的结论 0002f mf nbmna 0 nfmf 0000f mf nfpf q或 00f m f nfp f q 综合结论（不讨论a）0 nfmf 00qfpfnfmf