2023年精品高等数学考研知识点归纳总结全面汇总归纳全面汇总归纳全面超详细知识汇总全面汇总归纳全面汇总归纳8227.pdf
1第八讲 多元函数微分学一、考试要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。4.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。5.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。6.了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数。7.了解二元函数的二阶泰勒公式(数一)。8.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。二、内容提要 1、多元函数的概念：z=f(x,y),(x,y)D 2、二元函数的极限定义、连续 3、偏导数的定义、高阶偏导、全微分 z=f(x,y)=,=若)(),(),(),(),(000000000yyxfxyxfyxfyyxxfzyx则 4、偏导连续可微 可导(偏导)连续 极限存在 5、复合函数求导法则（1）多元与一元复合：设)(),(),(tzztyytxx在 t 可微，),(zyxfu 在与 t 对应的点(),(zyx)(),(),(tztytx可微，则)(),(),(tztytxfu 在 t处可微，且 dtdzzfdtdyyfdtdxxfdtdu（2）多元与多元复合：设),(),(yxvyxu在点),(yx存在偏导数，),(vufw 在与),(yx对应的点),(vu可微，则),(),(yxyxfw在点),(yx存在偏导数，且2 xvvfxuufxw，yvvfyuufyw 6、隐函数求导法则 要求掌握三种情形：1）F(x,y,z)=0,2）3）7、二元函数的二阶泰勒公式 设 z=f(x,y)在点),(00yx的某个邻域内具有二阶连续偏导数，),(00kyhx为此邻域内一点，则有),()(),(),(000000yxfykxhyxfkyhxf +).,()(!21002yxfykxh .10),()(!31003kyhxfykxh 8、多元函数的极值 1)定义 2)可能极值点 3)取极值的必要条件 4)取极值的充分条件 设 ,若,则为 z=f(x,y)的一个极值点 9、条件极值 构造拉格朗日函数：由000FFFyx 解得可能极值点，再由实际问题判断极值。10、最值：区域内部或边界上达到三、典型题型与例题题型一、基本概念题（讨论偏导、连续、可微之间的关系）例 1、设yxexyyxxyz22)(423，求)0,1(xz和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法掌握多元复合函数一阶二阶偏导数极值的概念掌握多元函数极值存在的必要条件了解二元函数极值存在的充分条件会求二元函数的极值会用拉格朗日乘元函数的极限定义连续偏导数的定义高阶偏导全微分若则偏导连续可微可导偏导连续极限存在复合函数求导法则多元3例 2 考虑二元函数 f(x,y)的下面 4 条性质：),(yxf在点),(00yx处连续，),(yxf在点),(00yx处的两个偏导数连续，),(yxf在点),(00yx处可微，),(yxf在点),(00yx处的两个偏导数存在.若用“QP”表示可由性质 P 推出性质 Q,则有（A）.（B）.（C）.（D）.例 3、设0,00,)(2222232222yxyxyxyxz1）在（0，0）点，函数是否连续？是否偏导数存在？是否可微？一阶偏导数是否连续？2）求dz题型二、求多元函数的偏导数和全微分本题型包括如下几个方面的问题1、初等函数的偏导数和全微分2、求抽象函数的复合函数的偏导数3、由方程所确定的隐函数的偏导数和全微分4、含抽象函数的方程所确定的隐函数的偏导数和全微分5、由方程组所确定的隐函数的偏导数 方法：直接求导法；公式法；微分形式不变性。和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法掌握多元复合函数一阶二阶偏导数极值的概念掌握多元函数极值存在的必要条件了解二元函数极值存在的充分条件会求二元函数的极值会用拉格朗日乘元函数的极限定义连续偏导数的定义高阶偏导全微分若则偏导连续可微可导偏导连续极限存在复合函数求导法则多元4例 4、设yxyxyxyxfarctanarctan),(22，求yxfxf2,例 5、设),(zyyxfu，求zyudu2,*例 6、已知函数 z=z(x,y)满足 设 对函数 求证.和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法掌握多元复合函数一阶二阶偏导数极值的概念掌握多元函数极值存在的必要条件了解二元函数极值存在的充分条件会求二元函数的极值会用拉格朗日乘元函数的极限定义连续偏导数的定义高阶偏导全微分若则偏导连续可微可导偏导连续极限存在复合函数求导法则多元5例 7、设yxeuyxufz),(，有二阶连续偏导数，求yxz2例 8、设),(zyxfu 有连续偏导数，)(xyy 和)(xzz 分别由方程0yxexy和0 xzez确定，试求dxdu例 9 设函数 z=z(x,y)由方程0),(xzxyF确定,其中 F 为可微函数,且 f2 0,则yzyxzx_.(A)x.(B)z.(C)x.(D)z.和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法掌握多元复合函数一阶二阶偏导数极值的概念掌握多元函数极值存在的必要条件了解二元函数极值存在的充分条件会求二元函数的极值会用拉格朗日乘元函数的极限定义连续偏导数的定义高阶偏导全微分若则偏导连续可微可导偏导连续极限存在复合函数求导法则多元6例 10 设),(xyzyxfu，函数),(yxzz 由方程xyzzxyedttzxyg)(确定，其中 f 可微，g 连续，求yuyxux例 11、设0),(),(zyxgutzutyutxfu求yuxu,和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法掌握多元复合函数一阶二阶偏导数极值的概念掌握多元函数极值存在的必要条件了解二元函数极值存在的充分条件会求二元函数的极值会用拉格朗日乘元函数的极限定义连续偏导数的定义高阶偏导全微分若则偏导连续可微可导偏导连续极限存在复合函数求导法则多元7题型三：变量替换下表达式的变形*例 12、设),(yxfu 具有二阶连续偏导数，而23,23tsytsx，证明 22222222tusuyuxu题型四 反问题解题思路：由已知满足的关系式或条件，利用多元函数微分学的方法和结论，求出待定的函数、参数等。例 13、已知dyyxxbydxxyaxy)3sin1()cos(2223为某一函数),(yxf的全微分，求ba,和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法掌握多元复合函数一阶二阶偏导数极值的概念掌握多元函数极值存在的必要条件了解二元函数极值存在的充分条件会求二元函数的极值会用拉格朗日乘元函数的极限定义连续偏导数的定义高阶偏导全微分若则偏导连续可微可导偏导连续极限存在复合函数求导法则多元8例 14、设),(yxfz 满足xyxfxfxyfsin)0,(,0)1,(,222，求),(yxf例 15、设函数 满足,试求函数 f 的表达式.题型五、多元函数的应用1、极值的求法步骤：1)解方程组x00fx,y0，y00fx,y0，得所有驻点；2)对每一个驻点00 x,y，求xx00A=fx,y，xy00Bfx,y，yy00C=fx,y的值；3）由2BAC的符号确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点。2、最值的求法闭区域上连续多元函数的最值可能在区域内部或边界上达到，先求出在区域内部的所有驻点以及偏导数不存在的点，比较这些点与边界上点的函数值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。对于实际问题一般根据实际背景来确定是否取最值（如可能极值点唯一，则极小（大）值点即最小（大）值点）。条件极值还可用拉格朗日乘数法来求。和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法掌握多元复合函数一阶二阶偏导数极值的概念掌握多元函数极值存在的必要条件了解二元函数极值存在的充分条件会求二元函数的极值会用拉格朗日乘元函数的极限定义连续偏导数的定义高阶偏导全微分若则偏导连续可微可导偏导连续极限存在复合函数求导法则多元9例 16、讨论二元函数33222()zxyxy的极值。例 17 求椭圆222380 xxyyy 与直线8xy 之间的最短距离。*例 18、（054）求 f(x,y)=222yx在椭圆域 14),(22yxyxD上的最大值和最小值.和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法掌握多元复合函数一阶二阶偏导数极值的概念掌握多元函数极值存在的必要条件了解二元函数极值存在的充分条件会求二元函数的极值会用拉格朗日乘元函数的极限定义连续偏导数的定义高阶偏导全微分若则偏导连续可微可导偏导连续极限存在复合函数求导法则多元10*例 19、(99 34)设生产某种产品必须投入两种要素，x1和 x2分别为两种要素的投入量，Q 为产出量；若生产函数为 Q=,其中 假设两种要素的价格分别为.试问：当产出量为 12 时，两要素各投入多少时可以使得投入总费用最小？例 20（103）求函数 u=xy+2 yz 在约束条件 x 2+y 2+z 2=10 下的最大值和最小值.和充分条件了解全微分形式的不变性理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法掌握多元复合函数一阶二阶偏导数极值的概念掌握多元函数极值存在的必要条件了解二元函数极值存在的充分条件会求二元函数的极值会用拉格朗日乘元函数的极限定义连续偏导数的定义高阶偏导全微分若则偏导连续可微可导偏导连续极限存在复合函数求导法则多元
