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H 解 析 几 何 H l 直 线 的 倾 斜 角 与 斜 率、直 线 的 方 程 22.H l、H2、H72012浙 江 卷 如 图 1一 6,在 直 角 坐 标 系 xOy中，线 C：丁=2 X 仍 0)的 准 线 的 距 离 为 今 点 M G)是 C 上 的 定 点，4,B 是 C段 被 直 线 0 M 平 分.(1)求 p,f的 值;(2)求 N8P面 积 的 最 大 值.点 从 1,9 到 抛 物 上 的 两 动 点，且 线(2p/=1,22.解：(1)由 题 意 知 卜(2)设/(a，乃)，8(X2,改)，线 段 的 中 点 为 0(加，,由 题 意 知，设 直 线 A B 的 斜 率 为 用 人#0).(Xi-yi)(y+y 2)=x i X2.故 k-2m1,所 以 直 线 A B 方 程 为 ym=(x m),即 x2my-2m2m 0.x-2/ny-2m2一 m=0,由 2 消 去 工，整 理 得 W=x)-2my-2m2m=0t所 以/=4加 4加 20,y+y2=2mr 刈)2=2m2 7.从 而 网=1 1+/忸 一 处|=71+4?，4加 4加 2.设 点 尸 到 直 线 Z 5 的 距 离 为 小 则|1-yj 1+47w*2(结 果 用 反 三 角 函 数 值 表 示).4.arctan|解 析 考 查 直 线 的 方 向 向 量、斜 率 与 倾 斜 角 三 者 之 间 的 关 系，关 键 是 求 出 直 线 的 斜 率.由 已 知 可 得 直 线 的 斜 率 4=；,%=tana,所 以 直 线 的 倾 斜 角 a=arctan；.220.H 5、Fl、Hl 2012陕 西 卷 已 知 椭 圆 C|：椭 圆 C2以 C1的 长 轴 为 短 轴,且 与 G 有 相 同 的 离 心 率.(1)求 椭 圆 G 的 方 程；(2)设。为 坐 标 原 点，点 4 B 分 别 在 椭 圆 G 和。2上，O B=2 O A,求 直 线 N 8 的 方 程.2 220.解：由 已 知 可 设 椭 圆 C2的 方 程 为 力+号=1(。2),设 ZB尸 的 面 积 为 S,则 S=ABd=2(mnr)y)nirr.由 4=4 加 一 4/%20,得 O V，V 1.令 w=*/w/w2,0 V 4，贝 I S=(l-2z/),设 S()=(l22),OV wg,则 S(M)=1-6 M2.由 V()=O得=乎 6(0,I),所 以 s()mx=q*)=*.故 NBP面 积 的 最 大 值 为 9.17.Hl、H7 2012浙 江 卷 定 义：曲 线 C 上 的 点 到 直 线/的 距 离 的 最 小 值 称 为 曲 线 C到 直 线/的 距 离.已 知 曲 线 G：到 直 线/：y=x 的 距 离 等 于 曲 线。2：/+8+4)2=2 到 直 线/：y=x 的 距 离，则 实 数。=.917.答 案 解 析 本 题 在 新 定 义 背 景 下 考 查 直 线、圆 和 抛 物 线 的 方 程，一、二 次 曲 线 之 间 的 位 置 关 系 与 导 数 几 何 意 义 等 基 础 知 识，考 查 学 生 综 合 运 用 知 识 的 能 力 和 学 情，考 查 函 数 方 程 和 数 形 结 合 的 数 学 思 想.求 出 曲 线 CI到 直 线/的 距 离 和 曲 线 C2到 直 线/的 距 离，建 立 等 式，求 出 参 数。的 值.曲 线。2：才+&+4y=2 到 直 线/：y=x 的 距 离 为 圆 心 到 直 线 的 距 离 与 圆 的 半 径 之 差，即 dr=3 一 r=5,由 可 得 2x,令 2xl,则 x=；,在 曲 线 Ci上 对 应 的 点 pg,；+，所 以 曲 线 G 到 直 线/的 距 离 即 为 点 名，到 直 线/,2 4 a 4 a 4a 1 7 9的 距 离，故 不=,所 以 一 二 用,可 得 4=2，。=I或。=不 当。7 7 Q=一(时，曲 线 G：尸/一(与 直 线/：尸 x 相 交，两 者 距 离 为 0,不 合 题 意，故 片?4.H l、Fl 2012上 海 卷 若 d=(2,l)是 直 线 C的 一 个 方 向 向 量,则/的 倾 斜 角 的 大 小 为其 离 心 率 为，故 七=看，则。=4，2 2故 椭 圆 C2的 方 程 为 气+2=1.（2）解 法 一：A,8 两 点 的 坐 标 分 别 记 为（X”,%）,（xs,yg）,由 为=2 5 及 知，O,A,8 三 点 共 线 且 点 4 8 不 在 y 轴 上，因 此 可 设 直 线 A B 的 方 程 为 y=kx./4将 代 入 彳+丁=1中，得（1+4的=4,所 以/=而 3将 代 入 气+，=1 中，得（4+m就 2=6,所 以-r c 16 16又 由。8=2 0 4得 了 8=4/，即 4+必=+以 2）解 得 上=1，故 直 线 的 方 程 为 y=x 或、=x.解 法 二：A,8 两 点 的 坐 标 分 别 记 为（X，力），（XB，yB）由 协=2 及（1）知，O,A,8 三 点 共 线 且 点 Z,8 不 在 y 轴 上，因 此 可 设 直 线 A B 的 方 程 为 y=kx.v-2 4将 卜=履 代 入；+丁=1 中，得（1+4 d）f=4,所 以 高=+4 后，2由 访=2为 得/=曾 会，迷=3，/4+2将 留 过 代 入 书+彳=1 中，得 甲 乒=1,即 4+*=1+4*，解 得 k=l,故 直 线 A B 的 方 程 为 夕=或 卜=-x.1 1 2两 直 线 的 位 置 关 系 与 点 到 直 线 的 距 离 22.H l、H2、H72012浙 江 卷 如 图 1-6,在 直 角 坐 标 系 x y 中，点 尸（1,到 抛 物 线 C：丁=2*伊 0）的 准 线 的 距 离 为 点 点 心/,1）是 C 上 的 定 点，A,8 是 C 上 的 两 动 点，且 线 段 被 直 线 平 分.求 p,/的 值；（2）求/8 尸 面 积 的 最 大 值.2 2.解：（1）由 题 意 知，2Pt=L1+T图 1 6得 11P=E，7=1.（2）设 4（X 1，乃），8（X 2,竺），线 段 Z 3 的 中 点 为 0（加，,由 题 意 知，设 直 线 的 斜 率 为 左 WO).诉=看,由 得(yi-y2)(y+及)=为 一 3故 k-2m=l.所 以 直 线 48 方 程 为 y加=*(%一 加),即 x2my+2m2m=0.x2my-2m2m=0,y2=x由 消 去 X,整 理 得 y 2my+2m2m=Of所 以 4=4优 4 2O,y-y2=2 m9 yyyi=lmTn.从 而 48|=4 l+pyi-y2|=yj 1+4毋 47%4毋.设 点 尸 到 直 线 Z B 的 距 离 为 止 则|1-2加+2毋|d yj 1+4/w2设 ZB尸 的 面 积 为 S,则 S=；|48 卜=|1-2(机 一 w2.由/=4?一“。，得 OV/wVl.令 u=ylin-n?,0V W$,贝 l jS=(l 2w2),设 S()=(l-22),贝 US(I/)=1-6 M2.由 9(u)=0得=*e(0,3，所 以 故 初 尸 面 积 的 最 大 值 为 坐 113圆 的 方 程 20.H3、H7、H82012课 标 全 国 卷 设 抛 物 线 C：x2=2py(p0)的 焦 点 为 尸，准 线 为/,/为 C 上 一 点，已 知 以 尸 为 圆 心，物 为 半 径 的 圆 厂 交/于 8,。两 点.(1)若 N2)=90。，的 面 积 为 45，求 p 的 值 及 圆 尸 的 方 程；(2)若 4 B、F 三 点 在 同 一 直 线 机 上，直 线 与 机 平 行，且 与 C 只 有 一 个 公 共 点，求 坐 标 原 点 到 小，距 离 的 比 值.20.解：(1)由 已 知 可 得 4 8 万 为 等 腰 直 角 三 角 形，BD=2p,圆 尸 的 半 径|物 尸 物.由 抛 物 线 定 义 可 知 A 到/的 距 离 1=回 尸 也 p.因 为 的 面 积 为 4 5所 以 占 80卜 4=4啦，即;-2pSp=4啦，解 得 p=-2(舍 去)，p=2.所 以 尸(0,1),圆 尸 的 方 程 为 x2+(y 1尸=8.(2)因 为 4,B,尸 三 点 在 同 一 直 线 机 上，所 以”为 圆 F 的 直 径，ZADB=90.由 抛 物 线 定 义 知 AD=FA=AB,所 以/8。=30。，加 的 斜 率 为 坐 或 一 坐.当?的 斜 率 为；时，由 已 知 可 设：y=代 入/=2/9得 f 邛 比 一 2pb=0.4由 于 与 C 只 有 一 个 公 共 点，故/=?2+8 夕 6=0.解 得 b=一 9.因 为 根 的 截 距 m=多=3,所 以 坐 标 原 点 到 加，距 离 的 比 值 为 3.当 机 的 斜 率 为 一 坐 时，山 图 形 对 称 性 可 知，坐 标 原 点 到 机，距 离 的 比 值 为 3.21.H3、H7、H8 2012福 建 卷 如 图 1一 4 所 示，等 边 三 角 形 0 4 8 的 边 长 为 8 S，且 其 三 个 顶 点 均 在 抛 物 线 氏 2=20。0)上.(1)求 抛 物 线 的 方 程；(2)设 动 直 线 1与 抛 物 线 E 相 切 于 点 P,与 直 线 y=-1 相 交 于 点 Q,证 明 以 P Q 为 直 径 的 圆 恒 过 y 轴 上 某 定 点.21.解：解 法 一：依 题 意，。8|=8小,N B 2r=30。.设,y),则 芯=|。8卜 出 30。=4小，y=Q 81cos30。=12.因 为 点 8(44，12)在 f=2 加 上，所 以(4小)2=2pX12,解 得 p=2.故 抛 物 线 E 的 方 程 为 x2=4y.(2)由(1)知 y=，y=1r.设 尸(xo，yo),则 xo*O,且/的 方 程 为 _ xp4 2xo=一 1.所 以。(甯 假 设 以 P Q 为 直 径 的 圆 恒 过 定 点 M,由 图 形 的 对 称 性 知 旧 必 在 y 轴 上，设 M 0,为),令 加 而=0 对 满 足 M=输 的 0)的 孙 泗 恒 成 立.由 于 法=(xo,%-%)，磁=(3 d，由 加 液=0,得 七 一 叫 一)w+yi+J=o.即+乂 2)+(1川()=0.(*)由 于(*)式 对 满 足 乂)=下 4。0关 的 比 恒 成 立,所 以 1-=0,J1+12=0,解 得 yi=1.故 以 P 0 为 直 径 的 圆 恒 过 y 轴 上 的 定 点 加(0,1).解 法 二：同 解 法(2)由(1)知 y=；x2,y=1x,设 Pg,yo),则 x0W0,且/的 方 程 为 y yo-_2Lx o/(o)x，即 nn y_12“法-14坨 2 1 1 2 f XQ 4由 尸 于 必 一 伸，得 x=K，-y=-1，y=-1,所 以。售 t)取 xo=2,此 时 尸(2,1),。(0,-1),以 P Q 为 直 径 的 圆 为(X-1)2+J=2,交 y 轴 于 点 初(0,1)或 2(0,-1)；取 曲=1,此 时 1,；),一|,1),以 尸。为 直 径 的 圆 为 2+Q+1)2=詈，交 卜 轴 于 此(0,1)或 跖(0，一|.故 若 满 足 条 件 的 点“存 在，只 能 是 M 0).以 下 证 明 点 M(0,l)就 是 所 要 求 的 点.因 为 访=(沏，为-1),血=(用/，-2)，MP-MQ=L-2 yo+2=2yQ-2-2yo+2=O.故 以 P Q 为 直 径 的 圆 恒 过 y 轴 上 的 定 点 M.21.H3、H5、H82012湖 北 卷 设/是 单 位 圆*2+炉=1上 的 任 意 一 点，/是 过 点 力 与 x 轴 垂 直 的 直 线，。是 直 线/与 x 轴 的 交 点，点 M 在 直 线/上，且 满 足|1朋=刚。山(m 0，且 当 点/在 圆 上 运 动 时，记 点 的 轨 迹 为 曲 线 C.(1)求 曲 线 C 的 方 程，判 断 曲 线 C 为 何 种 圆 锥 曲 线，并 求 其 焦 点 坐 标；(2)过 原 点 斜 率 为 上 的 直 线 交 曲 线 C 于 P,。两 点，其 中 P 在 第 一 象 限，且 它 在 y 轴 上 的 射 影 为 点 N,直 线 Q N 交 曲 线 C 于 另 一 点.是 否 存 在?，使 得 对 任 意 的 k 0,都 有 PQL P H?若 存 在，求 机 的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.21.解：如 图(1),设 M(x,y),A(x0,yo),则 由|)M=MD4Km 0，且 加#1)，可 得 x=xo，例=机 历 1，所 以 Xo=x,历|=3b|.因 为“点 在 单 位 圆 上 运 动，所 以 看+/=1.,将 式 代 入 式 即 得 所 求 曲 线 C 的 方 程 为+=1570,且 掰 W1).因 为 机 e(0)U(l,4-00),所 以 当 0 根 1时，曲 线 是 焦 点 在 x 轴)的 椭 圆,两 焦 点 坐 标 分 别 为(一 为 1 毋,0),0)；当 初 1时，曲 线 C 是 焦 点 在 N 轴 上 的 椭 圆,两 焦 点 坐 标 分 别 为(0(2)方 法 万 如 图(2)、(3),对 任 意#0,设 P 8,如)，4(X2,)，则。(一 xi，一%，N(0,k x 直 线 0 N 的 方 程 为 y=2fcr+5,将 其 代 入 椭 圆 C 的 方 程 并 整 理 可 得(加?+4炉”+4k*2x(%+m20.一 病(修 一 工 2)(为+、2)又 0,N,修 三 点 共 线，所 以”=%，即 当=以 普.X I%2工 目+小 T h,且,一 为 I(n-冷)/1+-)m-于 正 由 式 可 得 kpQ-kPH-x-X_X 2-2(X1-X 2)(X l+X 2)=_T 2而 P Q L P H 等 价 于 kpQ，kpH=-T,即 一 g=1,又 加 0,得 7=也，故 存 在 m=正，使 得 在 其 对 应 的 椭 圆 f+，=i 上，对 任 意 的 左 0,都 有 PQ_LP”.H 4 直 线 与 圆、圆 与 圆 的 位 置 关 系 6.H42012陕 西 卷 已 知 圆 C：x2+y2-4x=0,/是 过 点 尸(3,0)的 直 线，贝 4()A./与 C 相 交 B./与 C 相 切 C./与 C 相 离 D.以 上 三 个 选 项 均 有 可 能 6.A 解 析 本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 圆 的 位 置 关 系，解 题 的 突 破 口 为 熟 练 掌 握 判 断 直 线 与 圆 位 置 关 系,方 法.f+y 2 4x=o 是 以(2,0)为 圆 心,以 2 为 半 径 的 圆，而 点 尸(3,0)到 圆 心 的 距 离 为 4=、(3-2)2+(0-0)2=1 2,点 尸(3,0)恒 在 圆 内，过 点 尸(3,0)不 管 怎 么 样 画 直 线,都 与 圆 相 交.故 选 A.依 题 意 可 知 此 方 程 的 两 根 为 一 X1,X2,4后 1x+x 2=mT+4i?即 应=2m Xi毋+4左 2,于 是 由 韦 达 定 理 可 得 因 为 点 H 在 直 线 0 N 上，所 以 竺 一 丘 1=2kx2=?2+4).十 口 f-(4&i 2hn2x 于 是 尸 0=(2修，-2fcn),PH=(x2-x f处 _5)=(一,百 晨，萨 还 利.一 心 I人 十 f f 4(2 P)必 x：而 P Q L P H 等 价 于 PQ P H=2上;/=0,tn I即 2 m 2=0,又 加 0,得 加=啦，2故 存 在 m=也，使 得 在 其 对 应 的 椭 圆 f+=1上，对 任 意 的 k 0都 有 PQ1PH.方 法 2：如 图(2)、(3),对 任 意 xU(0,l),设 尸(xi，%),/(X2,及)，则。(一 修，一 月)，M 0,乃)，因 为 尸，两 点 在 椭 圆 C 匕 所 以 彳 2 2 I 2 2 两 式 相 减 可 得)，(X 2)+(yi一)m 工 2十 j2=加，=0.依 题 意，由 点 尸 在 第 一 象 限 可 知，点 也 在 第 一 象 限，且 P,不 重 合，故(X1 一 工 2)(闪+工 2)W0.于 是 由 式 可 得7.H4 2012辽 宁 卷 将 圆+/一 2工 一 4夕+1=0平 分 的 直 线 是()A.x+y-l=O B.x+y+3=0C.xy+l=O D.xy+3=07.C 解 析 本 小 题 主 要 考 查 直 线 与 圆 的 位 置 关 系.解 题 的 突 破 口 为 弄 清 平 分 线 的 实 质 是 过 圆 心 的 直 线，即 圆 心 符 合 直 线 方 程.圆 的 标 准 方 程 为。-1)2+82)2=4,所 以 圆 心 为(1,2),把 点(1,2)代 人 A、B、C、D,不 难 得 出 选 项 C 符 合 要 求.5.H4 2012 湖 北 卷 过 点 尸(1,1)的 直 线，将 圆 形 区 域(x,y川+/州 分 为 两 部 分，使 得 这 两 部 分 的 面 积 之 差 最 大，则 该 直 线 的 方 程 为()A.x+y20 B.厂 1=0C.xy=O D.x+3y4=05.A 解 析 要 使 直 线 将 圆 形 区 域 分 成 两 部 分 的 面 积 之 差 最 大，通 过 观 察 图 形，显 然 只 需 该 直 线 与 直 线 O P 垂 直 即 可，又 已 知 尸(1,1),则 所 求 直 线 的 斜 率 为-1,又 该 直 线 过 点 P(l,l)，易 求 得 该 直 线 的 方 程 为 x+y-2=0.故 选 A.8.H4 2012广 东 卷 在 平 面 直 角 坐 标 系 xQy中，直 线 3x+4y-5=0与 圆 f+，=4 相 交 于 4、B 两 点，则 弦 力 8 的 长 等 于()A.3小 B.2小 C.小 D.18.B 解 析 考 查 直 线 与 圆 相 交 求 弦 长，突 破 口 是“弦 心 距、半 径、弦 长 之 半 构 成 直 角 三 角 形”，利 用 勾 股 定 理 计 算.由 点 到 直 线 的 距 离 得，弦 心 距 d=5|=i,所 以 弦 长/8=2转=1=2小，所 以 选 择 B.9.H4 2012北 京 卷 直 线 y=x 被 圆 2+&2 y=4 截 得 的 弦 长 为.9.2吸 解 析 本 题 考 查 直 线 和 圆 的 位 置 关 系、考 查 简 单 的 平 面 几 何 知 识.法 一：几 何 法：圆 心 到 直 线 的 距 离 为 小，圆 的 半 径 r=2,所 以 弦 长 为/=2 X$一/=2742=2叵 y=xf.法 二：代 数 法：联 立 直 线 和 圆 的 方 程 2,2 消 去 y 可 得 f 2x=0,所 以(x+(y-2y=4,直 线 和 圆 的 两 个 交 点 坐 标 分 别 为(2,2),(0,0),弦 长 为#2(20/=2吸.9.H4 2012安 徽 卷 若 直 线 x-y+l=0 与 圆(工 一。)2+”=2 有 公 共 点，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是()A.-3,-1 B.-1,3 C.-3,1 D.(-8,-3 U 1,+oo)9.C 解 析 因 为 直 线 xy+l=0 与 圆(x-)2+”=2 有 公 共 点，所 以 圆 心 到 直 线 的 I。-0+1 L,I I I r f距 图 一 S 一 可 得 k+l|2,即 3,1.7.H4 2012福 建 卷 直 线 x+弧-2=0 与 圆 丁+丁=4 相 交 于 4,8 两 点，则 弦 的 长 度 等 于()A.2邓 B.23 C.V3 D.17.B 解 析 根 据 圆 的 方 程 知,圆 的 圆 心 为(0,0),半 径&=2,弦 心 距 d=L2V3+T=1,所 以 弦 长 08|=2破=1=2小，所 以 选 择 B.12.H4 2012江 苏 卷 在 平 面 直 角 坐 标 系 中，圆 C 的 方 程 为+/一 8x+15=0,若 直 线 y=b 2 上 至 少 存 在 一 点，使 得 以 该 点 为 圆 心，1为 半 径 的 圆 与 圆 C 有 公 共 点，则 A的 最 大 值 是.412j 解 析 本 题 考 查 用 几 何 方 法 判 定 两 圆 的 位 置 关 系.解 题 突 破 口 为 设 出 圆 的 圆 心 坐 标.圆 C 方 程 可 化 为。-4)2+/=1圆 心 坐 标 为(4,0),半 径 为 1,由 题 意，直 线 y=b 一 2 上 至 少 存 在 一 率 X。，在 o2),以 该 点 为 圆 心,1 为 半 径 的 圆 与 圆 C 有 公 共 点，因 为 两 个 圆 有 公 共 点，故 4(x-4产+(区 一 2)22,整 理 得(必+1)X2-(8+4%)X+1 6 W 0,此 不 等 式 有 解 的 条 件 是/=(8+的 264街+1)20,解 之 得 故 最 大 值 为 M14.H4 2012江 西 卷 过 直 线 x+y-2吸=0 上 点 P 作 圆 f+y 2=i 的 两 条 切 线，若 两 条 切 线 的 夹 角 是 60。，则 点 尸 的 坐 标 是.14.(啦，也)解 析 设 切 点 为 A,B,设 P(x,2yf2-x),连 结 PA,PB,P O,则|。|=2OA=2,即 f+Q 吸-X)2=4,整 理 得 22也;+2=0,解 得 x=小,故 2 的 坐 标 为(吸，啦).22.H6、H4 2012上 海 卷 在 平 面 直 角 坐 标 系 X。中，已 知 双 曲 线 C：2x2-y2=l.(1)设 F 是 C 的 左 焦 点，M 是 C 右 支 上 一 点.若|MF|=2啦，求 点 M 的 坐 标；(2)过 C 的 左 顶 点 作 C 的 两 条 渐 近 线 的 平 行 线，求 这 两 组 平 行 线 围 成 的 平 行 四 边 形 的 面 积；(3)设 斜 率 为 处 川 也)的 直 线/交 C 于 P、。两 点.若/与 圆 X?+/=1 相 切，求 证：OPOQ.22.解：双 曲 线 C：y-/=1,左 焦 点 K 一 半，0),设 M(x,y),则|MF|2=(x+J2+y2=b5x+_j_,山 M 点 是 右 支 上 一 点，知 Q 坐，所 以|MF|=Sx+坐=2啦，得 工=坐 所 以 朋(坐，(2)左 顶 点 坐，0),渐 近 线 方 程：y=2x.过 点 A 与 渐 近 线 y=Jie平 行 的 直 线 方 程 为 尸 也(x+乎)即 y=y/2x+1.解 方 程 组 y=f2x,y=y2x+y=2-所 以 所 求 平 行 四 边 形 的 面 积 为 5=|。/物=坐.(3)证 明：设 直 线 P Q 的 方 程 是 了=履+6,因 直 线 P。与 已 知 圆 相 切，故 菩 十 1好=d+1(*).1,即 由 y=kx+b,I 2 2 W(2Z r2)x22khx-b1=0.2x y=1,设 尸 s，乃)、2 a 2，及)，则 2kb修+必=2_如，X,X 2=2-k2-又 9 2=(5+份 的 2+6),所 以 OP-OQ=XX2 y iy2=(1 lc)xX2-kb(x+必)+/(+的(一 一 廿)2仅 按 2 l+为 一 F2一 二+2 一.+b=-2-,由(*)知，OPOQ=Q,所 以。尸 J_O0.220.H4、H5 2012辽 宁 卷 如 图 1-7,动 圆 G：x2+/=Z21l/9)又 点/(即，泗)在 椭 圆 C 上，故 7 0=1-.将 代 入 得 _/=七-3,产。).因 此 点 M 的 轨 迹 方 程 为 2y2=i(x3,y0).3.H4 2012 重 庆 卷 设/,8 为 直 线 y=x 与 圆 2+丁=1的 两 个 交 点，则|/8|=()A.1 B,也 C.小 D.23.D 解 析 因 为 圆+丁=1的 圆 心 0)在 直 线 上，所 以 为 圆 的 直 径，所 以|48|=2 X 1=2.9.H4 2012山 东 卷 圆(x+2)2+”=4 与 圆。-2)2+0-1)2=9的 位 置 关 系 为()A.内 切 B.相 交 C.外 切 D.相 离 9.B 解 析 本 题 亨 查 两 圆 的 位 置 关 系,考 查 数 形 结 合 思 想，推 理 能 力，容 易 题.两 圆 的 圆 心 距 为 4(2+2)2+(10)2=厮,又.32由 一 1=0与 直 线 Jx+2 y+4=0 平 行”的()A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 4.C 解 析 本 题 考 查 了 简 易 逻 辑、两 直 线 平 行 等 基 础 知 识，考 查 了 学 生 简 单 的 逻 辑 推 理 能 力.若。=1,则 直 线 小 办+2y 1=0与 邑 x+2 y+4=0平 行；若 直 线 小 方+2一 1=0与 6：x+2 y+4=0 平 行，则 为 一 2=0 即 a=l.二。=1 是 ul：o r+2y1=0 与 4：x+2 y+4=0 平 行”的 充 要 条 件.H 5 椭 圆 及 其 几 何 性 质 21.H5、H8、F3 2012重 庆 卷 如 图，设 椭 圆 的 中 点 为 原 点 O,长 轴 在 x 轴 上，上 顶 点 为 A,左、右 焦 点 分 别 为 尸 2,线 段。8,。出 的 中 点 分 别 为 5,B2,且/当 为 是 面 积 为 4 的 直 角 三 角 形.(1)求 该 椭 圆 的 离 心 率 和 标 准 方 程；(2)过 当 作 直 线 交 椭 圆 于 P,。两 点，使 P B J Q B?,求 P&Q的 面 积.2 221.解：(1)设 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为，+5=1 3 6 0),右 焦 点 为 B(c,0).因 力 8避 2是 直 角 三 角 形 且|/8|=|/8 2|,故 为 直 角，从 而|。*=|O为|,即 6=.结 合 C 2=/一/得 4/=下 一/，故。2=562,c2=4b2,所 以 离 心 率 e=1 3.在 R t/V lB iS 中，。/_1_8|82，故 1cS/ABB2=2BBOA=OBOA=b=b2,山 题 设 条 件 SAAB1B2=4 得/=4,从 而 a2=5b2=20.2 2因 此 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为：去+；=1.(2)由 知 囱(一 2,0)、4(2,0).由 题 意,直 线 尸。的 倾 斜 角 不 为 0,故 可 设 直 线 尸。的 方 程 为：、=?2.代 入 椭 圆 方 程 得(P+524/wy 16=0.(*)设 尸(卬 川)，0(x2,2),则 为,力 是 上 面 方 程 的 两 根，因 此4/w 16+片 式？”=亦.又 B2P=(x-2,乃)，BI Q=(X2-2,y2)f 所 以 B2PB2。=Ui 2)(X22)+y i/2=(町 i-4)(wy2 1 4)+y 必=(/+1 而-4/%(y i+玫)+1616(m 2+l)_ 16/H2+5 优 2+516m2-64W2+5 由 尸 82_1_。82，知 瓦&=(),即 16#64=0,解 得 加=2.当 m=2 时，方 程(*)化 为：9y2即 一 16=0,故 乃=4+*,乃=4,弘 一 力|=|7 而，PB?Q的 面 积$=孑 8 同”一 及 尸 景 丽.当 m=-2 时，同 理 可 得(或 由 对 称 性 可 得)P&。的 面 积 S=yV10.综 上 所 述，尸&。的 面 积 为 关 画.8.H5、H6 2012浙 江 卷 如 图 1 3,中 心 均 为 原 点。的 双 曲 线 与 椭 圆 有 公 共 焦 点，M,N 是 双 曲 线 的 两 顶 点.若 M,O,N 将 椭 圆 长 轴 四 等 分，则 双 曲 线 与 椭 圆 的 离 心 率 的 比 值 是()图 1 一 3A.3 B.2C.y/3 D.y/28.B 解 析 本 题 考 查 了 椭 圆 与 双 曲 线 的 简 单 儿 何 性 质，考 查 了 学 生 对 书 本 知 识 掌 握 2 2的 熟 练 程 度，属 于 送 分 题.设 椭 圆、双 曲 线 的 方 程 分 别 为,+方=13 仇 0),12 2多 一=1(m 0,岳 0),由 题 意 知 C=C2且 0=2 敢，则=/=公=2.。2。2 S 2 C l19.H5、H8 2012天 津 卷 已 知 椭 圆 5+/=1(。6 0),点 可 竽 外 乎，在 椭 圆 上.(1)求 椭 圆 的 离 心 率；(2)设 力 为 椭 圆 的 左 顶 点，O 为 坐 标 原 点，若 点。在 椭 圆 上 且 满 足 M0|=|4O|,求 直 线 O Q 的 斜 率 的 值.19.解：因 为 点 借,坐，在 椭 圆 上，故 意+5=1，可 得 5=也 所 以 椭 圆 的 离 心 率 e=乎.(2)设 直 线 0。的 斜 率 为 k,则 其 方 程 为 y=Ax.设 点。的 坐 标 为(必，%).yo=kx。,山 条 件 得,&+=消 去 加 并 整 理 得 焉=潦%由 M0|=MO|，N（一。,0）及 为=m。，得（xo+a）2+A 4=J.整 理 得，（1+*M+2ax0=0.而 XoWO,故 x（）=+,代 入，整 理 得（1+修）2=4后 1+4.2 Q 20由（1）知*=5,故（l+d）2=y+4,即 5,一 22d 15=0,可 得 必=5.所 以 直 线。的 斜 率=i万.,4.H5 2012课 标 全 国 卷 设 品，尸 2是 椭 圆 氏 方+齐=1（。乂 0）的 左、右 焦 点，尸 为 直 线=当 上 一 点，出 尸 居 是 底 角 为 30。的 等 腰 三 角 形，则 E 的 离 心 率 为（）1 2 _3 八 4A，2 B5 C4 D.g4.C 解 析 根 据 题 意 直 线 P a 的 倾 斜 角 是:，所 以%=枭 尸 2尸 步 入 昌 X2c,解 3得 e=.故 选 C.16.A2、H5 2012上 海 卷 对 于 常 数 机、n,“神 0”是“方 程 加？+加=的 曲 线 是 椭 圆”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 16.B 解 析 考 查 充 分 条 件 和 必 要 条 件，以 及 椭 圆 方 程.判 断 充 分 条 件 和 必 要 条 件，首 先 要 确 定 条 件 与 结 论.条 件 是“7 0，结 论 是“方 程 必 2+y=1的 曲 线 是 椭 圆”，方 程 如 2+即 2=的 曲 线 是 椭 圆，可 以 得 出 加 0,且 加 0,0,m W”,而 由 条 件 推 不 出 方 程=1 的 曲 线 是 椭 圆”.所 以 为 必 要 不 充 分 条 件，选 B.220.H5、F1 2012陕 西 卷 已 知 椭 圆 C|：j+/=l,椭 圆 C2以 G 的 长 轴 为 短 轴，且 与 G 有 相 同 的 离 心 率.（1）求 椭 圆。2的 方 程；（2）设。为 坐 标 原 点，点 4 8 分 别 在 椭 圆 G 和 C2上，O B=2 O A,求 直 线 4 3 的 方 程.2 220.解：（1）由 已 知 可 设 椭 圆 C2的 方 程 为 方+，=152）,其 离 心 率 为 方 故 乂-=2,则。=4，2 2故 椭 圆 C2的 方 程 为 气 十 号=1.（2）解 法：A,8 两 点 的 坐 标 分 别 记 为（山，yA）,（xfi,yB）,由 协=2 及（1）知，O,A,8 三 点 共 线 且 点/,8 不 在 y 轴 上，因 此 可 设 直 线 的 方 程 为 了=h.:4将 代 入 主+丁=1 中，得（1+4好”=4,所 以=-匚-1 I-QK2 2将 y=Ax代 入 气+，=1 中，得（4+必?=16,所 以/=1/,-、。6 6又 由 OB2OA得 Xg=4%力,即 4+必=+4*解 得=1，故 直 线 4 8 的 方 程 为=X 或、=一 工 解 法 二：A,8 两 点 的 坐 标 分 别 记 为（山，yA）,（xB 如），由 为=2 5 及 知，O,A,8 三 点 共 线 且 点 4 8 不 在 y 轴 上，因 此 可 设 直 线 A B 的 方 程 为 y=kx./4将 夕=自 代 入 7+丁=1中，得（1+4层*=4,所 以 焉=1+4户-a 3 16-1 6k2由。8=2。/得 X8=R P，yB=-1 7 2 J 4+/将 荒，向 代 入 代+彳=1 中，得 甲 谟=1，即 4+必=1+4后，解 得 人=1,故 直 线 力 8 的 方 程 为 y=x或 y=x.21.H3、H5、H82012湖 北 卷 设 力 是 单 位 圆，+丁=i 上 的 任 意 一 点，/是 过 点 力 与 x 轴 垂 直 的 直 线，。是 直 线/与 x 轴 的 交 点，点 M 在 直 线/上，且 满 足|朋=训。n（m 0，且 mW I）.当 点 工 在 圆 上 运 动 时，记 点 M 的 轨 迹 为 曲 线 C（1）求 曲 线 C 的 方 程，判 断 曲 线 C 为 何 种 圆 锥 曲 线，并 求 其 焦 点 坐 标；（2）过 原 点 斜 率 为 上 的 直 线 交 曲 线 C 于 尸，。两 点，其 中 尸 在 第 一 象 限，且 它 在 y 轴 上 的 射 影 为 点 N,直 线 Q N交 曲 线 C 于 另 一 点，.是 否 存 在，使 得 对 任 意 的 k 0,都 有 PQL P H?若 存 在，求 团 的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.2 1.解：（1）如 图（1）,设 y），A（x0,泗），则 由。川（机 0，且 加#1），可 得 x=x（）,y=myo,所 以 x（）=x,yo|=%y|.因 为 4 点 在 单 位 圆 上 运 动，所 以%+/=1.将 式 代 入 式 即 得 所 求 曲 线 C 的 方 程 为？+=1（加（）,且 m W l）.因 为 加（0,l）U（l,+oo）,所 以 当 O V m V l时，曲 线 C是 焦 点 在 x 轴:的 椭 圆,两 焦 点 坐 标 分 别 为（一 为 1,0）,N 一 初 2,0）；当 心 1时，曲 线 C是 焦 g 在.轴 上 的 椭 3,_两 焦 点 坐 标 分 别 为（0,yjni2 1）,（0,（2）方 法 1：如 图（2）、（3）,对 任 意 无 0,设 P S，如）,H（X2,），则 0（一 即，一 姐），N（0,5），直 线 Q V的 方 程 为 y=2fcc+fcn，将 其 代 入 椭 圆。的 方 程 并 整 理 可 得（相 2+42）f+4 足 r M+居：一/=o.依 题 意 可 知 此 方 程 的 两 根 为 一 x X I+应=一?；，即 必=1，必，于 是 由 韦 达 定 理 可 得 2W2+4Z:2,因 为 点 H 在 直 线 0 N 上 一 所 以 为 一 筋 1=2依 2=口 f f（4X1 IknXy于 是 02=（_ 2 x i，-2fcv）,P H=（X2-Xi，歹 2-5）=（一 加 2+4卢 加 2+4 2.-4（2京）必 x彳 而 P Q L P H 等 价 于 PQ P H=加 2+4 2=0,即 2机 2=o,又 加 0,得 m=巾,故 存 在?=让，使 得 在 其 对 应 的 椭 圆 f+=i H,对 任 意 的 左 0都 有 尸。上 尸”.方 法 2：如 图(2)、