金版教程2016高考数学理二轮复习训练中档题专练.pdf

中 档 题 专 练 图 建 议 用 时：3 0分 钟 1.2015皖 北 协 作 区 联 考(二)设 4 3 C的 三 内 角 4,B,。所 对 的 边 分 别 为 a,b,c 且 分(cos4 3cosc)=(3ca)cosA 求 察 的 值；(2)若 cos8=%且/B C 的 周 长 为 1 4,求 6 的 值.解(1)由 正 弦 定 理 得，(cos?l3cosQsin5=(3sinCsirk4)cos5,化 简 可 得 sin(4+8)=3 sin(8+C).又 4+8+。=兀，win/1所 以 sin C=3 sirU,因 此 我 彳=不 1 I 由 菽、得 a,由 余 弦 定 理 及 c o s S 净 b2=a2-c22accosB=tz2+9 a2 6(J2X=9a2.o所 以 Z=3a.又 a+6+c=1 4,从 而 a=2,因 此 6=6.2.2015济 宁 模 拟 如 图，在 四 棱 锥 P-A B C D 中，底 面 ABCD是 菱 形，N/0C=6O。,侧 面 P 0 C是 正 三 角 形，平 面 BDC_L平 面/BCD,CD=2,为 P 8 的 中 点.求 证：胴，平 面 CQM；(2)求 二 面 角 D-M C-B 的 余 弦 值.解(1)证 法 一：取 4 中 点 N,连 接 N,D N,又 为 尸 3 的 中点,pB所 以 MN A B,又 菱 形 4 8。中 4 3 C Q,所 以 MN C。，所 以 C、D、M、N 四 点 共 面.取 Q C的 中 点 为 0,连 接 尸 O.因 为 侧 面 尸 Q C是 正 三 角 形，平 面 尸 平 面 4 3 C Q,所 以 尸。，底 面 4 5 8,因 为 底 面/8 C D 为 菱 形 且 N 4DC=60。，D C=2,。0=1,有 04DC,因 为 p o n z o=o,所 以。平 面 P 0/,所 以。C_LP4,在 P 4 Q中，PD=AD=2,N 为 以 的 中 点，所 以 QN_LB（,入 DNCDC=D,DNU 平 画 CDNM,DCU 平 面 CQMI/,所 以 孙，平 面 C O W,即 以，平 面 CQM.证 法 二：取。的 中 点 为。，连 接 P0.因 为 侧 面 DDC是 正 三 角 形，平 面 DDC_L平 面/B C D 所 以 尸 0_L底 面/8CZ）,因 为 底 面 4BCZ）为 菱 形 且 N/Z）C=60。，DC=2,D O=,有 C Mzc,以。为 原 点，分 别 以 OA、OC.O P所 在 直 线 为 X 轴、轴、Z轴 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，则/（小，0,0）、尸（0,0,回 B印,2,0）、C（0,l,0）,。（0,-1,0).L=(坐,2,半，屈=（小，0,一 小），应=（0,2,0）,.,.成 品=仍*乎+0 X 2+（一 小）又 坐=0.,.屈 氏=小 义 0+0*2+（一 小）*0=0,：.PALDk,R4.LD（2,.我，平 面。MC,CB=(y3,1,0).设 平 面 3M C的 一 个 法 向 量=（x,y,z）,C X f=0,得 x+z=0,n C B=Q,得 小 y=0,取 x=1,则=一 小，z=l,.,.法 向 量=（1,一 5,1）,由（1）知 平 面 的 法 向 量 可 取 用=（小，0,一 事）,观 察 可 知 二 面 角 D-M C-B 为 钝 角，所 以 所 求 二 面 角 的 余 弦 值 是 一 邛.3.2015贵 州 七 校 联 考（一）交 通 指 数 是 交 通 拥 堵 指 数 的 简 称，是 综 合 反 映 道 路 网 畅 通 或 拥 堵 的 概 念.记 交 通 指 数 为 T,其 范 围 为 0,1 0,分 别 有 5 个 级 别：丁 0,2）畅 通；T2,4）基 本 畅 通；r e 4,6）轻 度 拥 堵；6,8）中 度 拥 堵；8,10严 重 拥 堵.早 高 峰 时 段（T 23）,从 贵 阳 市 交 通 指 挥 中 心 随 机 选 取 了 二 环 以 内 5 0个 交 通 路 段，依 据 交 通 指 数 数 据 绘 制 的 直 方 图 如 图 所 示：0.240.20.160.1、频 率 w6 7 8 9 交 通 指 数(1)据 此 直 方 图 估 算 交 通 指 数 4,8)时 的 中 位 数 和 平 均 数；(2)据 此 直 方 图 求 出 早 高 峰 二 环 以 内 的 3 个 路 段 至 少 有 2 个 严 重 拥 堵 的 概 率 是 多 少？(3)某 人 上 班 路 上 所 用 时 间 若 畅 通 时 为 2 0 分 钟，基 本 畅 通 为 30分 钟，轻 度 拥 堵 为 3 5分 钟，中 度 拥 堵 为 4 5分 钟，严 重 拥 堵 为 6 0分 钟，求 此 人 所 用 时 间 的 数 学 期 望.0 2解(1)由 直 方 图 知：7 4,8)时 交 通 指 数 的 中 位 数 为 5+1义 急 6-4,8)时 交 通 指 数 的 平 均 数 为 4.5X0.2+5.5X0.24+6.5X0.2+7.5X0.16=4.72.(2)设 事 件 4 为“1条 路 段 严 重 拥 堵”,则 尸(4)=0 1,则 3 条 路 段 中 至 少 有 2 条 路 段 严 重 拥 堵 的 概 率 为：P=心 X7所 以 3 条 路 段 中 至 少 有 2 条 路 段 严 重 拥 堵 的 概 率 为 前.(3)由 题 意，所 用 时 间 X 的 分 布 列 如 下 表:则(A)=30X 0.1+35X0.44+45X0.36+60X0.1=40.6,所 以 此 人 上 班 路 上 所 用 时 间 的 数 学 期 望 是 40.6分 钟.中 档 题 专 练(二)建 议 用 时：3 0分 钟1.若 数 列 X 满 足：一 L 为 常 数，eN*),则 称 与 为 调 和 数 列.已 知 数 列。”为 调 和 数 列，且 田=1，；+；+；+；+；=u U2“4。515.(1)求 数 列“”的 通 项 an；(2)数 列 的 前 n 项 和 为 S,是 否 存 在 正 整 数，使 得 S 22015?若 存 在，求 出 的 取 值 集 合；若 不 存 在，请 说 明 理 由.解(1)依 题 意 为 等 差 数 列，由:+:+；+；+；=15得=1、，Q?Q,1 I15,即 u厂 j=3,二.公 差 Nd=一=u1，故;7=即 斯=；./7f l(2)5=1X2+2X22H-nX2n2S=1X224-(-l)2+X2+i 一 得 S,=X 2+I_Q+22H-F2)=(_l)2/i+2.由 于 S“是 递 增 的，当=7 时 S7=6X28+22n2015.所 以 存 在 正 整 数，使 得 22015,的 取 值 集 合 为 川 28,nGN*2.2015广 州 综 合 测 试(一)袋 子 中 装 有 大 小 相 同 的 白 球 和 红 球 共 7 个，从 袋 子 中 任 取 2 个 球 都 是 白 球 的 概 率 为 提 每 个 球 被 取 到 的 机 会 均 等.现 从 袋 子 中 每 次 取 1个 球，如 果 取 出 的 是 白 球 则 不 再 放 回，设 在 取 得 红 球 之 前 已 取 出 的 白 球 个 数 为 X(1)求 袋 子 中 白 球 的 个 数；(2)求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.解 设 袋 子 中 有 如 GN*)个 白 球，依 题 意 得，(九 一 1)i即=5,化 简 得，n2n6=0,解 得，=3 或=-2(舍 去).袋 子 中 有 3 个 白 球.(2)由(1)得，袋 子 中 有 4 个 红 球，3 个 白 球.X 的 可 能 取 值 为 0,1,2,3,4 3 4 2P(X=0)=?P(X=1)=yX-=,3 2 4 4 3 2 1 4 1P(X=2)=7X-X?=,P(=3)=7XX-X4=.X 的 分 布 列 为：4 2 4 1 3：.E(X)=0 X-+1 X-+2 X+3 X=-X 0 1 2 3P47274351353.在 A8C 中，/4BC=90。,AB=6,BC=3,EF/AB,CE：5=5：3,将 三 角 形 折 起，使 C 在 面/8 C 的 射 影 落 在 8 点 上.若 例 是 8。的 中 点,在 线 段 A C 上 找 一 点，使 MH/面 ABEF,试 确 定 点 的 位 置.(2)求 点 3 到 面/E C 的 距 离.(3)若 西=2比(021),是 否 存 在 九 使 得 平 面 肋 4E与 平 面 CF所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 三 14？若 存 在，求 出 2 的 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.c解(1)取/C 中 点，连 接 贝 因 为 ABUABEF,MHQ而 A B E F,所 以 M H/面 A B E F,即 为/C 中 点.(2)A E FC A 5 T 4C,.EF=EC=E F 15 吃 BA BC 8 6 4 N J=4.以 8 为 原 点，直 线 8 为 轴，民 4 直 线 为 歹 轴，8 C 直 线 为 z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，(3,0,0),d 3,*0),C(0,0,4),5(0,0,0),4(0,6,0),走=(3,0,-4),充=(0,-6,4),能=(0,0,4),设 平 面/E C的 法 向 量 为 n=(x,y,z),则 有 n C,_L衣，,A n令 V6y+4z=0.=2,则”=(4,2,3),则 捻(3)设 M(0,0,m),：BU=XBt,.m=4A,A=(0,-6,m),At：=(3,6,0),设 平 面/的 法 向 量 为 w=(x i，yi9 z)则 M,.-6yi+mzi=0,(6、一 履，则 J 令 乃=1,则 i=2,1,京，CE=(3,0,3x 6i=0,1-4),访=|o,守，ol,设 平 面 C尸 的 法 向 量 为 2=(X2,外，Z2),则|3%24Z2=0,2，而，“2L彷，贝 M 15 令 Z2=3,则 2=(4,0,3),cos。2=0，/+产+俳.严/5解 得 m=3,3.存 在 2 使 得 平 面 M A E 与 平 面 C E F 所 成 的 锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 证.中 档 题 专 练(三)建 议 用 时：3 0分 钟 1.已 知 在 锐 角 中，角 4,B,。所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,且 tanJ=y3cbc2+b2-a2-(1)求 角/的 大 小；(2)当。=小 时-，求/+/的 最 大 值，并 判 断 此 时 的 形 状.解 由 已 知 及 余 弦 定 理，得 需=翕 7,坐，因 为 Z 为 锐 角，所 以 4=60。.(2)解 法 一：由 正 弦 定 理，得 焉=忌=恚=2,2所 以 6=2sin5,c=2sinC=2sin(120。一 8).C2+Z2=4sin25+sin2(l 20-5)1 cos28 1 cos(240 2B)=$-+-2-1 cos25一 一；cos28一 坐 sin28=4 cos28+，sin28=4+2sin(25-30).由,0590,no 1?no _ o no 得 30。390。，所 以 3025-302）max=6,此 时 C=60。，/13 c 为 等 边 三 角 形.解 法 二：由 余 弦 定 理 得 2 Z）ccos60=Z 2+c2be3.b2+c2而 命 忘 下 一（当 且 仅 当 b=c 时 取 等 号），b2+c2则 3 2一,即/+c 2 6（当 且 仅 当 6=c时 取 等 号）.故 c2+”的 最 大 值 为 6,此 时 ZBC为 等 边 三 角 形.2.2 0 6漳 州 八 校 联 考（三）我 国 政 府 对 PM2.5采 用 如 下 标 准:PM2.5 日 均 值（微 克/立 方 米）PM2.5日 均 值?（微 克/立 方 米）空 气 质 量 等 级 m75 超 标 234678 28 2 14 53 87某 市 环 保 局 从 180天 的 市 区 PM2.5监 测 数 据 中，随 机 抽 取 10天 的 数 据 作 为 样 本，监 测 值 如 茎 叶 图 所 示（十 位 为 茎，个 位 为 叶）.(1)求 这 10天 数 据 的 中 位 数；(2)从 这 10天 的 数 据 中 任 取 3 天 的 数 据，记 表 示 空 气 质 量 达 到 一 级 的 天 数，求 小 的 分 布 列；(3)以 这 10天 的 PM2.5日 均 值 来 估 计 这 180天 的 空 气 质 量 情 况，其 中 大 约 有 多 少 天 的 空 气 质 量 达 到 一 级.解(1)10天 的 中 位 数 为(38+44)/2=41(微 克/立 方 米)(2)由 N=10,M=4,n=3,1 的 可 能 值 为 0,1,2,3利 用 产 仁=左)=cfU=0,1,2,3)即 得 分 布 列:00 1 2 3P1612310130(3)一 年 中 每 天 空 气 质 量 达 到 一 级 的 概 率 为|,由 I),2得 到()=180*5=72(天)，一 年 中 空 气 质 量 达 到 一 级 的 天 数 为 72天.3.2015广 州 综 合 测 试(一)如 图 1,在 边 长 为 4 的 菱 形 A B C D 中，/DAB=60。,点 E,厂 分 别 是 边 CZ,C 3 的 中 点，A C C E F=O,沿 斯 将 CEF翻 折 到 PEE 连 接 口，PB,P D,得 到 如 下 图 2 的 五 P-ABFED,且 03=皿.n(1)求 证：8 0,平 面 PO/；(2)求 二 面 角 B-A P-O 的 正 切 值.解(1)证 明：.LIE,尸 分 别 是 边 8,C 8 的 中 点,：.BD/EF.菱 形/B C D 的 对 角 线 互 相 垂 直，J.BDA.AC.：.EF1.AC.：.EF,LAO,EFYPO.Z O U平 面 尸 0 4,PO U平 面 尸 CM,AOHPO=O,.ETLL 平 面 POA.ED，平 面 POA.(2)解 法 一：设 N O G 8D=，连 接 8 0,/ZDAB=60,.48。为 等 边 三 角 形.:.BD=4,BH=2,HA=25,HO=PO=yf3.在 中，B O=B l+H bl=yp,在 尸 3 0 中，3。2+尸 o 2=io=PJ.POVBO.：POLEF,EFCBO=O,EFU平 面 BFED,BOU平 面.PO_L 平 面 BFED.过 作 G _ L/P,垂 足 为 G,连 接 8G,由 知 8 _L平 面 P Q 4,且/P U 平 面 P O/,C.BHVAP.,:HGCBH=H,7/GU平 面 877G,BHU平 面 BHG,.,./P_L 平 面 BHG.W G U平 面 8 G,C.APLBG.：.NBG”为 二 面 角 B-A P-0 的 平 面 角.在 RtZXPOZ 中，AP=7AO1+PC)?=心,在 RtAPOA 和 RtZ G/中，NPOA=NHG4=90。,Z R 4 O=ZHAG,PC P A：.R t/P O A R t/H G A.A7=777.7 1 C r riA.s PO H A 小 X 25 而 H G=P A-而=5.在 中，tanNB G H=G5.二 面 角 B-A P-O 的 正 切 值 为 亭.解 法 二：设 A O C B D=H,连 接 3。，V Z DAB=6 0,为 等 边 三 角 形.:.B D=4,B H=2,H A=25,HO=PO=y3.在 R tA B H O 中，B O=B+H（f=i,在 尸 3 0 中，BOl jr P b1=Q=P B1,：.P O 1B O.：P O E F,E F C B O=O,EFU 平 面 BFED,BFED,.PO_L 平 面 BFED.以。为 原 点，。9 所 在 直 线 为 轴，/。所 在 直 线 为 y 轴，。尸 所 在 直 线 为 z 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系。-孙 z,则/（0,一 3小,0）,5（2,一 小，0）,尸（0,0,小），”（0,一 小,0）.善=(0,3小，小),丽=(2,25,0).设 平 面 2 4 8的 法 向 量 为=（x,y,z）,由 n.LAP,L A B,得，3叫+z=0,、2x+2亚=0.令 y=l,得 z=-3,x=一 小.二.平 面 以 3 的 一 个 法 向 量 为=（一 3，1,-3）.由(1)知 平 面 P A O 的 一 个 法 向 量 为 期=(-2,0,0),设 二 面 角 8 一/PO 的 平 面 角 为 仇 且。为 锐 角 则 cosO=|cos,西)|=nBH 2/3 39nBk V X 2 13,/.smO=yl 1 COS2(9=V13013tan(9=sin。cos。V303 二.二 面 角 B-A P-O 的 正 切 值 为 华.中 档 题 专 练(四)尊 建 议 用 时：30分 钟 1.2015课 标 全 国 卷 I S 为 数 列 为 的 前 项 和.已 知 即 0，次+2a n=4szi+3.(1)求 即 的 通 项 公 式；(2)设 h=一，求 数 列 协 的 前，项 和.解(1)由*+2 a”=4S+3,可 知%+24+I=4S+I+3.可 得 配+L a：+2(a”+ia”)=4%+i，即 2(a”+i+ctn)an+i-a=(a*+i+a”)(a“+1-%).由 于 an 0,可 得 卬+1 a”=2.又。：+2。1=4。1+3,解 得。=-1(舍 去),ci 3.所 以 斯 是 首 项 为 3,公 差 为 2 的 等 差 数 列，通 项 公 式 为 a”=2+1.(2)由。”=2+1 可 知 _ _j_1 _1 _、/7二 研+1=(2+1)(2+3)=炎”+12+3 设 数 列 儿 的 前 项 和 为 北，则 Tn=b-b2-bT(M)+C+n-3(2H+3),2.2015洛 阳 统 考 在 某 学 校 的 一 次 选 拔 性 考 试 中，随 机 抽 取 了 1 0 0名 考 生 的 成 绩(单 位：分)，并 把 所 得 数 据 列 成 了 如 下 表 所 示 的 频 数 分 布 表：(1)求 抽 取 的 样 本 平 均 数 高 和 样 本 方 差 一(同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 作 代 表)；组 别 40,50)50,60)60,70)70,80)80,90)90,100频 数 5 18 28 26 17 6(2)已 知 这 次 考 试 共 有 2000名 考 生 参 加，如 果 近 似 地 认 为 这 次 成 绩 z 服 从 正 态 分 布 NQ,/)(其 中“近 似 为 样 本 平 均 数 1，/近 似 为 样 本 方 差 J),且 规 定 82.7分 是 复 试 线，那 么 在 这 2000名 考 生 中，能 进 入 复 试 的 有 多 少 人？(附：3 1 6 1 2 1 2.7,若 z,/),贝 l j P Q crz4+7)=0.6826,P(ju-1az82.7)=-=0.1587,所 以 能 进 入 复 试 的 人 数 为 2000X0.1587317.(3)显 然。的 取 值 为 1,2,3,飞 T _ 5,尸 尸(G _ 3)-p-_ 5，4的 分 布 列 为1 3 1所 以 10=1 X-+2X-+3 X-=2.01 2 3P1535153.如 图，是 半 圆 O 的 直 径，C 是 半 圆 O 上 除/、3 外 的 一 个 动 点，Q C 垂 直 于 半 圆。所 在 的 平 面，DC/EB,DC=EB,AB=4,tanZEAB=.(1)证 明：平 面 4DE，平 面 4 8；(2)当 三 棱 锥 C-A D E 体 积 最 大 时，求 二 面 角 D-A E-B 的 余 弦 值.解(1)证 明：因 为 4 3 是 直 径，所 以 3cLzC,因 为 平 面 N3C,所 以 CQJ_8C,因 为 c z)r u c=c 所 以 平 面/C。，因 为 CD 8E;C D=B E,所 以 8cOE是 平 行 四 边 形，BC/DE,所 以。平 面/CQ,因 为 Q E U 平 面 所 以 平 面 平 面 ZCD,(2)依 题 意，EB=ABXtanZEAB=4X=l,由(1)知 PC-ADE=K E-ACD=X S CDX D E M 3 X 3 X ACX CDXDE1 1,1,4=4 义/C 义 BC W 五 X(/c2+8。2)=万 x,当 且 仅 当/C=5C=2近 时 等 号 成 立如 图 所 示，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则。（0,0,1）,E（0,2啦，1）,4（2啦,0,0）,5（0,22,0）,则 懑=（2啦，22,0）,鹿=（0,0,1）,读=（0,2隹 0）,DA=（2啦，0,-1）,防=0设 面 D A E 的 法 向 量 为=（x,y,z）,j.次=0即 2亚=02-2xz=0,出=（1,0,2 也）,设 面 Z 3 E 的 法 向 量 为 2=（%，歹，z）,Jn2RE=0,游=0叫 2 g+2 扬=0 2=（1，1，。），cos，2 6 因 为 小，2 与 二 面 角。一/E 8 的 平 面 角 互 补,所 以 二 面 角 D-A E-B 的 余 弦 值 为 一 系.中 档 题 专 练（五）建 议 用 时：3 0分 钟1.已 知 4 8 C的 角 4,B,C 的 对 边 依 次 为 a,b,c,若 满 足 小 tarU taiiS-tarU-tanS=3,(1)求 N C大 小；(2)若 c=2,且 为 锐 角 三 角 形，求 a+b 取 值 范 围.解(1)-/3 tanA-taa8tarU tanS=/3,则 taiM+taa5=，5(tark4 tanB-1),tan(J+5)-ta n C=/3,/.C=?.q=_L.=q=与(sirU sinB sinC 小，4 4(2T I:.a+b=币(sirU+sia S)=忑(sirU+sin(了-4卜 必+坐 cosZ+siiL4=4sin4+聿)，/B C 为 锐 角 三 角 形，兀 0A20By 乙.,.2小 45中+注 4,.a+6 的 取 值 范 围 是(2 S，4.2.2015课 标 全 国 卷 I 如 图，四 边 形/3 C Q 为 菱 形，ZABC=120,E,厂 是 平 面 Z 3C Q同 一 侧 的 两 点，B E L A B C D,。/_1 _平 ffi AB CD,BE=2DF,AELEC.(1)证 明：平 面/EC_L平 面/b C；（2）求 直 线 A E与 直 线 CF所 成 角 的 余 弦 值.解（1）证 明：连 接 8 0,设 氏 D n 4 C=G,连 接 EG,FG,BF.在 菱 形 4 5 C Q中，不 妨 设 G 3=l.由 N/3C=120。，可 得 4G=G C=小.由 8_L平 面/8CZ）,A B=B C,可 知 4 E=E。.又 NE_LEC,所 以 E G=y f3,且 E G L 4 c在 Rt/XEBG中，可 得 BE=取,故 D F=.、后 在 R tA FD G中，可 得 F G=2-在 直 角 梯 形 3Q方 名 中，由&）=2,B E=j,D F=M，可 得 EF3叱 2,从 而 G2+FG2=F2,所 以 EG_LR7.又/c n 尸 G=G,可 得 石 6_1平 面/b C因 为 EGU平 面 4 E C,所 以 平 面/EC_L平 面/C（2）如 下 图，以 G 为 坐 标 原 点，分 别 以 壶，交 的 方 向 为 x 轴，y轴 正 方 向，|秀|为 单 位 长，建 立 空 间 直 角 坐 标 系 G-孙 z.由（1）可 得 4（0,一 小，0）,石（1,0,爽），/-I,0,事，C（0,小,0）,所 以 需=（1,小,啦）,小,事.故 cos 次=/#=亭|独|访 J/17T由 异 面 直 线 所 成 角 的 范 围 是|o,司，所 以 直 线 4 E 与 直 线 Cb 所 成 角 的 余 弦 值 为 手.3.2015 九 江 一 模 心 理 学 家 分 析 发 现 视 觉 和 空 间 能 力 与 性 别 有 关，某 数 学 兴 趣 小 组 为 了 验 证 这 个 结 论，从 兴 趣 小 组 中 按 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 50名 同 学(男 3 0女 20),给 所 有 同 学 几 何 题 和 代 数 题 各 一 题,让 各 位 同 学 自 由 选 择 一 道 题 进 行 解 答.选 题 情 况 如 下 表：(单 位：人)(1)能 否 据 此 判 断 有 97.5%的 把 握 认 为 视 觉 和 空 间 能 力 与 性 别 有 关？几 何 题 代 数 题 总 计 男 同 学 22 8 30女 同 学 8 12 20总 计 30 20 50(2)经 过 多 次 测 试 后，甲 每 次 解 答 一 道 几 何 题 所 用 的 时 间 在 5 7分 钟，乙 每 次 解 答 一 道 几 何 题 所 用 的 时 间 在 6 8 分 钟，现 甲、乙 各 解 同 一 道 几 何 题，求 乙 比 甲 先 解 答 完 的 概 率；(3)现 从 选 择 做 几 何 题 的 8 名 女 同 学 中 任 意 抽 取 2 人 对 她 们 的 答 题 情 况 进 行 全 程 研 究，记 丙、丁 2 名 女 同 学 被 抽 到 的 人 数 为 X,求 X的 分 布 列 及 数 学 期 望 E(X).下 面 临 界 值 表 仅 供 参 考：-5.5565.024,P心 脸 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001ko2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828,_ n(adbcY_(a+b)(c+(/)(a+c)S+t/)士 上 叫 g/口 2 50X(22X 12-8X8)2 50斛(1)由 表 中 数 据 传 K-30X20X30X20 9所 以 根 据 统 计 有 97.5%的 把 握 认 为 视 觉 和 空 间 能 力 与 性 别 有 关.（2）设 甲、乙 解 答 一 道 几 何 题 的 时 间 分 别 为 x、y 分 钟，则 基 本 事 件 满 足 的 区 域 为 5 4 W 7169yW8（如 图 所 示）设 事 件/为“乙 比 甲 先 解 答 完 此 道 题”，则 满 足 的 区 域 为 x|x i x i二.由 几 何 概 型 的 概 率 计 算 公 式 得 尸（4）=r=5,即 乙 比 甲 先 Z A Z O解 答 完 的 概 率 为！O（3底 的 可 能 取 值 为 0,1,2,由 题 可 知 在 选 择 做 几 何 题 的 8 名 女 同 学 中 任 意 抽 取 2 人，抽 取 方 法 有 箴=28 种，其 中 丙、丁 2 人 没 有 一 个 人 被 抽 到 有 C1=15 种；恰 有 一 人 被 抽 到 有 C；C：=12种；2 人 都 被 抽 到 有 0=1 种，.，.P(Ar=0)=,P(X)=287,03=2)=X 的 分 布 列 为：128/.E（A）=0X1+1 X 导+2*=.Zo Zo Zo ZX 0 1 2P15281228128中 档 题 专 练（六）?!建 议 用 时：30分 钟1.2015天 津 高 考 已 知 数 列%满 足 an+2=qan（q 为 实 数，且 qW T）,“WN，4 1=1,。2=2,且 做+的，43+。4，以 4+。5 成 等 差 数 列。（1）求 4 的 值 和 为 的 通 项 公 式；（2）设 乩:12 s四 巴 N*,求 数 列 出 的 前 项 和.解（1）由 已 知,有（的+。4）（。2+。3）=（。4+。5）（。3+。4），即。4-。2=%一。3，所 以。2（夕 1）=。3（夕 1）又 因 为 q W l,故 的=。2=2,由 得 q=2.当”=2左 一 1（左 N*）时，4”=。2-1=2=2-2 一；当=2网 上 WN*）时，即=侬=2*=2/2 y-,，为 奇 数,所 以，为 的 通 项 公 式 为 许=彳 愕，九 为 偶 数.由 得“*=并 设 的 前 项 和 为 S”则=1 0+2X/+3 X H-F(n 1)XT 2+X T,；S”=1*+2 义,+3XJH-1-(，-l)XT7f+“X外,上 述 两 式 相 减,2 n“,匚+2一 呼 一 呼，整 理 传，S”=4一 牙 丁.7 7 2所 以 数 列 4 的 前 项 和 为 4 尸，N*.2.2015 济 宁 模 拟 现 有 甲、乙、丙 三 人 参 加 某 电 视 台 的 一 档 应 聘 节 目，若 甲 应 聘 成 功 的 概 率 为:，乙、丙 应 聘 成 功 的 概 率 均 为 与(0?0；尸 e=2)一 尸 e=o)=一 广+今 一 22tfP g=2)一 尸 g=3)=y-4 0;2-0;又 0t2,所 以 所 以|E|.p3.2015 郑 州 质 量 预 测 如 图，在 四 棱 锥 尸 一 4 5 8 中,PQJ_平 面/B C Z),四 边 形/B C D是 菱 形，/。=2,8 0=2小，且/C,B D 交 于 点 O,E 是 P B 上 任 意 一 点.求 证：AC1DE；(2)已 知 二 面 角 A-P B-D 的 余 弦 值 为 华，若 E 为 0 3 的 中 点,求 E C与 平 面 为 8 所 成 角 的 正 弦 值.解(1)证 明：因 为 平 面/3 C Q,所 以 Q P J _/C,因 为 四 边 形 4BCD为 菱 形,所 以 L 4c.又 B D C P D=D,平 面 尸 80.因 为 Q E U 平 面 必。，：.ACDE.p(2)连 接 O E,在 尸 3。中，EO/PD,所 以 EO_L平 面 4 5 C Q,分 别 以 04,OB,O E所 在 直 线 为 x 轴，轴，z 轴，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，设 PD=t,则 4(1,0,0),5(0,事,0),C(-1,0,0),0,0,3 P(0,f,t),由(1)知 平 面 P B D 的 一 个 法 向 量 为 1=(1,0,0),设 平 面 PAB的 一 个 法 向 量 为 2=(X，歹，Z),则 n2A=0 x+小 y=0n2AP0y 1 得 2=小,因 为 二 面 角 A-P B-D 的 余 弦 值 为 华,xyfiy+tz=0所 以|cos 0，|夕|省 的 图 象 经 过 Z,B,。三 点，其 中 4 8 为 火 x)的 图 象 与 无 轴 相 邻 的 两 个 交 点，求 函 数 八%)的 解 析 式.1/解(1)V ZABC=,Z A D C=T,；./B C D=Z N C B D=K，3 o o 3BC=BD,1 2 j r、巧 又,：4 B C D 的 面 积 为 小，：.BC=2.在/3 C 中，AC=yft,ZABC=,由 余 弦 定 理 得：AC2AB2+BC2-2AB BCCO,即 7=/B2+4 _ 2 X 2 X%3,整 理 得/加 一 2/3-3=0,:.AB=3,或 4 5=1(舍 去)，.AB 的 长 为 3.(2)由(1)知，/(2,0),5(-1,0),C(0,S),函 数 x)=Msin(ttzx+9)(M 0,0,侬 用 的 图 象 经 过 4 B,。三 点，其 中/,8 为 危)的 图 象 与 x 轴 相 邻 的 两 个 交 点，T 1 二 函 数 小)的 半 个 周 期=3,对 称 轴 为 x=,T_U _ 2兀 _ 7 1 1 6:0,co 11 7 1 7 1 7 1.,.*1+9=+攵 兀，kZ,.(p=+k7i,kRZ,又,.阿 营，0=1，；/(%)=屐 m(%+号,、/3,=2sin生+部 2.某 茶 厂 现 有 三 块 茶 园，每 块 茶 园 的 茶 叶 估 值 为 6 万 元.根 据 以 往 经 验：今 年 5 月 1 2日 至 1 4日 是 采 茶 的 最 佳 时 间，在 此 期 间，若遇 到 下 雨，当 天 茶 园 的 茶 叶 估 值 减 少 为 前 一 天 的 一 半.现 有 两 种 采 摘 方 案：方 案：茶 厂 不 额 外 聘 请 工 人，一 天 采 摘 一 块 茶 园 的 茶 叶；方 案：茶 厂 额 外 聘 请 工 人，在 1 2日 采 摘 完 全 部 茶 叶，额 外 聘 请 工 人 的 成 本 为 3.2万 元.根 据 天 气 预 报，该 地 区 5 月 1 2日 不 降 雨，1 3日 和 1 4日 这 两 天 降 雨 的 概 率 均 为 4 0%,每 天 是 否 下 雨 不 相 互 影 响.(1)若 采 用 方 案，求 茶 厂 1 4日 当 天 采 茶 的 预 期 收 益；(2)从 统 计 学 的 角 度 分 析，茶 厂 采 用 哪 种 方 案 更 合 理.解(1)设 茶 厂 1 4日 当 天 采 茶 的 预 期 收 益 为 4 万 元，则 的 可 能 取 值 为 6,3,1.53 3 9 3 2 2 3 12 2 2P=6)X-=-=3)=/针/1 石,P(i.5)=/g4=25J所 以 的 分 布 列 为 6 3 1.5P92512254259 12 4所 以 的 数 学 期 望 为(O=6 X+3 X+1.5X=3.84,即 茶 厂 1 4日 当 天 采 茶 的 预 期 收 益 为 3.84万 元.(2)茶 厂 若 采 用 方 案，设 茶 厂 第 二 天 采 茶 的 预 期 收 益 为 万 元,则 的 可 能 取 值 为 6 和 3,3 2因 为 尸 何=6)=亍 尸(=3)=予 所 以 的 分 布 列 为 f16 3P4515所 以 的 数 学 期 望 为()=6 X31+3 X2|=4.8,所 以 茶 厂 若 采 用 方 案 则 其 采 茶 总 收 益 为 川=6+4.8+3.84=14.64,茶 厂 若 采 用 方 案 则 其 采 茶 总 收 益 为=6 X 3 3.2=14.8,因 为 14.6414.8,所 以 茶 厂 应 该 采 用 方 案 收 益 高，风 险 小，和 谐 社 会，提 供 就 业 岗 位.3.2015辽 宁 三 校 联 考(二)如 图，在 直 三 棱 柱 4 3 1 c l中,底 面 为 正 三 角 形，点 M 在 棱 3 5 上，AB=A,44i=5,平 面 平 面 4 C G 4.(1)求 证：是 棱 8为 的 中 点；(2)求 平 面 为。与 平 面 ABC所 成 锐 二 面 角 的 余 弦 值.解(1)证 明：取 N C中 点。，连。3,在 平 面 ACCXAX上 过 0 作 A C垂 线 交 4 G 于 N.：平 面 1，平 面 ABC.：.ON1,平 面 ABC,如 图：以 O 为 坐 标 原 点，建 立 空 间 直 角 坐 标 系，由 已 知：4(2,0,0),5(0,23,0),C(-2,0,0),4(2,0,5),囱(0,2小,5),G(2,0,5),M(0,2#,m),设=(x,y,z)为 平 面 4。法 向 量，n-AC=(x,y,z)-(4,0,5)=4x5z=0,n CM=(x,y,z)(2,2小，m)2x+2y+mz=0,取=5 3，z=4小,y=2m5,即：n=(5小,2m 5,一 4小),又 机=(0,1,0)为 平 面 ACCA法 向 量，依 题 意：tn-n=2m5=0,二.M 为 棱 3从 的 中 点.(2)由(1)知：n=(5yj3,2m 5,一 4 4)为 平 面 小 河。法 向 量，又。=(0,0)为 平 面 4 5 c 法 向 量，./、43 4-/