专题12 解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题-《临考冲刺》2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略含解析.docx

专题12 解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题-临考冲刺2023届高考数学重要考点与题型终极满分攻略专题12 解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题目录类型一：求三角形的周长1类型二：三角形周长范围或最值2类型三：求三角形的面积3类型四：三角形面积的范围或最值3类型五：其他元素的范围或最值4满分策略：1.正弦定理+角的范围2.余弦定理+基本不等式类型一：求三角形的周长典型例题：在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2acosB+b=2c.(1)求角A;(2)若D为BC边的中点,且AD=13,AC=2,求ABC的周长.【答案】(1)A=3(2)8+27试题分析：(1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将sinC转化成sinA+B即可求解;(2)分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长,从而求出周长.详细解答：（1）在ABC中因为2acosB+b=2c,由正弦定理得2sinAcosB+sinB=2sinC,所以2sinAcosB+sinB=2sin(A+B)=2sinAcosB+2sinBcosA,即sinB=2sinBcosA,又因为A,B0,sinB0,所以cosA=12,所以A=3.（2）取AB边的中点E,连接DE,则DE/AC，且DE=12AC=1,AED=23，在ADE中,由余弦定理得:AD2=AE2+DE2-2AEDEcos23=13,解得AE=3,所以AB=6.在ABC中,由余弦定理得:BC=AB2+AC2-2ABACcosA=62+22-2×6×2×12=27所以ABC的周长为8+27.题型专练：1（2023·内蒙古赤峰·统考二模）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知ccosB+bcosC=2acosA，a=2，ABC的面积为3，则ABC的周长是（    ）A4B6C8D182（2023春·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期中）在ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，若(3b-c)cosA-acosC=0.(1)求cosA；(2)若a=23，且ABC的面积SABC=32，求BABC的值；(3)若b=3，且sinBsinC=23，求ABC的周长.3（2023·黑龙江大庆·统考三模）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3b=a3cosC-sinC.(1)求A；(2)若a=8，ABC的内切圆半径为3，求ABC的周长.4（湖南省永州市2023届高三三模数学试题）在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c 且ccosA+3csinA=a+b.(1)求C的值；(2)若AB边上的点M满足BM=2MA，c=3，CM=7，求ABC的周长.5（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a、b、c.设3b=c+3a.(1)若A=6，求B；(2)若c=1，cosC=15求ABC的周长.6（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在3absinC=4ABAC；a3sinB+4cosB=4c，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_.(1)求sinA的值；(2)若ABC的面积为2，a=4，求ABC的周长.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.类型二：三角形周长范围或最值典型例题：已知ABC的面积为S，角A,B,C所对的边为a,b,c点O为ABC的内心，b=23且S=34(a2+c2-b2)(1)求B的大小；(2)求AOC的周长的取值范围【答案】(1)B=3(2)43,4+23试题分析：（1）利用三角形的面积公式及余弦定理，结合同角三角函数的商数关系及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形内心的定义，利用正弦定理及两角差的正弦公式，结合辅助角公式及角范围的变化，再利用正弦函数的性质即可求解详细解答： （1）因为S=34(a2+c2-b2)=12acsinB，所以34×2accosB=12acsinB，即3cosB=sinB，可得tanB=3，因为B(0,)，所以B=3（2）设AOC周长为l，OAC=，如图所示，由（1）知B=3，所以0<BAC<23，可得0<<3，因为点O为ABC的内心，OA，OC分别是A，C的平分线，且B=3，所以AOC=23，在AOC中，由正弦定理可得OAsin(3-)=OCsin=23sin23，所以l=OA+OC+AC=4sin+4sin(3-)+23=4sin+4(32cos-12sin)+23 =2sin+23cos+23=4sin(+3)+23，因为(0,3)，所以+33,23，可得sin(+3)32,1， 可得AOC周长l=4sin(+3)+2343,4+23题型专练：7（湖南省名校教研联盟2023届高三下学期4月联考数学试题）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sinA-bsinB=csinA-B.(1)求a的值；(2)若ABC的面积为3b2+c2-a24，求ABC周长的最大值.8（2023·全国·高三专题练习）在cosC=ba-c2a；1+tanAtanB=2cb；(c-b)sin(A+B)=(a-b)(sinA+sinB)这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行求解问题：在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知_，a4(1)求A；(2)求ABC周长的取值范围9（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2-c2acosB+bcosA=abc(1)求C；(2)若ABC为锐角三角形，c=2，求ABC周长范围10（2023春·广东深圳·高一校考期中）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知(sinA+sinB)2=sin2C+sinAsinB(1)求角C；(2)若c=23，求ABC的周长的最大值11（2023春·山西太原·高一统考期中）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知向量m=2b-c,cosC与向量n=a,cosA共线.(1)求A；(2)若ABC的面积为33，求ABC周长的取值范围.12（2023春·浙江杭州·高一校考期中）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinA+asinCcosB+bsinCcosA=bsinB+csinA(1)求角B的大小；(2)若a=2，且ABC为锐角三角形，求ABC的周长的取值范围；(3)若b2=ac，且外接圆半径为2，圆心为O,P为O上的一动点，试求PAPB的取值范围13（2023·河北邯郸·统考二模）已知条件：2a=b+2ccosB；2asinAcosB+bsin2A=23acosC；3sinC=3-2cos2C2.从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：_.(1)求角C的大小；(2)若c=23，ABC与BAC的平分线交于点I，求ABI周长的最大值.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分类型三：求三角形的面积典型例题：已知ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足ctanA=2asinC(1)求角A；(2)若b=2c，点D为边BC的中点，且AD=7，求ABC的面积【答案】(1)3(2)23试题分析：（1）根据正弦定理得到sinCtanA=2sinAsinC，切化弦可得答案.（2）根据余弦定理得到BC2=10c2-28，再次利用余弦定理得到BC2=3c2=10c2-28，解得c=2，再利用面积公式计算得到答案.详细解答：（1）由正弦定理，可得：sinCtanA=2sinAsinC，即sinCsinAcosA=2sinAsinC，A,C0,，sinA0，sinC0，故cosA=12，故A=3，（2）在ACD中，AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC，在ABD中，AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB，CD=BD，ADC=-ADB,cosADC=-cosADB，AC2+AB2=2AD2+2BD2，即(2c)2+c2=272+2BD2，故BD2=52c2-7,BC2=4BD2=10c2-28，在ABC中，BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=c2+(2c)2-2c2c12故BC2=3c2=10c2-28，解得c=2，SABC=12bcsinA=c2sinA=23.题型专练：14（山东省日照市2023届高三下学期4月校际联合考试数学试题）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知2c-b=2acosB(1)求角A的值；(2)若ABC的面积S=323，c=3，试判断ABC的形状15（2023春·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）已知ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2ccosA=acosB+bcosA.(1)求角A；(2)若ABC的周长为33，且ABC外接圆的半径为1，求ABC的面积.16（2023·全国·高三专题练习）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足cosB=1114和sinA=235sinCsinB.(1)C的大小；(2)若ABC的外接圆半径R=1，求ABC的面积17（河北省石家庄市部分学校2023届高三联考（二）数学试题）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinAcosBcosC=23a2a2+b2-c2.(1)求角B的大小；(2)若a+c=26asinC，且b=3，求ABC的面积S.18（2023春·江苏镇江·高一统考期中）在sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC；acosC=2b-ccosA；ccosCsinA=2b-csinCcosA这三个条件中任选一个，补充到下面横线上，并解答记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且_(1)求角A；(2)若a=7，b=1，求ABC的面积（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个计分）19（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinA=2b+csinB+2c+bsinC(1)求A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是ABC的角平分线，且AD=4，AC=6，求ABC的面积20（2023·北京丰台·统考二模）在四边形ABCD中，AB=1，CD=DA=2，BC=3，再从条件，条件这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题(1)求BD的长；(2)求四边形ABCD的面积条件：cosDBC=53；条件：DCB+DAB=注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分类型四：三角形面积的范围或最值典型例题：已知a，b，c是ABC的三个内角A，B，C的对边，且a+cb=cosC+3sinC(1)求B；(2)若b=2，求ABC面积的最大值【答案】(1)B=3(2)3试题分析：（1）应用正弦边角关系、三角形内角性质及和角正弦公式得cosB+1=3sinB，进而求B的大小；（2）应用余弦定理及基本不等式求得ac4，注意等号成立条件，再应用三角形面积公式求面积最值.详细解答：（1）由a+cb=cosC+3sinC结合正弦定理可得sinA+sinCsinB=cosC+3sinC，则sinA+sinC=sinBcosC+3sinBsinC，而sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，所以cosBsinC+sinC=3sinBsinC，而sinC>0，故cosB+1=3sinB，所以3sinB-cosB=2sin(B-6)=1，则sin(B-6)=12，由-6<B-6<56，所以B-6=6即B=3.（2）由b2=a2+c2-2accosB，则a2+c2-ac=4ac，仅当a=c=2时等号成立，所以SABC=12acsinB=34ac3，即ABC面积的最大值为3.题型专练：21（2023·福建·统考模拟预测）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csinA+6.(1)求C；(2)若c=1，D为ABC的外接圆上的点，BABD=BA2，求四边形ABCD面积的最大值.22（2023·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线C:x2=2pyp>0的焦点为F，且F与圆M:x2+y+32=1上点的距离的最小值为3.(1)求p；(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A,B是切点，求三角形PAB面积的最大值.23（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知直线y=kx+1与抛物线C：x2=8y交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线，两条切线的交点为D(1)证明点D在一条定直线上；(2)过点D作y轴的平行线交C于点E，求ADE面积的最小值24（四川省遂宁市2023届高三三诊考试数学（理）试题）在ABC中，角A,B,C所对的边分别a,b,c，且bcosA+acosB=2ccosA(1)求角A的值；(2)已知D在边BC上，且BD=3DC,AD=3，求ABC的面积的最大值25（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3asinB=2bcos2B+C2(1)求角A的大小；(2)若BC边上的中线AD=1，求ABC面积的最大值26（2023·河北张家口·统考一模）在ABC中，2cos2A+8sin2A2=1(1)求A；(2)如图，D为平面ABC上ABC外一点，且CD=1，BD=3，若AC=AB，求四边形ABDC面积的最大值27（2023·河南新乡·统考二模）如图，在ABC中，D，E在BC上，BD=2，DE=EC=1，BAD=CAE(1)求sinACBsinABC的值；(2)求ABC面积的取值范围类型五：其他元素的范围或最值典型例题：已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA+3sinA=b+ac(1)求角C；(2)设BC的中点为D，且AD=3，求a+2b的取值范围【答案】(1)C=3(2)23,43试题分析：（1）已知等式，由正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求角C；（2）设CAD=，由正弦定理，把a+2b表示成的三角函数，利用三角函数的性质求取值范围.详细解答：（1）ABC中，cosA+3sinA=b+ac，由正弦定理得cosA+3sinA=sinB+sinAsinC所以sinCcosA+3sinAsinC=sinB+sinA，即sinCcosA+3sinAsinC=sinA+C+sinA=sinAcosC+sinCcosA+sinA，所以3sinAsinC=sinAcosC+sinA；又A0,，则sinA0，所以3sinC-cosC=1，则有sinC-6=12，又因为C0,，则C-6=6，即C=3；（2）设CAD=，则ACD中，由C=3可知0,23，由正弦定理及AD=3可得CDsin=ACsin23-=ADsin3=2，所以CD=2sin，AC=2sin23-，所以a+2b=4sin+4sin23-=6sin+23cos=43sin+6，由0,23可知，+66,56，sin+612,1，所以a+2b23,43即a+2b的取值范围23,43.题型专练：28（2023·河北·校联考二模）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=7，且a+bc=sinA-sinCsinA-sinB.(1)求ABC的外接圆半径R；(2)求ABC内切圆半径r的取值范围.29（2023·山东菏泽·统考二模）记ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知ABC的外接圆半径R=22，且tanB+tanC=2sinAcosC.(1)求B和b的值；(2)求AC边上高的最大值.30（2023·山东·校联考二模）已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点G是ABC的重心，且AGBG=0.(1)若GAB=6，求tanGAC的值；(2)求cosACB的取值范围.31（2023·全国·学军中学校联考二模）设xR，函数fx=cosx+>0,-2<<0的最小正周期为，且fx图象向左平移6后得到的函数为偶函数.(1)求fx解析式，并通过列表描点在给定坐标系中作出函数fx在0,上的图象；(2)在锐角ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若2a-bcosB=ccosC，求fB的值域. 32（2023·云南红河·统考二模）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2sinB=sinA+sinC(1)证明：0<B3；(2)求sinBcos2B的最大值33（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，C=3(1)若BC边上的高等于33a，求cosA；(2)若CACB=2，求AB边上的中线CD长度的最小值34（2023·山西·统考二模）在锐角ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，cosC-33sinB=a2-c22ab，角A的平分线交BC于D，AD=332.(1)求A；(2)求ABC外接圆面积的最小值.35（2023·广西玉林·统考三模）在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cosB+bsinA=c(1)求角A的大小；(2)若a=2，ABC的面积为2-12，求b+c的值36（2023·全国·学军中学校联考模拟预测）在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sin2C2sinAsinB.(1)求a+bc的最大值；(2)求证：在线段AB上恒存在点D，使得ADCD=CDBD.专题12 解三角形中的周长、面积和其他元素的最值或范围问题目录类型一：求三角形的周长1类型二：三角形周长范围或最值2类型三：求三角形的面积3类型四：三角形面积的范围或最值3类型五：其他元素的范围或最值4满分策略：1.正弦定理+角的范围2.余弦定理+基本不等式类型一：求三角形的周长典型例题：在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足2acosB+b=2c.(1)求角A;(2)若D为BC边的中点,且AD=13,AC=2,求ABC的周长.【答案】(1)A=3(2)8+27试题分析：(1)由正弦定理将边化角,然后利用内角和定理将sinC转化成sinA+B即可求解;(2)分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长,从而求出周长.详细解答：（1）在ABC中因为2acosB+b=2c,由正弦定理得2sinAcosB+sinB=2sinC,所以2sinAcosB+sinB=2sin(A+B)=2sinAcosB+2sinBcosA,即sinB=2sinBcosA,又因为A,B0,sinB0,所以cosA=12,所以A=3.（2）取AB边的中点E,连接DE,则DE/AC，且DE=12AC=1,AED=23，在ADE中,由余弦定理得:AD2=AE2+DE2-2AEDEcos23=13,解得AE=3,所以AB=6.在ABC中,由余弦定理得:BC=AB2+AC2-2ABACcosA=62+22-2×6×2×12=27所以ABC的周长为8+27.题型专练：1（2023·内蒙古赤峰·统考二模）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知ccosB+bcosC=2acosA，a=2，ABC的面积为3，则ABC的周长是（    ）A4B6C8D18【答案】B【分析】由正弦定理和和角公式得到cosA=12，得到A=3，由三角形面积公式得到bc=4，再利用余弦定理求出b+c=4，得到答案.【详解】ccosB+bcosC=2acosA，由正弦定理得，sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosA，又sinCcosB+sinBcosC=sinB+C=sinA，所以sinA=2sinAcosA，因为A0,，所以sinA0，故cosA=12，因为A0,，所以A=3，由三角形面积公式可得12bcsinA=34bc=3，故bc=4，由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=b+c2-2bc-a22bc=b+c2-8-48=12，解得b+c=4或-4（舍去），故三角形周长为4+2=6.故选：B2（2023春·江苏镇江·高一江苏省扬中高级中学校联考期中）在ABC中，a,b,c分别是内角A,B,C所对的边，若(3b-c)cosA-acosC=0.(1)求cosA；(2)若a=23，且ABC的面积SABC=32，求BABC的值；(3)若b=3，且sinBsinC=23，求ABC的周长.【答案】(1)13(2)62(3)6+23【分析】（1）由余弦定理统一为边，再由余弦定理求解即可；（2）由面积公式及余弦定理化简，解得b=c=3，由数量积公式计算即可得解；（3）根据三角恒等变换求出cosBcosC=13，再由两角差的余弦公式求出B=C，再由余弦定理求a即可得解.【详解】（1）(3b-c)cosA-acosC=0(3b-c)×b2+c2-a22bc-a×a2+b2-c22ab=0，b2+c2-a2=23bc，cosA=b2+c2-a22bc=23bc2bc=13.（2）由cosA=13，可得sinA=223，SABC=12bcsinA=32，bc=9，a2=b2+c2-2bccosA，b2+c2=18，解得b=c=3，cosB=a2+c2-b22ac=33，sinB=1-13=63，BABC=acsinB=23×3×63=62.（3）cosA=-cos(B+C)=sinBsinC-cosBcosC=13，sinBsinC=23，cosBcosC=13，cos(B-C)=sinBsinC+cosBcosC=23+13=1，由0<B<,0<C<知，-<B-C<,B-C=0，即b=c=3，由余弦定理，cosA=b2+c2-a22bc=13，解得a=23，a+b+c=6+23，即ABC的周长为6+23.3（2023·黑龙江大庆·统考三模）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知3b=a3cosC-sinC.(1)求A；(2)若a=8，ABC的内切圆半径为3，求ABC的周长.【答案】(1)23(2)18【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tanA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；（2）利用三角形的面积公式可得出b+c+8=12bc，结合余弦定理可求得b+c的值，即可求得ABC的周长.【详解】（1）解：因为3b=a3cosC-sinC，由正弦定理可得3sinB=sinA3cosC-sinC，因为A+B+C=，所以sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC，代入式整理得3cosAsinC=-sinAsinC，又因为A、C0,，sinC0，则3cosA=-sinA<0，所以tanA=-3，又因为A0,，解得A=23.（2）解：由（1）知，A=23，因为ABC内切圆半径为3，所以SABC=12a+b+c3=12bcsinA，即b+c+83=32bc，所以，b+c+8=12bc，由余弦定理a2=b2+c2-2bccos23得b2+c2+bc=64，所以b+c2-bc=64，联立，得b+c2-2b+c+8=64，解得b+c=10，所以ABC的周长为a+b+c=18.4（湖南省永州市2023届高三三模数学试题）在ABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c 且ccosA+3csinA=a+b.(1)求C的值；(2)若AB边上的点M满足BM=2MA，c=3，CM=7，求ABC的周长.【答案】(1)C=3(2)答案见解析【分析】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简可得答案；（2）由余弦定理可得9=a2+b2-ab，再利用向量的线性运算可得结合CM=7可得63=a2+4b2+2ab，两式联立可得a,b的值，即可求得答案.【详解】（1）由正弦定理得：sinCcosA+3sinCsinA=sinA+sinB,在三角形中B=-A+C,故sinCcosA+3sinCsinA=sinA+sinA+C，即sinCcosA+3sinCsinA=sinA+sinAcosC+cosAsinC，因为A(0,),sinx0，所以3sinC-cosC=1，即sinC-6=12，而C(0,)，C-6(-6,56)，C-6=6，C=3；（2）因为BM=2MA，BM=2，AM=1，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC则9=a2+b2-ab，又CM=7，由于CM=CB+BM=CB+23BA=CB+23(CA-CB)=23CA+13CB， 故CM2=49CA2+19CB2+49CACB，则63=a2+4b2+2ab，×7=即7a2+7b2-7ab=a2+4b2+2ab，即2a2-3ab+b2=0，亦即2a-ba-b=0，则a=b或a=b2，当a=b时，代入得a=3，b=3，周长L=a+b+c=9；当a=b2时，代入得a=3，b=23，周长L=a+b+c=3+33.5（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）记ABC的内角A,B,C的对边分别为a、b、c.设3b=c+3a.(1)若A=6，求B；(2)若c=1，cosC=15求ABC的周长.【答案】(1)2(2)2+1【分析】（1）由已知条件可用正弦定理的性质进行边化角方法，利用A=6，经过化简后结合三角恒等变换的公式解出结果；（2）c=1这个条件带入主干条件中，得到a、b等式关系，利用条件cosC=15结合余弦定理，求出a+b的值，最后可求出周长.【详解】（1）3b=c+3a，A=6由正弦定理得3sinB=sinC+3sinA，3sinB=sin56-B+323sinB=sin6+B+323sinB=12cosB+32sinB+3232sinB-12cosB=32sinB-6=32B0,56B-6-6,23B-6=3B=2.（2）3b=c+3a，c=13b-3a=1，a2+b2-2ab=13cosC=15由余弦定理得a2+b2-12ab=15a2+b2=76，2ab=56(a+b)2=2，即a+b=2，因此ABC的周长为a+b+c=2+1.6（2023·江西南昌·校联考模拟预测）在3absinC=4ABAC；a3sinB+4cosB=4c，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，_.(1)求sinA的值；(2)若ABC的面积为2，a=4，求ABC的周长.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)sinA=45(2)4+42【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求sinA的值；（2）由面积公式求得bc=5，再利用余弦定理求得b+c，可得ABC的周长.【详解】（1）若选，由已知得3absinC=4bccosA，所以3asinC=4ccosA，由正弦定理得3sinAsinC=4sinCcosA，又C0,，所以sinC>0，所以3sinA=4cosA，又sin2A+cos2A=1，由A0,，sinA>0，解得sinA=45.若选，由已知及正弦定理得3sinAsinB+4sinAcosB=4sinC，所以3sinAsinB+4sinAcosB=4sinA+B，所以3sinAsinB+4sinAcosB=4sinAcosB+4cosAsinB，所以3sinAsinB=4cosAsinB，又B0,，所以sinB>0，所以3sinA=4cosA，又sin2A+cos2A=1，由A0,，sinA>0，解得sinA=45.（2）由ABC的面积为2，得12bcsinA=25bc=2，所以bc=5，由（1）可得cosA=1-sin2A=35，由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=b2+c2-1610=35，所以b2+c2=22，所以b+c=b2+2bc+c2=42，所以ABC的周长为a+b+c=4+42.类型二：三角形周长范围或最值典型例题：已知ABC的面积为S，角A,B,C所对的边为a,b,c点O为ABC的内心，b=23且S=34(a2+c2-b2)(1)求B的大小；(2)求AOC的周长的取值范围【答案】(1)B=3(2)43,4+23试题分析：（1）利用三角形的面积公式及余弦定理，结合同角三角函数的商数关系及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形内心的定义，利用正弦定理及两角差的正弦公式，结合辅助角公式及角范围的变化，再利用正弦函数的性质即可求解详细解答： （1）因为S=34(a2+c2-b2)=12acsinB，所以34×2accosB=12acsinB，即3cosB=sinB，可得tanB=3，因为B(0,)，所以B=3（2）设AOC周长为l，OAC=，如图所示，由（1）知B=3，所以0<BAC<23，可得0<<3，因为点O为ABC的内心，OA，OC分别是A，C的平分线，且B=3，所以AOC=23，在AOC中，由正弦定理可得OAsin(3-)=OCsin=23sin23，所以l=OA+OC+AC=4sin+4sin(3-)+23=4sin+4(32cos-12sin)+23 =2sin+23cos+23=4sin(+3)+23，因为(0,3)，所以+33,23，可得sin(+3)32,1， 可得AOC周长l=4sin(+3)+2343,4+23题型专练：7（湖南省名校教研联盟2023届高三下学期4月联考数学试题）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若4sinA-bsinB=csinA-B.(1)求a的值；(2)若ABC的面积为3b2+c2-a24，求ABC周长的最大值.【答案】(1)a=4(2)12【分析】（1）法一：设4=at，t>0，由正弦定理得到tsin2A-sin2B=sinA+BsinA-B，利用积化和差公式得到tsin2A-sin2B=sin2A-sin2B，求出答案；法二：设4=at，t>0，由正弦定理得到tsin2A-sin2B=sinA+BsinA-B，由三角恒等变换得到tsin2A-sin2B=sin2A-sin2B，求出答案；（2）由面积公式得到A=3，由正弦定理结合三角恒等变换得到b+c=8sinB+6，结合B的范围，求出最值.【详解】（1）法一：设4=at，t>0，在ABC中，由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知化简得tsin2A-sin2B=sinCsinA-B，又在ABC中有：sinC=sinA+B，即tsin2A-sin2B=sinA+BsinA-B，sinA+BsinA-B=-12cos2A-cos2B=sin2A-sin2B，即tsin2A-sin2B=sin2A-sin2B，所以t=1，所以a=4.法二：设4=at，t>0，在ABC中，由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知化简得tsin2A-sin2B=sinCsinA-B，又在ABC中有：sinC=sinA+B，即tsin2A-sin2B=sinA+BsinA-B，sinA+BsinA-B=sinAcosB+cosAsinBsinAcosB-cosAsinB=sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2A1-sin2B-1-sin2Asin2B=sin2A-sin2B，即tsin2A-sin2B=sin2A-sin2B，所以t=1，所以a=4.（2）在ABC中有S=12bcsinA，12bcsinA=3b2+c2-a24， sinA=3b