选修4-1 第二节直线与圆的位置关系.pptx
第二节 直线与圆的位置关系 1.圆周角和圆心角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的_的一半.(2)圆心角定理：圆心角的度数等于_的度数.推论1：同弧或等弧所对的圆周角_；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也_.推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是_；90的圆周角所对的弦是_.圆心角它所对弧相等相等直角直径2.圆的内接四边形的性质与判定定理 定理1：圆的内接四边形的对角_.定理2：圆内接四边形的外角等于它的_.定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点_.推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的 对角，那么这个四边形的四个顶点共圆.(1)性质(2)判定互补内角的对角共圆3.圆的切线的性质与判定及弦切角定理(1)圆的切线的性质与判定.性质定理：圆的切线垂直于经过切点的_.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过_.判定定理：经过半径的外端并且_于这条半径的直线是圆的切线.(2)弦切角定理.弦切角等于它所夹的弧所对的_.半径切点圆心垂直圆周角4.与圆有关的比例线段定理 内容相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积_ 割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积_ 切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，_是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的_相等，圆心和这一点的连线平分_的夹角相等相等切线长切线长两条切线判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)圆心角等于圆周角的2倍.()(2)相等的圆周角所对的弧也相等.()(3)任意一个四边形、三角形都有外接圆.()(4)等腰梯形一定有外接圆.()(5)弦切角所夹弧的度数等于弦切角的度数.()【解析】(1)错误，若弧不一样，则圆心角与圆周角的关系不确定.(2)错误，只有同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧才相等(3)错误，任意一个四边形不一定有外接圆，但任意一个三角形一定有外接圆.(4)正确，可以推出等腰梯形的对角互补，所以有外接圆.(5)错误,弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角，所夹的弧的度数等于该弧所对圆心角的度数，所以弦切角所夹弧的度数等于弦切角度数的2倍.答案：(1)(2)(3)(4)(5)考向 1 圆周角定理【典例1】(1)(2012中山模拟)如图，AB为O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB3，CD1，则sinCBD_.(2)(2012汕头模拟)点A，B，C是圆O上的点，且AB2，BC CAB 则ABC=_【思路点拨】(1)连接AD，结合圆周角定理、正弦定理得到 再利用AD=ABsinABD求解(2)连接CO，把CAB 转化为BOC 利用等腰三角形BOC求出半径，可得AOB为等腰直角三角形，再利用圆周角定理转化即可.【规范解答】(1)连接AD，因为AB是圆O的直径，所以ADBACB90.又ACDABD，CBDCAD，所以在ACD中，由正弦定理得：又CD1，所以sinCAD 又CBDCAD，所以sinCBD答案：(2)连接CO，因为CAB 所以优弧BC所对的圆心角为从而BOC 在等腰三角形BOC中可求得半径OB 因为AB2，所以AOB为等腰直角三角形，所以AOB=所以AOC=ABC=AOC=答案：【拓展提升】圆周角定理常用的三种转化(1)圆周角与圆周角之间的转化.(2)圆周角与圆心角之间的转化.(3)弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化.【变式训练】(1)如图所示，圆的内接三角形ABC的角平分线BD与AC交于点D，与圆交于点E，连接AE，已知ED3，BD6，则线段AE的长_.【解析】EE，BE平分ABC，EAD=EBC，所以EADEBA，EDAEAB，即AE2EDBE3927，AE答案：(2)(2012汕头模拟)如图，已知PA，PB是圆O的切线，A，B分别为切点，C为圆O上不与A，B重合的另一点，若ACB=120，则APB=_.【解析】如图所示，连接OA，OB,ACB=120.优弧AB所对的圆心角为240，从而AOB=120.又PA,PB是圆O的切线，OAP=OBP=90，APB=60.答案：60考向 2 圆内接四边形的判定与性质【典例2】(1)如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，点E，F分别在边AB，CD上，设ED与AF相交于点G，若B，C，F，E四点共圆且AG1，GF2，DG 则GE_.(2)如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点若OAM=25，则APM=_【思路点拨】(1)连接EF，由ADBC及B，C，F，E四点共圆，可判断A，D，F，E四点共圆，再利用相交弦定理求GE.(2)连接OP，OM，可证 A，P，O，M四点共圆，由OAMOPM即可求解.【规范解答】(1)如图所示，连接EF.B，C，F，E四点共圆，ABCEFD.ADBC，BADABC180.BADEFD180.A，D，F，E四点共圆由相交弦定理，可得AGGFDGGE.因此GE答案：(2)连接OP，OM.AP与O相切于点P，OPAP.M是O的弦BC的中点，OMBC，OPAOMA180,A，P，O，M四点共圆OAMOPM=25,APM90-25=65.答案：65【拓展提升】圆内接四边形的重要结论(1)内接于圆的平行四边形是矩形.(2)内接于圆的菱形是正方形.(3)内接于圆的梯形是等腰梯形.【变式训练】(1)(2012广州模拟)如图，O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连接BC与圆O交于F，若CFE=40，则DEB=_.【解析】ABDE，BDE=DEB,根据圆的内接四边形性质定理，BDE=CFE,DEB=CFE=40.答案：40(2)如图所示，AB为O的直径，C为O上一点，AP和过C的切线互相垂直，垂足为P，过B的切线交过C的切线于T，PB交O于Q，若BTC120，AB4，则PQPB_.【解析】连接OC，AC，则OCPC，则O，C，T,B四点共圆，BTC120，COB60，故AOC120.由AOOC2，知AC在RtAPC中，ACP60，因此PC根据切割线定理得PQPBPC23.答案：3考向 3 圆的切线的性质与判定、弦切角定理【典例3】(1)(2012广东高考)如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足ABC=30，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_.(2)如图所示，AB是O的直径，O过BC的中点D，DEAC.若ADE50，则ABD_.【思路点拨】(1)连接OA，AC从而可得AOC为等边三角形，PAC=30,PAC为等腰三角形，再由AC=CP=1可得结果.(2)连接OD，证明DE是圆O的切线，再利用弦切角定理进行转化即可.【规范解答】(1)连接AO，AC，因为ABC=30,CAP=30,AOC=60.又OA=OC，AOC为等边三角形，则ACP=120,APC=30,ACP为等腰三角形，且AC=CP=1,AP=21sin 60=答案：(2)连接OD.BDCD，OAOB，OD是ABC的中位线,ODAC.又DEC90，ODE90.又D在圆周上，DE是O的切线因此ABDADE50.答案：50【互动探究】若例(2)条件不变，则BAC=_.【解析】ODDE，ADE=50，ADO=40.OD=OA，DAO=ADO=40.ODAE，DAE=ADO=40，BAC=DAE+DAO=40+40=80.答案：80【拓展提升】证明直线是圆的切线的常用方法(1)若已知直线与圆有公共点，则需证明圆心与公共点的连线垂直于已知直线即可.(2)若已知直线与圆没有明确的公共点，则需证明圆心到直线的距离等于圆的半径【提醒】在求解有关角与长度的问题时，注意运用初中阶段所学的知识，如平行线的判定与性质、中垂线的性质、等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质等，只有这样才能更灵活地解决问题.【变式备选】(1)如图所示，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D.若BAC35，则CAD_.【解析】连接OC.CD是O的切线，OCCD.又ADCD，OCAD.由此得ACOCAD.OCOA，BACACO.CADBAC.又BAC35，故CAD35.答案：35(2)(2013聊城模拟)如图，AB是圆O的直径，直线CE与圆O相切于点C，ADCE于点D，若圆O的面积为4,ABC=30,则AD的长为_.【解析】CD是圆O的切线，ABC=ACD=30.O的面积为4,圆的半径为2,在直角三角形ABC中，AB=4，AC=2，在直角三角形ACD中，AD=ACsin 30=2=1.答案：1考向 与圆有关的比例线段【典例】(1)(2012天津高考)如图，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，EF=则线段CD的长为_.(2)如图，ABC是O的内接三角形，PA是O的切线，PB交AC于点E，交O于点D.若PA=PE，ABC=60，PD=1，PB=9，则PA=_，EC=_.【思路点拨】(1)利用相交弦定理求CF,再利用切割线定理和比例线段有关知识列方程求解.(2)利用切割线定理求PA的长度，再判断PAE为等边三角形，最后用相交弦定理求EC.【规范解答】(1)因为AFFB=CFEF,所以CF=2,BD=CFBD，设CD=x,则AD=4x,BD2=x4x，x=答案：(2)由切割线定理可知PA2=PDPB=19，PA=3.ABC=PAC=60，PA=PE，APE为等边三角形，AE=AP=3，PD=1，ED=PE-PD=2，BE=PB-PE=6，由相交弦定理可知：AEEC=BEED，3EC=62，EC=4.答案：3 4【互动探究】在本例题(1)中，若把条件“EF=”改为“EF=2”，则AD=_.【解析】设CD=x,则AD=4x,由相交弦定理可得，AFFB=EFCF,所以CF=又 BD=2，又BD2=CDAD,所以4=4x2,x=1,所以AD=4.答案：4【拓展提升】与圆有关的比例线段解题思路见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到圆的两条割线就要想到割线定理；见到圆的切线和割线就要想到切割线定理【提醒】与圆有关的比例线段问题，常常结合方程思想进行计算，即利用代数方法解决几何问题【变式备选】(2013襄阳模拟)如图，已知圆O的半径为3，从圆O外一点A引切线AD和割线ABC，圆心O到AC的距离为AB=3，则切线AD的长为_.【解析】过O作OEAC，垂足为E，连结OC，BC=2.由AD2=ABAC=35=15,AD=答案：
