相似三角形预备定理课件.ppt
27.2相似三角形的判定1预备定理相似多边形的判定相似多边形的判定：回顾：回顾：对应角相等，对应边的比相等对应角相等，对应边的比相等的两个多边形为相似多边形的两个多边形为相似多边形.两个条件要两个条件要同时具备同时具备 对应角相等对应角相等,三组对应边的比也相等的两个三三组对应边的比也相等的两个三角形是角形是相似三角形相似三角形.相似三角形的判定相似三角形的判定:2、ABCABC与与A AB BC C相似比为相似比为k k,则则A AB BC C与与ABCABC相似比为相似比为ACBACBABCABCAAB BC C 符号语言：符号语言：在在ABCABC和和A AB BC C中，中，对应角对应角_,对应边对应边 的两个三的两个三角形角形,叫做相似三角形叫做相似三角形.相等相等比相等比相等 相似三角形的相似三角形的,各对应边各对应边。对应角相等对应角相等比相等比相等A=D,B=E,C=FA ABC DEFBCDFE 相似比相似比:=kk 1 两三角形相似两三角形相似 k=1 两三角形全等两三角形全等如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳子分成两部分，使这两部分之比是分成两部分，使这两部分之比是2:3?2:3?A A A AB B B BC C C CE E E ED D D DF F F FB B B BI ID D D DI IC C C CI IE E E EI IF F F FI I3 32 2C CI IF FI I则则=ACACI I 如图，任意画两条直线如图，任意画两条直线l1、l2,再画三条与再画三条与l1、l2相交的平行线相交的平行线l3、l4、l5.分别度量分别度量l3、l4、l5 在在l1上截得的两条线段上截得的两条线段AB,BC和在和在l2上截得的两条上截得的两条线段线段DE,EF的长度的长度.相等吗？相等吗？ABCDEFl1l2l3l4l5 任意平移任意平移l5，再度量再度量AB,BC，DE,EF的长的长度度.相等吗？相等吗？探究：探究：定理的符号语言定理的符号语言定理的符号语言定理的符号语言 L3/L4/L5=ABDEBCEF(平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理)三条平行线截两条直线三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等所得的对应线段的比相等.DEFABCL3L4L5L1 L2A A A AB B B BC C C CD D D DE E E EF F F Fl l l l1 1 1 1l l l l3 3 3 3l l l l2 2 2 2.形象记忆形象记忆A A A AB B B BC C C CD D D DE E E EF F F Fl l l l1 1 1 1l l l l3 3 3 3l l l l2 2 2 23?42 例一例一（平行线分线段成比例（平行线分线段成比例定理）定理）6 6BCBC=4 42 2BCBC3 3即即=EFEFDEDEBCBCABAB=/l/l/l/ll l解：解：3 32 21 1QA A A AB B B BC C C CD D D DE E E EF F F Fl l l l1 1 1 1l l l l3 3 3 3l l l l2 2 2 2 例二例二 注意观察：注意观察：注意观察：注意观察：此图与前面图形有何不同？此图与前面图形有何不同？此图与前面图形有何不同？此图与前面图形有何不同？A A A AB B B BC C C CD D D DE E E EF F F F（平行线分线段成比例定理）（平行线分线段成比例定理）.n nm mm mDFDFDEDE+=.m mn nm mDEDEDFDF即即+=，m mm mn nDEDEDEDEEFEF+=+m mn nDEDEEFEF=n nm mEFEFDEDEBCBCABAB=,/l/l/l/ll l3 32 21 1Q：证明A A A AB B B BC C C CD D D DE E E EF F F FA A A AB B B BC C C CD D D DE E E EF F F FA A A AB B B BC C C CD D D DE E E EF F F FA A A AB B B BC C C CD D D DE E E EF F F FA A A AB B B BC C C CD D D DE E E EF F F FABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5 如图如图，l3 l4 l5,请指出成比例的线段请指出成比例的线段.练习：练习：平行于三角形一边的直线截其他平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等应线段的比相等.ABCDEl1l2l3l4l5ABCDEl1l2l3l4l5L1L2L3L4L5L1L2L3L4L5ABCEDABCDE DEBC AD AD AEAEACACABAB=DEBC AD AD AEAEACACABAB=数学符号语言数学符号语言数学符号语言数学符号语言平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等延长线），所得的对应线段的比相等 三角形的中位线三角形的中位线截得的三角形截得的三角形与与原三角形原三角形是否相似？是否相似？相似比是多少？相似比是多少？提出问题：提出问题：如图，在如图，在ABC中，点中，点D是边是边AB的的中点，中点，DE BC，DE交交AC于点于点E，ADE与与ABC有什么关系？有什么关系？思考思考:改变点改变点D在在AB上的位置，请猜想上的位置，请猜想ADE与与ABC是否相似是否相似?说明理由说明理由.如图如图,在在ABC ABC 中中,DEDE/BCBC,DEDE分别分别交交AB,AB,AC AC 于点于点D,D,E E,ADEADE与与ABCABC有什么关系有什么关系?思思考考？直觉告诉我们直觉告诉我们,ADEADE与与ABCABC相似相似,我们通我们通过相似的定义证明这个结论过相似的定义证明这个结论.先证明两个三角形的对应角相等先证明两个三角形的对应角相等.在在ADEADE与与ABCABC中中,A=A,A=A,DE/BC,DE/BC,ADE=B,AED=C.ADE=B,AED=C.再证明两个三角形的对应边的比相等再证明两个三角形的对应边的比相等.过过E E作作EF/AB,EFEF/AB,EF交交BCBC于于F F点点.在平行四边形在平行四边形BFEDBFED中中,DE=BF,DB=EF.,DE=BF,DB=EF.即即:ADE与与ABC中中,A=A,ADE=B,AED=C.ADEABCADEABC相似三角形的预备定理：相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。线，截得的三角形与原三角形相似。ADEABCDE/BC 平行于三角形一边的直线和其他两边平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。相交，所构成的三角形与原三角形相似。判定三角形相似的预备定理：判定三角形相似的预备定理：（简称：平行线）（简称：平行线）在在ABC中，中，DE BCADEABC符号语言：符号语言：ABCDE（图（图1）（图（图2）DEOBC“A”型型“X”型型 1 1、如图、如图,已知已知EFCDABEFCDAB，请尽可，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。说明理由。练习：练习：三角形相似具有三角形相似具有三角形相似具有三角形相似具有传递性传递性!1.EFABEFAB2.EFCD2.EFCDOABOCDOABOCDOEFOABOEFOABOEFOCDOEFOCD或或：OEFOCDOEFOCDOEFOABOEFOABA AB BF FC CD DE EO O3.ABCD3.ABCDOABOCDOABOCD 2 2、如图、如图,已知已知DEBC,DFAC,DEBC,DFAC,请请尽可能多地找出图中的相似三角形，尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。并说明理由。ABCDFE练习：练习：三角形相似具有三角形相似具有三角形相似具有三角形相似具有传递性传递性!1.DEBCDEBC2.DFAC2.DFACADEDBFADEDBFADEABCADEABCDBFABCDBFABC3 3.DBFABCDBFABCADEABCADEABCABDECl这是两个极具代表性的l相似三角形基本模型：“A”型和“X”型这个这个两个模型在今后学习的过程中作用很大在今后学习的过程中作用很大,你你可要认真噢！可要认真噢！ABCDE 平行于平行于三角形一边的直线与其他两边三角形一边的直线与其他两边(或或两边的延长线两边的延长线)相交。所构成的三角形与原相交。所构成的三角形与原三角形相似。三角形相似。相似三角形判定的预备定理：相似三角形判定的预备定理：D DA AB BC CE E DE BCADEABC 如图，如图，ABC 中，中，DE BC，GF AB，DE、交于点，则图中与、交于点，则图中与ABC相似的三角形共有多少个相似的三角形共有多少个?请请你写出来你写出来.解：与ABC相似的三角形有相似的三角形有3个个:A ABCDEFGO如图，在如图，在ABC中，中，DGEHFIBC，（1）请找出图中所有的相似三角形；）请找出图中所有的相似三角形；（2）如果）如果AD=1，DB=3，那么，那么DG：BC=_。ABCDEFGHIADGAEHAFIABC1：4 1如图如图 已知已知DE BC AC,请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理请尽可能多地找出图中的相似三角形，并说明理由。由。练一练练一练1ABCDFEABCDFEG2.如图，如图，G是是ABCD的的CD延长线上一点，连结延长线上一点，连结BC交对角线交对角线AC于于E，交，交AD于于F，则：，则：(1)图中与图中与AEF相似的三角形有相似的三角形有_。(2)图中与图中与ABC相似的三角形有相似的三角形有_。(3)图中与图中与GFD相似的三角形相似的三角形_。5、如如图图，在在 ABCD中中，E是是边边BC上上的的一一点点，且且 BE:EC=3:2，连连 接接 AE、BD交交 于于 点点 F，则则BE:AD=_，BF:FD=_。6、如如图图，在在ABC中中，C的的平平分分线线交交AB于于 D，过过 点点 D作作 DEBC交交 AC于于 E，若若AD:DB=3:2，则则EC:BC=_。ABCDEFABCED3:53:53:53:53:53:57如图，如图，DE BC，（1）如果）如果AD=2，DB=3，求，求DE:BC的值；的值；（2）如果）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求，求AE和和BC的长的长8如图，在如图，在ABCD中，中，EF AB，DE:EA=2:3，EF=4，求，求CD的长的长 9.梯形梯形ABCD中，中，AB CD，AB=2DC，E,F为中点为中点.求证：（求证：（1）EDMFBM；(2)BD=9，求，求BM的长的长拓展提高：拓展提高：10.已知已知EF BC,求证求证:11.已知已知EF BC,FG DC,求证求证:12.已知已知DE BC,EF CD,求证求证:13:如图，如图，E是平行四边形是平行四边形ABCD的边的边BC的延长线上的一点，连结的延长线上的一点，连结AE交交CD于于F，则图中共有相似三角形（则图中共有相似三角形（）A1对对 B2对对 C3对对 D4对对相似三角形判定方法相似三角形判定方法1 1、(定义定义)三组对应边的比相等且对应角相等；三组对应边的比相等且对应角相等；2 2、（预备定理）（预备定理）平行于三角形一边的直线与其他平行于三角形一边的直线与其他两边两边(或两边的延长线或两边的延长线)相交，所构成的三角相交，所构成的三角形与原三角形相似。形与原三角形相似。ABCDFE1 1、若若 BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,BF=3,CF=2,AD=1.5,DF=6,你能求出线段你能求出线段AEAE的长度的长度吗？吗？2 2BDFBACBDFBACDFACDFACAC=10AC=10解：解：DEBC,DFACDEBC,DFAC四边形四边形DFCEDFCE为平行四边形为平行四边形FC=DE=2FC=DE=2，EC=DF=6EC=DF=63 32 21.51.56 66 6AE=AC-CE=10-6=4AE=AC-CE=10-6=4练习：练习：BDMBACABCMDE 2、如图：在如图：在ABC中，点中，点M是是BC上上 任一点，任一点，MD AC，ME AB，若若 求求 的值。的值。=，BDABECAC25解：解：MDAC，=，BDBA25BMBC =CECACMCB =35MCBC又又 MEAB，CEMCAB2份份5份份3份份35=练习：练习：再再 见见
