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人教版九年级上册数学全书教案第二十一章二次根式教材内容1 .本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除：最简二次根式.2 .本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章 反比例正函数、第十八章 勾股定理及其应用等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础.教学目标1.知识与技能(1)理解二次根式的概念.(2)理 解 右(aN O)是一个非负数，(G)2=a(a2 0),J/=a (a2 0).(3)掌 握 右,s b =s/ab(a2 0,b2 0),y ab -s a,y/b；4b b(a 0,b 0),la _ a(a2 0,b 0).(4)了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.2.过程与方法(1)先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.(2)用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘(除)法规定，并运用规定进行计算.(3)利用逆向思维，得出二次根式的乘(除)法规定的逆向等式并运用它进行化简.(4)通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最筒二次根式的概念.利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.3.情 感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.教学重点1.二 次 根 式&(a2 0)的 内 涵.a(a2 0)是一个非负数；(&)2=a(a 2 0)；7?=a (a 2 0)及其运用.2.二次根式乘除法的规定及其运用.3.最简二次根式的概念.4.二次根式的加减运算.教学难点1.对。(a 2 0)是一个非负数的理解；对 等 式(、5)2=a(a 2 0)及J/=a (a 0)的理解及应用.2.二次根式的乘法、除法的条件限制.3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.教学关键1.潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点.2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神.单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下:21.1二次根式 3 课时21.2二次根式的乘法 3 课时21.3二次根式的加减 3 课时教学活动、习题课、小结 2 课时21.1二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并 利 用 八(a 2 0)的意义解答具体题目.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.教学重难点关键1.重点：形 如 夜(aN O)的式子叫做二次根式的概念；2.难点与关键：利 用“八(a 2 0)”解决具体问题.教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：3问 题1：已知反比例函数y=2,那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐x标是问题2：如图，在直角三角形A B C中，AC=3,B C=1,Z C=9 0 ,那么A B边的长是问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7,8,那么甲这次射击的方差是S 2,那么S=.老师点评：问 题1：横、纵坐标相等，即x=y,所以X2=3.因为点在第一象限，所以x=G，所以所求点的坐标（G，百）.问题2：由勾股定理得A B=J E问题3：由方差的概念得$=二、探索新知很明显G、而、器，都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式.因此，一般地，我 们 把 形 如 五（a0）的式子叫做二次根式，“称为二次根号.（学生活动）议一议：I.-1有算术平方根吗？2.0的算术平方根是多少？3.当a G（XO）、XA/O 亚、-6、-、J x+y （x 0,y，0）.x +y分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“一”；第二，被开方数是正数或 0.解：二次根式有：、笈、五（x0）、Vo-V2s J x+y （x20,y 2 0）；不是二次根式的有：冷、蚯、.x x+y例 2.当 x 是多少时，J 3x-1 在实数范围内有意义?分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3 x-l 20,J 3x-1才能有意义.解：由 3 x-1 2 0,得:3当 x N 1 时，J 3x-1在实数范围内有意义.3三、巩固练习教材P练 习 1、2、3.四、应用拓展例 3.当 x 是多少时，J2X+3+一 在实数范围内有意义?X+1分析：要使j2 x +3+1在实数范围内有意义,必须同时满足j2 x +3中的2 0 和X+1中的 X+1W0.X+1f2x+3 0解：依题意，得 八x+10_ 3由得：x 22由得：xWl3i当x 2-且xWl时，V2x+3+在实数范围内有意义.2x+1例4 知y=1 2-x+J x-2+5,求 一 的 值.（答案:2）y_ _ o（2）若&T T +振=1=0,求 azo+b?。的值.（答案：1）五、归纳 小 结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1.形 如&（a0）的式子叫做二次根式，称为二次根号.2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.六、布置作业1.教材P8复习巩固1、综合应用5.2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第一课时作业设计一、选择题1.下列式子中，是二次根式的是（）A.-V?B.S C.4x D.x2.下列式子中，不是二次根式的是（）A.B.V16 C.V8 D.-X3.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）A.5 B.V5 C.-D.以上皆不对5二、填空题1.形如 的式子叫做二次根式.2.面 积 为a的 正 方 形 的 边 长 为.3.负数 平方根.三、综合提高题1.某工厂要制作一批体积为In?的产品包装盒，其高为0.2m,按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？2.当x是多少时，叵亘+X?在实数范围内有意义？X3.若 厅7有意义，则J j F=.4使式子，一(4-5)2有意义的未知数X有()个.A.0 B.1 C.2 D.无数5.已知a、b为实数，且J a-5 +2，10-2a=b+4,求a、b的值.第一课时作业设计答案：-、1.A 2.D 3.B二、1.y a(a20)2.4 a 3.没有三、1.设底面边长为x,贝4 02x 2=1,解答：x=J?.2.依题意得:2x+3 0 x w 03，当x-且 x#0 时,26+3+x 2在实数范围内没有意义.X2x 工04.B5.a=5,b=-42 1.1二次根式第二课时教学内容1.4 a(aN O)是一个非负数：2.(y fa)2=a(a20).教学目标理解G (a20)是一个非负数利(、5)2=a(a20),并利用它们进行计算和化简.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出J Z (a20)是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(右)2=a(a20)；最后运用结论严谨解题.教学重难点关键1.重点：&(a O)是一个非负数；(&)2=a(a20)及其运用.2.难点、关健：用分类思想的方法导出出(a 0)是一个非负数；用探究的方法导 出()2=a(a20).教学过程一、复习引入(学生活动)口答1.什么叫二次根式？2.当a 2 0时，&叫什么？当a 0,所以 x+l 0：(2)a2 0；(3)a2+2a+l=(a+1)0；(4)4X2-12X+9=(2X)2-2 2x 3+3?=(2x-3)2 0.所以上面的4题都可以运用（JZ）2=a（a20）的重要结论解题.解：(1)因为x 2 0,所以x+l 0(J x +1 )g+1(2)V a2 0,(V o7)2=a2(3)a2+2a+l=(a+1)2又,:(a+1)220,A a2+2a+1 0,V 2+2a+l =a2+2a+l(4)V 4X2-12X+9=(2X)2-2 2x 3+32=(2x-3)2又：(2x-3)220.4X2-12X+9 0,?.(V 4X2-12X+9)2=4 x2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式：(1)X2-3 (2)X4-4 (3)2X2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1.4 a(ad O)是一个非负数；2.(4 a)J a(aO);反之:a=(s a)2(a0).六、布置作业1.教 材P 8复习巩固2.(1)、(2)P9 7.2 .选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第二课时作业设计一、选择题1.下列各式中 而、技、“2-1、扬+从、J /+2 0、7-14 4 ,二次根式的个数是().A.4 B.3 C.2 D.12 .数a没有算术平方根，则a的取值范围是().A.a 0 B.a2 0 C.a0)教学目标理 解 必=a(aN O)并利用它进行计算和化简.通过具体数据的解答，探究J/=a (a N O),并利用这个结论解决具体问题.教学重难点关键1.重点：=a(a20).2.难点：探究结论.3 .关键：讲清a 2 0 时，病=2 才成立.教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容：1.形如、5 (a 2 0)的式子叫做二次根式；2.g(a 2 0)是一个非负数；3.(y/a)2=a(a20).那么，我们猜想当a0 时,值=2 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题.二、探究新知(学生活动)填空：=；Jo.O f=_ _ _ _ _ _ _ _；(老师点评)：根据算术平方根的意义，我们可以得到:V?=2；V o.O l2=0.0 1；J(g)2 =g ；V o =O；y j()2=因此，一般地：=a(a0)例1化简(1)V 9 (2)(-4)2 (3)V 2 5(4)J(-3)2分析：因 为(1)9=-32,(2)(-4)2=4 2,(3)2 5=52,(4)(-3)2=32,所以都可运用J =a(a与0)去化简.解：(1)-/9 =3(2)J(-4)2 =4(3)A/2 5=5/5 =5(4)J(-3=A/?=3三、巩固练习教材P7练习2.四、应用拓展例2填空：当 a 20时，7?=_ _ _ _ _;当 aa,则 a 可以是什么数？分析：.必=a(a2 0),.要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“()2”中的数是正数，因为，当 a W O 时，厢=J(_)2 ,那么-aN O.(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根 据(1)、(2)可知|a|,而 I a I 要大于a,只有什么时候才能保证呢？a a 所以a 不存在；当a 0 时，J/=-a,要使J/a,即使-a a,a 0 综上，a 2,化简 J(X 2)2-J(1 2X)2.分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：J/=a(a 2 O)及其运用，同时理解当a -y faC.V o?7(-a)2 =，(_4二、填空题1 .-J 0.0 0 0 4 =.2 .若J而 是 一 个 正 整 数，则正整数m的最小值是.三、综合提高题1,先化简再求值：当 a=9 时，求 a+J l 2.+/的值,甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+J(l _ 4)2 =a+(1-a)=1；乙的解答为：原式=a+J(l _ q)2 =a+(a-1)=2 a-l=1 7.两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.2.若|1 9 9 5-a|+J a-2 0 0 0 =a,求 a T 9 9 5 2 的值.(提示：先由a-2 0 0 0 2 0,判 断 1 9 9 5-a 的值是正数还是负数，去掉绝对值)3.若-3 W xW 2 时、试化简|x-2|+J(X+3)2 +正-1 0%+2 5。答案：一、1.C 2.A二、1.-0.0 2 2.5三、L 甲 甲没有先判定1-a 是正数还是负数2 .由已知得 a-2 0 0 0 2 0,a 2 2 0 0 0所以 a T 9 9 5+J a-2 0 0 0 =a,J a-2 0 0 0 =1 9 9 5,a-2 0 0 0=1 9 9 52,所以 a T 9 9 5 2=2 0 0 0.3 .1 0-x21.2二次根式的乘除第一课时教学内容s a,4 b =4 ab(a 0,b 2 0),反之,4 b(a NO,b 2 0)及其运用.教学目标理解G ,b ab(a NO,b 2 0),4 ab =y j a,!b(a 2 0,b?0),并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导 出 八 、历=，拓(a 2 0,b N O)并运用它进行计算；利用逆向思维，得出疯 4 b(a NO,b 2 0)并运用它进行解题和化简.教学重难点关键重点：y/a,4 b y/ab(a NO,b 0),/ab =a,4 b(aO,b 0)及它们的运用.难点：发现规律，导出八,s/h=y fab(a 2 0,b 2 O).关 键：要讲清 J拓(a 0,b 、/6 X 2 V1 0 s/5a J；”(2)化简：V 2 0；V1 8;V2 4;V5 4;J i2a2b 2教材P u练习全部四、应用拓展例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)J(-4)x(-9)-/4 x-7-9(2)X 7 2 5=4 X1 1 X V 2 5=4|X /2 5=4 7 1 2=8 7 3解：(1)不正确.改正：4)x(9)=A/4X9=V4 =2 X3=6(2)不正确.改正：J 4 X V 2 5=J X V 2 5=J x2 5=VT T 2=Vi 6 7 =4 7 7V 25 V 25 V 25五、归纳小结本节课应掌握：(1)a,y fb =-/ab -(a2 0,b2 0),y fab -y/a 4 b(a2 0,b2 0)及其运用.六、布置作业1 .课本 P 1 5 I,4,5,6.(I)(2).2 .选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第一课时作业设计一、选择题1.若直角三角形两条直角边的边长分别为JFcm和JU cm,那么此直角三角形斜边 长 是().A.3-/2 cmB.3 V3 cmC.9cmD.27cm2.化 简 a J J的结果是（）.A./-a B.a C.-y 1 aD.-u3.等式J x +1 J i-l =成立的条件是（）A.x2 1 B.x 2 T4.下列各等式成立的是（C.T W x W l).D.x2 1 或 x W TA.4 7 5 X 2A/5=8 V5 B.5 7 3 X4 V2 =20A/5C.4 7 3 X3 /2 =7 /5 D.5A/3 X4 V2 =20A/6二、填空题1.7 1 0 1 4=.2.自由落体的公式为S=gt2（g 为重力加速度，它的值为10m/s2）,若物体下落的高度为720m,则 下 落 的 时 间 是.三、综合提高题1.一个底面为30cmX30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水例入一个底面为正方形、高 为 10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 20cm,铁桶的底面边长是多少厘米？2.探究过程：观察下列各式及其验证过程.的 瓦 QH R通过上述探究你能猜测出:(a 0)，并验证你的结论.答案：一、1.B 2.C 3.A 4.D二、1.13 R 2.12s三、1.设：底面正方形铁桶的底面边长为X,贝ij x?X I0=3 0X3 0X20,x2=3 0X3 0X2,x=yj30 x30 x 72=3 072.21.2二次根式的乘除第二课时教学内容yja _ fas/b V b(a 2 0,b 0),反过来a _aV b yfb(a 2 0,b 0)及利用它们进行计算和化简.教学目标理解(a 0,b 0)(a 2 0,b 0)及利用它们进行运算.a而一直利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简.教学重难点关键1.重点：理解器(a0,b 0),a _ya(a 2 0,b 0)及利用它们进行计算利化简.2.难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定.教学过程一、复习引入(学生活动)请同学们完成下列各题：1 .写出二次根式的乘法规定及逆向等式.2 .填空规 律 浅9 V 1 616；斯I?V 43 6 V 1 65V 3 6V 8 13 63.利用计算器计算填空:了，夕V 27T，2规律：君W 旦3 ：V 5区,也5 ；V 8B,也4 百7每组推荐名学生上台阐述运算结果.（老师点评）二、探索新知刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答,我们可以得到：一般地，对二次根式的除法规定：Ya a,、尸=/(a20,b0),Vb b反过来,r i b0)下面我们利用这个规定来计算和化简些题目./F7例 1.计算：（1）无（2）分析：上面4小 题 利 用 小 二 口（a 2 0,b 0）便可直接得出答案.4b b解：V 1 2丁 甫=2x 8 =J 3 x 4 =G X =2 G分析：直接利用（a，0,b 0）就可以达到化简之目的.,、/5x V 5 x y J 5x（4）I-=-i=-山6 9 y 2 1 3 y三、巩固练习教材P14练 习1.四、应用拓展例3.已 知 后 工=,且x为偶数，求（l+x）J；：的值.分析：式 子 形=%，只有a。，b 0时才能成立.因此得到9-x 0且x-6 0,即6 0 x 9解：由题意得 0 x 6.*.60)和a _ y/a(a20,b0)及其运用.六、布置作业1.教材 P15 习题 21.2 2、7、8、9.2.选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练第二课时作业设计一、选择题 计算后传的结果是().2/7 2/T-y/2A.一 J5 B.-C.0)是二次根式，那么，化为最简二次根式是().A.(y 0)B.y/x y(y 0)C.(y 0)1).以上都不对2 .把（a-1）J 中根号外的（a-1）移入根号内得（）.V a-1A.Ja -1 B.Jl a C.Ja 1 D.-Jl -a3.在下列各式中，化简正确的是()A.B.C.ab=a2 bD.J/_ J =x y/X 14.化 简 二%的结果是（V27)A及A.-3c 3B.AD.-V2二、填空题1.化简 J?+y 2.(x20)2.a J-竽化简二次根式号后的结果是三、综合提高题1.已知a为实数，化简:阅读下面的解答过程，请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程:解：口7yj ci-a,-J Q=(a-1)yJ C la2.若x、y为实数，且y二jx2-4 +V 4-X2+1，求 Jx+y y jx-y 的值.答案：一、1.C 2.D 3.C 4.Cx+2二、1.x J x2+y“2.-yj u,1三、1.不正确，正确解答:因为o1 ，所以a0,0a原式=d-a a2-a-a=-a a+4-a=(l-a)4-aX2-4 0 12.V 0 42 1.3二次根式的加减(1)第一课时教学内容二次根式的加减教学目标理解和掌握二次根式加减的方法.先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.重难点关键1 .重点：二次根式化简为最简根式.2 .难点关键：会判定是否是最简二次根式.教学过程一、复习引入学生活动：计算下列各式.(1)2 x+3 x；(2)2X2-3X2+5X2；(3)x+2 x+3 y；(4)3 a2-2 a2+a3教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并.同类项合并就是字母不变，系数相加减.二、探索新知学生活动：计算下列各式.(1)2 V 2+3 V 2 (2)2 /8-3 V8+5 7 8(3)y/1+2 5/7 +3 -9 x 7(4)3y/3-2-J i+V2老师点评：(1)如果我们把、历 当 成 X,不就转化为上面的问题吗？2 V 2+3 V 2=(2+3)V 2=5 7 2(2)把 正 当 成 y；2 7 8-3 7 8+5 7 8=(2-3+5)次=4次=80(3)把J7当成z；S+2币+也V 7=2V 7 +2V 7 +3 V 7 =(1+2+3)V 7 =6/7(4)6看为x,、份 看 为 y.3?-2 A/3 +5/2=(3-2)V 3+V 2=V 3 +V 2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如 2行 与说表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的.(板 书)3 V 2+/8=3 V 2+2 V 2=5 V 23 7 3+7 2 7=3 7 3+3 7 3=67 3所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.例 1.计算(1)瓜+V 18 (2)J l6x +y j 64 x分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并.解：(1)V 8+V 1 8=2 V 2+3A/2=(2+3)亚=5 正(2)/l6x+V 64x =4y fx+8 V x =(4+8)4=1 2 4例 2.计算(1)3廊 一9卜3瓦(2)(V 4 8+V 2 0 )+(V 12-V 5 )解：(1)3 7 48 -9 1+3 7 1 2=1 2 -3 73+6V 3=(12-3+6)7 3=15 7 3(2)(V 4 8+V 2 0 )+(V 12-V 5 )=V 4 8+V 2 0+V 1 2-V 5=4 5/3 +2-/5 +2 /3 -s-6 V J +A/5三、巩固练习教材P I 9 练 习 1、2.四、应用拓展例 3.已知 4x 2+y2-4x-6y+10=0,求(g x +y?/二)-(x2-5 x)的值.分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x T)2+(y-3)2=0,即 x=L,y=3.其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并2同类二次根式，最后代入求值.解：V 4x2+y2-4x-6y+10=0V 4x2-4x+l+y2-6y+9=0:.(2x-l)2+(y-3)2=0:.x 二 一，y=32原 式 二 反+y23=2 x4 +y x y -x x -5y x y=x V x +6 y x y当 X 二一，尸3时，2原式=X I +6=+3s/b2 V2 V2 4五、归纳小结本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并.六、布置作业1.教材 P 21 习题 21.3 1、2、3、5.2.选作课时作业设计.3 .课后作业：同步训练第一课时作业设计一、选择题1.以下二次根式：疝；正；A；厉 中，与百是同类二次根式的是（）.A.和 B.和 C.和 D.和2.下列各式：3 V 3 +3=6y/3；y/1-1；（3）5/2+y/6-/8 =2 V 2；=2 A/2 其中错误的有（）.A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.二、填空题1.在瓜-y/75a,2 屈、V 125 ,3 3类 二 次 根 式 的 有.2.计 算二次根式-3、历-7 /+9 /0 个2 屈、3反、-2、口 中，与 技 是 同a V 8三、综合提高题1.已 知 逐 处 2.23 6,求（辰_3*）_ （拈+*任）的值.（结果精确到0.01）2.先化简，再求值.答案：一、1.C 2,A二、1.1 J 7 5 a 2，3 a3 2.Qy/b -2y/a3 a三、1 .原 式=4 V 5 V 5 y fs -/5 =5 5 s-X 2.23 6 0.455 5 5 5 52.-J x y+3 y x y -(4 y/x y+6 y/x y)=(6+3-4-6)y/x y -y x y ,当 x=,y=27 时，原式=-J x 27 y/2,2 V 2 22 1.3二次根式的加减(2)第二课时教学内容利用二次根式化简的数学思想解应用题.教学目标运用二次根式、化简解应用题.通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题.重难点关键讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点.教学过程一、复习引入上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固.二、探索新知例 L 如图所示的R t Z X A B C 中，N B=9 0,点 P从点B开始沿B A 边 以 1厘米/秒的速度向点A 移动；同时、点 Q也从点B开始沿B C 边以2 厘米/秒的速度向点C移 动.问：几秒后P B Q 的面积为3 5 平方厘米？P Q 的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)caA p B分析：设 x秒后A P B Q 的面积为3 5 平方厘米，那 么 P B=x,B Q=2 x,根据三角形面积公式就可以求出x的值.解：设 x后P B Q 的面积为3 5 平方厘米.则有 P B=x,B Q=2 x依题意，得：x 2 x=3 52X2=3 5X=y/35所 以 庄 秒 后 4 P B Q 的面积为3 5 平方厘米.P Q=P B2+B Q2=VX2+4X2=氐7=,5 x 3 5 =5 V 7答：屈 秒 后 P B Q 的面积为3 5 平方厘米，P Q 的距离为5 5 厘米.例 2.要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1 m）?分析：此框架是由AB、B C、B D、AC 组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度.解：由勾股定理，得AB=J AD2+B D2=+2?=病=2 6B C=lBD2+CD2=V 22+l2=V 5所需钢材长度为AB+B C+AC+B D-2 V 5 +V 5 +5+2=3A/5+7=3 X2.2 4+7 3.7 （m）答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要1 3.7 m的钢材.三、巩固练习教材P19练习3四、应用拓展例3.若最简根式女力4 a+3 6与根式J22-63+6/是 同 类 二 次 根 式,求b的值.（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式/不 是 最 简 二 次 根 式,因 此 把，22一，+6 化简成I b|,j 2ab +6,才由同类二次根式的定义得 3 a-b=2,2 a-b+6=4 a+3 b.解：首 先 把 根 式-+6/化为最简二次根式:J 2 a b 2 万+68=J 6 2(2 a i +6)=|b|y j 2a-b +6由题意得44 a+3b =2 a-b+63a-b =2.2a+4 b -6 3 a-b =2,*.a=l,b=l五、归纳小结本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题.六、布置作业1.教 材P 2 I习题2 1.3 7.2 .选用课时作业设计.3.课后作业：同步训练作业设计一、选择题1.已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5,那么斜边的长应为（）.（结果用最简二次根式）A.5 /2 B.V 5 0 C.2 7 5 D.以上都不对2.小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和 20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米.（结果同最简二次根式表示）A.1 3 V 1 00 B.V 1 3 00 C.1 07 1 3 D.5A/13二、填空题1.某地有长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2 倍，它的面积是1600m 2,鱼塘的宽是 m.（结果用最简二次根式）2.已知等腰直角三角形的直角边的边长为J 5,那么这个等腰直角三角形的周长是_.（结果用最简二次根式）三、综合提高题1.若最简二次根式2,3加2-2与 44/1 0是同类二次根 式,求 m、n 的值.32.同学们，我们以前学过完全平方公式a22ab+b?=（a b）2,你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包 括 0）都可以看作是一个数的平方，如 3=（百）2,5=（括）2,你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（y/l,T ）2=（-2）2-2 1 V2+/=2-2 V2+1=3-2 V2反之，3_2/2=2_2 V2+1-（、汇 T）23-2 V2-（V2-1）A 7 3-2 7 2 =V 2-1求：（1）3 +2 V 2 ；(2)“+2百；(3)你 会 算 J 4一 疵 吗?(4)若 J a 2 日土 品,则 m、n 与 a、b的关系是什么？并说明理由.答案:1.A 2.C1.2 0 V 2 2.2+2 V 2三、1.依题意，得3 m2 2=4m2 1 0n2 1 =2mn2:2 夜 7 3所以m =2 /2=也或-2V2 m=2y/2n=A/3或 2 =2 V 2n=-5/3m =n =-G83或m =n =2.(1)V 3 +2 V 2 =7(V 2+1)2=V 2 +1(2)“+2 百=J(0+1)2 二 百+1(3)J 4-V 1 2 =4-273=7(/3-l)2=V 3 -1(4)/8 )X-/3 (2)(4-6 -3 V 2 )4-2 V 2分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律.解：(1)(V 6 +V 8 )x-/3 =V 6 x 5/3 +V s x V 3=屈+后=3 拒+2 逐解：(4 V 6 _3y/2)4-2 V 2 =4 V 6 4 _2 /2 -3 V 2 4-2y/2二2 6 二2例 2.计算(1)(V 5+6)(3-V 5 )(2)(V 1 0+V 7 )(V 1 0-V 7 )分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立.解：（1）（V5+6）（3-V5）=3 V5-(5/5)2+18-6 V5=13-3 V5(2)(V10+V7)(V 10-V7)=(V10)-(V7)2=10-7=3三、巩固练习课 本Pzo练 习1、2.四、应用拓展例3.已知上X 二 h二 2-X上-*a,其 中a、b是实数，且a+bHO,a b化简隼1一+旺平,并求值.T x+1 +si x J x+1yJ x分析：由 于（J T R+4）（VTFT-V）=1,因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化筒得结果即可.解：原式二(Jx+1 -4)2(J X+1 +(J X+1 +尤 +1 -A/X)(J X+1 -J X+1 +y/x)(V X 4-1 -V)+(J X+1+Vx)2(x+l)-x(x+l)-x(x+1)+x-2 J x(1+1)+x+2+1)=4x+2x-h x-a,/-=2-ab.b(x-b)=2ab-a(x-a)bx-b2=2ab-ax+a2.(a+b)x=a2+2ab+b2.(a+b)x=(a+b)2a+bWO x=a+b原式=4 x+2=4 (a+b)+2五、归纳小结本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算.六、布置作业1 .教材 P 2 1 习题 2 1.3 1、8、9.2 .选用课时作业设计.3 .课后作业：同步训练作业设计一、选择题1.（而-3而+2旧）X也 的 值 是（）.A./3 -3 J 3 0 B.3 J 3 0 5/33 3C.2 V 3 0 3 D,一 5/3 03 32.计 算（G+J x-l ）（-y j x -J x-l）的 值 是（）.A.2 B.3 C.4 D.1二、填空题1 .（-L+且）2 的计算结果（用最简根式表示）是2 22 .(1-2 7 3 )(1+2 6)-(2 退 T)2 的计算结果(用最简二次根式表示)是3 .若 x=V1T,贝UX2+2X+1=4 .已知 a=3+2&,b=3-2 VI,W l J a2b-a b2=三、综合提高题1.化简业 十 布Vw+Vi4+Vi5+V2T2.当 X=TJ V2-1.X +1 +V%2+X X +1 +X j,z M I I t B Aye _、，I，、时，求-7=+-,.的值.（结果用最简二次根式x+1 V x2+x X+1 +JX+X表示)课外知识1.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式.练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式 的 是().A.与 B.与 J,q5bxC.y mn 与 G D.+n 与y/m+n2.互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如 x+1-正 7 五 与x+l+J/+2 x 就是互为有理化因式；五 与-练习：0+G的有理化因式是x-6的有理化因式是_.7 x+i-Jx-i的有理化因式是3.分母有理化是指把分母中的根号化去,达到化去分母中的根号的目的.练习：把下列各式的分母有理化(1)-J ；(2)、=；(V 5-1 1+2V34.其它材料：如果n 是任意正整数，那理由:T r练习：填 空 后=_；旧:一了也是互为有理化因式.lx通常在分子、分母上同乘以一个二次根式,、V2、36+4立屈-叵 3e-W T2一户在二；答案：一、1.A 2.D二、1.1-2.4 7 3-2 4 3.2 4.4 7 22-1 原式=_亚+币 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _一、1,原式&在+&旨+6有+6 万=亚+丐 17 2(7 5 +V 7)+V 3(V s+V 7)V 2 +V 3二-(V 2 -/3 )=/3 -y/22 厚式_ (+1 +%)”+(7 +1 -+x)2(x+1)2-(V x +x)22(x+1)+(%2+x)x 2 2(x+l)(x+1 +x)x+1 尤+1=2 (2 x+l)；x=-=V2+1V 2-1原式=2 (2 7 2+3)=4 0+6.二次根式复习课教学目标1 .使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子;2 .熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算.教学重点和难点重点：含二次根式的式子的混合运算.难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子.教学过程设计一、复习1.请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件.指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式.2.二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来.指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的.把两个二次根式相除，先写成分式形式，即、6+、回=奈，再运用二次根式的除法法则进行计算，计算,计算结果要把分母有理化.3.在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式：(l)a=G/a)2(a0)；(2)|a|=7?.4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子：福2 =a(a)O)与a=(石产(a0)；=-7 a*6(a0,b0)与6 =V(a)O,b0)；(嘘呼b0)与*显0,b0).例如，化简2,可以用3种方法：直接约分察分母有 理 化 看=寻=行；(3)看作二次根式的除法事=、母=、万.5 .而不一定能化成(、Q 2.当a0时，如(7 5)2 =/=(君)2,2=7=(To)2.此时，而=(、6)2；当2 0时，&-2尸=厉=(向2,但Q无意义，所以J(-2)2卢(产4时47r (右)2.二、例题例1 X取什么值时，下列各式在实数范围内有意义：0,即x 2.所以使式子/3-x +J x -2 有意义的播为24K 3.(2)因为1 -JF=当*=1 时，l-|x|=0,原式没有意义,所以当x W l 时，式 子 点 有 意义.(3)因为使J 及有意义的x 值为x 0,使 W五 有 意 义 的 那 值 为 x40,所以使、位+J-2 x 有意义的播为x =0.(4)因为使必忍有意义的x 取值为x +2 0,即x -2,而分母3 x 0,即x 卢0,所以 使 式 子 写 2有意义的x 取值为3 xx-2 且 xWO.例2己知m,n为实数，且满足