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人教版初中数学九下全册教案九年级下册数学教案第二十,六章 二次函数 本章知识要点1 .探索具体问题中的数量关系和变化规律.2 .结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念.3 .会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4 .会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5 .会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6 .会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.26.1二次函数 本课知识要点通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义.MM及创新思维(1)正方形边长为a(c m),它的面积s (c m2)是多少？(2)矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式.请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义.实践与探索例1.m取哪些值时，函数y =(加2 一机口2+”?x +(?+1)是以x为自变量的二次函数？分析 若 函 数y =(?2 2+m X +S1 +1)是 二 次 函 数，须 满 足 的 条 件 是：m2-m 0.解 若函数y =(6 2 m)了2 +机工+(2 +1)是二次函数，贝IJm2 一加 w 0 .解得 m w 0,且 加w 1.因此，当加。0,且加w l时，函数y =(m2-m)/+加工+(优+1)是二次函数.回顾与反思 形如y=ax2+/?x +c的函数只有在。0的条件下才是二次函数.探索 若函数)，=(m 2机)1+m.工+(团+1)是以*为自变量的一次函数，则m取哪些2值？例2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数.(1)写出正方体的表面积S(c m2)与正方体棱长a(c m)之间的函数关系；(2)写出圆的面积y (c m2)与它的周长x (c m)之间的函数关系；(3)某种储蓄的年利率是1.9 8%,存 入1 0 0 0 0元本金，若不计利息，求本息和y (元)与所存年数x之间的函数关系；(4)菱形的两条对角线的和为2 6 c m,求菱形的面积S(c m2)与一对角线长x (c m)之间的函数关系.解(1)由题意，得 S=6 a2(a 0),其中S是a的二次函数；X2(2)由题意，得 y =(x 0),其中y是x的二次函数；(3)由题意，得 y =1 0 0 0 0+1.9 8%x-1 0 0 0 0 (x 2 0且是正整数)，其中y是x的一次函数；(4)由题意，得 S=g x(2 6 x)=g x 2+1 3 x(0 x 2 6),其中 S 是x 的二次函数.例3.正方形铁片边长为1 5c m,在四个角上各剪去一个边长为x (c m)的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子.(1)求盒子的表面积S (c m2)与小正方形边长x (c m)之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3 c m时，求盒子的表面积.解 S =1 52 4/=2 2 5-4 x 2(0 x g)；(2)当 x=3 c m 时，S=2 2 5 4 x 32=1 8 9 (c m2).当堂课内练习1.下列函数中，哪些是二次函数？(1)y-x2=0 (2)y=(x+2)(x -2)-(x -1)2(3)y=x2+(4)y=y/x2+2x-3x2.当k为何值时，函数y =(&-+1为二次函数？3 .已知正方形的面积为M e/?),周长为x(c m).(1)请写出y与x的函数关系式；(2)判断y是否为x的二次函数.本课课外作业3A组1.已知函数y=（用3）、7是二次函数，求m的值.2.已知二次函数y=a x?,当x=3时，y=-5,当x=-5时，求y的值.3.已知一个圆柱的高为2 7,底面半径为x,求圆柱的体积y与x的函数关系式.若圆柱的底面半径x为3,求此时的y.4.用 根 长 为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式.这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围.B组5.对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是（）A.y=m-l）2x2 B.y=（m+l）2x2 C.y=（m2+l）x2 D.y=-l）x26.下列函数关系中，可以看作二次函数 =。/+公+。（a H 0）模型的是（）A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）D.圆的周长与圆的半径之间的关系 本课学习体会 2 6.2用函数观点看一元二次方程（第一课时）教学目标（一）知识与技能1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标.（二）过程与方法1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨 论 一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.3.通过学生共同观察和讨论.培养大家的合作交流意识.（三）情感态度与价值观1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造.感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，42.具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根.3.理 解 一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.教学难点1.探索方程与函数之间的联系的过程.2.理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学过程I.创设问题情境，引入新课1.我们学习了一元一次方程kx+b=O(k=0)和一次函数y=kx+b(k#0)后，讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时，一次函数 y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=O,且一次函数)y=kx+b(k#O)的图象与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=O的解.现在我们学习了一元二次方程axz+bx+c=0(3 0)和二次函数y=ax+bx+c(a7 0),它们之间是否也存在一定的关系呢？2.选教材提出的问题，直接引入新课I I.合作交流解读探究1.二次函数与一元二次方程之间的关系探究：教材问题师生同步完成.观察：教材22页，学生小组交流.归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.IIL应用迁移巩固提高1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根同期声2.抛物线与x 轴的交点情况求待定系数的范围.3.根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x 轴的交点情况IV.总 结 反 思 拓 展 升 华本节课学了如下内容：1.经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系.2.理解了二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.3.数学方法:分类讨论和数形结合.反思：在判断抛物线与x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？拓展：教案V.课后作业作31.3.5526.2二次函数的图象与性质(1)本课知识要点会用描点法画出二次函数)，=/的图象，概括出图象的特点及函数的性质.MM及创新思维3我们已经知道，一次函数y =2 x +l,反比例函数y=的图象分别是x，那么二次函数y=/的图象是什么呢？(1)描点法画函数y =/的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？(2)观察函数y =/的图象，你能得出什么结论?实践与探索例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？(1)y=2x2(2)y =-lx2解 列 表X -3-2-10123 y=2x2 1 8820281 8 y=-2x2 -1 8-8-20-2-8-1 8 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图2 6.2.1.共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点.不同点：y =2 x 2的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升.y =-2 x 2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降.回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接.6例2.已知y =(A +2)x +4是二次函数，且当x0时，y随X的增大而增大.(1)求k的值；(2)求顶点坐标和对称轴.氏2+&一4 二 2解 由 题 意，得 0(2)二次函数为y =4 x 2,则顶点坐标为(0,o),对称轴为y轴.例3.已知正方形周长为C e m,面积为S c m2.(1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象：(2)根据图象，求出S=l c n?时，正方形的周长；(3)根据图象，求出C取何值时，S4 c m 2.分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时,自变量C的取值应在取值范围内.解(1)由题意，得S=描点、连线，图象如图2 6.2.2.(2)根据图象得S=1 c n?时，正方形的周长是4 c m.(3)根据图象得,当C N 8 c m时，S2 4 c m 2.C2468 1 一,S=C-16 _41944 (1)此图象原点处为空心点.(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y.(3)在自变量取值范围内，图象为抛物线的部分.当堂课内练习1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=3 x2(2)y=-3 x2(3)y=x222 .(1)函数y =的开口,对称轴是,顶点坐标是；(2)函 数 卜=一 彳/的 开 口,对称轴是,顶点坐标是.3 .已知等边三角形的边长为2 x,请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图.7 本课课外作业A组1 .在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.,1 ,(1)y =-4 x (2)y=x-42 .填空：(1)抛物线y =5/，当*=时，丫有最_值，是.(2)当111=时，抛物线)，=(?-开口向下.(3)已知函数y =(Y+%)x-2 i是二次函数，它 的 图 象 开 口,当*时，丫随x的增大而增大.3 .已知抛物线y =中，当*0时，y随x的增大而增大.(1)求k的值；(2)作出函数的图象(草图).4 .已知抛物线y =经 过 点a,3),求当产9时，x的值.B组5.底面是边长为x的正方形，高为0.5 c m的长方体的体积为y e n?.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)画出函数的图象；(3)根据图象，求出y=8 c n/时底面边长x的值;(4)根据图象，求出x取何值时，y4.5 c m3.6 .二次函数)?=a/与直线y =2 x-3交于点P (1,b).(1)求a、b的值；(2)写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小.7 .一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M(-2,2).(1)求出这个函数的关系式并画出函数图象；(2)写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出/MON的面积.本课学习体会26.2二次函数的图象与性质(2)本课知识要点会画出y =a/+后这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.MM及创新思维同学们还记得一次函数y =2 x与y =2 x+1的图象的关系吗？8，你能由此推测二次函数y=X?与 y=/+1的图象之间的关系吗？,那么y=/与 y=/-2 的图象之间又有何关系？实践与探索例 L在同一直角坐标系中，画出函数y=2/与 y=2 1+2 的图象.解列表.X -3-2-10123y=2x2 188202818描点、连线，画 出这两个函数的y-2x+2 20104241020图 象，如 图26.2.3 所示.回顾与反思 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数y=2/与 y=2x2-2 的图象之间的关系吗？例 2.在同一直角坐标系中，画出函数y=+l 与 y=i 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y=-x2+得到抛物线y=-x2-1.解列表.x -3-2-10123 9可以看出，抛物线y=-x2-是由抛物线y=-，+1向下平移两个单位得到的.回顾与反思 抛物线y=-/+1和抛物线y=-1分别是由抛物线y=-x2向上、向下平移一个单位得到的.探索 如果要得到抛物线y=-x2+4,应将抛物线y=-1作怎样的平移？例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与），=52相同，顶点纵坐标是一2,且抛物线经过点（1,1）,求这条抛物线的函数关系式.解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,-2）,因此所求函数关系式可看作y=ax2-2（。0）,又抛物线经过点（1,1）,所以，1 =。2-2,解得“=3.故所求函数关系式为y=3/-2.回顾与反思 y=ax2+k（a、k是常数，a W O）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：y-ax2+k开口方向对称轴顶点坐标。0a ,当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最值，最值 尸 _ _ _ _ _ _ _ _ 探索 抛物线y=：(x +2)2和抛物线y=g(x _ 2)2分别是由抛物线y=向左、向右平移两个单位得到的.如果要得到抛物线y=；(x-4-，应 将 抛 物 线 作 怎 样 的平移？例2.不画出图象，你能说明抛物线y=-3/与y=3(x+2)2之间的关系吗？解 抛物线y=-3/的顶点坐标为(0,0)；抛物线y=-3(x +2 的顶点坐标为(-2,0).因此，抛物线y=-3/与y=3(x+2)2形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线x =-2 .抛 物 线y=-3(x +2产是由y=-3 1向左平移2个单位而得的.回顾与反思 y=a(x-h)2(a、h是常数，a W O)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：y=a(x-h)2开口方向对称轴顶点坐标0 0a +2的图象呢？实践与探索例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.y=-x2,y =；(x l)2,y =；(x 1)2 2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.解 列 表.X -3-2-10123描点、连线，画出1 2.9222022292.这 三 个 函 数的图象，如 图2 6.2.6y =g(i)2 892222022.所示.y =1(x-l)2-2 6520_32-2_320.它们的开口方向都对称轴分别为、,顶 点 坐 标 分 别为、.请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系.回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y =a(x-%)2+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.止匕外，图象的平移与平移的顺序无关.探索 你能说出函数y =a(x /?)2+k (a、h、k是常数，a卉0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表.y-a(x-/i)2+k开口方向对称轴顶点坐标a 0a =/+法+。向 右 平 移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y-X2-2 x+5,则有()A.b=3,c=7 B.b=-9,c=-1 5 C.b=3,c=3 D.b=-9,c=2 15.抛 物 线y =-3/+)x +c是由抛物线旷=-3/-云+1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值.6.将抛物线 =以2(“#0)向左平移问个单位，再向上平移网个单位，其中h 0,k +1的开口,对称轴是,顶点坐标是.那么，对于任意一个二次函数，如y =x 2+3x 2,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？实践与探索例1.通过配方，确定抛物线y =-2%2+4x +6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.解 y=-lx1+4 x +6-2（，-2 x）+6=-2(X2-2X+1-1)+6=-2(x-l)2-l+6=-2(x-l)2+8因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=l,顶点坐标为(1,8).回顾与反思(1)列表时选值，应以对称轴x=l为中心，函数值可由对称性得到，.(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点.探索 对于二次函数y a x2+bx+c,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴，顶点坐标.例2.已知抛物线y =/一 伍+2)x +9的顶点在坐标轴上，求。的值.分析 顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；(2)顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0.18解 y =%2 _(a +2)x +9=(x _ )2+9 则抛物线的顶点坐标是,9-(Q+2)2.2 4当顶点在x轴上时，有 一2=0,2解得 a=-2.当顶点在y轴上时，有9 _(。+2)2=o,4解得 =4或。=一8.所以，当抛物线y =x 2 (Q+2)X+9的顶点在坐标轴上时，a有三个值，分 别 是-2,4,8.当堂课内练习1 .(1)二次函数y =-x2-2x的对称轴是.(2)二次函数y =2/2 x l的图象的顶点是,当x 时，y随x的增大而减小.(3)抛物线y =a 4x 6的顶点横坐标是-2,则&=.2 .抛物线y =+2 x +c的顶点是(；,一1),则a、c的值是多少？本课课外作业A组1 .已知抛物线y =g x 2 3x +g,求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象.2 .利用配方法，把下列函数写成y =a(x-/z)2+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y x+6x +1 (2)y=2 x 3 x+4(3)y=-x+nx(4)y=x px+q3.已知y =(4+2)/+2*-6是二次函数，且当了0时，y随x的增大而增大.19（1）求k的值：（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴.B组4.当。=r+2仆+1 +2 42的顶点所在的象限.5.已知抛物线y =%2 4x +的顶点A在直线y =-4x-1上，求抛物线的顶点坐标.本课学习体会26.2二次函数的图象与性质（6）本课知识要点1 .会通过配方求出二次函数y =ax2+bx+c（a w 0）的最大或最小值；2 .在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值.MM及创新思维在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为8 0元的某种商品按每件1 0 0元出售，一天可销出约1 0 0件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降 低1元，其销售量可增加约1 0件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数丁 =-1 0/+1 0 0 3+2 0 0 0.那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗？实践与探索例L求下列函数的最大值或最小值.（1）y 2 x 3 x 5 ；（2）y x?3 x+4 .分析 由于函数y =2 x2 -3 x-5和y =-3 x+4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.解（1）二次函数y =2 3 x 5中的二次项系数2 0,因此抛物线y =2/3 x-5有最低点，即函数有最小值.因为 y =2/_ 3 x _ 5 =2（x-y,3,4 9所以当x=士时，函数y =2 3 x-5有最小值是.4 820（2）二次函数y =-彳2-3 x+4中的二次项系数-l 0有最小值，a 0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.探索 试一试，当2.5 W xW 3.5时，求二次函数y =-2 x-3的最大值或最小值.例2.某产品每件成本是1 2 0元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：X （元）1 3 01 5 01 6 5y （件）7 05 03 5若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分 析 日销售利润=日销售量X每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量.解 由表可知x+y=2 0 0,因此，所求的一次函数的关系式为y =x+2 0 0.设每日销售利润为s元，则有s=y(x-1 2 0)=(x-1 6 0)2 +1 6 0 0.因为一x+2 0 0 N 0,x 1 2 0 2 0,所以 1 2 0 4 x4 2 0 0.所以，当每件产品的箱售价定为1 6 0元时，销售利润最大，最大销售利润为1 6 0 0元.回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果.例 3.如图 2 6.2.8,在 R t/AB C 中，Z C=9 0 ,B C=4,AC=8,点 D 在斜边 AB 上，分另作D E _ L AC,D F _ L B C,垂足分别为E、F,得四边形D E C F,设D E=x,D F=y.（1）用含y的代数式表示AE；A（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；/（3）设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数关系，并求出/S的最大值./解（1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此/A E =AC-DF=S-y .B F C图26.2.8 由D E/B C,得器唠，哈所以，y=S-2x,x的取值范围是0 x 4.(3)S=xy=x(8-2x)=-2x2+8 x =-2(x-2)2+8 ,所以，当x=2时，S有最大值8.当堂课内练习1 .对于二次函数y =/-2 x +？，当x=时，y有最小值.2.已知二次函数y =a(x l)2+)有最 小 值-1,则a与b之间的大小关系是()A.a b D.不能确定3 .某商场销售一批衬衫，平均每天可售出2 0件，每件盈利4 0件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.(1)若商场平均每天要盈利1 2 0 0元，每件衬衫应降价多少元？(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？本课课外作业A组1 .求下列函数的最大值或最小值.(1)y x 2x；(2)y 2 x?2 x +1.2 .已知二次函数y =F-6x+/”的最小值为1,求m的值.，3.心 理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x (单位：分)之间满足函数关系：y =-(M x?+2.6 x+4 3(0 4 x 4 3 0).y值越大，表示接受能力越强.(l)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第1 0分时，学生的接受能力是多少？(3)第几分时，学生的接受能力最强？B组4 .不论自变量x取什么数，二次函数y =2 x 2 6 x +机 的函数值总是正值，求m的取值范围.5 .如图，有长为2 4 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为1 0 m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽A B为xm,面积为S n?.(1)求S与x的函数关系式：片_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ aAl D22BC(2)如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？(3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.6.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,线段EF在对角线AC上，EG1AD,FH 1B C,垂足分别是 G、H,且 EG+FH=EF.(1)求线段EF的长；(2)设EG=x,/A G E与/C FH的面积和为S,写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出S的最小值.本课学习体会26.2 二次函数的图象与性质(7)本课知识要点会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式.MM及创新思维一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.例如：我们在确定一次函数y=Z x+A伙*0)的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数y=&(kKO)的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确X定二次函数y=ax2+bx+c(a w 0)的关系式，又需要几个条件呢？实践与探索例L某涵洞是抛物线形，它的截面如图26.2.9所示，现测得水面 宽1.6m,涵洞顶点O到水面的距离为2.4m,在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点。的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系.这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对 称 轴 是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是y=a xa 0).此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式.解 由题意，得点B的坐标为(0.8,-2.4),又因为点B在抛物线匕 将它的坐标代入y=a/(a 2,即可求出a的值.解（1）设二次函数关系式为 了 =以2+法+。，由已知，这个函数的图象过（0,-1）,可以得到c=-l.又由于其图象过点（1,0）、（-1,2）两点，可以得到4+6 =1a h=3解这个方程组，得a=2,b=-1.所以，所求二次函数的关系式是y=2 x2 2 x 1.（2）因为抛物线的顶点为（1,-3）,所以设二此函数的关系式为y=a（x I）?3,又由于抛物线与y轴交于点（0,1）,可以得到l =a（0-l）2-3解 得a =4 .所以，所求二次函数的关系式是y=4（x 1尸 3 =4 8 x+1.24(3)因为抛物线与x轴交于点M(-3,0)、(5,0),所以设二此函数的关系式为y=a(x+3)(x-5).又由于抛物线与y轴交于点(0,3),可以得到-3 =a(0+3)(0-5).解 得a=-.1 1 2所以，所求二次函数的关系式是y=(x+3)(x 5)=x2 g X 3.(4)根据前面的分析，本题已转化为与(2)相同的题型，请同学们自己完成.回顾与 反 思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的关系式可设如下三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a 0),给出三点坐标可利用此式来求.(2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a 0),给出两点，且其中点为顶点时可利用此式来求.(3)交点式：,=a(x-%,)(x-x2)(o 0),给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x”0)、(x2,0)时可利用此式来求.当堂课内练习1 .根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.(1)已知二次函数的图象经过点(0,2)、(1,1),(3,5)；(2)已知抛物线的顶点为(-1,2),且 过 点(2,1)；(3)已知抛物线与x轴交于点M (-1,0),(2,0),且经过点(1,2).2 .二次函数图象的对称轴是x=-l,与y轴交点的纵坐标是-6,且经过点(2,1 0),求此二次函数的关系式.本课课外作业A组1.已知二次函数y=1+8 x+c的图象经过点A (-1,1 2)、B (2,-3),(1)求该二次函数的关系式；(2)用配方法把(1)所得的函数关系式化成y=a(x-/y+k的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴.252.已知二次函数的图 象 与 一次函数y=4 x-8的图象有两个公共点P (2,m)、Q (n,-8),如果抛物线的对称轴是x=-l,求该二次函数的关系式.9 3 .某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽A B=4 m,顶部C离地面高度为4.4 m.现有一辆满载货物的/汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8 m,装货宽度为2.4 m.请 A/B判断这辆汽车能否顺利通过大门.4 .已知二次函数y =a/+加:+c,当x=3时，函数取得最大值1 0,且它的图象在x轴上截得的弦长为4,试求二次函数的关系式.B组5 .已知二次函数y =/+6 x +c的图象经过(1,0)与(2,5)两点.(1)求这个二次函数的解析式；(2)请你换掉题中的部分已知条件，重新设计一个求二次函数)，=/+儿:+。解析式的题目，使所求得的二次函 数 与(1)的相同.6 .抛物线y =炉+2比+过点(2,4),且其顶点在直线y =2 x +1上，求此二次函数的关系式.本课学习体会2 6.3 实践与探索(1)本课知识要点会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义.MM及创新思维生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2 0 0 4雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关.你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？实践与探索例1.如图2 6.3.1,一位运动员推铅球，铅球行进高度y (m)与水平距离x (m)之间的关系是y =1-,/2+5问此运动员把1 2 3 3铅球推出多远？解 如图，铅球落在x轴上，则y=0,.,.1 2 2 5因此，-x H x H =0 .1 2 3 326解方程，得 范=1 0,=一2 （不合题意，舍去）.所以，此运动员把铅球推出了 1 0米.探索 此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面3m,铅球落地点距铅球刚出手时相应的地3面上的点1 0 m,铅球运行中最高点离地面3 m,已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式.你能解决吗？试一试.例2.如 图2 6.3.2,公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1 m处达到距水面最大高度2.2 5 m.（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5 m,要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0.1m）分 析 这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图2 6.3.3,我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题.解（1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系.设抛物线顶点为B,水流落水与x轴交点为C （如图2 6.3.3）.由题意得，A （0,1.2 5）,B （1,2.2 5）,图 2 6.3.3因此，设抛物线为y=a（x-l）2+2.2 5.将 A(0,1.2 5)代入上式，得 1.2 5 =。(0 -+2.2 5 ,解得 a=1所以，抛物线的函数关系式为y=（x-1）2+2.2 5.当y=0时，解 得x=-0.5 （不合题意，舍去），x=2.5,所以C （2.5,0）,即水池的半径至少要2.5 m.（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为y=-（x%+人.由抛物线过点（0,1.2 5）和（3.5,0）,可求得h=-l.6,k=3.7.所以，水流最大高度应达3.7 m.当堂课内练习1.在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直27接把球打出边线？2.在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2.5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米.设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？本课课外作业A组1.在一场足球赛中，一球员从球门正前方10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距离是6米时，球到达最高点，此时球高3米，已知球门高2.4 4米，问能否射中球门？2.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程.下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润S （万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？3.如图，一位运动员在距篮下4 m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5 m,然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.0 5 m.（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式；（2）该运动员身高1.8 m,在这次跳投中，球在头顶上方0.2 5 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？B组4.某公司草坪的护栏是由5 0段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m加设不锈钢管（如图a）做成的立柱，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用图b所示的坐标系进行计算.（1）求该抛物线的函数关系式；（2）计算所需不锈钢管立柱的总长度.2052图a5 .某跳水运动员在进行1 0 m跳台跳水训练时，身体（看28成一点)在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线.在跳某个规定动作时，正常情况下,2该运动员在空中的最高处距水面1 0 m,入水处距池边的距离为4 m,同时运动员在距水3面高度5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势时，否则就会出现失误.(1)求这条抛物线的函数关系式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3士m,问此次跳水会不会失误？并通过计算说5明理由.本课学习体会2 6.3 实践与探索(2)本课知识要点让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程.MM及创新思维二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为1 2 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1 0 0 0 元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米.请你设计个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.你 能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决.实践与探索1例 1.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7 0 0 0 千克，购进价格为每千克3 0 元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克7 0 元，也不得低于3 0 元。市场调查发现：单价定为7 0 元时，日均销售60 千克；单价每降低1 元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用5 0 0 元(天数不足一天时，按整天计算)。设销售单价为x 元，日均获利为y 元。(1)求 y 关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；(2)将(1)中所求出的二次函数配方成y =a(x +2 +生上士 的 形 式，写出顶点2a 4 a坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？分析 若销售单价为x元，则每千克降低(7 0-x)元，日均多售出2 (7 0-x)千克，日均销售量为 60+2 (7 0-x)千克，每千克获利为(x-