数学重难点必刷题：立体几何选题含详解.pdf

数学重难点必刷题：立体几何选题一、单选题1.如图，在三棱锥O ABC 中，A B =B C =C D =DA,NABC=90,O分别为棱BC,D4,AC的中点，记直线EF与平面B。所成角为。，则。的取值范围是4 34 26 2 j2.已知一圆锥底面圆的直径为3,圆锥的高为主叵，在该圆锥内放置一个棱长为a的2正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则。的最大值为（）B.V 23.已知正六棱锥丫一48。后/，P是侧棱V C上 一 点（不含端点），记直线PB与直线OE所成角为a,直线P8与平面ABC所 成 角 为 二 面 角P CO 尸的平面角为7,则（）A./?/,/B.p a ,(3 yC./a,y aD.a ,y/34.斜三棱柱ABC 4 4 G中，底面ABC是正三角形，侧面AB4A是矩形，M是线段A3上的动点，记直线A 与直线AC所成的角为a,直线4 M与平面ABC所成的 角 为 二 面 角A-4 C 8的平面角为了 ,则（)GBAA.a ft,/3yC.ayB./3 a,/3yD./3 y5.如图，在棱长为3的正方体ABC。-4 4 G A中，点p是平面A fG内一个动点,且满足|。耳+|尸4 I=2+,则直线4 P与直线A D,所成角的余弦值的取值范围为C.B.1万2V1B2 T6.如图，已知P,。分别是正四面体ABC。的侧面ABC与侧 面 加 上动点（不包含侧面边界），则异面直线CP,BQ所成角不可能的是（)AA.4 5 B.6 5 C.7 5 D.9 0 7.在棱长为3的正方体A 6 C D A4G。中，。为棱。的中点，E为线段A。上的点，且A E =2 E O,若 点 分 别 是 线 段。0,8G上的动点，则 尸 周 长 的 最小 值 为（）A.3 也 B.半 C.V 4 1 D.7 4 28.如图所示，边长为1的正方形网络中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.-B.立 C.昱 D.-3 3 3 39.如图，在正四棱台43844GA中，上底面边长为4,下底面边长为8,高为5,点A/,N分别在上，且A=N =1.过 点 的 平 面a与此四棱台的下底面会相交，则平面a与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为A.1877 B.30&C.6向 D.36G10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（）6 6 6 6-3+4舟 布 ,6+273+76 2+3拒+2娓 4+3也+2戈11.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，12.已知梯形CEPD如下图所示，其中PD=8,CE=6,4为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿4 8进行折叠，使得平面P4BE_L平面4 B C O,得到如图所示的几何体.已知当点尸满足於=/1荏（0（06/6 6 ，C.一 也,12 6 262 61 9 .蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是1 0 9 2 8 ,这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有 谈谈与蜂房结构有关的数学问题.用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱A 6 C D E F-A B C Q E的三个顶点A,C,E处 分 别 用 平 面 平 面B O O,平面O F N截掉三个相等的三棱锥M-A B F ,O -B C D ,N-D E F ,平面BFM,平面BDO,平面D F N交于点P,就形成了蜂巢的结构.如图，设平面尸8 0。与正六边形底面所成的二面角的大小为。，则有：（）A.tan 0=tan 54044f3B.sin6=tan54044z3C.cos=tan54044f3D.以上都不对20 .如图，正方体A B C。A4GA的棱长为。,E,尸分别是棱A 4,CG的中点，过点 瓦厂的平面分别与棱84，D D 浅 于 点 G,H ,设 8 6 =羽 日0,0.给出以下四个命题：平面E G F H与平面A 8 C。所成角的最大值为4 5 ；四边形EGFH的面积的最小值为标；“3四棱锥C,-E G F H的体积为看；点4 到平面E G F H的距离的最大值为皿.其中命题正确的序号为（）A.B.C.D.21.在四棱锥P A6C0中，P A _L 底面A B C。，底面A B C。为正方形，P A=A B =3,点为正方形A B C。内部的一点，且 O=2 M4,则直线PM与 A。所成角的余弦值的取值范围为（）2 2.如图两个同心球，球心均为点。，其中大球与小球的表面积之比为3:1,线段A B 与是夹在两个球体之间的内弦，其中4 C 两点在小球上，两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部.当四面体ABC。的体积达到最大值时，此时异面直线A O 与A C 口 友 而 N 2A/66 4 6 33二、多选题2 3.已知正方体ABC。4 4 G。的棱长为2,M 为。9的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列命题正确的有（）A.若 MN=2,则 MN的中点的轨迹所围成图形的面积为B.若N到直线8 4与直线C的距离相等，则N的轨迹为抛物线TtC.若A N与A8所 成 的 角 为 则N的轨迹为双曲线71D.若A/N与平面A8C。所成的角为耳，则N的轨迹为椭圆2 4.如图，在直三棱柱 ABC-4 4 G 中，AC=8 0 =44,=2,ZACB=90,D,E,B分别为4C,AB的中点.则下列结论正确的是（）A.AC|与 EF相交 B.4。1/平面。7;C.尸与AC；所成的角为90 D.点片到平面。E尸 的 距 离 为 迪225.已知正方体A 6C D-A 4 G幺的棱长为2,点E，F分别是棱A 3,4 4的中点,点P在四边形A8C7）内（包括边界）运动，则下列说法正确的是（）A.若P是线段BC的中点，则平面A8/_L平面JT 7 1B.若p在线段AC上，则Q P与A G所成角的取值范围为c.若PR平面A G E，则点p的轨迹的长度为J5D.若PF平面4 c 2,则线段P F长度的最小值为立226.已知正方体ABC。4 4 G 2的棱长为2，点 E ,尸在平面内，若|A|=6,A C 1D F,则()A.点E的轨迹是一个圆B.点F的轨迹是一个圆C.|砂|的最小值为正一1D.AE与平面所成角的正弦值的最大值为2后+而1527.如图，在棱长为2的正方体ABC。ABCD中，M为 边 的 中 点，下列结论正确的有（）A.AM与。B所成角的余弦值为典109B.过三点A、M、以 的正方体ABCO ABCD的截面面积为一271C.四面体AC%。的内切球的表面积为一3D.正方体ABC。ABC。中，点尸在底面A6C。（所在的平面）上运动并且使Z MA C Z P A C ,那么点P的轨迹是椭圆28.己知图1中，A、8、C、。是正方形E/G H各边的中点，分别沿着AB、B C、C D、把DABF、口 5CG、C O、向上折起，使得每个三角形所在的平面都与平面ABC。垂直，再顺次连接EFG”，得到一个如图2所示的多面体，则)(A.DAE厂是正三角形B.平面AEFJ.平面CG”C.直线CG与平面AE尸所成角的正切值为加QD.当AB=2时，多面体ABC。一 EEG”的体积为一329.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 4 G A，中，E为棱CC上的中点，F 为棱AA上的点，且满足人尸：/弘=1：2,点/，B,E,G ,，为过三点8,E,F的平面BMN与正方体ABCD 4 4G 2的棱的交点，则下列说法正确的是（）A.H F U B E B.三棱锥的体积外 晒=4C.直线MN与平面4 4 8 4所成的角为45。D.G:GC；=1:330.如图，在棱长为1的正方体ABC。-4 4 G A中，P为线段瓦。上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（)aA.三棱锥P -48的体积为定值;B.过点尸平行于平面A B。的平面被正方体A6CD-A4GA截得的多边形的面积为B2C.直线PA与平面4加所成角的正弦值的范围为 y-.y-D.当点P与反重合时，三棱锥P-ABD的外接球的体积为乎力三、填空题3 1.三棱锥0 ABC中，OA、O B、0c两两垂直且相等，点P为线段0 A上动点,点Q为平面0 B C上动点，且满足0 P$g 0 A,O P =B Q,P Q和0 B所成角6 ,c o s。的 最 小 值 为.3 2.如图，在四面体4 B C D中，E、F分别是AB、C力的中点，G、H分别是BC和A O上的动点，且E”与GF相交于点K.下列判断中：直线8。经过点K；S EFC=S EFH；E、F、G、H四点共面，且该平面把四面体ABC。的体积分为相等的两部分.所有正确的序号为3 3.如图，AB是平面a的斜线段，A为斜足，点C满足忸q =/l|A q（/l 0）,且在平面a内运动，则有以下几个命题：当2=1时，点C的轨迹是抛物线；当九=1时，点C的轨迹是一条直线；当2=2时，点C的轨迹是圆；当2=2时，点C的轨迹是椭圆；当a=2时，点C的轨迹是双曲线.其 中 正 确 的 命 题 是.（将所有正确的命题序号填到横线上）3 4.九章算术中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖膈（四个面均为直角三角形的四面体）.在如图所示的堑堵A B C-A4 c中，8 4 =8C =26,4 8 =2,4。=4,且有鳖腌3/8 8|和鳖蠕；4台,现将鳖端G-A 8 C沿线BG翻折，使点C与点以重合，则鳖膈G-A B C经翻折后，与鳖膈G-A B片拼接 成 的 几 何 体 的 外 接 球 的 表 面 积 是.3 5 .如图，在三棱锥尸 ABC中，平面ABC,抬=4,c osZ A C B =-,若三3棱锥P-A B C外接球的表面积为5 2万，则三棱锥P-A B C体积的最大值为3 6 .如图所示，在边长为2的菱形A 8 C D中，N B C O =6 0 ,现将 A B。沿对角线8。2 7 r折起，得到三棱锥P-B C D.则当二面角P 8 C的大小为-时，三棱锥P-B C D的 外 接 球 的 表 面 积 为.3 7 .如图，A 8 C D-4 4 G幺 的 棱长为1的正方体，任作平面a与对角线4G垂直，使得a与正方体的每个面都有公共点，这样得到的截面多边形的面积为S,周长为/的范围分别是（用集合表示）3 8 .如图，已知正方体A B C。一 ABC。的棱长为4,点E、F分别是线段A 3、C R上的动点，点P是上底面A4GA内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面A64A的距离，则当点尸运动时,P E的最小值是.3 9 .将直角三角形A B C沿斜边上的高AO折成1 2 0。的二面角，已知直角边A B =y/3,AC=s/6,那 么 下 面 说 法 正 确 的 是.(1)平面A B C J.平面A C O (2)四面体。ABC的体积是瓜(3)二面角A 的 正 切 值 是 呈 (4)BC与平面ACO所成角的3正 弦 值 是 叵1 44 0 .在三棱锥 A B C D 中，已知 A D _ L B C,A D=6,B C=2,A B+B D=A C+C D=7,则三棱锥A B C D体 积 的 最 大 值 是.四、双空题4 1 .正方体A B C。A B C。的棱长为2,动点P在对角线5。上，过点P作垂直于3 D 的平面a ,记平面a截正方体得到的截面多边形(含三角形)的周长为y =/(),设 B P =x,x e（0,2百）.(1)下列说法中，正确的编号为.截面多边形可能为四边形；/日)=30；函数/(x)的图象关于x =G对称.(2)当x =G时，三棱锥P-ABC的 外 接 球 的 表 面 积 为.4 2 .斜线0 A与平面a成1 5 角，斜足为。，A为A在a内的射影，8为。A的中点，/是a内过点。的动直线，若/上存在点4，上 使N A 6 3 =N A B B =3 0,则 改 则I A 8|的 最 大 值 是，此时二面角A-片巴-A 平面角的正弦值是4 3 .如图，正方体A 3 c 044GR的棱长为I，厂 分别为4G，GA的中点，p 是底面A f i G A上一点.若A P平面8 E F,则AP长度的最小值是一；最大值是一.4 4 .如图，在棱长为1的正方体A B C C A B C Q i中，点E,F分别是棱B C、CG的中点，P是侧面B C C B内一点(含边界)，若4尸/平面A E F,点P的轨迹长度为.直线AxP与平面BCCxBy所 成 角 的 正 切 值 的 取 值 范 围 是.4 5 .矩形4 B C O中，A B =&B C =T，现将 AC O沿对角线A C向上翻折，得到四面体 A BC,则 该 四 面 体 外 接 球 的 体 积 为；设二面角O A C 8的平面角为6,当。在内变化时，|比|的范围为.46.如图，在直三棱柱A B C-4 4 c 中，点。为棱A G 上的点.且3 G 平面A 4。，则等=.已知A8=8 C =AA=1,A C =立,以。为球心，以立为半径的球面与侧面A 4 4 B 的 交 线 长 度 为.47.如图所示，在长方体A 6 C D-A 4 C|。中，A B =,B C =6，点M 在棱CG上，且则的面积的最小值为,此时棱C G 与平面所成角的正弦值为48.在棱长为6 的正方体空盒内，有四个半径为 的小球在盒底四角，分别与正方体底面处交于某一顶点的三个面相切，另有一个半径为R 的大球放在四个小球之上，与四个小球相切，并与正方体盒盖相切，无论怎样翻转盒子，五球相切不松动，则小球半径的最大值为；大球半径R 的最小值为.49.如 图 1.四边形ABCD是边长为10的菱形，其对角线AC=1 2,现将口 A B C 沿对角线4 C 折起，连接B。，形成如图2 的四面体ABCZ),则异面直线AC与 8。所成角的大小为.在图2 中，设棱AC的 中 点 为 的 中 点 为 N,若四面体A8C。的外接球的球心在四面体的内部，则线段MN长 度 的 取 值 范 围 为.5 0.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的.从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成.如图，在正六棱柱AB C D E五一4 8。*/的三个顶点A，CE处 分 别 用 平 面，平面8。，平面0FN截掉三个相等的三棱锥M-A BF,O-B C D,N-D E F ,平面,平面B。，平面D F N交于点P,就形成了蜂巢的结构，如 下 图(4)所示，瑞士数学家克尼格利用微积分的方法证明了蜂巢的这种结构是在相同容积下所用材料最省的，英国数学家麦克劳林通过计算得到菱形的一个内角为10 9。2 8 16，即Z B MF=10 9 2 8 16”.以下三个结论 MN；B D F =MO N；四点共面，正确命题的个数为 个；若A M=36，AB =2，t a n 5 4 4 4 0 8 =及，则 此 蜂 巢 的 表 面 积 为.参考答案1.c【分析】补全底面为正方形A B C G,由正方形性质有面G D B 1面A B C G,进而可证E C H F为平行7T四边形，则NC”O=6G(0,一)为直线E尸与平面8。所成角，ABO中由余弦定理知21乃cos Z D A B=1,结合棱锥侧面为全等三角形知N D A B e(0,-),即可求。的取值tan-6 2范围.【详解】由AB=3C,Z A B C =90，将底面补全为正方形ABCG,如下图示，。为 A8CG 对角线交点且 GBJ.A C,又 CD=D4 有 0，AC,D O c G B =O ,.AC上面 G O B,而 ACu 面 ABCG,故面 GOB，面 ABCG,若“为OG的中点，连接F 4,又瓦尸为棱BC,D4的中点，则尸”/AG且AG=2FH,而3C/AG,B C =A G =2 E C ,有EC,切平行且相等，即EC尸为平行四边形.1T.可将E F平移至H C ,直线E F与平面B O D所成角为NCH。=。e（0,一）,且 的2中 NCO=90。，令 A8=8C=O）=ZM=2,O C 地，即 8。=20=些=吏，tan 0 tan 0赫。中，A B2+B D2-2 A B -B D-cos Z D A B =B D2，B P cos Z D A B =1-z,tan2 3答案第1页，总77页兀：Q D A B=QDAG=Q D C B=QDCG,即 Z D A B e(0,-),2*.0 1-1(ta n 9 =tan4，所以/4.G M G B故选B.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算，考查空间想象能力，数形结合思想，分析问题能力，属于难题.4.B【分析】根据直线和平面的最小角定理，结合线面角和二面角的定义，即可得解.【详解】根据最小角定理，可得力当M在线段A B上的移动时,M和A重合时，答案第4页，总77页4 M与平面ABC所成角最大，（因为ABBIAI为矩形）作平面A8C于P,作PQJ_CA的延长线于。，连接4Q和P Q,则夕=幺 儿。，7=N4QP,由于4 Q A为直角，所以AM NAQ，可得/，故选：B.【点睛】本题考查了线线角、线面角以及面面角的比较，考查了最小角定理，考查了线面角以及面面角的定义以及立体空间感，属于难题.5.A【分析】求得点P的轨迹是平面A 8G内以点。为圆心，半径为1的圆，可得ADJ/BCJ/BiM ,进而可得出题中所求角等于直线B M与直线4 P的夹角，然后过点。作_L平面A B C D于 点 ，过点作HN，8C于点N,连接。N,找出使得N P B】M最大和最小时的位置，进而可求得所求角的余弦值的取值范围.【详解】连接4。交平面4 8 G于点。，延长线段C B至点M，使得C B =B M,连接BM、O M、P M,如下图所示：答案第5页，总77页已知在正方体ABC。4 4 GA中，。，_1底面4耳。9，4 0 /3 .,_ 3 V 3,.,_ 9S 3 4G=彳*（3 1 2）=-V g.=-x-x B.O=BO=-可得|4。|=6=；。|,所以，线段4。的 长 被 平 面 与 平 面ARC三等分，且与两平面分别垂直，而正方体A B C。A4GA的棱长为3,所以。4=6，0 D =2 5 如下图所示:其中PO,4。，不妨设|o =x,由题意可|尸旦|+|。|=2+用,所以，&+1 2+J%2+3 =2+屈，可得X =l，答案第6页，总77页所以，点P在 平 面 内 以 点。为圆心，半径为1的圆上.因为ADJ I BCJ I B M ,所以，直线4M与直线4P的夹角即为直线4P与 直 线 所 成角.接下来要求出线段耳M与PM的长，然后在4加中利用余弦定理求解.如图，过点。作0”，平面4 3 C。于点”，过点、H 作 H NLB C 于点N,连接。N,根据题意可知I。川=2,|H V|=W M =1,且ON，M N,所以，|。可=石，|O M|=V 42+5=V 21.如图所示，|。制=|O R|=1,当点P在 处时，NP4M最大，当点尸在月处时，N P B M最小.这两种情况下直线4P与直线B M夹角的余弦值最大，为co s Z P BM=si n NPB Q=g ；当点P在点。处时，NPB M 为直角,此时余弦值最小为0.综上所述，直线4P与直线AQ所成角的余弦值的取值范围是0,；故选：A.【点睛】答案第7页，总77页本题考查异面直线所成角的取值范围的求解，解题的关键就是确定点P的轨迹，考查推理能力与计算能力，属于难题.6.A【分析】取3。的中点N,根据线面垂直判定定理可得CN_L平面A C N,进一步可得CM，平面题然后计算直线C O与平面河所成角，最后进行判断即可.【详解】另设正四面体的边长为2,取BQ的中点N,连接A N,C N,并作CM J.A N,连接。M如图在该正四面体中，有AB=AD,BC=CD所以 BO LCN.BO LAN,CNcAN=N,CN,ATV u 平面 ACN所以B D,平面A C N,又C M u平面ACN所以 B O L C M,由 B D cA N =N,BD,A N u 平面他。所以CM _L平面A B D,则C D与平面ABD所成的角为NCDM又 CN=/W =2xsin600=6，则 cos ZACN=+一0 二 ”=走2CN-AC 3所以sinNA。V=逅，3则 LA A C M=1C N-A C sinZA C N nC M=也2 2 3所以sin/COM =坦=走，所以NCDA745CD 3 2答案第8页，总77页所以若点P为点。，C P与平面液所成的角要大于4 5 则当。在平面AC O内运动时，C P与BQ所成角要大于4 5 所以P，。在侧面ABC与侧面9运动，C P与 所 成 角 要 大 于4 5 故选：A【点睛】本题考查异面直线所成角，通过等价转化，线线角转化为线面角，便于计算与判断，考查分析能力与逻辑推理能力，属难题.7.D【分析】连接30,易知E为线段A。与3。的交点，即 为线段)8上靠近。的三等分点，将P E F周长的最小值问题转化到平面上几何知识连接两点间的线中线段最短与平面几何中对称问题处理，最后由余弦定理求得耳 的长度即可.【详解】连接B。，易知E为线段A。与 的 交 点，即E为线段Z)B上的点，由勾股定理可知B D =3近,则 B E =2 D E =2近,分别作点E关于线段DC,B q的对称点Et,E2,且由对称关系有垂直关系且显然口 B O G为等边三角形，即Z EtE E2=120,由等边三角形对称问题可求得EEI=R,E E2=2 据余弦定理得 ,2=7 I2+E E2-2E ,1-E E2 COS Z E,E E2 二便,由平面几何知识连接两点间的线中线段最短，得口尸上尸周长的最小值为辰.答案第9页，总77页5 G G故选：D【点睛】本题考查空间中三角形周长的最值，涉及空间中直线与对称点的算法，属于难题.8.D【分析】结合三视图，还原直观图，计算体积，即可.【详解】结合三视图，还原直观图，如图所示，面体O-ABC即为直观图.正方体边长为2,则。4=1,5 4.。=：、后-2=逐，高即为正方体一个平面内的对角线的一般，为 缶 所 以 体 积V =夜、历=|,故选：D.【点睛】本道题考查了三视图还原直观图，关键将所求三棱锥体积转化为好求的三棱锥体积，难度偏难.9.B答案第10页，总7 7页【分析】由题意可知，当平面a经过B C N M时取得的截面面积最大，此时截面是等腰梯形；根据正四棱台的高及MN中点在底面的投影求得等腰梯形的高，进而求得等腰梯形的面积.【详解】当斜面a经过点3 CNM时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时a为等腰梯形,上底为M N=4,下底为B C=8此时作正四棱台A B C。-4 4 G。俯视图如下：则MN中点在底面的投影到B C的距离为8-2-1=5因为正四棱台A B C。一 A4 GR的高为5,所以截面等腰梯形的高为，5 2+5?=50所以截面面积的最大值为S=；x(4+8)x5&=30拒所以选B【点睛】本题考查了立体几何中过定点的截面面积问题，关键是分析出截面的位置，再根据条件求得各数据，需要很好的空间想象能力，属于难题.10.B【详解】由三视图可知，该几何体是如下图所示的4-AER,设尸为A4的中点，通过计算得DF=R,E F =6,D E =3,所以E F L R E,而在等腰三角形次 片 中 砂_ L 4耳，故E/，平面A4 A，所以匕一伍5 .e=2 .设内切球的半径为，则(SA B,D|+SA EB|+SA E D(+5用(声)=2,即(2出 +遥+3+3)r =2 ,故答案第11页，总77页11.c【解 析】【分 析】根据三视图可知，几何体可以由棱长为2的正方体切割而来，即四棱锥。-A B C D,计算各侧面积比较大小得到答案.【详 解】如图所示，将 四 棱 锥 放入棱长为2的正方体中，4、。是对应棱的中点，则四棱锥。一 4B C D满足条件.易知1：SA O D C=X 2X2 =2,S“O BC=&x 2 x 2 =2,(M B的三边分别为2近，V 5.3,故c o s乙4B 0 =至 红 芈 学 竺=逗，2X2V2XV5 10则s i n/A B O =等，故S A。.=|X2 V 2XV 5X =3,0 4。的三边分别为2,V 5,3,满足32 =2 2 +(麻，故S A%。=3*2*遍=遮，故选：C.答案第12页，总7 7页【点睛】本题考查了根据三视图计算侧面积，根据三视图的特点，把几何体镶嵌到正方体、长方体中，是一种常见的方法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12.C【解析】因为四边形4BCD为正方形，且平面P4BE J_平面4BCD,所以PA,4B,AC两两垂直，且P4/BE,所以建立空间直角坐标系(如图所示)，又因为PD=8,CE=6,所以P(0,0,4),C(4,4,0),E(4,0,2),。(0,4,0),B(4,0,0),则尸(44,0,0),屁=(4,-4,2),DF=(4A,-4,0),CE=(0,-4,2),EP=(-4,0,2),设平面DEF的法向量为m=(x,y,z),则由 加,竺=。得代;产酒，取1n=(1,九2 2),平面PCE 的法向量为般=(x,y,z),则由n,延得 一，=?,取n=(1,L2),n-EP=0,-4%+zz=u因为平面DEF 1平面PCE,所以m-n =l+/l+2(24-2)=54-3=0,解得A=|.故选C.点睛：求空间角(异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角)，往往将其转化为直答案第13页，总77页线的方向向量、平面的法向量之间所成的角的问题，再利用空间向量进行求解，但要注意空间角和空间向量所成的关系和区别.13.B【分析】设底面圆的半径为r,OS=。,以3 3所在直线为x轴，以垂直于夕3所在直线为轴,以OS所在直线为Z轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N OA B与M-A B B夹角的余弦值.结合a p即可求得6的取值范围,即可得0的最大值.【详解】设底面圆的半径为r,OS=。,以 所 在 直 线 为X轴，以 垂 直 于 所 在 直 线 为 轴,以OS所在直线为Z轴建立空间直角坐标系,如下图所示：则由 ZAOB=0(0 0设平面NOA的法向量为而=(x，y,zj答案第14页，总77页i_n OA =0c，代入可得th ON=0则(X,y,zj(rcose,rsin。,0)=0(4.仔,0 4=0 xjcos。+yysin。=0化 简 可 得 国+色=03 3,1 口 cos。令 =1,解得力=一 一sine/a所以而=1,一cos(9 2/八sing a)平面。4B的法向量为3=（0,0,1）由图可知，二面角N OA B的平面角a为锐二面角，所以二面角N OA B的平面角a满足2rmncos a=1 cos 0 4 rl+z+-r cos仇-r sin，j=033)化简可得x2r+x2rcos+y2rsin=0*x2r c .八 2az2.x2r cos 0-y2rsm0+-=0、3 3.t_ 1 cos 0 2r令 z =,解得 y2=：-,z2=sm u a“，v L-I-co sJ 2r所以及二 l,；-,I sine/a平面ABB的法向量为月=（0,0,1）由图可知，二面角M-A 8-3的平面角/为锐二面角，所以二面角-3的平面角答案第15页，总77页户满足由二面角的范围可知o w a乃W万结合余弦函数的图像与性质可知cosacos6_2ra即 I 7L cos2 0 4广J1+z4-z-V sin*a化简可得cos64,，且0。（万227r所以o NDEC=90，z.DEL EC,答案第16页，总77页：A C nE C =C，OE-L平面4 E C，.A=平面4。，。，4后，而 幺。=4 5 ,，A错误；对于 B,取。E、0 c 中点 G、F,连接G M、G N、F K、FB,则 MG A E，MG.平 面 ABE,&E u 平面 ABE,;.MG 平面 4 8 E,v BE II CD,BE=-C D,则四边形BEOC为梯形，且BE、C 0为底，2又G、N分别为O E、BC的中效，：.GN/BE,.GN(Z 平面 4 8 E,BEu 平面 ABE,；.GN 平面 A 8E,M G cG N =G,；.平面 MGN/平面 4 B E，.知/7匚平面用6%,.政7平面4 8石，同理可得8K 平面A O E，B选项错误;对于C,连接M E、EN,当 时，MN2=DN2-DM2=CD2+CN2-DM2=CD2=4，答案第17页，总77页而ME E N I,；.M E2+E N、M N 2,；.M N与M E不垂直，即M N不垂直平面4。石，C选项错误;对于D,.A在以。E为直径球面上，球心为G,.A的轨迹为第4 b外 接 圆（4与尸不重合，R为C O的中点），连接 E C,取 EC 中点 T,连接 TK、T B,则 7X A E,B T/DE,且NA7B+幺ED=180,/.A K T B=180-EE=180-45=135,在AKTB 中，K T -AtE =,B T =-C E =，2 2 2 2由余弦定理得 B K2=B T2+K T2-2 B T T co sl3 5=-,.4 2当直线B K与平面B C D E所成角取得最大值时，点K到平面B C D E的距离最大,由于点K为A。的中点，此时，点A到平面6cO E的距离最大，答案第18页，总77页由于A E=I，当AE与平面B C D E所成角最大时，点4到平面B C O E的距离最大.所以，直线A E、8K与平面BCOE所成角能同时取到最大值.故选：D.【点睛】本题考查空间翻折几何体的应用，考查线线、线面位置关系的判断，考查线面角的求解，考查推理能力、空间想象能力以及运算求解能力，属于难题.15.A【分析】由题意知：当0,8,A C四点共面时，顶点A与点。的距离最大，设此平面为夕，由面面垂直判定定理结合证出过。作。于E,连结C E,根据面面垂直与线面垂直的性质证出D H H a,从而点D到平面a的距离等于点到平面a的距离.设正四面体ABC。的棱长为1,根据8C与平面a所成的角为45和正四面体的性质算出到平面a的距离，从而在放ACDE中，利用三角函数线的定义算出sin Z D C E =#+3叵,即得到直线C D与平面a所成角的正弦值.12【详解】四边形08AC中，顶点A与点。的距离最大，；.O,B,A,C四点共面，设此平面为，.B O a,B O u B，B 工 a.如图，过点。作J_平面ABC,垂 足 为 连 接 C,设正四面体ABC。的棱长为1,则在中，C H =旦B C =旦 ；B O L a ,直 线 与 平 面a所成的角为45。,3 3NBCO=45,结合ZHCB=3Q得ZWCO=75,因此H到平面的距离答案第19页，总77页4=Csin75=sin（45+30）=3 x 1 x +x 3 V，3（2 2 2 2 j百 76+72 y/6+3y/2=-x-=-3 4 12过点。作于E,连接C E,则NOCE就是直线CD与平面。所成的角，-D H /3,a 工/3 RD H a a,:.D H I 隆,由此可得点。到平面二的距离等于点H到平面a的距离，即。七=+3拒,.在RfACDE中，sinZ D C E =+,12C D 12即直线C D与平面a所成角的正弦值等于#+3立.故选A.12【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理的应用，直线与平面所成角的定义与求法等知识.试题的难点在于发现“当顶点A的运动轨迹是绕着B C在旋转，且A O 1 B C,所以当点A与点。的距离最大时，。、8、A、C四点共面”，对逻辑推理和空间想象能力要求较高.16.B【分析】建立以点。为坐标原点，D4、D C、所在直线分别为无轴、）轴、z轴的空间直角坐标系，设点尸（加,3,），利用转化 为 衣.西 =0,得出=加，利用空间向量法求出sin6的表达式，并将=3加代入sin。的表达式，利用二次函数的性质求出4sin 3的最大值，再由同角三角函数的基本关系求出tan 0的最大值.【详解】如下图所示，以点。为坐标原点，ZM、D C、所在直线分别为轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系。肛Z,则 A（3,0,0）、5（3,3,0）、R（0,0,4）,设点，则0工机3,0 H 4,AP=（根一3,3,），B D1=（-3,-3,4）,vA P L B D,则Q.西=3（m 3）+3x（3）+4 =3根+4 =0,得相，答案第20页，总77页平 面8CG4的一个法向量为。=(o,i,o),所以,3+9 +/3l m2-6/n+18V 1 6当=一:=云时，s i n。取最大值，此 时，ta n 6也取最大值,乙X(s i n。)且_ 3 _ 5 _)2 5 f 4 8?r 4 8 1 O 取，此 时，c o s(9 =V l-s i n26?=f=,J x 6 x +1 8 A/34V 1 6 1 2 5 J 2 5因此，(ta n 8)m,x=Y=x g a =3,/m a x 用 3 3故 选B.【点 睛】本题考查立体几何的动点问题，考查直线与平面所成角的最大值的求法，对于这类问题，一般是建立空间坐标系，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的问题求解，考查运算求解能力，属于难题.17.A【分 析】取 上 靠 近 片 的 四等分点为E,由题易知CQ A 4 ,再利用空间向量证得A B1 D E,即 当F在OE上 时，44，平 面。|。,然 后 求 得 答 案.答案第21页，总77页【详解】取8 4上靠近月 的四等分点为E,连接D E，当点F在O E上时，A B 1.平面Q D F,证明如下：因为直三棱柱ABC一人耳G中，侧棱长为2,AC=B C =l,NAC8=90。，点。是A 4的中点，所以平面例4 8,所以以G为坐标原点，G A，G 4 G 6分别为x轴，y轴，z轴建系；所以 A(l,0,2),4 (0,1,0),吗 S，0)，m i,|)即 鬲=(一 1,1,一 2),既=(-)此 时 福 诙=0,即A 41.O E所以平面C|D E,故当F在O E上时，做，平面。|。尸，很明显，当E、F重合时，线 段 最 长，此时V呼故选A【点睛】本题考查了立体几何的综合知识，属于探索性题型，熟悉空间向量与立体几何以及立体几何的定理是解题的关键，属于难题.18.A【分析】设出三棱锥A BCD的边长，设E是C O的中点，求得cosNBAE和s in/B A E,由此判JT TI断 出:N B A E _ECF=2%_呐=故正确；对于,V.G=VE_BiFG=1-a(a-x)-a,(OM a),设片到平面EGFH 的距离为d,可得吃EQ J 2+(1-x)2-1 a2,d=_ g_所以 应3 a+|(其中，=-,当x=0即f=a时,d取 得 最 大 值 瓜，故正确.3故选:A.【点睛】本题考查空间立体几何中的面面位置关系以及空间几何体的体积公式，题目将立体几何问题和函数进行结合，综合性较强，对学生分析和解题能力要求较高.21.D【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，在平面ABC。上，由MD=2MA计算M的轨迹方程，可知M的轨迹是以(0，1,0)为圆心，以2为半径的圆，在正方形ABC。中的部分；根据平行找直线P例 与4。所成角的平面角，根据M的轨迹判定临界值，从而确定直线PM与AD所成角的余弦值的取值范围.【详解】由题意，以A为坐标原点，分别以A3,AD,AP为 刘 乃z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则有4(0,0,0),5(3,0,0),0(0 3 0),尸(0,0,3),答案第26页，总77页IP设 M(x,y,O),由 A W=2M 4,则列方程有+(,_ 3,=2 +,2化简得f+（y +l）2=4