同济大学第六版高等数学课后答案详解全集 .pdf

同济六版高等数学课后答案全集第一章习题1-11.设 A=(-oo,-5)u(5,+oo),B=-W,3),写出 AuB,AB 及 A(AB)的表达式.解 AuB=(8,3)u(5,+oo),AnB=-10,-5),AB=(-oo,-10)u(5,+oo),AUB)=-10,-5).2.设A、8是任意两个集合，证明对偶律:俗小台尸乂。.证明因为xe(AcB)Cox史AcB。x A 或 x史8。或 x eBcx eAc(因为 XEA 或 xeB)y/A)或 y&J(B)所以(2)因为y4 A cB)n m x eA cB,使./(x)=y=(因为 xeA 且 xeB)ye(A)且 y 4 B)n yeXA)nAB),所以 九4C3)U*A)M 8).4.设映射/:XTT,若存在一个映射g:A X,使g o/=/x，/。8=1丫，其中/x、/y分别是X、y上的恒等映射，即对于每一个x e X,有/xx=x；对于每一个好匕有lYy y.证明:/是双射，且g是7的逆映射:g=L证明因为对于任意的y e Y,有4 g(j)eX,且火x)=4g(j)=/y产y,即丫中任意元素都是X中某元素的像，所以/为X到丫的满射.又因为对于任意的两令2,必有/U1)以应)，否则若Ti)Mx2)=g/(X)=g/U2)=X=%2因此/既是单射，又是满射，即/是双射.对于映射g：y f X,因为对每个y e匕 有g(y)=xe X,且满足人尤)4幅0)=4尸%按逆映射的定义,g是7的逆映射.5 .设映射证明：(1)G A)z A;(2)当/是单射时，有尸(/(A)=A.证 明(1)因为 xe A =X x)=ye/A)=/6)=底尸(7(A),所以 尸(2)由知尸另一方面，对于任意的xe尸(M)n存在y A),使尸O)=E(x)=y.因为且/是单射，所以x e A.这就证明了尸(M)3.因 此/(M)=A .6 .求下列函数的自然定义域：(1)产 j 3 x+2;解 由3 x+2X)得了-率 函数的定义域为-亨+8).解 由1-fM得*1.函 数 的 定 义 域 为-l)u(T,1)。(1,+8).(3)；=-7 1-X2;X解 由RO且l-x2 0得函数的定义域=-1,0)5 0,I L 尸 卷；解 由4-炉0得 x =2,4 .(8)y=j 3-x+a r c t a J;x解 由3-x0且x M得函数的定义域0=(-8,0)0(0,3).(9)=ln(x+l);解 由x+l0得函数的定义域色(-1,+8).(1 0)y=e；解 由 冲0得函数的定义域=(-oo,0)5。,+0 ).7.下列各题中，函数/U)和g(x)是否相同？为什么？(l)*x)=lg x2,g(x)=21 g x;(2)r)=x,g(x)=V ;(3)/(X)=A/X4J V3,g(x)=j J x l.(4)/(x)=l,(x)=s e c -t a n2x,解(1)不同.因为定义域不同.(2)不同.因为对应法则不同,x 0时,g(x)=-x.(3)相同.因为定义域、对应法则均相相同.(4)不同.因为定义域不同.|s inx|0,1-%20.因为当汨 2时，力 7 2 X|1-X2(1-%1 )(1-2)，所以函数)，=声 在 区 间(-8,1)内是单调增加的.(2)对于任意的看,无26(0,+8),当X 1 X 2时,有%一乃=（百+1%）-（为+1 g）=（X-巧）+1 n-0,一 巧所以函数户x+ln x在区间。+8)内是单调增加的.1 0 .设寅x)为定义在(-/,/)内的奇函数，若/U)在(0,/)内单调增加，证明犬x)在(-1,0)内也单调增加.证明 对于0)且 X 1 一%2.因为/U)在(0,/)内单调增加且为奇函数，所以这就证明了对于/孙及(-/,0),有段|)g(T)=T U)-g(x)勺 8。)=蛆)，所以F(x)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.如果/U)是偶函数，而g(x)是奇函数，则F(-x)刁(-x g(-x)Mx)-g(x)=/x ga)=b(x)，所以F(x)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.1 2.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？(l)y=x2(l-/);(2)y=3?-?;(3)y=1-x2.1+，(4)尸(x-l)(x+l);(5)尸 sin x-co s x+1;解 因为4 X)=(2 1(九)2 =(1 _九2)刁沁，所以火X)是偶函数.由於x)=3(-4-(-4=3/+/可见穴X)既非奇函数又非偶函数.(3)因为/(x)=1 (x)2l+(r)2=芸=8)，所以加是偶函数(4)因为 X-x)=(-x)(-x-l X x+1 )=x(x+1 )(x 1 )=dx),所以 7U)是奇函数.由火-x)=sin(-x)-co s(-x)+l=-sin x-co s x+1可见於)既非奇函数又非偶函数.(6)因为/(-幻=上 苧3=*竺=/3),所以犬尤)是偶函数.1 3 .下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：产co s(x-2);解是周期函数，周期为/=2兀(2)=co s 4 x;解 是周期函数，周期为/=半(3)产 1+sin 7i x;解是周期函数，周期为/=2.(4)尸x co s x;解不是周期函数.(5)y=sin2x.解是周期函数，周期为/=%.1 4 .求下列函数的反函数：(1)丫=黄用错误!未指定书签。错误!未指定书签。；解 由y=l/x+l得x=y 3 1,所以y=l fx+i的反函数为y=x3-l.(2)y=?错误!未指定书签。；解 由 产 与 得 后?，所以 尸?的 反 函 数为产与.1+x 1+y 1+x 1+x(3)y=t (ad b 分 0)；c x+d解 由 产 县 里 得 后 卫 业，所以尸丝邛的反函数为尸 也2c x+d c y-a c x+d ex-a(4)y=2 sin 3 x;解 由尸2 sin 3 x得x=gar csin I，所以产2 sin 3 x的反函数为尸gar csi管(5)尸 l+l n(x+2);解 由尸l+l n(x+2)得 后 广 所以 l+l n(x+2)的反函数为外 产-2.(46)y=-2*-.2 +1解 由y=a 得 =1。82舌，所以 y=号 的 反 函 数 为y=l o g2含.1 5 .设函数 r)在数集X上有定义，试证：函数./U)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.证明先证必要性.设函数./U)在X上有界，则存在正数M,使I/U)区M,即这就证明了1x)在X上有下界-M和上界M再证充分性.设函数危)在X上有下界K和上界K2,即 !)K2.取M=m ax 因|,|闷,则-M K j x)K2=(),1 ,求下列各函数的定义域：於子解 由0白2 1得卜区,所 以 函 数 的 定 义 域 为 J 1,“7(sin x);解 由0 sin x 0);解 由(Kx+aMl得-aMEl-a,所以函数兀r+a)的定义域为-a,1-。.(4)/(x+a)忧 尤-a)(a0).解 由0幺+“1且(Kx-a4 1得：当0；时，无解.因此当。义时函数的定义域为 a,1-0,当时函数无意义.1 团作出这两个函数的图形.1解 fg(x)=0-1|ev|1-1x 0g(x)=e x)=e(,e-I x Q ekbU 即 g/(x)=1k l i kK-ILAXXX19.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角打40。(图1-37).当过水断面A B C。的 面 积 为 定 值S o时，求湿周函数关系式，并指明其定义域.图 1-37解 A B=D C=-,又 从 1/(B C+(B C+2co t40o-h)=Sn 得s i n 40 2B C=-co t40-/z,所以2-co s 40s i n 40自变量h的取值范围应由不等式组/?0,-co t 40-h0确定，定义域为0 内)出40.20.收敛音机每台售价为9 0 元，成本为6 0 元.厂方为鼓励销售商大量采购,决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元.(1)将每台的实际售价p表示为订购量x的函数；(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数；(3)某一商行订购了 1000台，厂方可获利润多少？解(1)当(KE 100 时，片9 0.令 0.01(的 一 100)=9 0-75,得 x o=16O O.因此当 众 1600 时,p=75.当 100 r 1600 时，p=9 0-(x-l 00)x 0.01=9 1-0.0U.综合上述结果得到9 0 0 x 100“=9 1-O.O l x 100 x l 6 003Qx 0 x 100(2)P=(-60)x=43 Lr-0.0Lx2 10(k x 1600(3)P=31x l 000-0.01 x 10002=21000(元).习题1-21.观察一般项如下的数列 x,J的变化趋势，写出它们的极限:(1)天=/；解当 8 时，x=-0,lim=0.2 2与=(一1)工n解 当-00时，x.=(T)，J-0,lim(-1)”工=0.n nco n再7 =2+；n解 当-00时，4=2+1-2,lim(2+)=2.解 当-00时，x=-z|=l 7-0,n+n+noort+1(5)x产 解当-8 时,没 有 极 限.CO S等2.设数列 X 的一般项与=-问Iimxa=?求出N,使当 N 时,x“与其n T8极限之差的绝对值小于正数,当=0.001时，求出数N.解 limx=0./700|co 等 I|x-0h-0,要使0|,只要上 工.取n n n sN=8，则V N,有 1ML0|oo分析 要使四 0=3 4.YT YT 个证 明 因 为VGO T N=4,当心N时，有上一0|,所 以lim=o.、rr -必 拉，(2)1加 科 二 条分 析 要 使I罢-和柘J :，只须4 N时，有I誓!一 永 ,所 以lim誓4E 271+1 2 2714-1 2(3)lim 近运=1;一 8 分 析 要 使I近三_1|=而/-=:尤N时，有也2+。2_“co 5 个分 析 要 使|0.99 g-iu W y v e,只须即“i+igL证明 因为V QON=1+Ig，当V N时，有|0.99 9-1|00 8 4 未必有极限.证 明 因 为lim”=a,所以WQO,H/VeN,当N时，有|“-水 ,从 而7100un-aun-aCO8存在.5.设数列&有界，又limy”=0,证明：limx0%=0.8 00证明因为数列 斯 有界，所以存在M,使V e Z,有|xMM.又limy”=0,所以Wfi0,mNeN,当N时，有从而当N时，有tlTS M|/%-0 日/为 Myna(%-*8),伙-8),证明：龙”f a(-8).证明 因为 X2b|-a(Z-8),X 2 A f 8),所以V i0,3K,当 2&-12KL1 时,有|尬&-1一a；三七，当262K2时，旬知 水.WN=max2K|l,2K2,只要N,就有|无“一。|a(”oo).习 题1-31.根据函数极限的定义证明：(1)lim(3x-l)=8;x-3分析因为|(3X-1)-8H3X-9H3|J C-3|,所以要使|(3户1)-8|,只须|x-3|0,33=1,当0口 一3初寸，有|(3X-1)8|2分析因为|(5x+2)12|=|5x 10|=5|x 2|,所以要使|(5x+2)-12|,只须|x-2 K?.证明 因为V0,m3=(,当0|x 2|加 寸，有|(5X+2)12|-2 x+2=-4；分析因为I宾-4)卜|邑+2+-(-2)|,所以要使|得-(-4)|,只须|%-(-2)|.证明因为V0*=,当0|x-(-2)|一2 1+2(4)limv.l 2x+l-2=2.分析因为|-2|=|1-2X-2|=2|X-(-1)|,所以要使|当富-2!OS=:,当()|x(义)|81+炉2x312 lim用=0.1+8 y/X分析因为I s i ir不-0卜 率1 yjx所以要使|乎-0卜,只须-4=OX=e，当xX时，有空-。所 以lim年=0.田 yx3.当x-2时，尸/f 4.问席于多少，使当值 2|附,|yT 0,故可设反一2|1,即lx3.要使|?-4|=|x+2|x-2|5|x-2|0.001,只要|x 2|詈=0.()()02.取8 0.0002,则当 0|x 2|附，就有*4|X 时,Al|0T应,使当0|A-0|时有a)-0|=|园-0|06.求/(x)=3,0(x)=区 当 X-0 时的左、右极限，并说明它们在X f0 时的极X X限是否存在.证 明 因为lim f(x)=lim =lim 1=1,x 0-x 0-X x 0-lim f(x)=lim =lim 1=1,x0+x0+X x+lim/(x)=lim f(x),Xf0 -Xfo +所以极限lim/(x)存在.X f 0因为lim 奴工)=lim=lim =-l,x 0-x 0-X x 0-Xlim 奴x)=lim=lim =1,x-0+x-0+x x-0+xlim 夕(x)w lim(p(x),x-o-1 0+所以极限lim(x)不存在.x-07.证明：若 x-+oo及 xf-oo时，函数本)的极限都存在且都等于A,则lim f(x)=A,证明 因为 l i m /(x)=A,l i m f x)-A,所以V 0,X -00 X-+oom xo,使当x X|时，有次x)用 ；m X20,使当 xX2 时，有欣X)A|X时,有阿一A|008.根据极限的定义证明：函数/U)当x f x o时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明 先证明必要性.设/(x)f 4(x f x o),则V 0,3 5 0,使 当0|x-x()l S时,有阿一川 .因此当的-%:的和x0 x x0+6时都有阿 A|0,使当沏-3 1 a 的时，有I/(X)-A 0,使当项令。()+历时，有|危)-用 .取代m i n b i,，则当O|x-x o|b时，有沏-在4/及即%()+，从而有|於)-A|4 尤 一 x。).9.试给出X-8时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明.解X f8时函数极限的局部有界性的定理：如果犬尤)当尤f8时的极限存在，则存在 X 0 及 M 0,使当 W X 吐 f(x)M.证 明 设/U)-A(X-8),则对于=1XO,当|x|X时，有|/U)A|=L 所以 AX)I=|/()-A+A|1/(X)-A|+|A|0及M 0,使当|x|X时,f x)3时为无穷小；(2)y=%s i n 当X 0时为无穷小.x证 明(1)当 X H3 时-3|.因为V Q O,m%,当 0|九 一3|附，有I M=|巾-3|6=,所以当x-3时y=会 为 无 穷 小.x+3(2)当.0 时|)，H R|s i ng x O|.因为VQ0 T弹,当 0|x 0|附，有X|y H x|s i nNx-0|1。4?证明分析|y|=|=|2+4 271r2,要 使 只 须5 2/,即X 1|X|x证明 因为V M0,箝十使当0 M,取 M=l()4,则3=.当OV x OK 时,|)，|1。4.1(T4-2 1 5+24 .求下列极限并说明理由：,r x%1-x2匕解(1)因为2=2+!，而当Xf8 时,是无穷小，所以lim2=2.X X X 1 8 X因为 二 上=l+x(#l),而当X-0时X为无穷小，所以l i m?二=1.l-x x f O1-X5.根据函数极限或无穷大定义，填写下表:_式x)-4y(x)-oo火 X)-00V0,m岳0,使当0|工 一 劭|加 寸，有恒的）-用%0+了一沏一X00X/0 T X 0,使当|x|X 时，有恒尢一+8X-CO解危)-A段）一 00段)f+0 0X%)-00X-XoWQO T苏0,使当 0|x-&|初寸，有恒7(x)-A|&V M 0,三苏0,使当 0比-即|M.V M 0,三苏0,使当 0|x-xo|Af.VM0,三苏0,使当 0,-刈 附，有恒 fi x）%0+岳0,使当 0 劭 加 寸，有恒共乃一 A|0,m&0,使当 0M.VM 0T&0,使当 0Afo0&0,使当 ox-xoai寸，有恒X X fTVGO苏0,使当 0ao-x5D寸，有恒|#X)-A|0,3 0,使当 OM.V M0&0,使当 0r（）-x 0,三方0,使当 0 x（）-x洲 寸，有恒於）0,mX0,使当|x|X 时，有恒 fx)-A 0,使当|x|X时，有恒V o,mxo,使当国 x 时，有恒益）M/0X 0,使当|x|X时，有恒危）-M.无f+8/Q 0 7 X 0,使当 xX时，有恒阿-A|0,使当xX时，有恒|/U)IM.V 0X 0,使当 xX时，有恒段）M.VQ0T X 0,使当 xX时，有恒心）-M.X-0 0X/Q0T X 0,使当尤-X 时，有恒 f(x)-A o,mxo,使当尤0,3X 0,使当x0X 0,使当x0,在（-00,+00）内总能找到这样的龙，使得仅（x）|M.例如丁（2须）=2左 乃 cos2%g2Z4（攵=0,1,2,），当k充分大时，就有|y（2Z如 M.当 X-+8时，函数产XCOSX不是无穷大.这是因为VM 0,找不到这样一个时刻N,使对一切大于N 的 x,都有|y（x）|M.例如负2左 乃+1）=（万+）co s（2左 乃+会）=0（6 0,1,2,）,对任何大的N,当攵充分大时，总有x=2 b r+5 N,但 伏 光）|=0 0,在（0,1 中总可以找到点；Q,使y（4）M.例如当Xk=!（U2,）2k兀2时,有取）=2h+,当女充分大时,y（x M.当x-0+时，函数y=s i n!不是无穷大.这是因为x xVM0,对所有的8 0,总可以找到这样的点现 使0 Q a但yg）M.例如可取4（%=0,1,2,），2 K7T当 k 充分大时,Xk 8,但 y（Xk）=2 k 7i s i n2 k 70 M.习题1-51.计算下列极限:蚂普;解 图 曰=登=夕*分解幼葛=嚼春=0.x 2x+l理1F-解 野 咛 竽=曾 清 标=四 昌=殳0-!嗝4/-2/+x3X2+2X解瓷4/0 h1介解（工+产一炉h=h mx2+2lvc+h2-x220 h=lim(2x+/?)=2x.(6)lim(2-1 7)；xoo x x解 lim(2-l+-)=2-lim-+lim 4 r=2.XT0 X x2 xoc X x-oc xZ(7)lim 丁 L ；2x-x-l解 lim 2二 二XT8 2xzx1i Ll i m-=1X-00 o 1 1 2Z-kX X1(8)limd+xx4-3 x2-l2解lim J：尸 0（分子次数低于分母次数,极限为零）.8%_3长一1或.%4：淳_=XliTm813i_ 2 _ Z JX2 X4=0.（9）期 营 6x+8,一 5x+4 Hm x：-6 x+8=加.(七 四 匚 4=而 乂=七4 X2-5X+4 x j (X-1)(X-4)X-4 X-1 4-1 3(10)lim(l+g(2 3);X X解 lim(l+-)(2-4z-)=lim(l+-)-lim(2-4r)=lx2=2.XT9 X XZ x-w X xoo x1(11)lim(l+)+J)；-8 2 4 2+2+3H-F(n 1)(12)一h8m-5-；几 一解 iml出 土 产 二 L lim 00 几 2 n x)(13)lim妇咽兽叶；解 Hm(”1)。*(”3)4 (分子与分母的次数相同，极限为 T8 5,5最高次项系数之比).或 u.1h.m-(i+1)(+2)(+3)1 1.八 I2、/i 3 I八=J-=7 lim(l+-)(l+-)(l+-)=T.8 5户 5 n n n 5（叫 呼 一&）;解 则（六一金）=四号施r-砥尚翟号=-1聊借j2.计算下列极限：嘱等解 因 为 则 恐 啥 肛 所 以 四 艺 翁=8(2)limX-0 0X22%+1v2一解 lim=8(因为分子次数高于分母次数).XT8 2x4-1(3)lim(2x3-x+l).X 00解 lim(2x3-x+1)=00(因为分子次数高于分母次数).X 83.计算下列极限：(1)limx2 sin;x解 limx2sin1=0(当x-0 时 是 无 穷 小，而sin是有界变量).xf0 X X(2)lim 胆 胆.X解 lim a r c ta a v=limarctanr=O(S x-ooH,是无穷小，X-0 0 X Xxx X X而 arctan x 是有界变量).4.证明本节定理3 中的(2).习题1-51.计算下列极限：d+5(l)hm 丁；x-2 X-3解 I叫 笆=蕤=一 9.x 2 x 3 2-3幅解 x粤套=嚼3=X-2x+1 四 不 厂解皆含=lim=9=0.X-(x l)(x+l)X-ix+l 2 43 一 2/+x3x2+2x解lim4 -2 x2+A-=lim4 A-2-2 A +l=lx-0 3X2+2X 1 0 3x+2 2闻(x+h)2-x2h解=101彳2+2以+力2*2。-0 h=Iim(2x+m=2x.(6)lim(2,+g);x x解 lim(2-4-y)=2 lim+lim-4r=2.x 00 X XT X-CQ X X1v2_ i lim-4 4；a s 2xz-x-lj_L解 lim J 二 二=lim 产 丁=.X-00 2 元 一x 17-)1 1 2乙-T-(8)limX-OCN+xx4-3x2-l2解船卷右=。（分子次数低于分母次数，极限为零）.或X：2.lim y=limx-3 x 2 _ l X 0 0|2哺芸普解 i m 4 =l i m(k 2)(x-?=H m=1 x-4-5x4-4 x-4(x-l)(x-4)Xf 4 x-l 4-1 3(10)lim(l+g(2 4);x-00 X X解 lim(l+-)(2-4-)=lim(l+-)-lim(2-4r)=lx2=2.X f 8 X XZ X x o o xZ(11)lim(l+)+J)；一g 2 4 2解 l i m(l+4-+-+)=l i m 2-=2.-o 2 4 2 T8八。、.+2 +3 d-F(/2 1)(1 2)l i m-5-；一 8 几4(n-V)n解 l i m l+2+3+-+(n-l)=hmlim 一 8 1 2 8 2 2 2八 二、.(+l)(+2)(+3)(1 3)l i m -=1 -1;-8 5 n解 一(匕1)。：+?(叶3)R(分子与分母的次数相同，极限为“T 8 5 5最高次项系数之比).u.(+1)(+2)(+3)1 ./I、八 3、I或 l i m-i 八 广 J c l i m(l+-)(l+-)(l+-)=7 8 5 )5 8 n n n 5(叫 呼45)；解二-l i m d)g2),X l(l-x)(l+x+x2)_ .,x+2 xf+X+X2=-l.2 .计算下列极限:啊I哮解 因 为I脸 离 啥 叫 所 以 则 霍 萨8.r2*工解l i mi=o oX T 8 2 x 4-1（因为分子次数高于分母次数）.(3)l i m(2 x3-x+l).X 00解l i m（2 x 3 x+1）=0 0（因为分子次数高于分母次数）.3 .计算下列极限：(1)l i m x2 s i n ;x-o x解l i m x 2 s i n L=0(当x-0时 是 无 穷 小，而s i n工是有界变量).z O X X(2)l i m 胆 胆.X-8 X解 l i m a r ct a n x=H m L a r ct a n r=O(当 x-o o时,工是无穷小,x f 8 x x-x x而a r ct a n x是有界变量).4 .证明本节定理3中的(2).习 题1-71 .当XfO时,2 x-d与产_ 九3相比，哪一个是高阶无穷小？解 因为l i m =l i m婪=0,2 x-x2 i o 2-x所以当xf0时,?-x3是高阶无穷小，即X2-X3O(2X-X2).2 .当x-l时，无穷小1-尤和(1)1-V,(2)(1 -9)是否同阶？是否等价？解(1)因为 l i m j =l i m Q-l+x+/)=l i m(l+x+x 2)=3,x-l 1-x x-l l-x X T l所以当X f 1时，l-x和1-犬3是同阶的无穷小，但不是等价无穷小.、；(1-工2)(2)因为 l i m j-=-l i m(l+x)=l,x 1 1-X 2工 所以当X f 1时，1-X和(1-/)是同阶的无穷小，而且是等价无穷小.3 .证明：当x-0时，有：(1)a r ct a n x-x;x2(2)s ec x 1 .证明 因为l i m 逛”=l i m=1 (提示：令尸a r ct a n x,则当x-0时,i o x y f o t a n y0),所以当 x 0 时，arctanxx.2sin2因为 lim S e：xT=21im l；co s x =Hm 二3 1 2 22cosx.7 g2 22sin野 学 了=1,2v2所以当x-0时，s ear-1 亍.4.利用等价无穷小的性质，求下列极限:(1)15噜；X 0 2x 蚂 黑 为 正 整 数);(3)l i mta n s in x.入-乂)sinJx(4)limx-0sin x-tan x(毛l+V 1)(Jl+sin x 1)解 独 嗤H蟾V船”则A1000n=mnm.n0),5/l+s iir-l=1=s i ir-x(x 0),Vl+s i a +1所以j._ s i n x-t a n x_1。(Vl+x2-l)(Vl+s i a-l)5.证明无穷小的等价关系具有下列性质：(1)a (自反性)；(2)若。以则e对称性)；(3)若。以上%则&乂传递性).证 明(l)l i m 2=l,所以a a;a(2)若a 。,则 l i m 3=1,从而 l i m 2=l.因此/7a;pa(3)若a ,%l i m=l i m-.因此a/Y Y P习题1 81.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：小0%1 2-x l xl-X-1-X 1+X 1+所以l i m f(x)=l,从而函数/(x)在x=l处是连续的.x-综上所述，函数Z U)在 0,2上是连续函数.e x-U MI/叫1曲1 .解只需考察函数在A-1和4 1处的连续性.在A-1处，因为人-1)=-1,并且l i m /(%)=l i m l=U/(-l),X1 X-1lim f(x)=lim x=-l=/(-I),x f-l+x+l+所以函数在4-1 处间断，但右连续.在4 1处，因为八1)=1,并且lim f(x)=lim lim f(x)=lim 1=1x-l+x-l+所以函数在4 1 处连续.综合上述讨论，函数在(-00,-1)和(-1,+8)内连续，在4-1 处间断，但右连续.2.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点属于哪一类，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使它连续：v-2-l-,x=l,x=2;x-3x-2解 尸x2-1 _(x+W-1)X2-3X+2=(X-2)(X-1).因为函数在x=2和4 1 处无定义，所以4 2 和x=是函数的间断点.因 为 蚂 尸 妈 急 r%所以A 2 是函数的第二类间断点;因为lim y=lim 2=-2,所以4 1是函数的第一类间断点，并且是可去间断X T1 X-l(X-2)点.在x=l处，令-2,则函数在处成为连续的.X(2)y=tanx,x=k,x=k兀+%(左=0,1,2,);解函数在点4 的 依 Z)和x=br+段(hZ)处无定义，因而这些点都是函数的间断点.因 lim-=o o(0),故m 痴(后0)是第二类间断点;x冗tanx因为 lim)-=l,lim-=0(Z eZ),所以 x=0 和 x=br+二伏e Z)是第一%-o tanx x-及 4+匹 tanx 22类间断点且是可去间断点.令儿=o=l,则函数在m 0 处成为连续的；令=上4 十三时,)=0,则函数在=%4十三处成为连续的.(3)y=cos2,x=0;x解因为函数JMCOS2,在4。处无定义，所以4 0 是函数产CO S2上的间断点.X X又因为limcos2不存在，所以4 0 是函数的第二类间断点.x-0 X 尸x 13-xX9X 1.解因为 lim f(x)=lim(x-l)=0 lim/(x)=lim(3-x)=2,所以 m l 是函数的x r x r x i+x-r第一类不可去间断点.3.讨论函数/(x)=lim；笺 x 的连续性，若有间断点，判别其类型._丫 2“卜 田 1解/U)=lim -,nx=0|x|=l.+钟 x国-r x-r x+i+%-rx=l 为函数的第一类不可去间断点.在分段点 x=l 处，因为 lim/(x)=lim x=l,lim/(x)=lim(-x)=-l,所以 m lx-i-x-r x-r x-i+为函数的第一类不可去间断点.4.证明：若函数7U)在点司连续且7Uo)M,则存在X。的某一邻域U(xo),当xet/(xo)时，於)M.证明不妨设於()0.因为*x)在x()连续，所以lim/(x)=/(Xo)O,由极限的局1 厢部保号性定理，存在的的某一去心邻域加珀，使当尤e 灰殉)时火x)0,从而当xwU(W)时,段)0.这就是说，则存在xo的某一邻域U(xo),当xeU(xo)时5.试分别举出具有以下性质的函数八x)的例子：(1)A-0,1,2,n,工，是人)的所有间断点，且它们都是无穷间2n断点；解 函数/(x)=csc(;zr)+csc三在点x=0,1,2,士，、，一处是间断的x2n且这些点是函数的无穷间断点.(2)/U)在R上处处不连续，但|/(x)|在R上处处连续;解 函 数/(x)=H :需 在R上处处不连续，但仪功=1在R上处处连续.(3)*x)在R上处处有定义，但仅在一点连续.解 函 数/(x)=_；:嘉 在R上处处有定义，它只在40处连续.习题1-91.求函数/(x)：二 二；一3 的连续区间,并求极限四/，、1工以。)及蚂/(x).解/(%)=/+?/,函数在(_8,+8)内除点 x=2 和 x=-3x +x 6(x+3)(x-2)外是连续的，所以函数凡r)的连续区间为(-8,-3)、(-3,2)、(2,+00).在函数的连续点4。处，l im/(x)=/(0)=.%-o 2在函数的间断点m 2和4-3处，l im/(x)=l im(X+3)(：T)(：+D=8 ,l im/(%)=l imx 2 x 2(X+3)(X 2)x-3 A 3 x2 52 .设函数 r)与g(x)在点沏连续，证明函数 x)=max 伏x),g(x),欢x)=min/x),g(x)在点项也连续.证 明 已知 l im/(x)=/(殉)，l img(x)=g(与).x-x0 X X0可以验证奴 X)=3 (x)+g(x)+|/(x)-g(x)|,(%)=J/(x)+g(x)-|/(x)-g(x)l .因此 奴与)=3(与)+gQ b)+l/(与)-g(%)1,(与)=4(凤)+g(与)-1/(闻)-g(尾)11.因为1 i 喇力=1 i n 4 /(x)+g(x)+|/(x)-g(x)l X-XQ Z=J l im f(x)+l im g(x)+|l im f(x)-l im g(x)|L x x0 xAQ x-湎 xAQ=g/(X o)+g(M)+l/(X o)-g(X o)l =*0)，所以奴x)在点沏也连续.同理可证明以X)在点沏也连续.3.求下列极限：(1)l imVx2-2 x+5;x-0 l im(s in 2 x)3;r(3)l im l n(2 cos 2 x);XT号6(4)阿x-0 X l im返 壬 五；Xfl X-(6)l im加-sina.X a X a(7)l im(Vx2+x-5/x2-x).X-+00解(1)因为函数/(%)=五 茁 是 初 等 函 数，五X)在点x=0有定义，所以l im 值 一2%+5 =/(0)=J()2 2 Q+5 =层.x-0(2)因为函数用O=(s in 2 x)3是初等函数,7U)在点尤=?有定义，所以1 i 我 s i 词3=/中=($i2 i-)3=l.A-4因为函数用=l n(2 cs加是初等函数，阿 在 点x琮有定义,所以liml n%c o2x)=/伶)=1 n2Jc o 2)=0.屏手M啜黯了=zli0mx(Jx7+x=l+l)=liml=1-1 0 Jx+1+1 V o+l+l12 l i mV5.x-4-V7 而(15，-4 一封)(仔-4+五)x-1 x f (x-l)(j5 x-4+4)咽修-4_(x-1)(J5 元 4+y/X)灯5 X-4+6 -6 1-4+Vf-2.2cos c si77(6)lim-x Ti n jiim22x-a x-a x-a x-a,s i 课=limcos*lim-=c o g：l=c o s.x a 2 x a XC l 2F(7)lim(V x2+x-y/x2-x)=limXf+c O X4-00(jN+x 7/-X)(A/X2+X+V x2-x)(y/x2+x-ylx2-x)=limx f+c o2x_(J/+x+jN-x)4.求下列极限:(1)lim ex;Xf 8(2)lim In 电江；xf0 X1 4 lim(l+与2；X T Q O X(4)l im(l+3 t an 2 x)M2 x；x-0 l im(Xf 83+x6+xx-)2J l+t an r-J l+s in xXf。Xy l i+s i n2 x-xI.1 lim 一解 l im e*=e f =e=l.X TOO(2)l iml n=I n(l im)=l n l=O.x-0 x x-0 Xxj 1(3)l im(l+)2=l im(l+)x k =e2=4 e .8 X x-ooL x Jlim(l+3tan2x)cot2 x=lim(l+3tan2)3tan2x=e3.x f 0 XT。1*jAzl(率)2=(1+6+.t-3 A2-I6+x.因为6+x%-8 6+xl imx 00-3 x 6+x 232Y X-I _3所 以 冷)3 H m J 1+t an x -J l+s in x1。-J l+s iMx -x l i m(J l+t an x-J l+s in x)(J l+s in 2%+l)i o X 71+s in2x -1)(Vl+t an x+J l+s in x).(t an x-s in x)(v l+s i f t x+1),.=l im；/.=1 1 m1。於 i n X v l+t a w+v l+s i ix)a n-2 s i 垮x s i Ax1 0 X3 25.设函数/(x)=应当如何选择数a,使得於)成为在(-8,+8)a+x x 0内的连续函数？解 要使函数7 U)在(-0 0,+0 0)内连续，只须7 U)在40处连续，即只须K m/(x)=H mf(x)=/(O)=a.因为 l ir r/(x)=，l imo/(x)=m a+=a,所以只须取 a=l.习题1-101.证明方程金-341至少有一个根介于1和2之间.证明设式=九5 _3户1,则/U)是闭区间 1,2 上的连续函数.因为.*1)=-3,4 2)=2 5,.穴1)*2)0,所以由零点定理，在(1,2)内至少有一点J(0,至少有一个正根，并且它不超过a+A证明 设/(x)=as in x+0-x,则人幻是 0,a+加上的连续函数.j G)-b,fa+b)-a s in (a+b)+b-(a+b)=a s m(a+b)-1 0.若1+与=0,则说明x-a+b就是方程x as i nx+b的一个不超过a+b的根；若人a+份 0,则 的/a+b)0,由零点定理，至少存在一点亚(0,a+