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数 学 模 拟 试 题 1.已 知=xx=,eZ,N=0,则 甲 是 乙 的（）（A）充 要 条 件（B）必 要 非 充 分 条 件（C）充 分 非 必 要 条 件（D）非 充 分 也 非 必 要 条 件 6.函 数+ax?+/?x+c,其 中 a,b,c为 实 数，当/-3/m；其 中 真 命 题 的 序 号 是 A.、C.、a J_ 6=/m；（B.D.、l/m=a J_ 0；/_Lm=a B.9.在 椭 圆 二+匕=1 上 有 一 点 P,3、&是 椭 圆 的 左 右 焦 点，KPFz力 直 角 三 角 形，则 这 样 40 20的 点 P 有()A.2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 1 0.由 等 式 X，+4 厂+CljX+“4=(X+1)4+仇(X+1)3+b,(X+1)+&(x+l)i+4 定 义/3，%吗，%)=(仇 也 也 也)，则/(4,3,2,1,)等 于()A.(1,2,3,4)B.(0,3,4,0)C.(1,0,2,2)D.(0,3,4,1)1 1.定 义 在 R 上 的 周 期 函 数/(x),其 周 期 T=2,直 线 x=2 是 它 的 图 象 的 一 条 对 称 轴，且“X)在-3,2 上 是 减 函 数.如 果 A、B 是 锐 角 三 角 形 的 两 个 内 角，贝 I()A./(sinA)/(cosB)B./(cosB)/(sin A)C./(sinA)/(sin5)D./(cos/?)/(cosA)1 2.某 种 电 热 器 的 水 箱 盛 水 2 0 0 升，加 热 到 一 定 温 度 可 浴 用.浴 用 时，已 知 每 分 钟 放 水 3 4升，在 放 水 的 同 时 按 匀 加 速 度 自 动 注 水(即 t 分 钟 自 动 注 水 2f2升)，当 水 箱 内 的 水 量 达 到 最 小 值 时，放 水 自 动 停 止.现 假 定 每 人 洗 浴 用 水 量 为 6 5 升，则 该 电 热 器 一 次 至 多 可 供()A.3 人 洗 浴 B.4 人 洗 浴 C,5 人 洗 浴 D.6 人 洗 浴.填 空 1 3.已 知(彳-二)6的 展 开 式 中 不 含 X 的 项 是 生，则 p 的 值 是 _:x p 271 4.如 图，在 长 方 体 A G 中，分 别 过 B C 和 Ai Di的 两 个 平 行 平 面 如 果 将 长 方 体 分 成 体 积 相 等 的 三 个 部 分，那 么 空 的 值 为 ND1，国 有 15.对 于 在 区 间 凡 可 上 有 意 义 的 两 个 函 数/(x)与 g(x),如 果 对 于 住 意 A Bg(x)区 1,则 称 与 g(x)在 a,句 上 是 接 近 的.若 函 数 y=-3 x+2 与 函 数 y=2x-3 在 区 间 可 上 非 常 接 近，则 该 区 间 可 以 是.1 6.给 出 下 列 4 个 命 题：1 JT 直 线：y=2x 1到。：y=x+5 的 角 是：；把 直 线 丫=,、绕 原 点 按 逆 时 针 方 向 旋 转，使 它 与 圆/+2+2任 2)，+3=0 相 切,7T则 直 线 旋 转 的 最 小 正 角 是 工；2 曲 线 y=4x 上 取 两 点 A(4,0),B(2,4),若 曲 线 上 一 点 P 处 的 切 线 恰 好 平 行 于 弦 A B,则 点 P 的 坐 标 为(3,3)；已 知 双 曲 线 机/-2my2=4 的 一 条 准 线 方 程 为 y=4,则 其 渐 近 线 方 程 为 y=七 应 x.其 中 错 误 的 命 题 有.(把 你 认 为 错 误 命 题 的 序 号 都 填 上)三.解 答 题 1 7.(本 题 满 分 12分)已 知 甲、乙 两 人 投 篮 的 命 中 率 分 别 为 0.4和 0.6.现 让 每 人 各 投 两 次，试 分 别 求 下 列 事 件 的 概 率:(I)两 人 都 投 进 两 球；(I I)两 人 至 少 投 进 三 个 球.1 8.(本 题 满 分 12 分)已 知 函 数/(x)=s i n c o s 5+J J c o s).(|)将/幻 写 成 A sin(r+。)的 形 式，并 求 其 图 象 对 称 中 心 的 坐 标；(I I)如 果 a A B C 的 三 边 a、b、c 满 足 b 2=ac,且 边 b 所 对 的 角 为 x,试 求 x 的 范 围 及 此 时 函 数 川 幻 的 值 域.1 9.(本 题 满 分 12分)已 知 如 图，在 多 面 体 ABCDEF中，A B,平 面 A C D,DEL平 面 A CD,AC=AD=CD=DE=2,AB=1,F 为 C E 的 中 点.A(1)求 证：BF_L 平 面 CDE；：(2)求 多 面 体 A B C D E D体 积；/：(3)求 平 面 BCE与 平 面 ACD所 成 锐 二 面 角 的 大 小.c N l y y-j，2 0.(本 题 满 分 12分)某 生 产 饮 料 的 企 业 准 备 投 入 适 当 的 广 告 费，对 产 品 进 赢 亲 扁 4 内 预 计 年 销 量 Q(万 件)，与 广 告 费 x(万 元)之 间 的 函 数 关 系 为(尤 N O),已 知 生 产 此 产 品 x+1的 年 固 定 投 入 为 3 万 元，每 生 产 1 万 件 此 产 品 仍 需 再 投 入 3 2万 元，若 每 件 售 价 为“年 平 均 每 件 成 本 的 1 5 0%”与“年 平 均 每 件 所 占 的 广 告 费 的 50%”之 和，当 年 产 销 量 相 等.(1)试 将 年 利 润 P 万 元 表 示 为 广 告 费 x 万 元 的 函 数，并 判 断 当 年 广 告 费 投 入 100万 元 时，企 业 是 盈 利 还 是 亏 损？(2)当 年 广 告 费 投 入 多 少 万 元 时，企 业 年 利 润 最 大？(年 利 润=年 收 入-年 成 本-广 告 费)-.-2 1.(本 题 满 分 12 分)已 知 a=(x,0),b=(1,y),(a+y/3 b),L(I)求 点 P(x,y)的 轨 迹 C 的 方 程；(I I)若 直 线 L：产 kx+m(mW0)与 曲 线 C 交 于 A、B 两 点，D(0,-1),且 有|AD|=|BD|,试 求 m 的 取 值 范 围.2 2.(本 题 满 分 14分)已 知 函 数/(X)对 任 意 实 数 p、q 都 满 足 f(p+q)=/()/(4),且/(1)=；.(1)当 C N.时，求/()的 表 达 式；(2)设(e N+),求 证：%乙；但 山 乙=甲.6.A；提 示 f(x)-3x2+2ax+b,=4(a?3)0 在 R上 恒 成 立.7.D；提 示 直 接 法：分 为 无 夫 妻 和 恰 有 一 对 夫 妻 二 情 形，共 有 C：G C；C；C；+C：G C；=4 8 0 种.亦 可 用 间 接 法:恰 有 二 对 夫 妻 的 选 择 方 法 有 C1种，故 所 求 方 法 数 为 G：-C；=4 8 0.8.D；9.C 提 示 以&或 Fz为 直 角 顶 点 时，符 合 条 件 的 点 P 有 4 个；以 P72为 直 角 顶 点 时，由 于 e=J,符 合 条 件 的 点 P 有 2 个.故 符 合 条 件 的 点 P 共 有 6 个.1 0.D；21 1.A；由 已 知 可 得/(x)在 0,1 上 是 增 函 数，且 lsiri74cosfi0,SV(sinA)/(cos5).1 2.提 示 设 t 分 钟 后 水 箱 内 的 水 量 为 y升，则 由 题 设 知,289 17+200-(r0),当 f=5=8.5 时，y取 最 小 值，此 时 共 放 浴 用 水 34x8.5=289升，而=4,故 一 次 至 多 可 供 4 人 洗 浴，从 而 65 65选 B.二.填 空 题 13.3；1 4.2；提 示 被 分 成 三 部 分 均 为 棱 柱，且 等 高，故 要 等 体 积，必 有 底 面 枳 相 等，即-S ABB、M=&AA,G，2B、M=2AlM=8=2 M A,即 C、N=2ND,3,4 或 填 它 们 的 任 一 子 区 间(答 案 有 无 数 个)：提 示 得 A.M BB.,1 2 1 1从 而 一 2.1 5.1,2或 填 N D、L 由(X)-g(x)|=|x2 _ 5x+5归 1,得 即 l x 2 3 x-1 4结 合 图 形 可 知 正 确；可 利 用 导 数 或 判 别 式 法 知 正 确；由 题 设，m O 4g m、I.2x V I 2 x 1.2x VI 2x V3.2x n 石 1 s 用 牛 f(x)=sin+(1+cos)=sin+cos+=sin(+)+-2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2令 S汕(m+?)=，得,+?=氏 4(Z)，即 x=3k2 1 T C G Z).而 y=/(x)的 图 象 可 由 y=sin(g+。)向 上 平 移，个 单 位 得 到，故 所 求 对 称 中 心 的 坐 标为(3 k-1-冗，-(k c Z).（6 分）2+(：2 _b2(II)ill 已 知 b2=ac,COSX=-2aca2-c2-a c 2 a c-a c 1-之-2ac 2ac 2 cos x L 0 x,2 37 1 2x 7 1+-,sin sin(+)13 2 9 2 3 3 3即/(x)的 值 域 为+h.,2x n、八 G.A/3 sin(F)W 14-,综 上 所 述，X G（0,y,/（X）值 域 为.（I 2 分）1 9.证 明 取 CD中 点 G,连 AG、GF,则 AG_LCD,GF DE,GF=-DE,VDElffi ACD,.面 ACD_L 面 CDE,2.*.AG CDE,又 ABL面 ACD,DELlfijACD,A AB/DE,且 八 8,口,二 八 816尸，四 边 形 AGFB为 平 行 四 边 形,2，BF AG,.BF，平 面 CDE.(4分)C 解 连 B D,则 所 求 体 积 V=V AB=也”(8 分)B-C D E+VB-A C D=,S ACDE,BF+,S A A C D3 3 解 延 长 EB与 DA交 于 H,连 CH,则 CH为 所 求 二 面 角 的 棱.又 F 为 CE中 点，HC BF,；.HC_L平 面 CDE,NECD即 为 面 BCE与 面 ACD所 成 二 面 角 的 平 面 角，且 NECD=45.（1 2 分）2 0.解（1）年 成 本 为（32Q+3）万 元，年 收 入 为（32Q+3）1 5 0%+x 50%万 元 年 利 润=年 收 入-年 成 本-广 告 费，.,.P=(32Q+3)-1 5 0%+x 50%-(32Q+3)-x=-(32Q+3-x)=-(32-+3-%)2 2 x+1一 r+98x+352(x+l)(x20)当 x=100时，p=-0,即 当 年 广 告 费 投 入 100万 元 时 将 亏 损.202（6 分）o p-(X+1)2+100(X+1)-642(%+1)=5 0-(+-)5 0-2 7 1 6=4 2(万 元)2 X4-1当 出=3 _,即=7 时 P 最 大.2 x+1当 年 广 告 费 投 入 7 万 元 时，年 利 润 最 大.（1 2 分）2 1.解(I)a+V3 b=(x,0)+百(l,y)=(x+V百 y),a-5/3 b=(x,0)-V3(l,y)=(x-V3,-V 3 y).(a+V3 b)A.(a V3 b),.(a+3 b(a V3 b)=0,(x+V3)(x V3)+百 y(V3 y)=0,故 P 点 的 轨 迹 方 程 为:-/=1.(6 分)3(ID 考 虑 方 程 组 卜 b+孙 消 去 y,得(l-3 k2)x2-6kmx-3m2-3=0(*),x 2.-y=1,显 然 l-3k2 0,A=(6km)2-4(l-3k2)(-3m2-3)=12(m2+l-3k2)0.设 X 1,X 2 为 方 程*的 两 根，则 X1+X2=-，X o=一+X?=3km,y0=kxo+m=_,I-3 k2 2 1-3&2 1-3 氏 2故 A B中 点 M 的 坐 标 为(_2叱，于),1-3&2 1-3 k2.线 段 A B的 垂 直 平 分 线 方 程 为 y-=(一,)(_ 3碗 1-3/k-3,k2将 D(0,-1)坐 标 代 入，化 简 得 4m=3 1?-1,“2 2故 m、k 满 足 消 去 k?得 m2 4 m 0,解 得 m 4.4根=3严 一 1,又,:4m=3k211,1.m，故 m(一 工,0)U(4,+8).(1 2 分)4 41 1)2 2.解 由 改 得/()=/(1)./(1)=3./5 1)=(?2./5-2)=(1 r-/a)=(!)(4 笳 1 硼 由 可 知/=(一)，设 7；=3 A=11 1 9 1“则 雹=1+2.()+.().=1,(；)2+2-(；厂+(3).两 式 相 减 得|q=g+(1)2+n.(?n+1I 1-5/I+1.q p、-3 1/1/J-1/1,3-n-(-)Tn=ak=-(-)-(-)“（9 分）(3)解 山(1)可 知=.：.S“=N 瓦=1(1+2+“)=M”+1)3 M*3 6n,1 6“1 1、S“(几+1)n+1 1 1 1 1 1 1故 有 一 二 6(1+-+-)=6(1-)6.(1 4 分)Sk 2 2 3+1+1