线性代数期末复习要点.pdf

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线性代数期末复习要点 10T1线性代数期末复习、考试要点说明 1,应部分同学要求,本期期末考试只指出考试范围及其考试要点；2,考试要点包括:题型,示例，要点；3,考生根据考试要点与个人具体情况独立安排复习，按照课表老师进行辅导.4,本要点仅供 09会计 1,2,3 班学生复习参考,如果有错漏及时更正.一,题型:主观题 5060%（计算或者证明题），客观题 4050%（填空、判断、选择题）；二,示例与要点如下 1,第一章，行列式计算（四阶），教材 P40/30,312,第二章，（1）,求三阶矩阵的逆矩阵:教材 p74/例 1,例 2,p87/例 3,以上两种方法均可.（2）,求解矩阵方程:形如 AX=B,XA=B或者 AX+B=X的矩阵方程求解：P98/11,pl02/41.3,第三章，（1）,向量组:a,向量组的线性相关性:pl30/例 3,例 4;pl38/例 1（最好使用方法一）并求秩 b,关于向量组线性无关的证明:pl30/例 5,P160/13,14,（2）,齐次线性方程组的基础解系;pl44例 1.非齐次线性方程组的求解（用基础解系表示全部解）：P148/例 4.4,第四章,三阶矩阵的特征值及特征向量:P169/例 2,pl70/例 3,pl72例 5.三,适当参考教材习题中的 B 组习题.复习参考题一，往届考试题试题 1 线性代数期末考试试题（A）一,填空题（每小题 4 分，共 20分）2311 行列式 4 6 1 的值为 1302 A 为一个三阶矩阵，且 A 2,则 1AAT。23 已知 al la23a32a46a54a65是六阶行列式中的一项，则它的符号是 4 已知向量 1(0,4,6,2),2(3,1,2,4),且向量满足 3 1 2(2)0,则。25 37 5 若矩阵满足 X 23,那麽 X 1 3二，选择题(每小题 4 分，共 20分)1231,三阶行列式 D 24 3,则元素 5 的代数余子式为()115A,4 B,-4 C,2 D,0kx 3y z 0 2,若齐次线性方程组 4x ky 2z 0 有非零解，则 k 的值为()2x y z 0A,1 B.2 C,1 或 2 D,2 或 33,设 A 为三阶矩阵,且 A 2,则 AA2ATA 1()A,-32 B,32 C,64 D,-64121 341 4,已知 A,B 213，且 2X A B,则 X=()013231 221 222 A,B,C,113 D,以上都不是 113 1132 1 10 5,下列满足矩阵方程 X 1 1 的是 5321 21 31 27 A,B,C,D,34 21 1272三，简答题(5分)若 n 阶方阵 A 满足 A2 A 51 0,求(A题(10 分)判定向量组 1(4,2,5,6),2(3,1,2,4),还是线性无关.I)的逆矩阵.四，简答 3(5,1,9,3)是线性相关五，计算题(10分)求向量组 1(1,1,3,1),2(1,1,1,3),3(5,2,8,9),4(1,3,1,7)的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.六，计算题(15分)求解非齐次线性方程组解.xl x2 x3 x4 x5 7 4x1 3x2 2x3 2x4x 2x 2x 6x 23345 22x5 5 的全部 6x1 5x2 4x3 4x4 19七,计算题(15分)求矩阵 110A 4 3 0 的特征值及特征向量.102A,(5分)已知向量，线性无关，试证明也线性无关。参考答案 7 1936-3 2 负(3,-5,7,1)13 二 DBAAC三 12A I 333272四线性无关五极大线性无关组 1,2;3 1 2:4 1 2 2.七八令 kl k2()k3()0,整理得(k2 k3)(kl k2 k3)k 3 0kl k2 k3 0 因为，线性无关，得到 k2 k3 0,解得 kl k2 k3 0k 0 3所以，也线性无关试题 2:线性代数试卷(B)一，填空(3X5)1,在六阶行列式中，项 al la23a32a46a54a65的符号是号，all2,若行列式 D a21a31al2a22a32a13ali3ali 2al2a23 1,则 DI a213a21 2a22a33a313a31 2a323al33a23=3a333,若三阶矩阵 A 的行列式 A 2,则 2AATA 14,若 n 阶矩阵 A 满足 A2 A 31 0,则(A I)15,已知向量=(3,6,9),=(3.0.3)且 2=2+，则=二,选择题(3X5)2x1 x2 0 1,若齐次线性方程组有非零解，则 k=()kx 2x 02 1A=l,B=0,C=4,D=2,2,设有矩阵 Am s.Bs n,Cm n,则下列运算可行的是()A AC,B BCTA,C CBTA,D ATCB,3,设 A 为非零 n 阶矩阵,则下列矩阵中不是对称矩阵的是()A AAT,B 11(A AT),C(A AAT AT),D A AT 424,下面结论错误的是()A 若向量组 1,2,3 线性相关，则 1 能由 2,3 线性表示.B 一个非零向量线性无关.C 含零向量的向量组线性相关.D 向量组中向量的维数小于向量的个数,则该向量组线性相关.21三，(7)求四阶行列式 D 001210012100 的值.1221 12 2 2 四，(7)解矩阵方程 X 21 34.123五，(10)判断矩阵 A 2 2 1 是否可逆;若可逆，求出逆矩阵.六，(10)判断向量组 1 1,1,3),2(3,2,1,1),3性相关还是线性无关.七，(10)设向量组 1(1,2,1,1),2(2,0,3,0),3(0,4,5,2),4(3的秩及其一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示.示如下线性方程组的全部解.xl x2 5 2x1 x2 x3 2x4 x5 13x x 2x 4x 2x 3345 12九，(6)已知 1,2,3 线性无关，证明 1 2,2 2 3 3,关.参考答案一负-6 64二 CBBA三 5 A2 I(1,4,5)3321 10 3 1 10 2 3 四 X53 13 52 13 46*五 A 2 0,A 3 65,A 2 22 2 153343(5,6,5,9)是线 2,7,1),求向量组八，(10)用基础解系表 1 2 2 3 线性无 1 1 26 4 3 1六线性无关 2 5 32 1 1 31 2 七 A 1 1203 1 00 4 2112 000 000极大无关组是 1,2,3110005 10121 4八(A b)21121131242 32 101000000 0357 0 22,4 1 2 2.1 2 19特解：(4,9,0,0,0)T00 2 1导出组的基础解系：1(1,1,1,0,0)T,2(2,2,0,l,0)T,3(1,1,0,0,1)T全部解 x cl 1 cl 2 c3 3,(cl,c2 R)九令 kl(1 2)k2(2 2 3 3)k3(1 2 2 3)0,即 1(kl 2k2 2k得到(kl k3)3)2 3k2 k 3),3 由于 0 1,2,3 线性无关,101 kl k3 0线性无关 kl 2k2 2k3 0,因为 122 5 0,该方程组仅有零解，故该向量组 3k k 00 3123试题 3:线性代数试卷(C)一，填空(4X4)1,=(1,2,3),=(2,1,0)且 2=2+，则=()2,若三阶矩阵 A 的行列式 A 2,则 AAT()x z 0 3,若齐次线性方程组 x y z 0 有非零解，则 k 的值为()kx 3y 2z 04,若 n 阶矩阵 A 满足 A2 A 21 0,则(A I)1()二,选择题(4X4)all1,若行列式 D a21a31al2a22a32al32ali7ali al2a23 a,则 DI 2a217a21 a22a332a317a31 a32 al3 a23()a33a(B)2a(C)la4(D)la4(A)22,已知矩阵 Am n,Bn m,则下列矩阵为 1n阶矩阵的是()A BA B ATBT C ATA D BTB3,若 A,B 均为 n 阶矩阵,k 为非零实数,则下列命题正确的是()A A B A B B(AB)T ATBT C AB AB D kA kA4,若向量组 1,2,s 的秩为 r,则下列说法正确的是()(A)必定有 rs(B)向量组中任意 r 个向量线性无关(C)向量组中任意 r 1个向量线性相关(D)向量组中任意小于 r 个向量的部分组线性无关 21三，(6分)求四阶行列式 D 001210012100 的值.1221 12 2 2 四，(7分)解矩阵方程 X 21 34.53123五，(10分)判断矩阵 A 2 2 1 是否可逆;若可逆，求出逆矩阵.343六，(10 分)判断向量组 1(2,1,1,3),2(3,2,1,1),3(5,6,5,9)是线性相关还是线性无关.七，(10)设向量组 1(1,2,1,1),2(2,0,3,0),3(0,4,5,2),4(3,2,7,1),求向量组秩及其一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示.A,(10分)用基础解系表示如下线性方程组的全部解.xl x2 5 2x1 x2 x3 2x4 x5 13x x 2x 4x 2x 3345 12200九，(10分)求矩阵 A 1 3 0 的特征值与特征向量.113十，(5分)已知 1,2,3 线性无关，证明 1 2,2 2 3 3,1 2 2 3 线性无关.参考答案一，(1,4,5)-16 2二，DBCC三四，五，.A-八，七，A,A 22九，特征方程是 I A 1100 30(2)(3)2 0,1 3特征值是 1 2,2,3 3.1 2 000 1 当 1 2 时，齐次线性方程组 1 10 x 0 的基础解系是 1；其特征向量是 2 1 1 1 1cl l(cl 0)当 2,3 100 0 3 时，齐次线性方程组 100 x 0 的基础解系是 2 0，其特征向量是 1 10 1 c2 2(c2 0)十，令 kl(1 2)k2(2 2 3 3)k3(1 2 2 3)0,即 1(kl 2k2 2k(kl k3)3)2(3k2 k 3),3 由于 0 1,2,3 线性无关，得到 101 kl k3 0 kl 2k2 2k3 0,因为 122 5 0,该方程组仅有零解，故该向量组线 3k k 00 3123所以 1 2,2 2 3 3,1 2 2 3 线性无关试题 4 线性代数期末考试试题(D)-，填空题(每小题 4 分，共 20分)2311 行列式 4 6 1 的值为 1302 A 为一个三阶矩阵，且 A 2,则 1AAT。23 已知 al la23a32a46a54a65是六阶行列式中的一项，则它的符号是 4 已知向量 1(0,4,6,2),2(3,1,2,4),且向量满足 3 1 2()0,则 25 37 5 若矩阵满足，那麽 X X 1 3 23二，判断题(30分，每小题 3 分)A AT1,A 为 n 阶方阵，则为对称矩阵.()22 若向量组 1,2,3 线性相关，那麽 1定可由 2,3 线性表示。()3 设 A,B为两个矩阵，则 AB存在的条件是 A 的行数等于 B 的列数.()4 为矩阵 A 的特征向量，则 c(c为常数)也为矩阵 A 的特征向量。()5 若 1,2 为非齐次线性方程组 AX b 的解，则 1 2 亦为 AX b 的解.()6 线性无关的向量组必有线性相关的子集.()7 由于矩阵乘法没有交换律，所以任意两个矩阵相乘都不能交换.()8 一般来说，秩 r(AB)r(A),但是如果 B 0,那麽 r(AB)Vr(A).()9 线性方程组的系数矩阵即使是满秩的，也不一定有解.()1 0 若非齐次线性方程组的导出组有解，那麽该非齐次线性方程组必有解.()三，简答题(5分)若 n 阶方阵 A 满足 A2 A 51 0,求(A I)的逆矩阵.四，简答题(10 分)判定向量组 1(4,2,5,6),2(3,1,2,4),3(5,1,9,3)是线性相关还是线性无关.五，计算题(10分)求向量组 1(1,1,3,1),2(1,1,1,3),3(5,2,8,9),4(1,3,1,7)的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示.六，计算题(10分)求解非齐次线性方程组 xl x2 x3 x4 x5 7 4x 3x 2x 2x 2x 5 12345 的全部解.x 2x 2x 6x 23345 26x1 5x2 4x3 4x4 19七，计算题(10分)求矩阵 110A 4 3 0 的特征值及特征向量.102A,(5分)已知向量，线性无关，试证明，也线性无关。参考答案 1936 3 2 负(3,-5,7,1)7 13二 J X X X X X X J J X 三，A2 I 333272四,线性无关五，1,2,3 1 2,4 1 2 21六，(A004b)01 1 5 16613151224117 1122623 0000002 250000002623 401916 1 10，基础解系 00151 123220023600特解 0 0 1全部解 x cl 1 c2 2 c3 3(cl,c2,c3 R)1七，特征方程 I A 41 10 30(2)(1)2 0,0 2特征值 1 2,2,3 1,3 10 0当 1 2,齐次线性方程组 cl l(cl 0).4 10100 x 0 的基础解系是 11 0，特征向量 2 10 1 x 0 的基础解系是 2，特征向量 c(c 0).1,齐次线性方程组 4 202222 10 1 1 2,3试题五:线性代数期末考试试题一，填空(5X6=30)1,若 n 阶矩阵 A 满足 A2 A 31 0,则(A 21)11232,已知 012 0,则 xxll02 11 3,若 A,B 00,则 AB 034,已知向量 1 2(212)(1,1,1,0,则 1),522(2,1,3,)且向量满足 1 25,矩阵 0 06,0140 0 0 的逆矩阵为 1 8 3421535215=2809229092二,判断题(4X5=20)1,若 A,B均为 n 阶对称矩阵，则 A+B 也为对称矩阵()2,若向量组 1,2.r 线性相关，且有一组数 kl,k2,.,kr使得 kl 1 k2 2.kr r 0,则必有 kl k2.kr 0.()3,设 1,2，一.，r 是 r 个 m 维向量，且 rm,则此向量组必线性相关()4,A,B都是 n 阶方阵,若 AB=0,则 A=0 或者 B=0()5,若 A 为 n 阶可逆矩阵，则 kA 1 k()A三,判断向量组 1(1,1,3,1),2(1,2,1,1),3(1,1,1,2),4(3,2,1,3)是线性相关还是线性无关.(10分)四，求向量组 1(1,1,0,4),2(2,1,5,6),3(1,1,2,0),4(3,0,7,14)的一个极大无关组,并将向量表为该极大无关组的线性组合.(10分)xl x2 x3 x4 x5 1 2x1 x2 3x3 4x4 3x5 5 五，用基础解系求线性方程组 x2 x3 2x4 5x5 35x1 4x2 6x3 7x4 8的全部解.(10分)1 33六,求矩阵 3 5 3 的特征值和特征向量.(15分)6 64七，设,a(al,a2,a3)T,b(bl,b2,b3)T,c(cl,c2,c3)T 证明三直线,ll:alx bly cl 0ll:a2x b2y c2 0,(ai2 bi2 0)11:a3x b3y c3 0相交于一点的充分必要条件是：向量组 a,b 线性无关,且向量组 a,b,c 线性相关(5)分参考答案 200 00 93119 1,A I,1,),040,61230003 00 2222 008二,J X J X X三,线性无关 1 1 四，0 41 00 02133 1 00113 101 5 27121 0301 101 1 0 0012 1 02 015 270010031 105 21 03006014 0 2 4210017 0 2 02极大无关组：1,2,3.4 2 1 2 3 五,11 21(A b)0 154 1 00 01316114 32 5701 110 1 53 0 18 0 11111112 52 52 51 110 1 33 003 00110011 1 2 5 3 000000023 4 4 1 1 253 00000000002 3 4 1 2 5 xl 2x3 3x4 4x5 443特解为 0163 35(1当方程组 x2,基础解系为 x3 2x4 5x51 1,3012 0,3000 000A 31303 32)2(1,21，全部解为 1305 2x34)0 得到 cl 110 6c2 24c36632 66 22 时，（21 A)x0 11,2 2,3 4.0,基础解系为 1 1,20,全部特征值为 cl 1 c2 2(cl,c2 不全零)1当 3 4,(41 A)x 0,基础解系 3 1，全部特征向量 c3 3(c3 0).2七,三直线得到线性方程组 1c 0 alx blya2x b 2c 0,此线性方程组的增广矩阵为 2yax bye 03 3 3(aT al cT)a2a3bl c 1 b2 c 2,b3 c 3此三直线相交于一点线性方程组有唯解 r(a,b)r(a,b,c)2向量组 a,b 线性无关且向量组 a,b,c 线性相关.二,其他参考题一,填空题 1571 行列式 268的值为。379T 12 A 为一个三阶矩阵，且 A 2,则 3AAA。123 3 矩阵 A 456,则 r(A)。7894 n 阶方阵 A 满足 A 2A 31 0,则 A I。2 15 已知 1213,142 1,且，满足 2 0,则 6,已知矩阵 A 为三阶方阵，且 2,则 7,五级排列 41253的逆序数为()；8,若 n 阶方阵 A 满足 A 3A 51 0,那么 A I=()；21；AAT=()3 19,已知向量 1 2,4,1,1 2 3,1,2,且向量满足 5 23 1 2 2=0,则=();10,若矩阵 X满足 31 3 X 2 25 4 6，那么 X=()。11.设 3(1)2(2)5(3),其中 1(2,3,1,5)T,阵，且有|A|5,|3A|2(10,1,5,10)T,3(4,1,1,1)T,=1 2.已知 A为四阶方 13.已知 A 2A 41 0,(A I)114.已知 al2a23a34a45a56a6 1是六阶行列是的一项,则它的符号项是号 212315.312=23116.已知 25 4 6 X,X=13211 7.已知向量=(1,2,3),(3,0,1)且 2 2，则 T*18.若三阶矩阵 A的行列式 A 2,贝 lj 2A A=_.19,若 n 阶矩阵 A满足 A A 31 0,贝 iJ(A 21)1=.21232 0,行歹 lj式 012=I l l2 1六阶行列式 a i j 的项 a l la26a32a44a53a6 5的符号是 _.1023011的 2 2.行列式 112 3,已知 n 阶矩阵 A满足 A A 41 0,贝 lj A=24,已知向量 1=(2,4,6),2=(2,0,2)满足 3 1 2 5 2：则 2 1T 1 25,若 A 是 3 阶方阵，A=2 贝 I J 2AA=26,已知矩阵方程 3 2 52,则*=X 5 4 70二,解答题 1,判断向量组：相关 1(2,1,5,10),2(1,1,2,4),3(0,3,1,2)是否线性 2,设向量组：1(1,0,1,0),2(2,1,1,2),3(1,1,0,2),4(1,1,1,1),5(1,1,0,0)求向量组的一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示，并求其秩 3,用基础解系表示如下线性方程组的全部解 xl x2 3x4 x5 1 x x 2x x x 1 123454x 2x 6x 4x 21235 2x1 4x2 2x3 8x4 4x5 41 2 1 的特征值与特征向量.4,求矩阵 A 03 1 13 25,已知 1,2,3 线性无关，证明：1 2,3 2 2 3,1 2 2 3 线性无关。6,设向量组 1(6,a 1,3),2(a,2,2),3(a,1,0),则 a 取何值时该向组线性相关.7,求向量组 1(1,1,2,4),2(0,3,1,2),3(3,0,7,14),4(1,1,2,0)的一个极大线性无关组，并用此极大无关组表示其余向量。8,求非齐次线性方程组 xl x2 x3 x4 0 x x x 3x 1 1234的通解(用基础解系表示)3x 3x 5x 7x 1234 12x1 2x2 4x3 6x4 1001 9,求 A 010的特征值及其中一个特征值所对应的特征向量。1001 0,已知向量 1,2,3,4 均可由 1,2,3 线性表示，证明 1,2,3,4 线性相关。1 1,判断向量组 1=(1,1,3,1),2=(3,-1,2,4),3=(2,2,7,-1)是否线性相关。10 1 10 o 12,求矩阵 A的全部特征值和特征向量，其中 A 11 1013,求向量组 1=(1,0,2,1),2=(3,-1,0,2),3=(0,1,6,1),4=(7,1,4,0)的一个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组表示。2x1 x2 4x3 5x4 10 x x 2x 3 13414,求解线性方程组。3x x x 5x 54 123xl x2 3x3 3x4 715若向量组 1,2,n 线性无关，证明 1,1 2,1 2 n 线性无关。1 6判断向量组 1(1,3,1)T,2(2,l,0)T,3(1,4,1)T是线性相关还是线性无关，17,求下列向量组的秩，并求一个最大无关组，将其他向量用所求最大无关组线性表出 1(1,2,1,4)T,2(9,100,10,4)T,3(2,4,2,8)T.18,求下列非其次线性方程组的一个解及对应的其次线性方程组的基础解系.xl x2 5 2x1 x2 x3 2x4 1;5x 3x 2x 2x 3234 12 12 19,求矩阵 5 3 3 的特征值和特征向量.10 22 0,已知 1,2,3,4 线性无关，1 1 2,2 2 3,31,2,3,4 线性相关.3 4,4 4 1,证明 2 1,判定向量组 1 1,1,3,2性相关还是线性无关。2 3,1,2,4 3 2,2,7,1 是线 2 2,求向量组 1 1,1,3,14 1,3,1,7 的一 2 1,1,1,3 3 5,2,8,9个极大无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示,并求其秩.2 3,用基础解系求非齐次线性方程组xl x2 x3 x4 x5 7 3x 2x x x 3x 2 12345x2 2x3 2x4 6x5 235x1 4x2 3x3 3x4 x5 12的全部解.31 2 24,求矩阵 A 1 0 1 的特征值和特征向量。43 325,设 1,2,3 线性无关，试证明 1 2,2 3,3 1线性相关。(5分)其他参考题参考答案一,填空题 1,0 2,54 3,2 4,I 121 A 5,136 32 2 6,167,4 8,A 41 9,271 6,5,1 10,222 3802 23 T11,1135 12,405 13,A 31 14,负 15,18 16,081 7,(,145,)18,64 19,A I 20,0 21,负号 3331(A+I)24,=(-2,6,4)25,8 26,434 2522,0 23,三,解答题 1,解：1 2TT 1 ITA二(1,2,3)二 52104因为 r(A)=23,所以向量组 2,解：031211 13 01 2 000,a2,3线性相关 1TTTTT 0A=(1,2,3,4,0001 01 0 0 00 11100000 10 11200211211021 11110 10由最后一个矩阵可知:2152是一个极大无关组，且3122 43,解：对方程组的增广矩阵 A 实施初等行变换：0 3 11 11 11 12 11 1 0A4 26 00 4 2 24 2 8 44 0011 100200 20 0 21 1 10000取 x3,x5为自由未知量，得原方程组的同解方程组为 xl x3 2x5 x2 1 x3 2x5x4 x5令 x3 x5 0,得方程组的一个解*（0,1,解方程组在对应齐次线性方程组的同 0,0,0）,xl x3 2x5 x2 x3 2x5x4 x5x3 1 0 中，分别取 0 及 x方程组的基础解系为 51,得对应的齐次线性 1 2 1 21 1,2 0于是所求通解为：0 1 0 1xl 1 x 2 1 x c 1+c 3 1 20 x4 0 x任意常数)12 15 2 00 1 02 1 0+0(c,c 为 1-21-101-31=(1-4)(1-2)2 0-2-11-34,解:矩阵 A 的特征方程为 1I-A=所以矩阵 A的特征值为 1 4,2（41 A）x 03 2（二重）当 1 4 时，解齐次线性方程组 1 1 10 1 2 0141 A 0111 1 0 2 1 00可得到它的基础解系是 1 111 1 1,所以矩阵 A对应于 4 的全部特征向量是 cl 1 cl 1（c l为任意非零常数）1当 2 3 2 时，解齐次线性方程组 1 1 1 0 10 01 1,(21 A)x 021 A 011 0 2 1 1 001 1,所以矩阵 A对应于 2 23 12 的全部特征向量是可得到它的基础解系是 1 c c 22 1（c 2为任意非零常数）15,证明：若 kl(1 2)k2(3 2 2 3)k3(1 2 2 3)0即(kl k3)1(kl 3k2 2k3)2(2k2 2k3)3 0(1)由于 1,2,3 线性无关，上式成立必有 101 kl k2 0 kl 3k2 2k3 0 由于系数行列式 13 2 9 02k k 002123齐次方程组只有零解，故必有 kl 0,k2 0,k3 0,线性无关性即得证 a6,解：因 al002 2 a6a 136 a a22a2 2 6 a a2a 131023 2a 5a 12 6 分令 2a 5a 12 0,得：a 4,故 a 4,2a 3/2 2 分 a 3/2时向量组线性相关.2 分 T T T 进行初等行变换，2 分 2 3 47,解：对得到 T11 1 2 41 130 1 0172 02140 0031 1330 0110 022 4 003031 1110 0000 0001 0030 110001000每步 2 分可知 1,2,4 为极大无关组，而 3 3 1 2.5 分 8,解：对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，得到 1 1 3 21 11 11 3 3 5 2 4即 760 101 1 0 1 01 11 11002 41000 24 10012 11 2,8 分 2000 0001x x x 24,1分 x 2x 134000 24 10 1122对应的导出组的基础解系为 12 1 11 0 0,特解为：；3 分 1 0 22 0 1101 1 2 1 0 0（其中全部解为：kl k20 2 10.3 分(kl,k2 R)2 0 19,解：特征多项式为|E A|00 10(1)2(1)6 分 11特征值为 1,2 1,组 000 x2 03 1；3 分 1 分 10 1 xl1010 当 1,2 1 时，解方程 0 x30 1（几种形式）4 分得基础解系为 1 与 1,1 0 0 1为零）.0 1特征向量为：kl 1 1（其中 k,l不全此即特征值 1,2r 1,2,3,4关。1对应的特征向量.r（1,2,3）1 分 10,证明：3 4,故有向量组 1,2,3,4 线性相 132 11 1203 分 TTT 11,解：（1,2,3）3 分 32 07 14 1 031002 0,1 0因（IT,2T,3T）3（2 分），所以因 1,2,3 线性无关。（2 分）112,解：I A 101110 2(2)01矩阵 A 的特征值为 1 2 0,3 2.101 10 1当 1110 000 1由未知量得属于特征值 0 的特征向量为 cl1 101 101当 3 2 时，解齐线性方程组(21112 000 1c2 1,c2 0.2 0 时，解齐线性方程组 Ax 0：1 10000,c2 0.5 分 011 取 x3为自 1,cl 0.5 分 A）x 0：110 O i l 取 x3为自由未知量得属于特征值 2 的特征向量为 5 分 113 0 1TTTT 13,解：(1,2,3,4)2 分 20 120 1 1 11 4 分 0 064 10 0032 1 1 1 000 000故 1,2 为该向量组的一个极大无关组，(2分)且 3 3 1 2,4 2 1 2.(2分)2 1 14,解：(A,b)3 1分 1450121 1 513310 3 5 7 10010000123 1 1 15000 000r(A,b)2 4 有无穷解，x3,x4为自由未知量，同解方程组为 3 43 分 xl 3 x3 2x4 x3 0 x2为取得原方程组的个解为。0 4 2x3 x4 x4 0 0 xl x3 2x4 x3 0系为 x 2x xlx34 2 41 导出组，取为 0得导出组的基础解 1 2 2 1 12.故原方程组的通解为 5 分 1 0 0 13 1 1.cl,c2为任意常数 0 1 14 2 2x cl 1 c2 22 分 00 0cl c215证明：若存在一组数 kl,k2,kn使得 kl

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