高等数学_第四章不定积分课后习题详解.pdf

第 4章 不 定 积 分 内 容 概 要 名 称 主 要 内 容 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 设 f(x),xwl,若 存 在 函 数 尸(x),使 得 对 任 意 xe/均 有 F(x)=f(x)或 dF(x)=f(x)dx,则 称 尸(x)为/(x)的 一 个 原 函 数。/(X)的 全 部 原 函 数 称 为“X)在 区 间/上 的 不 定 积 分，记 为 J/(x)dx=F(x)+C注：(1)若 f(x)连 续,则 必 可 积；(2)若 F(x),G(x)均 为/(x)的 原 函 数，则 F(x)=G(x)+C。故 不 定 积 分 的 表 达 式 不 唯 一。性 质 性 质 1：J%9=/W 或 d J/(x)时=f(x)dx；性 质 2:Fx)dx=/(x)+C 或 pF(x)=F(x)+C；性 质 3：ja/(x)pg(x)dx=af(x)dx pg(x)dx 为 非 零 常 数。计 算 方 法 第 一 换 元 积 分 法(凑 微 分 法)设/()的 原 函 数 为 F()，=夕(外 可 导，则 有 换 元 公 式：J7(e(x)”(x)dx=f(px)d(p(x)=F(x)+C第 二 类 换 元 积 分 法 设 x=p(t)单 调、可 导 且 导 数 不 为 零，flp(t)pt)有 原 函 数 尸，则 j/(x)dx=7(夕)夕)出=F(r)+C=F(9 T(x)+C分 部 积 分 法=j(x)du(x)=w(x)v(x)-Jv(x)J(x)有 理 函 数 积 分 若 有 理 函 数 为 假 分 式，则 先 将 其 变 为 多 项 式 和 真 分 式 的 和；对 真 分 式 的 处 理 按 情 况 确 定。本 章 的 地 位 与 作 用 在 下 一 章 定 积 分 中 由 微 积 分 基 本 公 式 可 知-求 定 积 分 的 问 题，实 质 上 是 求 被 积 函 数 的 原 函 数 问 题；后 继 课 程 无 论 是 二 重 积 分、三 重 积 分、曲 线 积 分 还 是 曲 面 积 分，最 终 的 解 决 都 归 结 为 对 定 积 分 的 求 解；而 求 解 微 分 方 程 更 是 直 接 归 结 为 求 不 定 积 分。从 这 种 意 义 上 讲，不 定 积 分 在 整 个 积 分 学 理 论 中 起 到 了 根 基 的 作 用，积 分 的 问 题 会 不 会 求 解 及 求 解 的 快 慢 程 度，几 乎 完 全 取 决 于 对 这 一 章 掌 握 的 好 坏。这 一 点 随 着 学 习 的 深 入，同 学 们 会 慢 慢 体 会 到！课 后 习 题 全 解 习 题 4-11.求 下 列 不 定 积 分：知 识 点：直 接 积 分 法 的 练 习 一 一 求 不 定 积 分 的 基 本 方 法。思 路 分 析：利 用 不 定 积 分 的 运 算 性 质 和 基 本 积 分 公 式，直 接 求 出 不 定 积 分!焉 思 路：被 积 函 数-=3,由 积 分 表 中 的 公 式(2)可 解。v-l v 卜 正 一:岫 思 路:根 据 不 定 积 分 的 线 性 性 质，将 被 积 函 数 分 为 两 项，分 别 积 分。解：-j=)dx=-x)dx=jxdx-jx 2dx=x-2x+C(3)J(2，+XM思 路:根 据 不 定 积 分 的 线 性 性 质，将 被 积 函 数 分 为 两 项，分 别 积 分。解：J(2+VMx=J2dx+Jx2dx=+$3+C(4)J4(x-3)dx思 路:根 据 不 定 积 分 的 线 性 性 质，将 被 积 函 数 分 为 两 项，分 别 积 分。解：J4(3 o 2 _x-3)dx=x2dx-3x2dx-x-2x2+C 思 路:观 察 到 3八 34 1=3/+-_ 后,根 据 不 定 积 分 的 线 性 性 质，将 被 积 函 数 分 项,X*+1 X+1分 别 积 分。解：?；+=伊 21+1rdx=x+arctan x+C+x2(6)思 路:注 意 到 上=工 里 二=1-，根 据 不 定 积 分 的 线 性 性 质，将 被 积 函 数 分 项，l+x 1+X 1+X分 别 积 分。解：宿 dx=dx-J=x-arctan x+C.注：容 易 看 出(5)(6)两 题 的 解 题 思 路 是 一 致 的。一 般 地，如 果 被 积 函 数 为 一 个 有 理 的 假 分 式，通 常 先 将 其 分 解 为 一 个 整 式 加 上 或 减 去 一 个 真 分 式 的 形 式，再 分 项 积 分。-二)公 J 2 x x3 x4思 路:分 项 积 分。解：j(-+=g jxJx-dx+3 x3dx-4 xdx=x2-In I x I-x2+x-3+C.4 2 3思 路:分 项 积 分。解：f(r=)dx-3 f dx-2 f,dx=3arctanx-2arcsin x+C.J 1+X2 J T/Jl+x2 J j T T N xjxjdx思 路：yjxylxy/x=?看 到=/卫=代，直 接 积 分。解：x/x y/x d x=jx8 dx=-X 8+C.思 路:裂 项 分 项 积 分。解：-z-dx=f(-)dx=dx-(-dx=-arctan x+C.J.?(l+x2)J x2 1+x2 Jx2 Jl+x2 xc e-l(11)dxJ e-1解：=(f，11)(f+1)(/A-=f(e*+l)dx=e*+x+C.J er-1 J ex-l(12)j3Z*dx思 路:初 中 数 学 中 有 同 底 数 赛 的 乘 法：指 数 不 变，底 数 相 乘。显 然 3=(3。解：箴+C.(13)jcot2xJx思 路:应 用 三 角 恒 等 式 wcot2 x=csc2 x-1 解：jcot2xJx=j(csc2 x-i)d x=-c o tx-x+C()户 萨。思 路:被 积 函 数 2 3-5 2=2 _ 5(2,积 分 没 困 难。3r3解：2-3 5-2 右=r(2 _5(2 丫 址=2 x-5+C.J 3 J 3 In 2-ln 3(15)cos2 tZ rJ 2思 路:若 被 积 函 数 为 弦 函 数 的 偶 次 方 时，一 般 地 先 降 病，再 积 分。序 卜.fc os?x a,=r-l-4-c osx d,x=1 x+1 si.n x+C.J 2 J 2 2 2(16)f J dxJ1+cos 2x思 路:应 用 弦 函 数 的 升 降 森 公 式，先 升 赛 再 积 分。解：f-!-dx=-dx=sec2 xdx=-tan x+C.J1+cos2x J 2 cos x 2 J 2(17)f cos2x dxJ cos x-sin x思 路:不 难，关 键 知 道“cos2x=cos2x-s in2 x=(cosx+sinx)(cosx-sinx)”。解：I*-dx=(cos x+sin x)dx=sinx-cos x+C.Jcosx-sinx J(18)j s,J cos-x sin x思 路：同 上 题 方 法，应 用“cos2x=cos2 x-sin2”,分 项 积 分。解：J 8 s 2 X,仆 s sin鼠=JJ cos x sin x J cos-x-sin x Jsin x Jcos x=jcsc2 xdx-jsec2 xdx=-cot x-tan x+C.(19)+J产 班 J v1+x V1-x思 路:注 意 到 被 积 函 数 月+户 应 用 公 式 即 可。Vi+x Vi-x 717?ViT？Vi7(20)Jl+cos2x思 路:注 意 到 被 积 函 数 2左=匕 华,sec+L 则 积 分 易 得。1+cos 2x 2 cos x 2 2解：3 1，即 2妨+1 防=吗 匕+心 J1+cos 2x 2 J 2 J 2 2、设 W(x)4x=arccosx+C 求/(x)。知 识 点：考 查 不 定 积 分(原 函 数)与 被 积 函 数 的 关 系。思 路 分 析：直 接 利 用 不 定 积 分 的 性 质 1：枭 7(x)x=/(x)即 可。解：等 式 两 边 对 x求 导 数 得：xf(幻=，f(x)=V1-X2 XA/1-X2 3、设/(x)的 导 函 数 为 sinx,求/(x)的 原 函 数 全 体。知 识 点：仍 为 考 查 不 定 积 分(原 函 数)与 被 积 函 数 的 关 系。思 路 分 析：连 续 两 次 求 不 定 积 分 即 可。解：由 题 意 可 知，/(x)=jsinxdx=-COSX+Cj所 以 y(x)的 原 函 数 全 体 为：!(-cosx+Cx=-sinx+CX+C2。4、证 明 函 数 和 e*Mx都 是 一-的 原 函 数 2 chxshx知 识 点：考 查 原 函 数(不 定 积 分)与 被 积 函 数 的 关 系。思 路 分 析：只 需 验 证 即 可。解：-=/，而(-e2)=eshx=echx=e2chx-shx dx 2 dx dx 5、一 曲 线 通 过 点(/,3),且 在 任 意 点 处 的 切 线 的 斜 率 都 等 于 该 点 的 横 坐 标 的 倒 数，求 此 曲 线 的 方 程。知 识 点：属 于 第 12章 最 简 单 的 一 阶 线 性 微 分 方 程 的 初 值 问 题，实 质 仍 为 考 查 原 函 数(不 定 积 分)与 被 积 函 数 的 关 系。思 路 分 析：求 得 曲 线 方 程 的 一 般 式，然 后 将 点 的 坐 标 带 入 方 程 确 定 具 体 的 方 程 即 可。解：设 曲 线 方 程 为 y=/(x),由 题 意 可 知：/(%)=1,.-./(%)=In I x I+C；dx x又 点(/,3)在 曲 线 上，适 合 方 程，有 3=ln(e2)+C.C=l,所 以 曲 线 的 方 程 为/(x)=ln 1x1+1.6、一 物 体 由 静 止 开 始 运 动，经 f秒 后 的 速 度 是 3户(m/s),问：(1)在 3秒 后 物 体 离 开 出 发 点 的 距 离 是 多 少？(2)物 体 走 完 360米 需 要 多 少 时 间？知 识 点：属 于 最 简 单 的 一 阶 线 性 微 分 方 程 的 初 值 问 题，实 质 仍 为 考 查 原 函 数(不 定 积 分)与 被 积 函 数 的 关 系。思 路 分 析：求 得 物 体 的 位 移 方 程 的 一 般 式，然 后 将 条 件 带 入 方 程 即 可。解：设 物 体 的 位 移 方 程 为：)，=/(；),则 由 速 度 和 位 移 的 关 系 可 得：-?-/(/)=3r2=/(?)=?+C,dt又 因 为 物 体 是 由 静 止 开 始 运 动 的，/(0)=0,.C=0,.f(t)=r.(1)3秒 后 物 体 离 开 出 发 点 的 距 离 为：3)=3?=27米;令 尸=360=#丽 秒。习 题 4-2 1、填 空 是 下 列 等 式 成 立。知 识 点：练 习 简 单 的 凑 微 分。思 路 分 析：根 据 微 分 运 算 凑 齐 系 数 即 可。解：(1)公=-d(7x-3);(2)xdx=x2);(3)x3dx=J(3x4-2);7 2 12(4)edx=-d(e2x);(5)=-d(51n I x I);(6)=-J(3-51nx I);2 x 5 x 5(7)-=dt=2d();(8)g=J(tan 2x);(9)-=-t/(arctan 3x).yft cos2 2x 2 1+9/32、求 下 列 不 定 积 分。知 识 点：(凑 微 分)第 一 换 元 积 分 法 的 练 习。思 路 分 析：审 题 看 看 是 否 需 要 凑 微 分。直 白 的 讲，凑 微 分 其 实 就 是 看 看 积 分 表 达 式 中，有 没 有 成 块 的 形 式 作 为 一 个 整 体 变 量，这 种 能 够 马 上 观 察 出 来 的 功 夫 来 自 对 微 积 分 基 本 公 式 的 熟 练 掌 握。此 外 第 二 类 换 元 法 中 的 倒 代 换 法 对 特 定 的 题 目 也 非 常 有 效，这 在 课 外 例 题 中 专 门 介 绍！(1)/小 思 路:凑 微 分。解：pdt=1 J*/(3r)=+C j(3-5x)Zt思 路:凑 微 分。解：j(3-5x)dx=-1 J(3-5x)?d(3-5x)=-(3-5x)4+C(3)f-U/.vJ3-2x思 路:凑 微 分。.J-dx J d(3 2x)=In 13 2x I+C.3 2x 2 3 2x 2 门 思 路:凑 微 分。:jy=dx=d(53x)=J(5 3x)31(5 _ 3x)=(5 3x)+C.X(5)j(sinax-e*)tZr思 路:凑 微 分。及 x X X解：j(sin ax-)dx=jsinaxd(ax)-b d(y)=-cosax-be+C(6)思 路:如 果 你 能 看 到 以)=册 力,凑 出 而 易 解。解：Jc o_ r=2 jcosZFf/(/7)=2sin/7+C(7)Jtan1 0 xsec2xJx思 路:凑 微 分。解：ftan1 0 xsec2xdx=Jtan1 0 x d(tan x)=yj-tan x+C.(8)f 把 J x h ix ln ln x思 路:连 续 三 次 应 用 公 式 凑 微 分 即 可。解：=(lnllnxl)=ln|lnlnx|+cJx ln x ln ln x Jln xln ln x J In Inx(9)ftanVl+A-2 d x思 路:本 题 关 键 是 能 够 看 到 是 什 么，是 什 么 呢？就 是 d G!这 有 一 定 难 度！解：jtan/l+x2=jtan ll+x2dl+x2=-l n I cosll+x2 I+C(10)dxJ sin x cos x思 路:凑 微 分。解:方 法 一：倍 角 公 式 sin2x=2 sin x c o s x。r dx r 2dx f 八.八 八-=-.=esc 2xd 2x=in I c s c z x-cot 2x I+CJsinxcosx J sin 2x J方 法 二：将 被 积 函 数 凑 出 tan工 的 函 数 和 tan x 的 导 数。-=CS X dx=-sec2 xdx=-J tan x=In I tan x I+CJ sin xcos x Jsinxcos x J tanx J tanx方 法 三：三 角 公 式 sin2%+cos2x=l,然 后 凑 微 分。.2 2f dx rsin-x+cos-x.-=-dxJsinxcosx sin x cos xrsinx.rcosx.=-d x+-dx=-J cos x J sinx d cosx cd sin x=-In I cos x I+In I sin x I+C=In I tan x I+C(11)产 J ex+e思 路:凑 微 分：=半 dex dex1+e2x 1+(/I解：/=层 H 舟 c(12)Jxcos(x2)Jx思 路:凑 微 分。解：Jx cos(x2 Mx=g jcos xdx2=sinx2+C(13)xdx-3x2思 路：由 Jdx _ 1-yj2,3x 2，2 3f常 字 凑 微 分 易 解。解：.x d x=-代 2-3尸)=f(2-3x2p/(2-3x2)=-V2-3x2+CJ；2 3 7 6J 7 2 3 7 6J 3(14)jcos2(tyz)sin(wz)/思 路:凑 微 分。解：Jcos2(6yr)sin(6yr)t/r=jcos2(cot)sin(cot)clcot=Jcos?3 M cos(碗)1 a-COS(69/)+C.36y(15)/xJ1 4思 路:凑 微 分。解：J 沙”=与 各 户 力 占 加 二 q 居 洒 i-i+c(16)p xJ COS X思 路:凑 微 分。解：f SilA dx=-f-6/C0SX=-一 二+C.J COS X J COS X 2 COS X(17)Jj:x思 路:经 过 两 步 凑 微 分 即 可。解:X10 1”正 arcsin(五)+C(18)思 路:分 项 后 分 别 凑 微 分 即 可。解:_1 r 1,2x二”_ 1 f 1 52x=-arcsin()+-2 3 4(19)J2X2-1思 路:裂 项 分 项 后 分 别 凑 微 分 即 可。解：=lf(J J2x2-1 J(V2x+l)(V2x-l)2J V2x-1一 厂(厂 厂)d yf2x2V2 J V2x-1 V2x+1=)历、历 d g x)fr rr d(Jlx+2*v 2/2,x-1 2 5/2 v 2x+1(20)f-J(4-5x)2思 路:分 项 后 分 别 凑 微 分 即 可。解：f _ _=f_l(z4)rfjc=f(_ LJ(4-5x/J 5(4-5x)2 25 J 4-5-f-j=J=t/4x28JA/9-4 X2+-f,1 rf(9-4x2)8J7 9-4 X2,9-4/+C.厂)dxV 2x+1)=9 需+C-4!-)d(4-5x)x(4-5xd(4-5x)-Z(4-5x)=25 J(4-5x)2(2 D 思 路:分 项 后 分 别 凑 微 分 即 可。版.f x%x _ r(x-l+l)2Jx _ r(x-1)2杵 J J(x.1)=f(Qg+2+而)。I)J(x-1升(x-l)U-l)00=_ _ J _ _ _ J _ _ 1 1,C97(x-1产 49(x-1)98 99(x-1)99,(22)心 Jx8-1思 路:裂 项 分 项 后 分 别 凑 微 分 即 可。解.r xdx r xdx 包 _h8-1-(A4-1)(X4+1)-J 2 x4-1 A,(x T),1 w2 u 1 inn)dxu-l),()o(x-1)100-)xdx=(-!-)dx24+r 4j-4-i x4+r1x2-1 X2+1)x4+14f 1.-1,.x-1.1 2 JU2T-)2Z+1 dx=-8l n I x2：+i I 4arctanx+C.(23)jcos3 xdx思 路:凑 微 分。cos xdx=d sin x o解：jcos3 xdx=jcos2 x cosxJx=jcos2 xd sin x=J(1-sin2 x)f/sin x=s in x-s in3x+C3(24)Jcos1M+e)力 思 路:降 赛 后 分 项 凑 微 分。解：jcos2(6 y/+(p)dt=jl+cos2(&+)cos 2(cot+(p)d2cot+(p)2=t+sin 2(切+*)+C2 4G(25)jsin2xcos3xdx思 路:积 化 和 差 后 分 项 凑 微 分。解：jsin 2xcos3xdx=5 5 x-g jsin xdx-cos5x+-c o s x+C10 2(26)卜 in5xsin7x思 路:积 化 和 差 后 分 项 凑 微 分。解：jsin5.rsin7x6/x=(cos 2x-cos 12x)dx=jcos 2xd2x-jcos 12xd(12x)=-sin 2x-sin 12x+C.4 24(27)pan3 x sec xdx思 路：凑 微 分 tan x sec xdx=d sec x。解：jtan3 xsecxdx=jtan2 x tanxsecxtir=jtan2 xd secx=j(sec2 x-)d secx=jsec2 xd sec x-jt/sec x=sec3 x-sec x+C(28)唔;思 路:凑 微 分=dx=d(-arccos x)oV i-7解：Qarccos xl-xi rjarccosx=-flOarcwsxJ arccos x=+C.J In 10(29)/dx(arcsinx)2vl-x2思 路:凑 微 分 3=dx=d(arcsinx)。V T 7解：dx(arcsinx)2Vl-x2r d arcsin x 1=-T=-+CJ(arcsin x)arcsin xarctan yfx4(1+x)(30)f dx思 路:号 分=4=2 a r c ta n&(3 4).解：嘴 号”喈 帝=(arctan Vx)2+CIn tan x,(31)-dxJcosxsinx思 路:被 积 函 数 中 间 变 量 为 tanx,故 须 在 微 分 中 凑 出 tanx,即 被 积 函 数 中 凑 出 sec。,In tan x,In tan x-dx=；-cos xsin x cos xtanx,In tan x。,In tan x.dx=-sec-xdx=-a tan xtanx=In tan xJ(ln tan x)=4/(Intan xtan x)2)周 AS午.r-In-t-an-x-.r In tan x.fin tanx,r,IZ1、dx=；-ax=-d tan x=In tan xa(In tan x)J cos x sin%J cos x tan x J tanx J1)=(In tanx)+C思 路:(l(x In x)=(1+In x)dx解：j 1+.二 dx=f!-d(xn x)=-5+CJ(xlnx)-J(xlnx),xn x(33)J l-e，解：方 法 一：思 路:将 被 积 函 数 的 分 子 分 母 同 时 除 以 e*,则 凑 微 分 易 得。f-=-dx=-fl d(e-s)=-f!(/*-)=-n I e7-I+CJ je*Je-1 Je-X-1 J e-l方 法 二:思 路:分 项 后 凑 微 分 J 曰=I T=T沙(”)=x-l n l l-erl+C=x-ln(ex le-v-l l)+C=x-(In e1-In I-11)+C=-In I-11+C方 法 三：思 路：将 被 积 函 数 的 分 子 分 母 同 时 乘 以 裂 项 后 凑 微 分。=x-In 11-I+C=-In I-11+C 削/解：方 法 一:思 路：分 项 后 凑 积 分。r 4dx _ 1 产 6+4-x6dxL(X6+4)-4 x(l+4)=In I x I4方 法 二：思 路:利 用 第 二 类 换 元 法 的 倒 代 换。令 x=则 dx=-dt ot v.f dx _ f _L f伫-一!w 6+),L-(x6+4)b,4(/)-24 1+4-24 1+4/t6i i 4=ln(l+4Z6)+C=ln(l+)+C.24 24 x6(35)f-v-Jx8(l-x2)解：方 法 一：思 路：分 项 后 凑 积 分。p dx 1 炉+戈/p(l-%2)(1+%)(1+戈 4)j,p dxh8(l-x2)=Jx8(l-x2)J/(1-x2)C+J匚 7l+x2+x4+x6.f dx-dx+-x8 J(l-x)(l+x)=-：-In-+C7/5*3x3 x 2+x方 法 二：思 路：利 用 第 二 类 换 元 法 的 倒 代 换。令 x=-则 dx=-dt odx-Jx8(l-?)=JTX(-Jdf)=-J=-(/+/+l+=p&一 3=-j(r6+r4+r2+l)dt-J(，-严 f=-J(J+/+t2+)dt-J(勺 出 7 5 34 K+c=l-二 匕+C2 z+1 7x?5x$3x3 x 2 1+x3、求 下 列 不 定 积 分。知 识 点：（真 正 的 换 元，主 要 是 三 角 换 元）第 二 种 换 元 积 分 法 的 练 习。思 路 分 析：题 目 特 征 是 被 积 函 数 中 有 二 次 根 式，如 何 化 无 理 式 为 有 理 式?三 角 函 数 中，下 列 二 恒 等 式 起 到 了 重 要 的 作 用。sin2 x+cos2 x=I;sec2 x-tan2 x=.为 保 证 替 换 函 数 的 单 调 性，通 常 将 交 的 范 围 加 以 限 制，以 确 保 函 数 单 调。不 妨 将 角 的 范 围 统 统 限 制 在 锐 角 范 围 内，得 出 新 变 量 的 表 达 式，再 形 式 化 地 换 回 原 变 量 即 可。(1)f d.X 1+J1-思 路:令 x=sinf，M,先 进 行 三 角 换 元，分 项 后，再 用 三 角 函 数 的 升 降 赛 公 式。解:令 x=sint,，|,J5J dx=cos tdt.-L=dt-=J1+V1-X2+COS1 J Jl+cosr 2cos2、2f x=f-tan+C=arcsin x-+C.2 1+V T?(或 二 a r c s i n+C)x(万 能 公 式 tan=丝 又 sin/=x 时，cosr=Vl-x2)2 1+cos t sinrJ X思 路:令 x=3secf/G(0,)9 三 角 换 元。2解：令 x=3secf,f e(0,生)，则=3secf tanf/f。23 tan t3 sect-3 sec t tan tdt=3 Jtan=dr=3 J(sec-l)df(x=3secx 时，cosx=3,sinx=旦,tanx=)x x 3+1)3思 路:令 x=ianf，M B，三 角 换 元。解：令 X=tan f,W g,则 dx=sec2 tdt odx rsec2 tdt f 力,X 厂=-=-=cos far=sinr+C=-/+C+1)产 J sec t J sec/J J1+/(4)dx1+/)3思 路:令 工=atanf,“1,三 角 换 元。解：令 x=fltanr,|r|,则 dx=a sec2 tdt。/dx _ a sec2 tdt _ p dtyj(x2+a2)3/sec31 J a2 seer=J jcos/山=Jsin/+C v.+C.a2J/a2+x9(5)j-X2+1思 路:先 令=进 行 第 一 次 换 元；然 后 令=进 行 第 二 次 换 元。/+i解：.=clx=f，+dx2，令 u=x2 得:u+Xl x4+1rdu 9=tan r,|r|y,贝!du=sec2 tdt,3u+,I r tanr+I 2,1 rtant+1,du=-sec tat=-sec tat2 J tan f seer 2 J tanr=(esc I+sec/)力=J In|secf+tan+；In|csc t-cot t|+C=g In|V2+1+“+J+In+C=-ln24+1+x2|+-ln+C.（与 课 本 后 答 案 不 同）(6)5-4x-x2dx思 路:三 角 换 元，关 键 配 方 要 正 确。解：5-4x-=9-(x+2)2,令 x+2=3sin，W,贝！)dx=3cosf力。/.j5-4x-x2dx=9cos2tdt=9,+；s2%=9(-+:sin 2r)+C=-arcsin 75-4x-x2+C.2 3 2 4、求 一 个 函 数/（X）,满 足 r（x）=-4=,且/（o）=i。l+x思 路:求 出 一=的 不 定 积 分，由 条 件“0）=1确 定 出 常 数 C 的 值 即 可。Ji+X令 F(x)=2 V T T 7+c,又/(o)=i,可 知。二 一 1,f(x)2/l+x 1.5、设 ln=jtann xdx,求 证：In=tan0-1 x-/H_2,并 求 jtan5 x d x。思 路：由 目 标 式 子 可 以 看 出 应 将 被 积 函 数 tan x 分 开 成 tan,-2xtan2x,进 而 写 成：tanfl-2 x(sec2 x-1)=tan xsec2 x-ta n-2x,分 项 积 分 即 可。证 明：/,7=Jtan xdx=j(tan/1-2 xsec2 x-tan/,-2 x)dx=jtann_2xsec2 x d x-jtan/,-2 xdxJian xd tsn x _ I-tsn/,x n-2,n=5时，/5=jtan5 xdx=tan4 x-I3=；tan x-g ta n?x+人=tan4 x-tan2 x+ftan xdx=-tan4 x-tan2 x-ln Icos x+C.4 2 J 4 2 1 1习 题 4-31、求 下 列 不 定 积 分：知 识 点：基 本 的 分 部 积 分 法 的 练 习。思 路 分 析：严 格 按 照 反、对、森、三、指 顺 序，越 靠 后 的 越 优 先 纳 入 到 微 分 号 下 凑 微 分 J 的 原 则 进 行 分 部 积 分 的 练 习。(1)jarcsin xdx思 路:被 积 函 数 的 形 式 看 作 d a r c s i n x,按 照“反、对、霹、三、指”顺 序，森 函 数 X。优 先 纳 入 到 微 分 号 下，凑 微 分 后 仍 为 公。解：farcsin xdx=x arcsin x-fx=J=J x=x arcsin x+-,z/(l-x2)=x arcsin x+l l-x2+C.(2)jln(l+x2)Jx思 路：同 上 题。解：jln(l+x2y/x=xln(l+x2)-jx 2 dx=xln(l+=xln(l+x2)-“I：!-/=x ln(l+J)-+2=x ln(l+x2)-2x+2 arctan x+C.(3)jarctan xdx思 路：同 上 题。解：farctan xdx=x arctan x-fx-7=x arctan x-J J 1+x2 21 2=x arctan x-ln(l+x)+C(4)fe-2 xsinc/A-J 2思 路：严 格 按 照“反、对、森、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：*/p-2r sindx=jsin，(_ g 2 x)=_ ge_ 2x s.i n X+1 f e_ 2r 1 cosX Jx.2 2 2 2-2x si.n x+12 4e21e21e2Jcos 夕(一#、)-2x.x 1.1.2x X 1 sin+(e cos-2 4 2 2 4-2 x.X 1 _ 2 x X 1 rsin-e cos-e2 8 2 16 J-2xe2x sin，a)s i n r2f-2 x-X,Ze，.x XJe sin=(4sin+cos)+C.(5)J X2 arctan xdx思 路：严 格 按 照“反、对、霹、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：Jx2 arctan xdx=jarctan xd(g)=x3 arctan x-1 fX3+X-X.1 3 1 r.X.=-x arctanx-：ax=x arctan x(x-)dx3 3J 1+x2 3 3 J 1+x2=x3a rc ta n x-xdx-=-x3arctanx-x2+f r J(l+x2)3 3J 3 Jl+x2 3 6 6 Jl+x21 1 1 2 1 1 2 X-.x arctan x x H ln(l+x)+C.3 6 6(6)fxcosv/xJ 2思 路：严 格 按 照“反、对、赛、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：fxcosA/x=2 xJsin=2xsin-2 fsin-dx=2xsin-4 fsin d J 2 J 2 2 J 2 2 J 2 2x x=2xsin+4cos+C.2 2(7)jxtan2 xdx思 路：严 格 按 照“反、对、霹、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：tan2xdx=j.v(sec2 x-Y)dx=j(xsec2 x-xylx=jxsec2 xdx-jxdx=xd(tan x)-xdx=x tan x-jtan xdx-=x tan x+In|cos x|-x2+C.(8)n2xdx思 路：严 格 按 照“反、对、赛、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：=xln2 x-|x-21nx Jx=xln2 x-2 jlnxe/x=xln2 x-2xlnx+2 jx t/x=xn2 x-2xnx+2p/x=xn2 x-2xnx+2x+C.Jxln(x-10 x思 路：严 格 按 照“反、对、霹、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。2.解：ln(x-V)dx=Jin*-1)J x2 ln(x-1)-2 2 x-l dx=x2 ln(x-1)-；J*+x=x2 In(x-l)-x2-x-ln(x-l)+C2 4 2 2(10)J詈 思 路：严 格 按 照“反、对、霹、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：-dx=jin2 xd(-)=-In2 x+2 nxdx=一-In2 x+2x J x x X x=In2 x+2x)=-In2 x-lnx+2 dx=-In2 x-Inx-+CJ x x x O x x x=-(In2 x+lnx+2)+Cx(11)|cos In xdx思 路：严 格 按 照“反、对、霹、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：,/jcosln AJX=xcoslnx+jxsinlnx-dx=xcoslnx+xjsin nxdx=xcos lnx+xsin In x-jxcos In x-dx=xcos Inx+xsinlnx-jcos In xdx/.jcos In xdx=3(cos nx+sin In x)+C.(12)思 路：详 见 第（10）小 题 解 答 中 间，解 答 略。(1 3).nxdx(0-1)思 路：严 格 按 照“反、对、猴、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：Jn+i ixn In xdx=flnxJ-=-xn+i Inx-J n+1+1LxX=-xrt+,In x-n+1Inx-(+D+C.(14)jx2exdx思 路：严 格 按 照“反、对、赛、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：jx2e xdx=-x2e-x+ex2xdx=-x1ex-2xex+2 exdx=x*,2xe 2e+C=e A(A+2,x+2)+C(15)jV(nx)2公 思 路：严 格 按 照“反、对、霹、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：jx3(ln x)2dx=j(ln x)2(-x4)=-x4(ln x)2 1x4-21nx-Jx=+4(lnx)2 一;jx3Inxdx=(n x)2 Jlnxdx，=，/(ln x)2 L/l n x+，x4 Jx=x4(lnx)2-x4 lnx+-x3dx4 8 8 J x 4 8 8 J=x4(lnx)2-x4 lnx+x4+C=-x4(21n2 x-ln x+)+C.4 8 32 8 4(16)J用 x思 路：将 积 分 表 达 式 则 心 写 成 I n l n m(l n x),将 I n i看 作 一 个 整 体 变 量 积 分 即 可。x解：rln In A _ jnlnxd(lnx)=In.rlnlnx-flnx t/x=In jrln ln x-dxJ x J J Inx x Jx=In x ln ln x-lnx+C=In x(ln ln x-l)+C.(17)jxsin x cos xdx思 路：严 格 按 照“反、对、霹、三、指”顺 序 凑 微 分 即 可。解：IxsinxcosxJx=jgxsin2xdx=：j*W(一;cos2x)=一;xcos2x+；|c o s2xdx=-xcos 2x+-fcos 2xd2x=-x cos 2x+-sin 2x+C.4 8 J 4 8(18)fx 2 cos2 2dxJ 2思 路：先 将 c o s N降 森 得 匕 况，然 后 分 项 积 分；第 二 个 积 分 严 格 按 照“反、对、2 2霹、三、指 顺 序 凑 微 分 即 可。解：2 cos2 d x=x2+x2 cosx)dx=；Jx2Jx+g 卜 2 c o sxdx=-x3+-d s i n x=-x3+x2 s i n x-flxsinxt/x6 2 J 6 2 2 J=x3+x2 sinx+xd cos x=-x3+x2 sin x+xcos x-fcos xdx6 2 J 6 2 J=-x3+x2 sin x 4-x cos x-sin x+C6 2(19)|(x2-l)sin2xdx思 路：分 项 后 对 第 一