高数期末复习题word版.pdf

高等数学（一）期末第一套复习题高等数学（一）期末第一套复习题一、选择题一、选择题1、极限lim(x x x)的结果是（C）x2（A）0（B）（C）31（D）不存在22、方程x 3x1 0在区间(0,1)内（B）（A）无实根（B）有唯一实根（C）有两个实根（D）有三个实根3、f(x)是连续函数,则f(x)dx是f(x)的（C）（A）一个原函数；(B)一个导函数；(C)全体原函数；(D)全体导函数；4、由曲线y sin x(0 x)和直线y 0所围的面积是（C）（A）1/2 (B)1 (C)2 (D)5、微分方程y x满足初始条件y|x0 2的特解是 (D )（A）x（B）3211 x3（C）x3 2（D）x3 2336 6、下列变量中，是无穷小量的为（A）(A)ln x(x 1)(B)ln7、极限lim(xsinx01x 2(x 0)(C)coscos x x(x x 0)0)(D)2(x 2)xx 411sin x)的结果是（C）xx（A）0（B）1（C）1（D）不存在8、函数y y e e arctanarctan x x在区间 1,11,1上（A）（A）单调增加（B）单调减小（C）无最大值（D）无最小值9、不定积分x x xx21dx=（D）2 22 21 11 12 2(A)arctanarctanx x C C (B)ln(ln(x x 1)1)C C (C)arctanarctanx x C C(D)ln(ln(x x 1)1)C C2 22 2x10、由曲线y e(0 x 1)和直线y 0所围的面积是（A）（A）e 1 (B)1 (C)2 (D)e11、微分方程dydy xyxy的通解为（B）dxdx2 2x x（A）y y CeCe（B）y y CeCe1 12 2x x2 2（C）2y y e eCxCx（D）y y CeCex x2 21212、下列函数中哪一个是微分方程y3x 0的解(D D)（A）y x（B）y x（C）y 3x（D）y x13、函数y y sinsin x x coscos x x 1 1是（C）(A)奇函数；(B)偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)既是奇函数又是偶函数.14、当x 0时，下列是无穷小量的是（B）（A）ex12323 (B)ln(x1)(C)sin(x 1)(D)x 115、当x 时，下列函数中有极限的是（A）（A）x11cosx (B)(C)(D)arctanx2xx 1e316、方程x px1 0(p 0)的实根个数是（B）（A）零个（B）一个（C）二个（D）三个11 x2)dx（B）11（A）（B）C（C）arctanx（D）arctanxc221 x1 x17、(18、定积分baf(x)dx是（C）（A）一个函数族（B）f(x)的的一个原函数（C）一个常数（D）一个非负常数二、填空题二、填空题11cosx1 1、lim22x0 x2、若f(x)e3、2x 2，则f(0)211(x3cosx5x1)dx 2t t4、etdx e e x x C C5、微分方程y y 0满足初始条件y|x0 2的特解为y 2exx24 06、limx2x33x x 247 7、极限lim2x2x 428、设y xsin x1,则f()129、1 1 1 1(x xcoscos x x 1)1)dxdx 210、3 3 1 1 x x2 2dxdx 3arctan3arctan x x C C2 22 211、微分方程ydyydy xdxxdx的通解为y y x x C C1212、1 1 1 15 5x x4 4dxdx 2x x sinsin2 2x x 1x x221313、limlimx x14、设y cosx，则dy 2xsin x dx15、设y y x xcoscos x x 3,3,则f f()-112xeCxx216、不定积分e de 17、微分方程y e2x的通解为y 12xeC2x xy y e e C C18、微分方程lnln y y x x的通解是三、解答题三、解答题1 1、（本题满分 9 分）求函数y y x x 1 1 6 6 2 2 x x的定义域。2、（本题满分 9 分）设f f(x x)x x(x x 1)(1)(x x 2)2)3 3、（本题满分 10 分）设曲线方程为y 程。(x x 110)110)，求f f (0)(0)。1312x x 6x 1,求曲线在点(0,1)处的切线方3224 4、（本题满分 10 分）求由直线y y x x及抛物线y y x x所围成的平面区域的面积。5 5、（本题满分 10 分）讨论函数讨论函数f f(x x)x x 2 2x x 1 1在在x x 1 1处的连续性。处的连续性。3 3x xx x 1 1 dydy 2x x 36、（本题满分 10 分）求微分方程 dxdx的特解。y y|x x 1 37 7、（本题满分 9 分）求函数y y 2 2 x x 4 4 coscos5 5 x x的定义域。8、（本题满分 9 分）设f f(x x)x x(x x 1)(1)(x x 2)2)2(x x 130)130)，求f f (0)(0)。29 9、（本题满分 10 分）设平面曲线方程为x x 2xyxy 3y y 3，求曲线在点（2，1）处的切线方程。1010、（本题满分 10 分）求由曲线y e及直线y 1和x 1所围成的平面图形的面积（如下图）x1111、（本题满分 10 分）讨论函数讨论函数f f(x x)2 2 x xx x 0 0 e e 1 1x x 0 02 2x x在在x x 0 0处的连续性。处的连续性。12、（本题满分 10 分）求方程求方程(1 1 y y)dxdx (1 1 x x)dydy 0 0的通解。的通解。1313、（本题满分 9 分）证明方程x x 7 7x x 4 4在区间(1 1,2 2)内至少有一个实根。14、（本题满分 9 分）设f f(x x)x x(x x 1)(1)(x x 2)2)y y5 5(x x 120)120)，求f f (0)(0)。1515、（本题满分 10 分）求曲线e e xyxy e e在点（0，1）处的法线方程。1616、（本题满分 10 分）求曲线y cosx与直线y 2,x 2 coscos x xx x 0 01717、（本题满分 10 分）讨论函数讨论函数f f(x x)在在x x 0 0处的连续性。处的连续性。x x 1 1x x 0 0及y轴所围成平面图形的面积。dydy2 22 2 1 1 x x y y xyxy18、（本题满分 10 分）求微分方程 dxdx的特解。y y|x x 0 0 1 1高等数学（一）期末复习题答案高等数学（一）期末复习题答案三、解答题三、解答题1 1、（本题满分 9 分）x x 1 1 0 0解：由题意可得，2 2 x x 0 0 解得 x x 1 1x x 2 2 所以函数的定义域为 1，22、（本题满分 9 分）解：f f (0 0)limlimx x0f f(x x)f f(0)x x 0 lim(lim(x x 1)(1)(x x 2)2)x x0 0(x x 110)110)110!110!3 3、（本题满分 10 分）2 2解：方程两端对x x求导，得y y x x x x 6 6将x x 0 0代入上式，得y y(0,1)(0,1)6 6从而可得：切线方程为y y 1 1 6(6(x x 0)0)即y y 6 6x x 1 14 4、（本题满分 10 分）y y1x x=y yy y=x x2 20 0解：作平面区域，如图示1x x y y x x解方程组 得交点坐标：（0，0），（1，1）2 y y x x x x2x x3 12 所求阴影部分的面积为：S S (x x x x)dxdx=023 06115 5、（本题满分 10 分）解：limlim f f(x x)limlim x x 2 2 3 3 f f(1)(1)x x1 1x x1 1x x1 1 limlim f f(x x)limlim 3 3x x 3 3 f f(1)(1)x x1 1f f(x x)在x x 1 1处是连续的。6、（本题满分 10 分）解：将原方程化为dydy (2x x 3)dxdx两边求不定积分，得dydy (2x x 3)dxdx，于是y x 3xC将y y|x x 1 3代入上式，有313C，所以C 1，故原方程的特解为y y x x 3x x 1。7 7、（本题满分 9 分）解：由题意可得，2 2 x x 4 4 0 0 5 5 x x 0 0解得 x x 4 4x x 5 5 所以函数的定义域为 4，58、（本题满分 9 分）解：f f (0 0)limlimx x0f f(x x)f f(0)x x 0 lim(lim(x x 1)(1)(x x 2)2)x x0 0(x x 130)130)130!130!9 9、（本题满分 10 分）解：方程两端对解：方程两端对x x求导，得求导，得2x x 2(y y x xy y)6y yy y 0将点（将点（2 2，1 1）代入上式，得）代入上式，得y y(2,1)1从而可得：切线方程为从而可得：切线方程为y y 1 (x x 2)即即x x y y 3 01010、（本题满分 10 分）解：所求阴影部分的面积为S S x x 1 10 0(e ex x 1)1)dxdx1 1 (e e x x)0 0 e e 2 21111、（本题满分 10 分）解：limlim f f(x x)limlim e ex x 1 1 0 0 f f(0)(0)x x0 0 x x0 0 x x0 0 limlim f f(x x)limlim x x 0 0 f f(0)(0)x x0 0f f(x x)在x x 0 0处是连续的。12、（本题满分 10 分）解：由方程由方程(1 1 y y)dxdx (1 1 x x)dydy 0 0，得，得2 22 2dydydxdx 1 1 y y2 21 1 x x2 2两边积分：两边积分：dydydxdx 1 1 y y2 2 1 1 x x2 2得得arctanarctan y y arctanarctanx x C C所以原方程的通解为：所以原方程的通解为：arctanarctan y y arctanarctanx x C C或或y y tan(arctantan(arctanx x C C)1313、（本题满分 9 分）解：令F F(x x)x x 7 7x x 4 4，F F(x x)在1,21,2上连续5 5 F F(1)(1)1010 0 0，F F(2)(2)1414 0 0由 零 点 定 理 可 得，在 区 间(1 1,2 2)内 至 少 有 一 个，使 得 函 数F F()5 5 7 7 4 4 0 0，即方程x x 7 7x x 4 4 0 0在区间(1 1,2 2)内至少有一个实根。14、（本题满分 9 分）解：f f (0 0)limlimx x05 5f f(x x)f f(0)x x 0 lim(lim(x x 1)(1)(x x 2)2)x x0 0(x x 120)120)120!120!1515、（本题满分 10 分）解：方程两端对解：方程两端对x x求导，得求导，得e e y y y y x xy y 0 0y y将点（将点（0 0，1 1）代入上式，得）代入上式，得y y(0 0,1 1)1 1 e e从而可得：从而可得：法线方程为法线方程为y y exex 1 11616、（本题满分 10 分）解：作平面图形，如图示y=22S 20(2cosx)dx (2(2x x sinsin x x)2 20 0(20 x y=cosx22xsin)0 1221717、（本题满分 10 分）解：limlim f f(x x)limlim coscos x x 1 1 f f(0)(0)x x0 0 x x0 0 x x0 0 limlim f f(x x)lim(lim(x x 1)1)1 1 f f(0)(0)x x0 0f f(x x)在x x 0 0处是连续的。18、（本题满分 10 分）解：将原方程化为dydy(1 x)dx(1 x)(1 y2)或21 ydx两边求不定积分，得arctanarctan y y x x 由y|x01得到C C 1 12 2x x C C2 2 4 4故原方程的特解为arctan y x 或y tan(x 12x 2412x).24（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）