函数定义域的类型和求法.pdf
1.11.1 函数定义域函数定义域通过介绍函数定义域的类型和求法，以全面认识定义域，深刻理解定义域，正确求函数的定义域。一、常规型一、常规型其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或不等式组）即得原函数的定义域。注：1、给定函数时要指明函数的定义域。对于用解析式表示的函数如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合，即能使函数式有意义的自变量x的集合称为函数的定义域。2、求函数的定义域的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.类型类型 1 1、含分式的函数、含分式的函数在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。例例 1 1、求下列函数的定义域（1）f(x)1x 2解：要使函数有意义，必须：x2 0,即x 2.函数f(x)1的定义域是：x|x 2x 2x21（2）f(x)x1类型类型 2 2、含偶次根式的函数、含偶次根式的函数（1）求含偶次根式的函数的定义域时，注意偶次根式的被开方数不小于 0，通过求不等式来求其定义域；（2）在研究函数时，常常用到区间的概念，它是数学中常用的术语和符号，注意区间的开闭情况.例例 2 2、求函数f(x)3x 2的定义域？解：要使函数有意义，必须：3x2 0,即x .函数f(x)12323x 2的定义域是x|x .3类型类型 3 3、复合型函数、复合型函数函数是由一些基本初等函数通过四则运算而得到的，则它的定义域是各基本函数定义域的交集，通过列不等式组来实现.例例 3 3、f(x)x 1 12 xx1 0 x 1解：要使函数有意义，必须：.2 x 0 x 2函数的定义域是：x|x 1且x 2练习：求函数f(x)x23x 4的定义域？x 1 2解：要使函数有意义，必须：2x 3x4 0 x 4或x 1 x 3或3 x 1或x 4x 3且x 1x1 2 0函数的定义域为：x|x 3或3 x 1或x 4.二、抽象函数型二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有四种情况。类型类型 1 1：已知f(x)的定义域，求复合函数f(g(x)的定义域解法：若f(x)的定义域为a,b,则f(g(x)中a g(x)b，从中解出x的取值范围即为f(g(x)的定义域。例例 4 4、已知函数f(x)的定义域为15，求f(3x5)的定义域分析：若f(x)的定义域为a x b，则在fg(x)中，a g(x)b，从中解得x的取值范围即为fg(x)的定义域本题该函数是由u 3x5和f(u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f(x)与f(u)是同一个函数，因此这里是已知1 u 5，即13x55，求x的取值范围解：410，5,1 3x5 5,x.f(x)的定义域为1334 10故函数f(3x5)的定义域为，33练习：练习：1、若函数y f(x)的定义域为,2，求f(log2x)的定义域？2212、已知y f(x)的定义域为2,2，求y f(x21)的定义域？3、已知y f(x)的定义域为1,3,求y f(x1)的定义域？4、已知函数f(x)的定义域为(0,1),求函数f(x1)的定义域？12x25、设 函 数y f(x)的 定 义 域 为A 4,)，给 出 下 列 函 数：y f(2x 4),y f()，416y f(2 x),y f()，其定义域仍是 A 的有（）xA.1 个B.2 个C.3 个D.4 个6、若函数y f(x)的定义域是0,2，则函数g(x)A0,1 B0,1)C0,1)f(2x)的定义域是x1(1,4 D(0,1)7、已知函数f(x)的定义域为1,2，求函数y f(12x)的定义域？类型类型 2 2：已知复合函数f(g(x)的定义域，求f(x)的定义域解法：若f(g(x)的定义域为a,b,，则由a x b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。例例 5 5、已知函数f(x 2x2)的定义域为0，3，求函数f(x)的定义域2分析：若fg(x)的定义域为m x n，则由m x n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域这种情 况下，f(x)的定义域即为复 合函数fg(x)的内函数的值域。本题中 令u x 2x2，则2f(x22x2)f(u)，由于f(u)与f(x)是同一函数，因此u的取值范围即为f(x)的定义域解：由0 x 3，得1 x 2x2 52令u x 2x2，则f(x 2x2)f(u),1 u 5.故f(x)的定义域为15，22练习：练习：1、若函数f(3 2x)的定义域为1,2,则函数f(x)的定义域是（）A.,152B.1,2C.1,51D.,222、已知函数y f(x1)的定义域为0,9,求y f(x)的定义域？3、已知函数y flg(x1)的定义域为0,9,求y f(x)的定义域为4、已知y f(2x1)的定义域为1,2,求f(x)的定义域。3类型类型 3 3、已知复合函数f(g(x)的定义域，求f(h(x)的定义域可先由fgx定义域求得fx的定义域，再由fx的定义域求得fhx的定义域。例例 6 6、函数y f(x1)定义域是2,3,则y f(2x1)的定义域是（）5A.0,2B.1,4C.5,5D.3,7解：先求f(x)的定义域，因为y f(x1)的定义域是2,3,所以2 x 3,所以1 x 4,即y f(x)的定义域是1,4,再求fhx的定义域51 2x 4,0 x.2所以y f(2x1)的定义域是0,，故应选 A练习：练习：1、函数y f(2)的定义域为1,2,则函数y f(log2x)的定义域为（）x52A.0,12B.1,2C.2,4xD.4,162、已知f(x)的定义域为1,1，则f(2)的定义域为_。3、若函数y f(x1)的定义域为,2,求f(x2)的定义域分析：已知f(x1)的定义域为,2,x满足然后f(x)的定义域由fx的定义域可得2121211 x 2,于是 x1 3,得到fx的定义域，22解：先求fx的定义域：由题意知111 x 2,则 x1 3,即fx的定义域为,3.再求222f(h(x)的定义域：221,或 x 3.x2 3,解得 3 x 22222,或 x 3.22f(x2)的定义域是x|3 x 类型四、运算型的抽象函数类型四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。例例 7 7、若f(x)的定义域为3，5，求(x)f(x)f(2x5)的定义域分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集4解：由f(x)的定义域为3，5，则(x)必有所以函数(x)的定义域为4，0练习：练习：3x5，解得4 x032x55，已知函数fx的定义域是(0,1,求g(x)f(xa)f(xa),分析：分别求f(xa)与f(xa)的定义域，再取交集。1 a 0的定义域。2解：由已知，有0 xa 1a x 1a,，即0 xa 1a x 1a.函数的定义域由确定函数g(x)1 a 0,a a 1a 1a.2的定义域是(a,1a.三、逆向型三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。例例 8 8、已知函数y mx26mxm8的定义域为R,求实数m的取值范围。2分析：函数的定义域为R,表明mx 6mxm8 0使一切xR都成立，因为x项的系数是m,所2以应分m 0或m 0进行讨论。解：当m 0时，函数的定义域为R;2当m 0时，mx 6mxm8 0是二次不等式，其对一切实数x都成立的充要条件 是m 0,0 m1.综上可知0 m 1.2 (6m)4m(m8)0,练习：练习：例 6 已知函数f(x)kx7的定义域是R,求实数k的取值范围。2kx 4kx322解：要使函数有意义，则必须kx 4kx3 0(*)恒成立，因为f(x)的定义域为R,即kx 4kx3 0无实数根。3;43当k 0时，方程(*)恒成立。综上 k 的取值范围是0 k;42当k 0时，16k 43k 0恒成立，解得0 k 5
