矩阵内容两种处理方式的教学比较实验.pdf

第：3 卷第。期数学教育学报V 0 1 2 3，N o 52 0 1 4 年1 0 月J O U R N A LO FM A T H E M A T I C SE D U C A T I O NO c t，2 0 1 4矩阵内容两种处理方式的教学比较实验刘淑贞1，王明宇2(1 湖南安全技术职业学院基础课部数理教研室，湖南长沙4 1 0 1 5 1；2 湖南农业大学信息科学技术学院，湖南长沙4 1 0 1 2 8)摘要：矩阵教学内容处理方式大致可分为两大类：一个是从“代数”角度出发，另一个是从“几何”或者“变换”的角度出发这两者各有特点，就两种处理方式进行教学比较实验，通过对实验数据的显著性检验统计分析表明：在认知理解方面，从“几何”角度比从“代数”角度处理矩阵内容的教学效果要好；在计算能力方面，后者比前者的教学效果要好；在综合应用方面，两者都不是很理想关键词：矩阵；代数；几何变换；教学；比较中图分类号：G 4 2 0 文献标识码：A 文章编号：1 0 0 4-9 8 9 4(2 0 1 4)0 5-0 0 8 4-0 31 矩阵内容两种处理方式的特点分析1 1从几何角度处理矩阵内容的特点从几何角度处理矩阵是指从本质上把握矩阵与几何变换的一一对应关系来处理矩阵内容(包括矩阵的概念、运算、性质、特征值与特征向量等)教学中注重“数形”结合思想方法的渗透和应用，不追求数学体系的完整性，控制运算的难度以线性变换为主题核心，以探索直观的启发式方法引入数学概念和“数学证明”【”比如通过几类简单重要的几何变换引入矩阵概念；通过旋转变换引入矩阵与向量的乘积：通过两个连续施行两次具体的线性变换引入矩阵的乘法；通过直观的几何变换来阐述矩阵的乘法不满足交换律和分配律的性质：通过旋转变换、切变变换等具体的线性变换引入逆矩阵的概念、性质；通过关于某一“标准轴(面)”的镜像反射(对称)变换、在某一坐标轴方向的伸缩变换、在某一坐标轴方向的切变变换分别来阐述“交换某两行的位置”、“把某一行乘以一个非零数”、“把某一行的k 倍加到另一行上”的3 种基本初等变换【2 1 通过考察关于工轴的反射变换、伸缩变换作用下的不变直线，引入矩阵的特征值、特征向量的概念、性质等总之，借助直观的几何变换(线性变换)研究矩阵的概念、运算和特征性质，注重矩阵的几何意义和几何变换的应用，是从“几何”角度出发处理矩阵教学的核心思想1 2 从代数角度处理矩阵内容的特点从代数角度处理矩阵主要以“线性方程组”为主线，结合“线性方程组”的结构和求解，以代数的形式来定义矩阵、对矩阵的性质以及有关的定理和法则进行演绎证明注重把“矩阵”看作是解线性方程组的有利工具，强调“符号化”和“程序化”的数学思想比如从方程组的系数结构形式出发引入矩阵的定义：以两个线性方程组的复合为背景引入矩阵的乘法；以代数求解线性方程组引入逆矩阵等从代数角度处理矩阵的教学注重矩阵的代数形式计算，如矩阵加法、减法、乘法运算、矩阵的求逆运算、矩阵的求秩运算、矩阵的特征值和特征向量的计算：注重教学内容的完整性和系统性；注重代数的逻辑演绎证明p】2 教学比较实验的总体设计2 1 实验的假设分别采用两种矩阵内容的处理方式进行教学，对学生的在矩阵知识的认知理解、计算能力、应用能力等方面都会产生不同的教学效果2 2 被试湖南省安全技术职业学院计算机专业两个班0 1 班和0 2班，其中0 1 班3 9 人，0 2 班4 2 人，共8 1 人2 3自变量和因变量及控制变量自变量：矩阵教学内容的设计和处理方式因变量：学生的测试成绩，学生对矩阵学习的感受以及在对矩阵的认知、计算和应用方面所体现的教学效果控制变量：(1)亲自进行教学实践：(2)在同一年级，相同的专业学生中进行实验；(3)严格按照两种不同的教学特点进行教学；(4)基本上采用统一的“引导一发现”的教学模式2 4 实验设计类型整体上采取不等对照组后测实验设计形式在0 l 班采用从“代数”角度处理矩阵的方式进行教学，在0 2 采用从“几何”角度处理矩阵的方式进行教学；两个班再进行教学实践的后测验2 5 实验步骤第一阶段：实验前的准备阶段。对要进行的教学内容按照各自的教学内容的处理特点设计可行的教学方案；对0 1、0 2 两个班学生的数学成绩进行调查根据成绩对两个班的学生稍作调整，使得数学成绩在期望和方差上相近第二阶段：实验的实施阶段根据从“代数”角度处理矩阵内容的特点进行教学设计，在0 1 班进行教学实践；同时根据从“几何”角度处理矩阵内容的特点进行教学设计，在0 2 班进行教学实践；在实验过程中观察并记录学生进行收稿日期：2 0 1 仙4 一0 8基金项目：2 0 1 2 年国家科技支撑计划课题农村物联网基础平台共性关键技术研究(2 0 1 2 B A D 3 5 8 0 4)作者简介：刘淑贞(1 9 8 2 一)，女，湖南衡阳人，讲师，硕士，主要从事数学课程与教学论研究万方数据第5 期刘淑贞等：矩阵内容两种处理方式的教学比较实验矩阵学习的各方面情况第三阶段：实验后的检测阶段对教学实验后两个班的同学进行测试和访谈。检测教学效果，了解学生的学习感受第四阶段：对教学测试的结果进行数据统计分析，结合其它记录总结成果2 6 教学实践的教参选用及课时安排从“代数”角度处理矩阵的教学，选用的参考书以浙江大学数学系编的线性代数(高职高专的规划教材)为主，在0 l 班实施从“几何”角度处理矩阵的教学选用的参考书有矩阵与变换(人民教育出版社)4 1、矩阵与变换(江苏教育出版社)以及矩阵与变换(北京师范大学出版社)【5 1，其中以矩阵与变换(人民教育出版社)为主，在0 2 班实施由于实验主要是进行矩阵基础知识的教学比较，研究的重点放在矩阵的概念教学、矩阵的乘法运算、逆矩阵与线性方程组、特征值和特征向量部分教学实验从开学的第2 周开始，每班每周4 节课，共6周时间2 4 节课，根据两种教学内容处理的特点严格执行3 实验研究的结果及分析3 1 实验数据的实现实验主要对3 个方面的教学效果进行比较：(1)对矩阵概念的认知理解方面；(2)有关矩阵的计算能力方面；(3)有关矩阵知识的综合运用方面在几个有多年教学经验的老师合力商讨下，制定了一份有针对性的检测试卷，该试卷共1 3 道题其分值分布以及与3 个方面的教学效果的联系见表1 表1 分值分布表其中O l 班和0 2 班的详细成绩运用S P S S 软件得到原始统计表，见表2 表2D e s c r i p t i v eS t a t i s t i c s其中，A l，爿2 分别表示0 l 班和0 2 班“概念的认知”部分；曰l，曰2 分别表示叭班和0 2 班的“计算”部分：C 1，C 2 分别表示0 l 班和0 2 班的“综合应用”部分；D】，0 2 分别表示0 1 班和0 2 班的“总成绩”部分以上4 组数据经S P S S 统计软件正态检验可知整体上基本服从正态分布3 2 实验检测统计原理由于实验检测的4 个部分的每两组数据都是来自两个不同的班级，样本容量分别为3 9 和4 2，且每两组数据都是基本上服从正态分布，因此实验对每部分的比较采用的是独立的大样本平均数间差异的显著性检验，采用的统计公式是z 检验的公式：Z=说明：(1)式中x、_ 分别为两个样本的平均数：(2)式中S、S 分别为两个样本的标准差；(3)式中强、以，分别为两个样本的容量；(4)公式使用条件是：两个总体服从正态或接近正态分布且相互独立，大样本1 6 1 3 3 数据检验步骤和结果使用以上的数据和公式，检验步骤如下：(1)建立假设，H。：“=：(2)计算统计量：2 3 2 8Z ，=乙，岛=z c l c 2=毛岛=7 87 3：!：!三!：!：0 5 2 U=-；=一=4 7 0 25 0 9 21 r+1 r6 5 1 0 6 5 0 2=0 0 2(3)确定显著性水平及临界值取a=0 0 5，正态分布时，其界限值为Z。=1 9 6(4)比较统计结果I Z 柚。啦I=3 7 8 1 9 6=z 0 0 5，拒绝原假设o；I z 两，毋I=3 7 3 1 9 6=Z 嘣，拒绝原假设H o；I z c l，c 2 I=o 5 2 1 9 6=Z o。；，接受原假设。；l z 功，D 2 l=o 0 2 1 9 6=Z o0 5，接受原假设o(5)结论：从上面的统计结果可以看出，从“代数”角度处理矩阵内容进行教学的0 l 班与从“几何变换”的角度处理矩阵内容进行教学的0 2 班在矩阵概念的认知理解、矩阵计算能力方面有显著性差异，在矩阵的综合应用和总成绩方面不存在显著性差异3 4 结论分析及启示从实验的结果可以看出，从“代数”与从“几何”角度处理矩阵教学内容的方式不同所导致的教学效果也是有差异的：第一，在对矩阵知识的认知理解方面，从“几何”角度比从“代数”角度出发的教学效果要好也就是说前者更慝孵万方数据数学教育学报第2 3 卷有助于学生对矩阵一些基础知识的本质的理解，同时从实验过程中所记录的学生的学习情况可以看出，0 2 班比0 l 班的学生在矩阵的学习过程中对一些基本概念的困惑明显要少；相反，0 l 班学生对这种特殊的“代数式子”充满了很多的“莫名其妙”第二，在矩阵的运算能力方面，从“代数”角度比从“几何”角度出发体现的教学效果要好从考试的做题情况来看，0 1 班的多数同学能够在较短的时间准确地进行矩阵的乘法运算、求逆运算、求特征值和特征向量的运算；相反，0 2 班的同学则花的时间要长一些，而且正确率相对要低，在运算的程序方面思维较为混乱第三，在矩阵的综合应用方面，从试卷的成绩分析来看两者都不是很理想究其原因是：要把矩阵的知识灵活应用到实际生活中，不仅需要对矩阵知识要有本质的理解，而且需要利用矩阵的作为代数式子的图表或符号特征来简化问题中的各种关系，也就是说矩阵的形式化和程序化特征、矩阵的计算能力的掌握也影响着矩阵的综合应用因此，只有对矩阵知识的认知理解深刻了，矩阵的计算能力加强了，对矩阵的形式化的特征掌握了，才能够使学生在矩阵的综合应用上更上一层楼实验的结果带来启示：矩阵教学要实施的更有效果，需要融合两种教学内容处理方式，既要注重矩阵的代数特征又要注重矩阵的几何意义从几何直观的角度演绎数学知识使学生较早接触矩阵的自然性和合理性，使学生对数学问题的理解更具有表象性，促进数学学习的积极性和对数学的亲切慰7】；同时，用形式化数学语言表达的数学内容，是数学的学术形态，严谨、简明、准确，体现了“冰冷的美丽，【引数学教学应做到逻辑思维与直觉思维的互补，这不仅要从课程教材编制的层面作方向性的引导，还要在教学手段、方式、内容的实践层面有所改进【9】两者的结合才能使“矩阵”这个重要的工具体现它独有的魅力和强大的力量数学教学行为才更高效，更凸显科学性、智慧性与艺术性等特征【l0 1 参考文献】【1 邓勇，吴宏线性代数课程教学的探索与实践四数学教育学报，2 0 1 2，2 1(2)：7 4 7 7 2 吕世虎，李军基本初等矩阵的几何意义及其在教学中的运用 J】数学教育学报，2 0 0 8，1 7(1)：7 9 8 3【3 北京大学数学系几何与代数教研室高等代数(第三版)M】北京：高等教育出版社，2 0 0 3 4 人民教育出版社课程教材研究所矩阵与变换(A 版)M】北京：人民教育出版社，2 0 0 7 5 1 严士健，王尚志矩阵与变换 M 北京：北京师范大学出版社，2 0 0 4 f 6 1 綦春霞数学比较教育【M】南宁：广西教育出版社，2 0 0 7 7 郝志峰数学文化融入线性代数教学的探索 J】数学教育学报，2 0 1 l，2 0(5)：8 8 张艳霞，龙开奋，张奠宙数学教学原则研究 J 数学教育学报，2 0 0 7，1 6(2)：2 4 2 7【9 1 宁连华，涂荣豹中国数学基础教育的继承与发展四数学教育学报，2 0 1 2，2 1(6)：6-9 1 0】王光明高效数学教学行为的特征 J】数学教育学报，2 0 1 l，2 0(1)：3 5-3 8 T w oK i n d so fD e a l i n gw i t ht h eC o n t e n to fM a t r i xT e a c h i n gC o m p a r a t i v eE x p e r i m e n tL I US h u z h e n l，W A N GM i n g y u 2(1 H u n a n V o c a t i o n a l I n s t i t u t eo f S a f e t y T e c h n o l o g y,H u n a n C h a n g s h a 4 1 0 1 5 1，C h i n a；2 I n f o r m a t i o na n dS c i e n c eT e c h n o l o g yC o l l e g e，H u n a nA g r i c u l t u r a lU n i v e r s i t y,H u n a nC h a n g s h a4 1 0 1 2 8，C h i n a)A b s t r a c t：T h e r ea r et w ok i n d so fd e a l i n gw i t ht h et e a c h i n gc o n t e n to fm a t r i x：f r o mt h e A l g e b r a i c p o i n to fv i e wa n df r o mt h e“G e o m e t r i c-T r a n s f o r m a t i o n”p o i n to fv i e w T h e r ea r eal o to fd i f f e r e n c e sb e t w e e nt h et w od e a l i n gw a y s T h ep a p e rt h e nm a k e sat e a c h i n gc o m p a r a t i v ee x p e r i m e n to nt h ew a yo fd e a l i n gw i t ht h et w od i f f e r e n tm a t r i xt e a c h i n gc o n t e n t si nH u n a nV o c a t i o n a lI n s t i t u t eo fS a f e t yT e c h n o l o g y,t h r o u g has i g n i f i c a n ta n a l y s i s(Z T e s t)，r e s u l t ss h o w e dt h a t：o nt h ea s p e c to fc o g n i t i v eu n d e r s t a n d i n g，t h et e a c h i n ge f f e c t i v e n e s so fm a t r i xb yt h ew a yo f“G e o m e t r i c T r a n s f o r m a t i o n i sb e R e rt h a nt h a to f“A l g e b r a ，o nt h ea s p e c to fC o m p u t i n gc a p a c i t y,t h el a t t e rc a l lb r i n gb e t t e rt e a c h i n ge f f e c t i v e n e s s；a sf o rt h ec o m p r e h e n s i v ea p p l i c a t i o n，b o t hw a y sa r en o tv e r ys a t i s f a c t o r y T h ea d v a n t a g e sa n ds h o r t c o m i n g so ft h et w ow a y sh a v eb e e na n a l y z e da n dc o n c l u d e di 1 1t h ep a p e r,a n ds o m es u g g e s t i o n sh a v eb e e ng i v e nf o rt h et e a c h i n go f“m a t r i x”i nt h eu n i v e r s i t y K e yw o r d s：m a t r i x；a l g e b r a；g e o m e t r i c I r a n s f o r m a t i o n；t e a c h i n g；c o m p a r i s o n【责任编校：周学智】万方数据矩阵内容两种处理方式的教学比较实验矩阵内容两种处理方式的教学比较实验作者：刘淑贞，王明宇，LIU Shu-zhen，WANG Ming-yu作者单位：刘淑贞,LIU Shu-zhen(湖南安全技术职业学院基础课部数理教研室,湖南长沙,410151)，王明宇,WANGMing-yu(湖南农业大学信息科学技术学院,湖南长沙,410128)刊名：数学教育学报英文刊名：Journal of Mathematics Education年，卷(期)：2014,23(5)引用本文格式：刘淑贞.王明宇.LIU Shu-zhen.WANG Ming-yu 矩阵内容两种处理方式的教学比较实验期刊论文-数学教育学报2014(5)