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专题二专题二 关于连续与一致连续关于连续与一致连续连续与一致连续是数学分析中非常基础也是非常重要的概念。这两个概念来自于实际问题、现实世界。我们经常观察到的一些自然现象有一些共同特性：例如气温的变化，生产的连续进行，生物的连续生长等等，反映出来的是事物连续不断地进行的过程。如果用函数来刻画，即研究函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是连续函数。问题问题 1 1：连续与一致连续是如何定义的？二者区别在哪？举例说明。答：答：连续与一致连续的定义如下：定义定义 1 1 若函数在x0点附近U(x0)有定义，并且lim f(x)f(x0)时，我们称f(x)在x0点x x0连续,或者称x0点是f(x)的连续点.定义定义1若函数在x0点附近U(x0)有定义，若 0,(,x0)0只要x U(x0)：|x x0|，都有|f(x)f(x0)|，则称f(x)在区间x0处连续。定义定义 2 2 函数f(x)在区间I的每一点都连续，则称f(x)在区间I内连续。定定义义 3 3 设函数f(x)在区间I上有定义，若 0,()0只要x,x I：|x x|，都有|f(x)f(x)|，则称f(x)在区间I上一致连续.注：注：函数f(x)在某区间内的连续性只反映函数在区间内每一点附近的局部性质；函数f(x)在某区间内一致连续性，则是函数在区间上的整体性质，是反映函数在区间上更强的连续性。直观地说，f(x)在区间 I 一致连续意味着：不论两点x,x 在 I 中处于什么位置只要它们的距离小于，就可使|f(x)f(x)|.显然f(x)必然在 I 上每一点连续。按照一致连续的定义，f(x)在区间 I 不一致连续意味着：对于某个0 0对任何的 0（无 论多 么 小），总 存 在 两 点x,x I尽 管|x x|，但 却 有|f(x )f(x )0.|在连续定义中存在的不仅与 0有关，还与x的位置有关，如果能做到只与有关即能找到适合 I 上所有点的公共()0，则f(x)在 I 上每点连续，且一致连续；12否则f(x)在 I 上每点连续，但不一致连续。一般说来对 I 上无穷多个点，存在无穷多个，这无穷多个的下确界可能为零，也可能大于零。如果这无穷多个的下确界为零，则不存在适合 I 上所有点的公共()0，这种情况f(x)在 I 上连续，但不一致连续；如果这无穷多个的下确界大于零，则必存在对 I 上每一点都适用的公共()0，比如我们可 取 min，则对 I 上任意 两点x,x，只要|x x|时，便有|f(x)f(x)|.这种情况，f(x)在 I 上不仅逐点连续，而且是一致连续例例 1 1 证明y sin ax在(,)内一致连续。证明|sinx sinx|2|sin|sin(x x)2cos(x x)2|(x x)2|x x|0，取|a|，x,x (,)满足|x x|，就有：f(x)f(x)|.所以y sin ax在(,)内一致连续.例例 2 2 证明y 1x1x在(,1)内一致连续，但在(0,1)内不一致连续。1x11x2|x2 x1|x1x21证明y 在(,1)内一致连续：|2|x2 x1|0，取2，x1,x2(,1)满足：|1/x1 1/x2|x1 x2|，就有：|f(x1)f(x2)|.所以y 但y 1x1x在(,1)内一致连续。y=1/在(0,1)内不一致连续。1n,xn(2)x112n(1)事实上，取0 1,0，都存在两点xn，尽管|xn xn(1)(2)|12n,(n 1)，但1x(1)n1x(2)n 2n n n 1.所以，y 1x在(0,1)内不一致连续。13问题问题 2 2：在闭区间上连续与一致连续二者有何关系？答：答：在闭区间上连续与一致连续是一回事，有下面的定理说明：定理定理 1 1（ContorContor 定理）定理）函数f(x)在a,b上一致连续的充分必要条件是f(x)在a,b上连续。问题问题 3 3：在有限非闭区间上连续与一致连续二者有何关系？答：答：在有限非闭区间上连续与一致连续有下面的关系：定理定理 2 2函数f(x)在(a,b)上一致连续的充分必要条件f(x)是在(a,b)上连续且f(a)与f(b)都存在。f(a)证明：先证充分性：构造辅助函数F(x)f(x)f(b)x ax (a,b)，显然，F(x)在a,b上x b连续.由 Contor 定理，F(x)在(a,b)上一致连续，即f(x)在F(x)在a,b上一致连续，(a,b)上一致连续.再证必要性：f(x)在(a,b)上连续显然。下证f(a)与f(b)都存在。,x在f(x)上(a,b)一 致 连 续，0,0 x,a(b且,|x x|，有|f(x)f(x)|成 立.现 对0 b a，取x x1,x x2(a,a)，则 有x1,x2(a,b)且|x1 x2|，0,0,x1,x2(a,a)且|x1 x2|，有|f(x)f(x)|成立.由 Cauchy 收敛准则，f(a)存在.同理，f(b)存在.推论推论 2.12.1函数f(x)在a,b)上一致连续的充分必要条件是f(x)在a,b)上连续且f(b)存在。推论推论 2.22.2函数f(x)在(a,b上一致连续的充分必要条件是f(x)在(a,b上连续且f(a)存在。问题问题 4 4：一致连续函数是否具有区间的可加性？答：答：有，即下面的定理：14定定理理 3.3.（一（一 致致连续连续 函数函数 的的区间区间 可可加性加性）函数f(x)在区间I1和I2上一致连 续，若I1 I2，则f(x)在I1 I2上一致连续。证明：1、若I1 I2或I1 I2，则结论显然；2、若I1和I2不相互包含。f(x)分别在I1和I2上一致连续，0,1 0,x,x I且|x x|1，有|f(x)f(x)|成立，2 0,x,x I2且|x x|2，有|f(x)f(x)|成立.现考察I1 I2 I*，可从中取得一点x0.f(x)在I1和I2上一致连续，它必在I1 I2 I上 一 致 连 续，f(x)在x0处 连 续.由 Cauchy 收 敛 准 则，上 述*,3 0,x,x (x0,32)，有|f(x)f(x)|成立.上述,3 0,不同时属于I1或I2的x,x 且|x x|3，有|f(x)f(x)|成立.|f 0,min1,2,3 0,x,x I1 I2且|x x|，恒有(x)f成立x(.f(x)在I1 I2上一致连续.注：注：可以看到，该判别法的作用是非常强大的。它把函数已知的一致连续区间进行整合和延拓，得到新的一致连续区间。这样的的区间可加性为我们分段处理函数一致连续性问题提供了理论基础。在许多证明中，该判别法往往是简捷易行而又不可替代的。问题问题 5 5：在无穷区间上连续与一致连续二者有何关系？答：答：在无穷区间上连续与一致连续有下面关系：定理定理 4.4.函数f(x)在a,)上一致连续的充分条件是f(x)在a,)上连续且f()存在.证明：f()lim f(x)存在，由 Cauchy 收敛准则，0,X,x1,x2 X 1,)，x 有|f(x1)fx2|成立.f(x)在X 1,)上一致连续.f(x)在a,)上连续，f(x)在a,X 1上连续，从而一致连续.a,X 1 X 1,)，由定理3，f(x)在a,)上一致连续.15推论推论 4.14.1 函数f(x)在(a,)上一致连续的充分条件是f(x)在(a,)上连续且f(a)和f()都存在.同理，可得定理 5 及其推论：定理定理 5.5.函数f(x)在(,b上一致连续的充分条件是f(x)在(,b上连续且f()存在.推论推论 5.15.1 函数f(x)在(,b)上一致连续的充分条件是f(x)在(,b)上连续且f(b)和f()都存在.定定理理 6 6函数f(x)在(,)上一致 连续的充 分条件是f(x)在(,)上连续且f()和f()都存在.证明：f(x)在(,)上连续，f(x)在0,)上连续.f()存在，由定理 4，f(x)在0,)上 一 致 连 续.同 理f(x)在(,0上 一 致 连 续.0,)(,0 ，由定理 3，f(x)在(,)上一致连续.注注：在定理 4、5、6 中，f()和f()的存在性都是非必要的。如sin x在(,)上一致连续，但sin()和sin()都不存在.问题问题 6 6：在一般任意区间上连续与一致连续二者有何关系？答：根据以上几个特定区间上的判别法，完全可以得出一致连续函数在一般任意区间上的判别法。但是，我们注意到，上述判别法在某一特定区间上的要求往往是较为苛刻的，使用起来也不甚方便，甚至还可能会全部失效。可以解决这一问题的就是在一般任意区间上的特殊判别法。引引 理理 1.1.若 对 于 定 义 在 区 间X上 的 函 数f(x)和g(x)，L 0,x,x X，有|fx f(x )|L|g(x )gx()|g(x)在X上一致连续，则f(x)在X上也一成立，而致连续。证明：g(x)在X上一致连续，0,0,x,x X且|x x|，有16|g(x)g(x)|L成立.0,0,x,x X且|x x|，有|fx f(x)|L|g(x)g(x)|LL 成立.f(x)在X上一致连续.推推 论论（LipschitzLipschitz）若 函 数f(x)在 区 间X上 满 足 下 述 Lipschitz条 件，即，有|fx f(x)|L|x x|成立，则f(x)在X上一致连续.L 0,x ,x X证明：在引理 1 中取g(x)x（满足在任意区间一致连续）即可。定理定理 7.7.设函数f(x)在区间X上连续，且满足f(x)在X上有界，则f(x)在X上一致连续.证明：(,)X，由 Lagrange 中值定理知：(,)，使f()f f().f(x)在上X有界，M 0,(,)X,X (,)，有|f(x)|M成立.f f()|M，|f f()|M|.|f()|M，即有|由,的任意性知，f(x)在X上满足 Lipschitz 条件，即|有|fx f(x)M 0,x,x X,，M|x x|成立.由引理 1 推论，则f(x)在X上一致连续.注注:变量的改变很小时，其函数值其是否有界相比严格证明或求复杂极限要简单的多。正因为如此，该判别法往往是易行而颇具效用的。思考题：一、你能分别用区间套定理证明、致密性定理、有限覆盖定理证明 Cantor 定理吗？二、你能再给出一些刻画连续与一致连续关系的结论？思考题的一些提示：17Cantor 定理若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上一致连续.证法一（用区间套定理证明）（反证法）倘若f在a,b上不一致连续，即存在某正数0，对任何 0，在a,b上恒存在相应两点x,x，尽管|x x|但|f(x)f(x)|0，下面我们证明这一论断与f在a,b上的连续性假设相矛盾。现将a,b三等分，则在a,b的子区间a,c2和c1,b中至少有一个子区间具有如下性质（P）：对这个0，无论任何正数，在这子区间上总存在两点x,x，尽管|x x|，但是|f(x)f(x)|0。如果这两个子区间都不具有性质（P），那么对这个0，分别存在正数1,2 1(b a)，对a,c2中x1,x1任意两点和c1,b中x2,x2任意两点，只3要|x1 x1|1,|x2 x2|2就有|f(x1)f(x1)|0,|f(x2)f(x2)|0（1）因此，令 min1，2，则对a,b 上任意两点x,x，只要|x x|便有|f(x)f(x )|0.而这与最初假设f在a,b上不一致连续矛盾，现把具有性质（P）的子区间记为a1,b1（如果假设子区间都具有性质（P），则任选其中一个子区间记为a1,b1），且有a1,b1 a,b,b1 a123(b a).再将a1,b1按上述方法分为两个子区间，同理其中至少有一个子区间具有性质（P），记这个子区间为a2,b2，具有a2,b2 a1,b1,b2 a2()(b a).322重复上述步骤并无限进行下去，则得到一个闭区间列an,bn在每一个闭区间an,bnbn an()(b a)0(n )上都具有性质（P），且an,bn an1,bn1,n 2,3，32n由区间套定理存在唯一一点 an,bn a,b,n 1,2.由定理的已知条件f在点连续，故对上述0，存在 0，对一切x U(,)，都有|f(x)f()|02当n充分大时，有an,bn U(,)，故对an,bn上任意两点x,x，02,|f(x)f()|由于x,x U(,)，所以也有|f(x)f()|02.于是有18|f(x)f(x)|f(x)f()|f(x)f()|02020.但这与an,bn具有性质（P）的假定相矛盾。从而证得在上a,b连续的函数f必是一致连续的。证法二（用致密性定理证明）（反证法）倘若f在a,b上不一致连续，则存在某个正数0，对任何正数都存在相应的两点，虽然|x x|，但有|f(x)f(x)|0.x,x a,b 现 以n表 示 自 然 数，令|xn xn|1n1n，记 与 它 相应 的 两点 为x n,x n a,b，虽 然，但有|f(x n)f(x n)|0（2）当n取遍 自然 数时，得 数列x n a,b，由 致密 性定 理存 在收 敛子列x n，kx nk x0 a,b(k )。同时也有|x n x n|kk1nk，且x n x0(k ).由（2）k有|f(x n)f(x n)|0（3）kk现 让（3）式 中k 再 由f在a,b上 的 连 续 性 知，0|f(x0)f(x0)|lim|f(x nk)f(x nk)|.这与0 0矛盾，所以f在a,b上一致连续。k 证法三（用覆盖定理证明）由f在a,b上的连续性，任给正数，对每一个x a,b都存在相应的正数，当x U(x,)a,b时，便有|f(x)f(x)|2（4）2)|x a,b，它于是当x 取遍a,b上各点后，就得到一个开区间集H U(x,覆 盖 了a b,H*。现 由 有 限 覆 盖 定 理 知，存 在H)|i 1,2,k覆盖了a,b.记 min1ik的 一 个 有 限 子 集 U(xi,i2i2 0，若x,x a,b，且*|x x|，则x 必属于H中某开区间，设x U(xt,t2)，即|x xt|t2.这时也有f(x )|和t2|x xt|x x|x xt|f(x)f(xt)|t2t.再 由（4）式，便 有|f(x )2.从 而 就 有|f x fx|f(x)f(xt)|f(x)f(xt)|1922.这就证得f在a,b上一致连续.参考文献参考文献:1 华东师范大学数学系编.数学分析M.高等教育出版社.2 邓东皋.数学分析简明教程M.高等教育出版社，1999.3 裘兆泰等.数学分析学习指导M.科学出版社，2004.4 陈纪修等.数学分析M.高等教育出版社，2000.5 裴礼文,数学分析中的典型问题与方法M,高等到教育出版社 1993.20