中考数学压轴专练专题09二次函数与矩形正方形存在型问题（教师版）.pdf

突 破 中 考 翻 学 压 轴 方 军 霸 秘 黄 大 揭 秘 QO19版)题 0 9:次 函 数。矩 形 IE方 形 存 在 型 问 题【典 例 分 析】例 1|如 图，抛 物 线 顶 点 P(1,4),与 y 轴 交 于 点 C(0,3),与 x 轴 交 于 点 A,B.(1)求 抛 物 线 的 解 析 式.(2)Q 是 抛 物 线 上 除 点 P外 一 点，ABCQ与 ABCP的 面 积 相 等，求 点 Q 的 坐 标.(3)若 M,N 为 抛 物 线 上 两 个 动 点，分 别 过 点 M,N 作 直 线 B C的 垂 线 段，垂 足 分 别 为 D,E.是 否 存 在 点 M,N 使 四 边 形 MNED为 正 方 形？如 果 存 在，求 正 方 形 MNED的 边 长；如 果 不 存 在，请 说 明 理 由.思 路 点 拨(1)设 出 抛 物 线 顶 点 坐 标，把 C 坐 标 代 入 求 出 即 可；(2)由 ABCQ与 ABC尸 的 面 积 相 等，得 到 P。与 BC平 行，过 尸 作 作 尸 Q 8 C,交 抛 物 线 于 点。，如 图 1所 示；设 G(l,2),可 得 PG=GH=2,过，作 直 线。2 0 B C,交 x 轴 于 点 H,分 别 求 出。的 坐 标 即 可；(3)存 在 点 M,N 使 四 边 形 为 正 方 形，如 图 2 所 示，过 用 作 M尸 y 轴，过 N 作 NF x 轴，过 N作 NH y 轴，则 有 与%：，都 为 等 腰 直 角 三 角 形，设 y/),N(X 2,y z),设 直 线 MN解 析 式 为 y=-x+，与 二 次 函 数 解 析 式 联 立,消 去 y 得 到 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程,利 用 根 与 系 数 关 系 表 示 出 N产，由 AMNF为 等 腰 直 角 三 角 形，得 到 MM=2N产，若 四 边 形 MNE。为 正 方 形，得 到 求 出。的 值，进 而 确 定 出 M N的 长，即 为 正 方 形 边 长.满 分 解 答(1)设 y=a(x-I)2+4(a#0),把 C(0,3)代 入 抛 物 线 解 析 式 得：a+4=3,即 a=-1,则 抛 物 线 解 析 式 为 y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3；(2)由 B(3,0),C(0,3),得 到 直 线 B C解 析 式 为 y=-x+3,V SAOBC=SAQBC,，PQ BC,过 P作 P Q B C,交 抛 物 线 于 点 Q,如 图 1所 示。,VP(1,4),.直 线 PQ解 析 式 为 产-x-5,联 立 得:y=-x+5,y=-x2+2x+3俱 或 信 解 得:即 Q(2,3以 设 G(1,2),；.PG=GH=2,过 H 作 直 线 Q;Q；BC,交 x轴 于 点 H,则 直 线 QiQ；解 析 式 为 y-x-1,y=-x+l联 立 得：2，_y=-x+2x+3 _3+近 7 X=n-X=Z-解 得:一”或 小 行，2|尸,c/W n-1+V17.c，3+J17-1-717.Q二、Qi(,)；(3)存 在 点 M,N 使 四 边 形 M N E D为 正 方 形,如 图 2 所 示，过 M 作 M F y轴，过 N 作 NF x轴，过 N 作 N H y轴，则 有 A M N F与 A N E H都 为 等 腰 直 角 三 角 形,设 M(x i,y i),N(X 2,y 2),设 直 线 MN 解 析 式 为 y=-x+b,联 立 得:尸 一 x+by=-x2+2x+3消 去 y 得：x：-3x-b-3=0.NF:=Xi-x：2=(xi-x：)：-4xX：=21-4 b,V A M N F为 等 腰 直 角 三 角 形，.M N-2 N F M 2-8 b,NH;(b-3)-NF:=y(b-3)若 四 边 形 MNED为 正 方 形，则 有 NE：=ZN=,.42-8b=-(b-6b-9),整 理 得：1-101)-75=0,解 得：b=T 5 或 b=5,;正 方 形 边 长 为 N=j4 2-8 b,.*.M N=9V2V2.例 2 如 图，已 知 抛 物 线 y=o%2+加 与%轴 分 别 交 于 原 点。和 点 F(1 0,0),与 对 称 轴 交 于 点 E(5,5).矩 形 4BCD的 边 4B在%轴 正 半 轴 上，且 4B=1,边 4D,BC与 抛 物 线 分 别 交 于 点 M,N.当 矩 形 4BC朋 久 轴 正 方 向 平 移，点 M,N位 于 对 称 轴 1 的 同 侧 时，连 接 M N,此 时，四 边 形 4BNM的 面 积 记 为 S；点 M,N位 于 对 称 轴/的 两 侧 时，连 接 EM,EN,此 时 五 边 形 4BNEM的 面 积 记 为 S.将 点 4与 点。重 合 的 位 置 作 为 矩 形 4BCD平 移 的 起 点，设 矩 形 4BCD平 移 的 长 度 为 t(0WtW5).(1)求 出 这 条 抛 物 线 的 表 达 式；(2)当 t=0时，求 SAOBN的 值;(3)当 矩 形 4BCD沿 着 久 轴 的 正 方 向 平 移 时，求 S关 于 t(0w tw5)的 函 数 表 达 式，并 求 出 t为 何 值 时，S有 最 大 值，最 大 值 是 多 少？思 路 点 拨（1）根 据 点 E、F 的 坐 标，利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 出 抛 物 线 的 表 达 式;（2）找 出 当 t=0时，点 B、N 的 坐 标，进 而 可 得 出 OB、B N的 长 度，再 根 据 三 角 形 的 面 积 公 式 可 求 出 SAOBN的 值；（3）分 0 4 和 4 区 5 两 种 情 况 考 虑：当 0 t 时（图 1）,找 出 点 A、B、M、N 的 坐 标，进 而 可 得 出 AM、B N的 长 度，利 用 梯 形 的 面 积 公 式 即 可 找 出 S 关 于 t 的 函 数 关 系 式，再 利 用 二 次 函 数 的 性 质 即 可 求 出 S 的 最 大 值；当 4 5 时，找 出 点 A、B、M、N 的 坐 标，进 而 可 得 出 AM、B N的 长 度，将 五 边 形 分 成 两 个 梯 形，利 用 梯 形 的 面 积 公 式 即 可 找 出 S 关 于 t 的 函 数 关 系 式，再 利 用 二 次 函 数 的 性 质 即 可 求 出 S 的 最 大 值.将 中 的 S 的 最 大 值 进 行 比 较，即 可 得 出 结 论.满 分 解 答(1)将 E(5,5)、F(10,0)代 入 y=ax?+bx,100a+l o r f o）解 得:a,.抛 物 线 的 表 达 式 为 y=x2+2x.5,9（2）当 仁 0 时，点 B 的 坐 标 为（1,0）,点 N 的 坐 标 为（1,-）,C L T 八 9*SAOBN=/N OB=mj.(3)当 O V t 时(图 1),点 A 的 坐 标 为(3 0),点 B 的 坐 标 为(t+1,0),.点 M 的 坐 标 为(t,-#+2 t),点 N 的 坐 标 为(t+1,(t+1)2+2(t+D),1 1AAM=-2+2t,BN=-(t+1)2+2(t+1),5 5A S=|(AM+BN)AB=；xlx-%2+2t_；(t+1)2+2(t+1),1,9 9=-t2+-t+,1V-0,549.当 t=4时，S 取 最 大 值，最 大 值 为 正；当 4 5 时（图 2）,点 A 的 坐 标 为（t,0）,点 B 的 坐 标 为（t+1,0）,图 2.点 M 的 坐 标 为(t,-*2t)，点 N 的 坐 标 为(I,q(1 尸+2(t-D),.，.AM=*2t,BN=-;(t-1)-2(t-1),.,.S=1(；t)(-22t+5)-1(t-4)5尚(t-1)二 2(t-1),=4(h3-3t-5t-25)上 4 5 A a 5 5 5-0，当 t=4时，s 取 最 大 值，最 大 值 为 常.Z 4U49 196 199、:=-V-，10 40 409 199.当 tf时，S 有 最 大 值，最 大 值 是 大.2 40例 3 如 图，抛 物 线 W:y=+法 一 7 的 顶 点 为（3,2）.（1）求 抛 物 线 W 的 函 数 表 达 式.（2）若 抛 物 线 形 W 与 W 关 于 x 轴 对 称，求 抛 物 线 W 的 函 数 表 达 式.（3）在（2）的 基 础 上，设 W 上 的 点 M、N 始 终 与 W 上 的 点 M、N分 别 关 于 x 轴 对 称，是 否 存 在 点 M、N（M、N 分 别 位 于 抛 物 线 对 称 轴 两 侧，且 M 在 N 的 左 侧），使 四 边 形 M M N N 为 正 方 形？若 存 在，求 出 点 M 的 坐 标；若 不 存 在，说 明 理 由.思 路 点 拨（1）根 据 顶 点 坐 标，求 出 的 值，求 抛 物 线 卬 的 函 数 表 达 式.（2）抛 物 线 W 与 W 关 于 x 轴 对 称，求 出 抛 物 线 W 的 顶 点 坐 标 和 二 次 项 系 数，即 可 求 得 函 数 表 达 式.（3）根 据 正 方 形 的 边 长 相 等，M N=M M=2yM.列 出 方 程，求 解 即 可.满 分 解 答（1）抛 物 线 卬：=公 2+&一 7 的 顶 点 为（3,2）.-=3（2a,4 a x 24a。=-1解 得：7Ub=6,y（x 3）2 J+6 x _ 7.（2）若 抛 物 线 W 的 顶 点 坐 标 为（3,2）.a=-.若 抛 物 线 W 与 卬 关 于 x 轴 对 称，抛 物 线 W 的 顶 点 坐 标 为：（3,-2）.a=L抛 物 线 W 的 函 数 表 达 式 为：y=（x+3）2=x 一 6x+7.(3)存 在.如 图，要 使 四 边 形 MNNM是 正 方 形,M M/M V/y轴，则 要 M N/X轴，旦 MN=M=2 M|.设 A/+6 a-7),(/3),.抛 物 线 的 对 称 轴 为：直 线 x=3，:.由 抛 物 线 的 对 称 性 可 知 MN=2(3-m),:.2(3 zn)=2卜 加 2+6m-7|.当 3-?=-w*+6 w-7，解 得：叼=2,(%=5舍 去)，此 时 河(2)，当 1 切 3时,3-w=-(-w:+6 w-7),解 得：叱=1,(住=4舍 去)，此 时 财(1 2),综 上，存 在 这 样 的 点 M(21)或(L 2).例 4 如 图，正 方 形 ABCD的 顶 点 A、B 分 别 在 y 轴 和 x 轴 上，且 A 点 的 坐 标 为(0,1),正 方 形 的 边 长 为 力.(1)直 接 写 出 D、C 两 点 的 坐 标；(2)求 经 过 A、D、C 三 点 的 抛 物 线 的 关 系 式；(3)若 正 方 形 以 每 秒 在 个 单 位 长 度 的 速 度 匀 速 沿 射 线 下 滑，直 至 顶 点。落 在 X轴 上 时 停 止.设 正 方 形 落 在 x 轴 下 方 部 分 的 面 积 为 S,求 S关 于 滑 行 时 间，的 函 数 关 系 式，并 写 出 相 应 自 变 量 的 取 值 范 围；(4)在(3)的 条 件 下，抛 物 线 与 正 方 形 一 起 平 移，到 顶 点。落 在 x 轴 上 时，求 抛 物 线 上 两 点 间 的 抛 物 线 弧 所 扫 过 的 面 积.思 路 点 拨(1)可 先 根 据 A B所 在 直 线 的 解 析 式 求 出 A,B 两 点 的 坐 标，即 可 得 出 OA、O B的 长.过 D 作 DM_Ly轴 于 M,则 AADM丝 B A O,由 此 可 得 出 MD、M A的 长，也 就 能 求 出 D 的 坐 标，同 理 可 求 出 C 的 坐 标；(2)可 根 据 A、C、D 三 点 的 坐 标，用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 解 析 式；(3)要 分 三 种 情 况 进 行 讨 论：当 F 点 在 A，B，之 间 时，即 当 OVtWl时，此 时 S为 三 角 形 FBG的 面 积，可 用 正 方 形 的 速 度 求 出 AB，的 长，即 可 求 出 B，F 的 长，然 后 根 据/G F B，的 正 切 值 求 出 B，G 的 长，即 可 得 出 关 于 S、t 的 函 数 关 系 式.当 A，在 x 轴 下 方，但 C 在 x 轴 上 方 或 x 轴 上 时，即 当 1 乜 2 时，S为 梯 形 A，G B H的 面 积，可 参 照 的方 法 求 出 A，G 和 B H 的 长，那 么 梯 形 的 上 下 底 就 可 求 出，梯 形 的 高 为 A，B，即 正 方 形 的 边 长，可 根 据 梯 形 的 面 积 计 算 公 式 得 出 关 于 S、t的 函 数 关 系 式.当 D，逐 渐 移 动 到 x 轴 的 过 程 中，即 当 2 3 时，此 时 S 为 五 边 形 A B C H G 的 面 积，S=正 方 形 ABCTT的 面 积-三 角 形 GHD，的 面 积.可 据 此 来 列 关 于 S,t的 函 数 关 系 式；(4)C E 扫 过 的 图 形 是 个 平 行 四 边 形，经 过 关 系 不 难 发 现 这 个 平 行 四 边 形 的 面 积 实 际 上 就 是 矩 形 BCDA，的 面 积.可 通 过 求 矩 形 的 面 积 来 求 出 CE 扫 过 的 面 积.满 分 解 答(1)C(3,2),D(1,3)；(c=1,|a+b+c=3,19a+3b+c=2.(2)设 抛 物 线 为 产/+bx+c,抛 物 线 过(0,1)(3,2)(1,3),依 题 意 得：廨 得 5a=6,b=6C=1.y=+抛 物 线 的 关 系 式 是.5分 O D(3)当 点 A 运 动 到 点 x 轴 时，=1,当 OVtWl时，如 图 1,OA 1Z.OFA=Z.GFB,tanOFA=-OF 2GBl Gff 1tanZ-GFB=k 底 二 VB=当 点 C运 动 到 x 轴 上 时，t=2,当 1 Y 2 时,如 图 2,A B=AB=y/5f.*.AB=AB=y/5f：.AG=如:汽 J 5 t.B,H=,21 S梯 形 ABT/G=2（4+BH）x 4B（,恒-g+亚 2 2 25 5=2 4；当 点。运 动 到 X 轴 上 时，2=3，当 2 V 43时，如 图 3,1V SAA0F=-x l x 2=lt0A=lf AAOFsAGDdSG D H G D?E 二（77T），L OF”c _/3 5-5、2,dAGDW-V 2）f,S五 功 形 G4BCH=（而）2（J 2）5 2 15 25 t 4-1-(4)：t=3,BB=AA=35,S 阴 影=S 矩 形 8B，c，c=S 矩 形=,4Z)x A A=7?x3、田=15.例 5 如 图，已 知 抛 物 线 y=ax2+bx-3 过 点 A(-1,0),B(3,0),点 M、N 为 抛 物 线 上 的 动 点，过 点 M作 MD y轴，交 直 线 B C 于 点 D,交 x 轴 于 点 E.过 点 N 作 NFJ_x轴，垂 足 为 点 F(1)求 二 次 函 数 y=ax2+bx-3 的 表 达 式；(2)若 M 点 是 抛 物 线 上 对 称 轴 右 侧 的 点，且 四 边 形 M N F E 为 正 方 形，求 该 正 方 形 的 面 积；(3)若 M 点 是 抛 物 线 上 对 称 轴 左 侧 的 点，且/DMN=90。，M D=M N,请 直 接 写 出 点 M 的 横 坐 标.(1)把 A(-1,0),B(3,0)两 点 的 坐 标 代 入 y=ax?+bx-3,利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 得 二 次 函 数 y=ax?+bx-3 的 表 达 式；(2)设 点 M 的 坐 标 为(m,m2-2m-3),则 m 1,分 别 表 示 出 ME=|-m2+2m-3|、MN=2m-2,由 四 边 形 M N F E 为 正 方 形 知 M E=M N,据 此 列 出 方 程，分 类 讨 论 求 解 可 得 m 的 值，进 而 求 出 正 方 形 的 面 积；(3)先 利 用 待 定 系 数 法 求 出 直 线 B C 的 解 析 式，设 点 M 的 坐 标 为(t,t2-2l-3),则 tVl,则 点 N(2-t,t2-2t-3),点 D(t,t-3),由 M D=M N 列 出 方 程，根 据 点 M 的 位 置 分 类 讨 论 求 解 可 得.满 分 解 答(1)把 A(-1,0),B(3,0)代 入 y=ax2+bx-3,日(ci-b 3=0得：(9(7+36-3=0，解 得 份：黑 故 该 抛 物 线 解 析 式 为：y=x2-2x-3；(2)由 知,抛 物 线 解 析 式 为：y=y?-2x-3=分 两 种 情 况：当-m;-2m-3=2m-2 时，解 得：mi=v15、m 尸-5(不 符 合 题 意，舍 去),当 m=v弓 时，正 方 形 的 面 积 为(2152):=24-815;当-1 峭+201+3=2-2 m 时，解 得：1113=2+/5,ni4=2-&(不 符 合 题 意，舍 去),当 m=2+小 时，证 方 形 的 面 积 为 2(2+/)-22=24+8/；综 上 所 述，正 方 形 的 面 积 为 24+8/或 24-8依.(3)设 B C 所 在 直 线 解 析 式 为 y=px+q,把 点 B(3,0)、C(0,-3)代 入 表 达 式，,V 牙,解 得：(二,.直 线 B C 的 函 数 表 达 式 为 y=x-3,设 点 M 的 坐 标 为(t,t2-2t-3),其 中 tl,则 点 N(2-t,t2-2t-3),点 D(t,t-3),/.MN=2-t-t=2-2t,MD=|t2-2t-3-t+3|=|t2-3t|.VMD=MN,A|t2-3t|=2-2t,分 两 种 情 况：当 t?-3t=2-2t时，解 得 ti=-【，t2=2（不 符 合 题 意，舍 去）.当 3.2=2-2 时，解 得 t3=三 出，12=叶 亚（不 符 合 题 意，舍 去）.2 2综 上 所 述，点 M 的 横 坐 标 为-1或 匕”.2【变 式 训 练】I.如 图，。为 坐 标 原 点，边 长 为 艰 的 正 方 形 OABC的 顶 点 4在 x轴 的 正 半 轴 上，将 正 方 形 O A B C 绕 顶 点。顺 时 针 旋 转 75，使 点 B落 在 某 抛 物 线 的 图 象 上，则 该 抛 物 线 的 解 析 式 为（）2 2 1 2 1 2 _A.y=-x B.y=-xz C.y=-x D.y=-3x2【答 案】B【解 析】【分 析】过 点 B 向 x 轴 引 垂 线，连 接 0 B,可 得 O B 的 长 度，进 而 得 到 点 B 的 坐 标，代 入 二 次 函 数 解 析 式 即 可 求 解.【详 解】如 图，作 BEJ_x轴 于 点 E,连 接 0B,.,正 方 形 OABC绕 顶 点 0 顺 时 针 旋 转 75。,.,.ZAOE=756,/ZAOB=45S,.ZBOE=30=,-*0A=yf2/.0B=2,/.BE=OB=b.,.OE=yOB：-BE:=点 B 坐 标 为(VI,-1),代 入 Jv=ax(a 0)得 3 a=-f,2 i.三，故 选 B.【点 睛】本 题 考 查 用 待 定 系 数 法 求 函 数 解 析 式 和 勾 股 定 理 的 运 用，解 题 的 关 键 是 利 用 正 方 形 的 性 质 及 相 应 的 三 角 函 数 得 到 点 B 的 坐 标.2.如 图，边 长 为 1 的 正 方 形 ABCD顶 点 A(0,I),B(1,1)；一 抛 物 线 y=ax?+bx+c过 点 M(-1,0)且 顶 点 在 正 方 形 ABCD内 部(包 括 在 正 方 形 的 边 上)，则 a 的 取 值 范 围 是()1A.-2a-1 B.-2a-C.-la-4 21D.-la-4【答 案】C【解 析】【分 析】当 顶 点 与 A 点 重 合，可 以 知 道 顶 点 坐 标 为（0,1）且 抛 物 线 过（-1,0）,由 此 可 求 出 a；当 顶 点 与 C 点 重 合,顶 点 坐 标 为（1,2）且 抛 物 线 过（-1,0）,由 此 也 可 求 a,然 后 由 此 可 判 断 a 的 取 值 范 围.【详 解】解：.顶 点 是 矩 形 A B C D 上（包 括 边 界 和 内 部）的 一 个 动 点，二.当 顶 点 与 A 点 重 合，顶 点 坐 标 为（0,1）,则 抛 物 线 解 析 式 广 ax l,.抛 物 线 过 M（-1,0）,/.0=a-l,解 得 a=-l,当 顶 点 与 C 点 重 合，顶 点 坐 标 为 3,2）,则 抛 物 线 解 析 式 产 a（x-1）-2,.抛 物 线 过 M（-1,0）,.0=4a-2,解 得 a=-12:顶 点 可 以 在 矩 形 内 部，故 选 C.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 抛 物 线 的 解 析 式 y=ax2+bx+c中 a、b、c 对 抛 物 线 的 影 响，在 对 于 抛 物 线 的 顶 点 在 所 给 图 形 内 进 行 运 动 的 判 定，充 分 利 用 了 利 用 形 数 结 合 的 方 法，展 开 讨 论，加 以 解 决.3.如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，二 次 函 数 丫=2*2+。（a,0）的 图 象 过 面 积 为 g 的 正 方 形 ABOC的 三 个 顶 点 A、B、C,则 a的 值 为.【答 案】-2.【解 析】1 5试 题 分 析:作 BDJ_x轴 于 点 D,，NBDO=90。，,四 边 形 ABOC是 面 积 为 一 正 方 形，J A B=BO=CO=A C=,2 2ZAOB=45,/.ZBOD=ZDBO=45,.B D=D O,在 RtAABO 和 RtABDO 中 由 勾 股 定 理 得 AO=1,B D=D O=-,/.A(0,1),B1 1=-2(-万，-).+c,=.故 答 案 为 24.如 图，正 方 形 4BCD的 顶 点 4 B与 正 方 形 EFGH的 顶 点 G,“同 在 一 段 抛 物 线 上，且 抛 物 线 的 顶 点 同 时 落 在 CD和 y轴 上，正 方 形 边 4B与 EF同 时 落 在 x轴 上，若 正 方 形 4BCD的 边 长 为 4,则 正 方 形 EFGH的 边 长 为【答 案】2 5-2【解 析】【分 析】根 据 题 意 得 出 抛 物 线 解 析 式，进 而 表 示 出 G 点 坐 标，再 利 用 2O F=F G,进 而 求 出.【详 解】.正 方 形 ABC D边 长 为 4,二 顶 点 坐 标 为:（0,4）,B（2,0）,设 抛 物 线 解 析 式 为：y=ax?+4,将 B 点 代 入 得，（）=4a+4,解 得 a=-l,抛 物 线 解 析 式 为：y=-x2+4,设 G 点 坐 标 为：（ni,-m2+4）,则 2m=-m2+4,整 理 的：m2+2m-40,解 得：mi1+%/5,m21-/5（不 合 题 意 舍 去），/.正 方 形 EFGH的 边 长 FG=2m=2g2.故 答 案 是：26 2.【点 睛】考 查 了 二 次 函 数 的 综 合 应 用 以 及 一 元 二 次 方 程 的 解 法，解 题 关 键 是 运 用 正 方 形 的 性 质 以 及 抛 物 线 上 点 的 坐 标 性 质 得 出 等 式.5.如 图 4,已 知 抛 物 线 y=ax2+bx+c(a0)经 过 点 A(2,0),B(6,0),交 y 轴 于 点 C,且 SAA B C=16.(1)求 点 C 的 坐 标;(2)求 抛 物 线 的 解 析 式 及 其 对 称 轴;(3)若 正 方 形 DEFG 内 接 于 抛 物 线 和 x 轴(边 FG 在 x 轴 上，点 D,E 分 别 在 抛 物 线 上),求 S 正 方 形 DEFG【解 析】16x+8,3其 对 称 轴 为 直 线 x=4：(3)4【分 析】(1)由 Ssc=；xABxOC求 出 O C 的 长 度,进 而 确 定 C 点 坐 标；(2)因 为 抛 物 线 经 过 点 A(2,0),B(6,0),故 可 以 设 二 次 函 数 的 交 点 式，即 y=a(x-2)(x-6),再 将 C 点 坐 标 代 入 即 可 求 得 解 析 式，进 一 步 得 到 对 称 轴；(3)设 正 方 形。EFG 的 边 长 为 也 再 根 据 题 中 的 条 件 列 出 正 确 的。、E 坐 标，再 将 E 点 坐 标 代 入 二 次 函 数 求 出 边 长 机，进 一 步 求 得 正 方 形。EFG 的 面 积.【详 解】(1)(2,0),B(6,0),.AB=6-2=4.5A ABC=16,，0C=8,.点 C 的 坐 标 为(0,8)；(2):抛 物 线 y=x2+fer+c(a0)经 过 点 4(2,0),B(6,0),二 可 设 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=a(x-2)(x-6),将 C(0,8)代 入，得 8=12“，解 得=争 2/.y=|(x-2)(x-6)=家-yx+8,故 抛 物 线 的 解 析 式 为 丫=争 2-y.t+8,其 对 称 轴 为 直 线 x=4；设 正 方 形 D E F G 的 边 长 为 泪,则“。，.正 方 形 D E F G 内 接 于 抛 物 线 和.V轴(边 尸 G 在,v轴 上，点 D,E 分 别 在 抛 物 线 上),.D-m),E(4+!?,-7).将 E(4+昴-W)代 入 尸*-竽 v+8,得-7=；x+:一 竽 乂(4+；?)+8 整 理 得，户+6m-160,解 得 期=2,叫=-8(不 合 题 意 舍 去)，二.正 方 形 D E F G 的 边 长 为 2,.S DEFG=22=4.【点 睛】本 题 考 查 了 三 角 形 的 面 积、二 次 函 数 的 性 质、二 次 函 数 图 像 上 点 的 坐 标 特 征、正 方 形 的 性 质，注 意 灵 活 运 用 知 识 点，另 外 利 用 面 积 求 出 点 C 坐 标、根 据 二 次 函 数 与 正 方 形 的 性 质 正 确 表 示。、的 坐 标 是 解 答 此 题 的 关 键.6.如 图 1：矩 形 OABC 的 顶 点 A、B 在 抛 物 线+6X-3上，O C 在 X 轴 上，且 04=3,0。=2.(1)求 抛 物 线 的 解 析 式 及 抛 物 线 的 对 称 轴.(2)如 图 2,边 长 为 a 的 正 方 形 ABCD 的 边 C D 在 x 轴 上，A、B 两 点 在 抛 物 线 上，请 用 含 a 的 代 数 式 表 示 点 B 的 坐 标，并 求 出 正 方 形 边 长 a 的 值.【答 案】(1)y=x*2x 3,对 称 轴：x=；=1,(2)F(a+1,-a),a=2亚-2.【解 析】试 题 分 析：（I）根 据 矩 形 的 性 质，可 得 出 点 B 的 坐 标，将 点 B 的 坐 标 代 入 抛 物 线 y=x2+bx-3可 得 出 b 的 值,继 而 得 出 抛 物 线 的 解 析 式 及 抛 物 线 的 对 称 轴；（2）由（1）中 求 得 的 解 析 式，可 得 出 对 称 轴，从 而 可 得 OM=1,CM=；a,BC=a,得 出 点 B 的 坐 标 后 代 入 抛 物 线 解 析 式，可 得 a的 值.试 题 解 析：3）.,四 边 形 O A B C 是 矩 形，0A=3,0C=2,B 在 第 四 象 限,点 B 的 坐 标 为（2,-3）,把 B 点 代 入 产 x bx-3,得 2:-2b-3=-3,解 得：b=-2,.yxJ2x-3,对 称 轴：X=-j l,即 直 线：X=1.（2）由（1）得 OM=1,1由 抛 物 线 的 对 称 性，可 得：CM=-a,又 BC=a,1点 B 的 坐 标 为（-a+1,-a）,把 B 点 代 入 函 数 得：（ga+1）2-2（；a+l）-3=-a,解 得：ai=-2声 2Vo（舍 去），32=25-2,故 边 长 a=2依-2.1 _综 上 可 得 点 B 的 坐 标 为（漫+1,-a）,正 方 形 边 长 a=2/-2.考 点：二 次 函 数 综 合 题.7.如 图，正 方 形 OABC 的 边 长 为 4,对 角 线 相 交 于 点 P,顶 点 A、C 分 别 在 x 轴、y 轴 的 正 半 轴 上，抛 物 线L 经 过 0、P、A 三 点，点 E 是 正 方 形 内 的 抛 物 线 上 的 动 点.(1)点 P 的 坐 标 为(2)求 抛 物 线 L 的 解 析 式.(3)求 A O A E 与 A O CE的 面 积 之 和 的 最 大 值.1,【答 案】(1)(2,2);(2)y=-x2+2 x；(3)9.【解 析】试 题 分 析：(1)根 据 正 方 形 的 边 长 结 合 正 方 形 的 性 质 即 可 得 出 点。、P、A 三 点 的 坐 标；(2)设 抛 物 线 L 的 解 析 式 为=以 2+区+心 结 合 点。、P、A 的 坐 标 利 用 待 定 系 数 法 即 可 求 出 抛 物 线 的 解 析 式；(3)由 点 E 为 正 方 形 内 的 抛 物 线 上 的 动 点，设 出 点 的 坐 标，结 合 三 角 形 的 面 积 公 式 找 出 S QAE+S OCE关 于 加 的 函 数 解 析 式，根 据 二 次 函 数 的 性 质 即 可 得 出 结 论.试 题 解 析：为 正 方 形，且 边 长 为 4,对 角 线 相 交 于 点 P,二 点。的 坐 标 为(0,0)：点 B 的 坐 标 为(4,4),点 尸 为。&的 中 点，.点 P 的 坐 标 为(2,2).故 答 案 为：(2.2).(2)设 抛 物 线 L 的 解 析 式 为 y=a?+陵+心 抛 物 线 L 经 过。、P、4 三 点，C 10=c a=2；0=16Q+4 Z?+C 解 得：.c b-22=4。+2。+c,八 c=0,1 9.抛 物 线 L 的 解 析 式 为 y=+2工(3)点 E 是 正 方 形 内 的 抛 物 线 上 的 动 点，.设 点 E 的 坐 标 为 卜”，-g+2/72 j(0m4),J J 2S+S OCE OA,丁+OC，E+4m+2/n(/3)+9,，当,=3 时，OAE与 OCE面 积 之 和 最 大，最 大 值 为 9.8.如 图 1,在 直 角 坐 标 系 中，已 知 点 A(0,2)、点 B(-2,0),过 点 B 和 线 段 O A 的 中 点 C 作 直 线 B C,以 线 段 B C 为 边 向 上 作 正 方 形 BCDE.(1)填 空：点 D 的 坐 标 为(),点 E 的 坐 标 为().(2)若 抛 物 线 丫=2*2+6*+82#()经 过 人、D、E 三 点，求 该 抛 物 线 的 解 析 式(3)若 正 方 形 和 抛 物 线 均 以 每 秒 正 个 单 位 长 度 的 速 度 沿 射 线 B C 同 时 向 上 平 移，直 至 正 方 形 的 顶 点 E落 在 y 轴 上 时，正 方 形 和 抛 物 线 均 停 止 运 动.在 运 动 过 程 中，设 正 方 形 落 在 y 轴 右 侧 部 分 的 面 积 为 s,求 s关 于 平 移 时 间 t(秒)的 函 数 关 系 式,并 写 出 相 应 自 变 量 t的 取 值 范 围.运 动 停 止 时，求 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 图 1 用 2(备 用 图)图 3(备 用 图)【答 案】解：(1)D(-1,3),E(-3,2)。(2)抛 物 线 经 过(0,2)、(-1,3)、(-3,2),则 1a=c=2 2-a-b+c=3,解 得-b=-1o9a-3b+c=2.c=2.抛 物 线 的 解 析 式 为 y=-1 x20-13x+2(3)求 出 端 点 的 时 间：当 点 D 运 动 到 y 轴 上 时，如 图 1,DD I=|DC=1BC=,当 点 B 运 动 到 y 轴 上 时，如 图 2,BBi=BC=V5.当 点 E 运 动 到 y 轴 上 时,如 图 2,EEi=ED+DEk 坞+3t=O2当 0/5t.AS ACCT=-C C-TC-75 tx 2/5 t=5 t2o2 2当 V tW l时，如 图 5,正 方 形 落 在 y 轴 右 侧 部 分 的 面 积 为 直 角 梯 形 CCD，G 的 面 积，设 D，E，交 y 轴 于 点 G,过 G 作 GH_LB，C 于 H。VGH=BC=后，ACH=-GH=。2 2VCCr=V5 t-o27.s,i。梯 形 CCD，G-3+石 t-V5=5t-43当 IVtS,时，如 图 6,正 方 形 落 在 y轴 右 侧 部 分 的 面 积 为 五 边 形 B，CD，M N 的 面 积，设 D，E E，B，分 别 交 y轴 于 点 M、No图 6.8=后，BC=575 o.,.BN-2CB,-2-x/5 t-2在。；BE，=后,.ErN=BE BN=3#-2#t。.EM=；EN=；3有-2#t)o SA W X E=-24t)；|34-2召 t|=5t?-15t-。45、=，25S三 边 形 BfD,M N=S 正 方 形 B C D E SqiXE 5t*-1 5t=-5t 15t-o综 上 所 述，S 与 x 的 函 数 关 系 式 为:u 5(1 八 s 5t t4 1412u 2 25 3-5 f+15t-1 t-4 I 2 J 当 点 E 运 动 到 点 E 时，运 动 停 止，如 图 7 所 示。V Z C B,E,=ZBOC=90,NBCO二 NBCE,B O C s/E B C。:、OB BCB T7-E C二 OB=2,BrE,=BC=5/5，r=oA/5 ErC：.C E=-O25 7 7 OE=OC+CE=l+=。：.Ef（0,一）。2 2 27 3山 点 E（3,2）运 动 到 点 日（0,小），可 知 整 条 抛 物 线 向 右 平 移 了 3 个 单 位，向 上 平 移/士 个 单 位。2 21 Q 1 a nc Q oc.y=-x 2-2 x+2=-!（X+2）2+3,.原 抛 物 线 顶 点 坐 标 为（-三，三）2 2 2 2 8 2 83 37 运 动 停 止 时，抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为（二，二）。2 8【解 析】二 次 函 数 综 合 题，全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质，正 方 形 的 性 质，平 移 的 性 质，相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质，曲 线 上 点 的 坐 标 与 方 程 的 关 系。【分 析】（1）构 造 全 等 三 角 形，由 全 等 三 角 形 对 应 线 段 之 间 的 相 等 关 系，求 出 点 D、点 E 的 坐 标:由 题 意 可 知：0B=2,OC=1 o如 图 8 所 示，过 D 点 作 DH_Ly轴 于 H,过 E 点 作 EG_Lx轴 于 G。图 8易 证 ACDH岭 由。，；.DH=OC=1,CH=OB=2,AD(-1,3)。同 理 AEBG丝 BCO,；.BG=OC=I,EG=OB=2,；.E(-3,2)。AD(-1,3)、E(-3,2)。(2)利 用 待 定 系 数 法 求 出 抛 物 线 的 解 析 式。(3)为 求 s 的 表 达 式，需 要 识 别 正 方 形(与 抛 物 线)的 运 动 过 程.正 方 形 的 平 移，从 开 始 到 结 束，总 共 历 时 秒，期 间 可 以 划 分