数值计算-总结课件.ppt
数值计算方法总结 数值计算方法的一般概念 解线性代数方程组的直接法 插值法与最小二乘法 数值微积分 方程与方程组的迭代解法第1章 数值计算方法的一般概念n 定义 算法是指由基本算术运算及运算顺序的规定构成的完整的解题步骤.1.1 算法n 描述 算法可以使用框图、算法语言、数学语言、自然语言来进行描述。n 具有的特征 正确性、有穷性、适用范围广、运算工作量少、使用资源少、逻辑结构简单、便于实现 计算结果可靠第1章 数值计算方法的一般概念l 稳定性 计算过程中的误差能得到控制，各步误差对计算结果不致产生过大的影响1.1 算法 计算机的计算结果通常是近似的，因此算法必有误差，并且应能估计误差。l 收敛性 通过增加计算量，能使近似计算解充分接近理论解第1章 数值计算方法的一般概念1.2 误差n 定义 误差是指近似值与真正值之差 误差分类模型误差 在建立数学模型时，忽略次要因素而造成的数据误差 由于问题中的值通过观察得到的，从而产生误差截断误差 通过近似替代，简化为较易求解的问题计算误差 由于计算机中数的位数限制而造成的第1章 数值计算方法的一般概念1.2 误差n绝对误差 绝对误差：是指近似值与真正值之差或差的绝对值，即设 为真值,为真值的近似值 绝对误差界：用一个满足 的数,来表示绝对误差的大小，并记为 第1章 数值计算方法的一般概念1.2 误差n 相对误差 相对误差：是指近似值与真正值之比或比的绝对值，即 相对误差界：用一个满足 的数,来表示相对误差的大小，并记为 相对误差界常用百分数表示第1章 数值计算方法的一般概念1.2 误差n 准确数字 第1章 数值计算方法的一般概念1.2.3 数据误差影响的估计第1章 数值计算方法的一般概念1.2.3 数据误差影响的估计 这些系数的绝对值称为求y问题的条件数，其值很大时的问题称为坏条件问题或病态问题 凡是计算结果接近于零的问题往往是病态问题。应避免相近数相减,小除数和大乘数第1章 数值计算方法的一般概念1.2.3 数据误差影响的估计第2章 解线性代数方程的直接法求解n阶线性代数方程组写成矩阵形式为 直接法指的是不计舍入误差时,通过有限次算术运算能求得准确解的方法 第2章 解线性代数方程的直接法2.1 高斯消去法2.1.1 基本步骤高斯消去法步骤1.消去 经过n-1步将方程组化为同解的上三角形方程组2.回代 按相反顺序求解上三角形方程组,得到方程组的解将方程组写成增广矩阵的形式,将有利于计算机实现第2章 解线性代数方程的直接法2.1 高斯消去法2.1.2 运算量估计高斯消去法运算量估计1.消去算法运算量2.回代运算量第2章 解线性代数方程的直接法2.1 高斯消去法2.1.3 选主元技术第2章 解线性代数方程的直接法2.2 三角分解法2.2.1 杜里特尔分解法 高斯消去法的消去过程,实质上是把系数矩阵A分解为单位下三角矩阵L与上三角矩阵R的乘积,并且求解方程组Ly=b的过程,回代过程是求解上三角形方程组Rx=y第2章 解线性代数方程的直接法2.2 三角分解法2.2.1 杜里特尔分解法 分解A=LR,且L为单位下三角阵,R为上三角阵,称为杜里特尔(Dollittlse)分解.使用杜里特尔分解求解方程组Ax=b或L(Rx)=b,相当于求两个方程组 Ly=b,Rx=y运算量第2章 解线性代数方程的直接法2.2 三角分解法2.2.2 克洛特分解法此分解称为克洛特(Crout)分解计算公式第2章 解线性代数方程的直接法2.2 三角分解法2.2.3 追赶法第2章 解线性代数方程的直接法2.2 三角分解法2.2.3 追赶法第2章 解线性代数方程的直接法2.2 三角分解法2.2.4 平方根法第2章 解线性代数方程的直接法2.3 舍入误差对解的影响2.3.1 向量和矩阵的范数第2章 解线性代数方程的直接法2.3 舍入误差对解的影响2.3.1 向量和矩阵的范数第2章 解线性代数方程的直接法2.3 舍入误差对解的影响2.3.1 向量和矩阵的范数第2章 解线性代数方程的直接法2.3 舍入误差对解的影响2.3.2 舍入误差对解的影响第3章 插值法与最小二乘法3.1 拉格朗日插值法3.1.1 插值多项式的概念 使用以上方法求函数近似式的方法称为插值法 满足条件(3-3)的插值多项式是存在且唯一的第3章 插值法与最小二乘法3.1 拉格朗日插值法3.1.2 插值多项式的截断误差 这种误差不考虑舍入误差，称为截断误差第3章 插值法与最小二乘法3.1 拉格朗日插值法3.1.3 拉格朗日插值多项式第3章 插值法与最小二乘法3.1 拉格朗日插值法3.1.3 拉格朗日插值多项式第3章 插值法与最小二乘法3.1 拉格朗日插值法3.1.3 拉格朗日插值多项式计算插值多项式的值 若计算的插值点在节点之外,则称为外推或外插 若计算的插值点在节点之间,则称为内插内插的误差较小,外插的误差较大,误差公式由R(x)得到第3章 插值法与最小二乘法3.2 添节点与导数的插值法3.2.1 牛顿插值多项式为使其满足插值条件(3-3),只需满足方程组因此,可得第3章 插值法与最小二乘法3.2 添节点与导数的插值法3.2.1 牛顿插值多项式第3章 插值法与最小二乘法3.2 添节点与导数的插值法3.2.1 牛顿插值多项式差商表第3章 插值法与最小二乘法3.2 添节点与导数的插值法3.2.2 逐次线性插值法第3章 插值法与最小二乘法3.2 添节点与导数的插值法3.2.2 逐次线性插值法列维尔算法表第3章 插值法与最小二乘法3.2 添节点与导数的插值法3.2.3 带导数的插值多项式第3章 插值法与最小二乘法3.3 分段插值与样条函数插值法3.3.1 高次插值多项式的缺陷第3章 插值法与最小二乘法3.3 分段插值与样条函数插值法3.3.2 分段低次插值法第3章 插值法与最小二乘法3.3 分段插值与样条函数插值法3.3.3 三次样条函数插值法第3章 插值法与最小二乘法3.3 分段插值与样条函数插值法3.3.3 三次样条函数插值法第3章 插值法与最小二乘法3.3 分段插值与样条函数插值法3.3.3 三次样条函数插值法样条插值函数优点:在节点加密时,它和它的导函数能在整个插值区间上 充分靠近被插函数缺点:为求M或m表达式,需形成方程组并进行求解第3章 插值法与最小二乘法3.4 最小二乘法第3章 插值法与最小二乘法3.4 最小二乘法第3章 插值法与最小二乘法第4章 数值微积分4.1 数值积分法第4章 数值微积分4.1 数值积分法4.1.1 近似函数积分法第4章 数值微积分4.1 数值积分法4.1.1 近似函数积分法第4章 数值微积分4.1 数值积分法4.1.1 近似函数积分法第4章 数值微积分4.1 数值积分法以上方法是取定步长h算积分的方法,称为定步长积分法4.1.2 复化求积公式第4章 数值微积分4.1 数值积分法4.1.3 变步长积分法第4章 数值微积分4.1 数值积分法4.1.4 龙贝格积分法第4章 数值微积分4.1 数值积分法4.1.5 待定系数法与高斯型求积公式第4章 数值微积分4.1 数值积分法4.1.5 待定系数法与高斯型求积公式定义第4章 数值微积分4.1 数值积分法4.1.5 待定系数法与高斯型求积公式广义皮亚诺定理第4章 数值微积分4.2 数值微分法4.2.1 近似函数求导法第4章 数值微积分4.2 数值微分法4.2.1 近似函数求导法第4章 数值微积分4.2 数值微分法4.2.1 近似函数求导法第5章 方程和方程组的迭代解法5.1 方程求根法5.1.1 试探法与二分法第5章 方程和方程组的迭代解法5.1 方程求根法5.1.1 试探法与二分法第5章 方程和方程组的迭代解法5.1 方程求根法5.1.1 试探法与二分法第5章 方程和方程组的迭代解法5.1 方程求根法5.1.2 简单迭代法第5章 方程和方程组的迭代解法5.1 方程求根法5.1.2 简单迭代法几何意义简单迭代收敛定理第5章 方程和方程组的迭代解法5.1 方程求根法5.1.2 简单迭代法第5章 方程和方程组的迭代解法5.1 方程求根法5.1.4 牛顿迭代法第5章 方程和方程组的迭代解法5.1 方程求根法5.1.4 牛顿迭代法5.2 线性方程组的迭代解法求解n阶线性代数方程组第5章 方程和方程组的迭代解法5.2.1 基本迭代法第5章 方程和方程组的迭代解法5.2 线性方程组的迭代解法5.2.1 基本迭代法第5章 方程和方程组的迭代解法5.2 线性方程组的迭代解法5.2.1 基本迭代法第5章 方程和方程组的迭代解法5.2 线性方程组的迭代解法5.2.2 基本迭代法收敛条件考试题型 填空题 选择题 简答题 计算题谢谢大家
