【高中数学】第1课时函数的极值课件 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册.pptx

5.3.2 第1 课时函数的极值 第五章 一元函数的导数及其应用问题引入同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象一下，在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点这就是我们今天要研究的函数的极值新知探索函数极值概念的理解问题1如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？答案在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷新知探索函数极值概念的理解问题2你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？答 案 以 山 峰 x x1处 为 例 来 研 究，在 x x1处，它 附 近 的 函 数 值 都 比 它 小，且 在 x x1处 的 左 侧函 数 是 单 调 递 增 的，且 有 f(x)0，在 x x1处 的右 侧 函 数 是 单 调 递 减 的，且 有 f(x)0，函 数 图象 是 连 续 不 断 的，f(x)的 变 化 也 是 连 续 不 断 的，并且有f(x1)0.新知探索函数极值概念的理解知识梳理 极值的概念一般地，若存在0，当x(x1，x1)时，都有f(x)f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值；当x(x2，x2)时，都有f(x)f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值函数的极大值、极小值统称为函数的极值新知探索注意点：(1)把函数取得极大值时的x 的值称为极大值点，把函数取得极小值时的x 的值称为极小值点，极大值点与极小值点统称为极值点，故极值点不是点；(2)极值是函数的局部性质；(3)函数的极值不唯一；(4)极大值与极小值两者的大小不确定；(5)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点；(6)若f(x0)0，则x0不一定是极值点，即f(x0)0是f(x)在x x0处取到极值的必要不充分条件，函数y f(x)的变号零点，才是函数的极值点函数极值概念的理解新知探索求函数极值的方法(1)求函数y f(x)的极值的方法解方程f(x)0，当f(x0)0时，如 果 在 x0附 近 的 左 侧 函 数 单 调 递 增，即 f(x)0，在 x0的 右 侧 函 数 单 调 递减，即f(x)0，那么f(x0)是；如 果 在 x0附 近 的 左 侧 函 数 单 调 递 减，即 f(x)0，那么f(x0)是.极大值极小值典例精析题型一：不含参数的函数求极值例1求下列函数的极值.解(1)函数f(x)的定义域为R.令f(x)0，得x 1或x 1.当x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值典例精析题型一：不含参数的函数求极值例1求下列函数的极值.由上表可以看出，当x 1时，函数有极小值，且极小值为f(1)3；当x 1时，函数有极大值，且极大值为f(1)1.令f(x)0，解得x e.当x 变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：典例精析题型一：不含参数的函数求极值例1求下列函数的极值.x(0，e)e(e，)f(x)0f(x)极大值典例精析题型一：不含参数的函数求极值反思与感悟函数极值和极值点的求解步骤(1)确定函数的定义域(2)求方程f(x)0的根(3)用方程f(x)0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况典例精析题型二：含参数的函数求极值解f(x)x2(a2)x 2a24aex.令f(x)0，解得x 2a或x a2，分以下两种情况讨论：当x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2a)2a(2a，a2)a2(a2，)f(x)00f(x)极大值极小值典例精析题型二：含参数的函数求极值所以f(x)在(，2a)，(a2，)上是增函数，在(2a，a2)上是减函数，函数f(x)在x 2a处取得极大值f(2a)，且f(2a)3ae2 a，函数f(x)在x a2处取得极小值f(a2)，且f(a2)(4 3a)ea 2.当x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a2)a2(a2，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值典例精析题型二：含参数的函数求极值所以f(x)在(，a2)，(2a，)上是增函数，在(a2，2a)上是减函数，函数f(x)在x a2处取得极大值f(a2)，且f(a2)(4 3a)ea 2，函数f(x)在x 2a处取得极小值f(2a)，且f(2a)3ae2 a.典例精析反 思 与 感 悟 一 般 地，遇 到 题 目 中 含 有 参 数 的 问 题 时，常常 结 合 参 数 的 意 义 及 对 结 果 的 影 响 进 行 分 类 讨 论，此 种 题目 为 含 参 型，应 全 面 分 析 参 数 变 化 引 起 结 论 的 变 化 情 况，参 数 有 几 何 意 义 时 还 要 考 虑 适 当 地 运 用 数 形 结 合 思 想，分类讨论时做到分类标准明确，不重不漏题型二：含参数的函数求极值典例精析题型三：利用函数的极值求参数例3(1)已知函数f(x)的导数f(x)a(x 1)(x a)，若f(x)在x a处取到极大值，则a的取值范围是()A.(，1)B.(0，)C.(0,1)D.(1,0)解若a 1，因为f(x)a(x 1)(x a)，所以f(x)在(，a)上单调递减，在(a，1)上单调递增，所以f(x)在x a处取得极小值，与题意不符；若1 a0，则f(x)在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，与题意不符，故选D.典例精析题型三：利用函数的极值求参数例3(2)已知函数f(x)x33ax2bx a2在x 1时有极值0，则a_，b_.92解因为f(x)在x 1时有极值0，且f(x)3x26ax b，当a1，b3时，f(x)3x26x 33(x 1)20，所以f(x)在R 上为增函数，无极值，故舍去.当a2，b9时，f(x)3x212x 93(x 1)(x 3).当x(3，1)时，f(x)为减函数，当x(1，)时，f(x)为增函数，所以f(x)在x 1处取得极小值，因此a2，b9.典例精析题型三：利用函数的极值求参数反思与感悟已知函数的极值求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解.(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证.跟踪练习1(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y f(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是()A 在(1,2)上函数f(x)是增函数B 在(3,4)上函数f(x)是减函数C 在(1,3)上函数f(x)有极大值D x 3是函数f(x)在区间1,5 上的极小值点解析根据导函数图象知，x(1,2)时，f(x)0；x(2,4)时，f(x)0.f(x)在(1,2)，(4,5)上 是 增 函 数，在(2,4)上 是 减 函 数，x 2是f(x)在1,5 上的极大值点，x 4是极小值点故选ABC.跟踪练习2设函数f(x)xex，则()A x 1为f(x)的极大值点B x 1为f(x)的极小值点C x 1为f(x)的极大值点D x 1为f(x)的极小值点解析令f(x)exxex(1 x)ex0，得x 1.当x 1时，f(x)0；当x 1时，f(x)0.故x 1为f(x)的极小值点，故选D 跟踪练习3.函数f(x)ax 1ln x(a0)在定义域内的极值点的个数为_.0所以当a0 时，f(x)0 在(0，)上恒成立，所以函数f(x)在(0，)上单调递减，所以f(x)在(0，)上没有极值点.跟踪练习2解析f(x)3x22ax b，课堂小结导数的极值极值的概念求极值不含参数含参数利用极值求参数