大数定律课件.ppt

下 下回 回停 停一、问题的提出二、随机变量序列的收敛性第一节第一节 大数定律大数定律三、常用的三种大数定律一、问题的提出一、问题的提出 在第一章有关概率的统计定义中讲到,随机现象在大量重复试验中呈现明显的统计规律性,即事件发生的频率具有稳定性.伯努利于1713年首先提出关于频率稳定性的定理,被称为伯努利大数定律.大量抛掷硬币正面出现频率生产过程中的废品率字母使用频率 在实践中,人们认识到，在随机事件的大量重复出现中，往往呈现出几乎必然的规律，这个规律就是大数定律。大量测量值的算术平均值也具有稳定性.大数定律就是用于研究大量随机现象中平均结果的稳定性的理论.大数定律的客观背景二、随机变量序列的收敛性二、随机变量序列的收敛性 定义4.1的分布函数分别为 和 若在的所有连续点 上都有 则称随机变量序列 依分布收敛于随机变量Y，简记为和随机变量Y 设随机变量依分布收敛表示：当n充分大时，的分布函数 收敛于Y 的分布函数 它是概率论中较弱的一种收敛性.定义4.2任意实数有或和随机变量Y，若对 设随机变量序列则称随机变量序列 依概率收敛于随机变量Y，简记为依概率收敛表示：与Y 的绝对误差小于任意小大，直至趋于1.定理4.1为一随机变量序列，且(常数)，又函数 在点C处连续，则有的可能性(即概率)将随着n增大而愈来愈的正数 设证 由 在C处连续可知，对任意实数 存在实数 使当 时，总有 从而这就表明：解 设X1,X2,Xn 是独立同分布的随机变量例例11从而对任意给定的 0,由切比谢夫不等式得定义 4.3和随机变量 对 时，有 和，若 则称随机变量序列阶收敛于随机变量Y简记为设随机变量序列 特别的有1-阶收敛又称为平均收敛，2-阶收敛又称为均方收敛。可以证明：均方收敛则平均收敛。定义 4.4 设随机变量序列 和随机变量，若 或简记为收敛于随机变量简记为。则称随机变量序列 以概率1（或几乎处处）almost-everywhere下面定理揭示了四种收敛之间的关系。和随机变量定理 4.2 设随机变量序列(1)若，则(2)若，则。(3)若，则定义4.5三、常用的三种大数定律三、常用的三种大数定律令定理定理4.3 4.3 切比谢夫大数定律切比谢夫大数定律证于是，当时，结论成立，即定理4.3得证。注1 这种接近是概率意义下的！通俗地说,在定理条件下,n 个随机变量的算术平均值,当 n无限增加时,几乎变成一个常数.2 切比谢夫大数定律的另一种叙述解设随机变量相互独立,具有如下分布律:问是否满足切比谢夫大数定律?由题意可知独立性.可见,每个随机变量的数学期望都存在.检验是否有数学期望例例22检验是否有有限方差故满足切比谢夫大数定律的条件.定理定理4.4 4.4 伯努利大数定律伯努利大数定律证由定理4.3对任意的 0,有证毕.注1 用严格的数学形式表达频率的稳定性!当 n 很大时,事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小.在实际应用中,当试验次数很大时,便可以用事件发生的频率来代替事件的概率.注1 与切比谢夫大数定律相比,不要求方差存在且有界.2 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.定理定理4.5 4.5 辛钦大数定律辛钦大数定律设随机变量独立同分布,证明对任意解例例33由辛钦大数定律知,四个大数定律内容小结内容小结 频率的稳定性是概率定义的客观基础,而贝努里大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性.设Xn为独立同分布的随机变量序列,其共同分布为例例3-13-1试问Xn是否服从大数定律?即E Xn存在,由辛钦大数定律知服从大数定律.解备用题辛钦辛钦(Aleksandr Yakovlevich Khinchin)(Aleksandr Yakovlevich Khinchin)1894-1959苏联数学家,现代概率论的奠基人之一.辛钦在函数的度量理论、数论、概率论、数学分析、信息论等方面都有重要的研究成果.共发表150多种关于数学和数学史论著.他最早的概率论成果是伯努利试验序列的重对数律.