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4.1 叠加定理 4.2 替代定理 4.3 戴维南定理和诺顿定理 4.5 互易定理4.4 特勒根定理 4.6 对偶原理第四章 电路定理4-1 叠加定理 定理内容：在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在该支路产生的电流(或电压)的代数和。所谓独立作用，指某一独立源作用时，其他独立源不作用(即置零)，即电流源相当于开路，电压源相当于短路。由线性电阻、线性受控源及独立电源组成的电路中，每一元件的电流或电压可以看成是每一个独立电源单独作用于电路时，在该元件上产生的电流或电压的代数和。单独作用：不作用 电压源（us=0)短路电流源(is=0)开路一个电源作用，其余电源不作用举例说明：求所给电路中的i2。1节点定理内容：4-1 叠加定理=H1=H2电路体现出一种可叠加性。4-1 叠加定理 4-1 叠加定理使用叠加定理分析电路的优点：叠加性是线性电路的根本属性。叠加方法是分析电路的一大基本方法。通过它，可将电路复杂激励的问题转换为简单的单一激励问题，简化响应与激励的关系。例4-1：电路如图所示，求电压 的值。4-1 叠加定理解：这是一个含有受控源的电路，用叠加定理求解该题。对于电压 可以看作独立电压源和电流源共同作用下的响应。令电压源和电流源分别作用，但电路中受控源要保留，不能作为独立源进行分解。分解后的电路如图（a）、（b）所示，则电压 4-1 叠加定理(a)电压源单独作用(b)电流源单独作用4-1 叠加定理=+对于（a）图：对于（b）图：根据KVL,有：根据叠加定理，得 4-1 叠加定理例4-2：如图所示的线性电阻网络N，当求：若网络N含有一电压源us,us单独作用时，其他数据仍有效，求 4-1 叠加定理解：电路有两个独立源激励，依据电路的叠加性，设 其中 为两个未知的比例系数。利用已知的条件，可知：4-1 叠加定理网络N含有一电压源us，则：要注意，由于电路结构不同，这里的系数 与第一问中的值 是不一样的。由已知条件 得：又已知其他数据仍有效，即：4-1 叠加定理联立式得：所以，时，有：4-1 叠加定理（1）叠加定理只适用于线性电路；（2）由于受控源不代表外界对电路的激励，所以做叠加处理时，受控源及电路的连接关系都要应保持不变；（3）叠加是代数相加，要注意电流和电压的参考方向；（4）由于功率不是电流或者电压的一次函数，所以功率不能叠加。（5）当电路中含有多个独立源时，可将其分解为适当的几组，分别按组计算所求电流或者电压，然后再进行叠加。叠加定理的注意点：4-2 替代定理 定理内容：在有唯一解的任意线性或者非线性网络中，若某一支路的电压为、电流为，那么这条支路就可以用一个电压等于 的独立电压源，或者用一个电流等于 的独立电流源，替代后电路的整个（其他各支路）电压、电流值保持不变。例4-3：已知电路如图所示，其中，试用替代定理求。4-2 替代定理解：设R3支路以左的网络为N。因为已知R3 支路的电压及电阻，所以流过R3 的电流为：将R3支路用电流源代替，如图所示。则替代后各支路电压电流值不变。由此可以得到：4-2 替代定理例4-4：在图所示电路中，已知的VCR为，利用替代定理求 的大小。4-2 替代定理解：假设 左端电路为，则等效电路形式如图所示。其VCR 表达式为：的最简端口电压变量u和电流变量i应该同时满足的VCR，因此有：4-2 替代定理根据题意，以的电压源替代如图所示。求得：4-2 替代定理（1）定理适用于线性和非线性网络，电路在替代前后要有“唯一解”。（2）被替代的特定支路或端口与电路其他部分应无耦合关系或者控制与被控制的关系。因此，当电路中含有受控源时应保证其控制支路或被控制支路不能存在于被替代的电路部分中。（3）替代不是等效，希望区分清楚。替代定理注意点：4-3 戴维南定理和诺顿定理 在电路分析中，常常需要研究某一支路的电流、电压或功率是多少，对该支路而言，电路的其余部分可看成是一个有源二端网络，该有源二端网络可等效为较简单的电压源与电阻串联或电流源与电阻并联支路，以达到计算和分析简化的目的。戴维南定理和诺顿定理给出了这种等效的方法。这两个定理非常重要，是电路分析计算的有力工具。一、戴维南定理 任何线性有源二端网络N，就其外特性而言，可以用一个电压源与电阻的串联支路等效置换，如图所示。4-3 戴维南定理和诺顿定理(a)(b)其中，电压源的电压值为该有源二端网络N的开路电压，如图(a)所示；串联电阻值等于有源二端网络内部所有独立源不作用时对应的网络 在输出端求得的等效输入电阻，如图(b)所示。这样的等效电路称为戴维南等效电路。4-3 戴维南定理和诺顿定理例4-5：求图示电路中电流 I 的大小。解：将电流I流过的ab支路作为外电路，将ab端以左的电路用戴维南定理等效。先求ab端的开路电压，如图(a)所示：4-3 戴维南定理和诺顿定理(a)例题4-5开路电压求解图(b)例题4-5等效电阻求解图容易求得：4-3 戴维南定理和诺顿定理再求：将独立电压源短路，则ab端以左仅为两电阻的并联，如图(b)所示，则：用戴维南等效电路置换原ab端以左的电路部分，如图所示。得：4-3 戴维南定理和诺顿定理二、诺顿定理 任何线性有源二端网络N，对其外特性而言，都可以用一个电流源与电阻的并联支路来代替。其中电流源电流值为有源二端网络输出端的短路电流，并联电阻值为该有源二端网络内所有独立源置零后对应的网络 在输出端求得的等效输入电阻。4-3 戴维南定理和诺顿定理诺顿定理示意图4-3 戴维南定理和诺顿定理诺顿定理是戴维南定理的推论，与戴维南定理互为对偶定理。应用戴维南和诺顿定理应注意：（1）戴维南和诺顿定理只适用线性电路；（2）戴维南等效电路与诺顿电路可以互相转换，如图所示。转换时应根据等效原则，即端口处的VCR要相同。等效变换关系见式（a）。其中应特别注意开路电压 参考极性和短路电流 参考方向的对应关系；式（a）4-3 戴维南定理和诺顿定理戴维南电路与诺顿电路等效变换图(3)当网络内部含有受控源时，控制电路与受控源必须包含在被化简的同一部分电路中。即该有源二端网络与外电路不能有耦合关系；(4)若求得N的等效电阻 则戴维南等效电路不存在；若 则诺顿等效电路不存在。4-3 戴维南定理和诺顿定理三、等效内阻 的计算 当有源二端网络N内部独立源置零后，若网络内部全是电阻元件而不含有受控源，可以直接利用前面章节中介绍的电阻串并联及 等效变换关系直接计算。网络不含受控源：4-3 戴维南定理和诺顿定理1.外加电压法先将网络N内部所有独立电源置零，受控源保持不变。然后对除源网络（记为）外加一电压源u。设在该电压源作用下其端口电流为i，如图所示，则等效输入电阻定义为：加压法求等效电阻示意图网络含有受控源：4-3 戴维南定理和诺顿定理例4-6：求图所示电路中ab端的戴维南等效电路。4-3 戴维南定理和诺顿定理解：先求开路电压 因为题图电路为开路状态，端口电流为零，所以开路电压即为电压源电压，有 再求等效电阻。因含有受控源，用外加电压法。4-3 戴维南定理和诺顿定理将10V电压源作短路处理。受控电流源与电阻的并联电路可等效为受控电压源与电阻的串联形式。这样变换可使计算简单。在ab端施加一个电压为u的电压源，在该电压源作用下，端电流为i，如图所示。4-3 戴维南定理和诺顿定理列写KVL方程，有：戴维南等效电路图ab端的等效戴维南电路如图所示。4-3 戴维南定理和诺顿定理2.开路电压短路电流法对于某线性有源二端网络N，若分别将其开路和短路，可求得两种情况下的开路电压 与短路电流，如图所示。则：开路电压短路电流法示意图应该特别注意开路电压参考极性与短路电流参考方向的对应关系，注意与外加电压法求解的区别。4-3 戴维南定理和诺顿定理例4-7：求图所示电路中的电压u1 解：将ab端以左的电路用戴维南定理等效。4-3 戴维南定理和诺顿定理先求开路电压，如图所示，列写回路l的方程。有：4-3 戴维南定理和诺顿定理再求短路电流。如图所示。因为2电阻被短路，所以电流i为零。列写KVL方程，有：根据开路电压短路电流法有：4-3 戴维南定理和诺顿定理戴维南等效电路如图所示，由此易求得：也可以用外加电压源法求例4-7的戴维南等效电路，求解过程请同学自行练习，此处从略。4-3 戴维南定理和诺顿定理例4-8：求图中ab端的戴维南等效电路。解：为简化分析，先对电路进行必要的等效变换，如 下图所示。注意图中对应 位置的变化。4-3 戴维南定理和诺顿定理4-3 戴维南定理和诺顿定理先求开路电压 列回路KVL方程，有：又 解得：所以有 4-3 戴维南定理和诺顿定理本题用开路电压短路电流法求。uoc已经得到，则只要求出短路电流 即可。电路如图所示。4-3 戴维南定理和诺顿定理用网孔电流法求解。方程如下：约束方程为：解得：所以：戴维南等效电路如图所示。例4-8化简电路4-3 戴维南定理和诺顿定理4-4 特勒根定理 特勒根定理也是电路理论中的一个重要定理。与KVL和KCL一样，它属于电路的拓扑约束，即特勒根定理要求不同电路要具有相同的连接形式，至于构成电路的具体元件则对定理的结论没有影响。特勒根定理有两种表达形式。特勒根定理I：具有b条支路、n个节点的任意集总参数网络N，在任意瞬间t，各支路电压与其支路电流乘积的代数和恒为零，即：该定理对任何集总参数电路都适用，它实质上是功率守恒的体现，说明各支路吸收的功率代数和为零，因此该定理也称为功率守恒定理。4-4 特勒根定理；和 特勒根定理II：若两个网络 由不同元件构成，但是它们有相同的拓扑结构图。设各支路电流、电压取关联参考方向，分别表示为：则在任意时间t，有：4-4 特勒根定理 由定理II可以看到，它表示不同电路的对应支路电压与电流所应遵循的数值约束关系。这两种乘积都有功率的量纲，但并不是实际支路的功率，因此我们也称定理II为拟功率守恒定理。特勒根定理II比I更为重要，它将不同网络的支路电压和电流以数值形式结合了起来，因此应用更广泛。4-4 特勒根定理1）若支路电压，电流不是关联方向，则相应电流和电压的乘积项符号的正负要改变。2）不同电路所对应的支路电流和电压参考方向和参考极性的取法应该严格保持一致。注意：4-4 特勒根定理例4-9：电路如题图所示，为纯电阻电路，不含独立源和受控源。已知两次测量值为：求：第二次的电压 的值。(a)(b)4-4 特勒根定理解：虽然前后两次测量所用的电路参数有所改变，但是电路的结构却完全相同，因此可以用特勒根定理将两个电路联系在一起。设网络 中共有b条支路，则由特勒根定理II，得：其中，因为 外部的电压源和电阻上电流和电压取非关联方向，所以式中方程左右前两项前面符号取负。4-4 特勒根定理又因为网络为线性电阻网络，所以其包含b条支路的电流、电压应满足欧姆定律。设电流、电压都取关联方向，对于每条支路，应有：将式代入式，则有：4-4 特勒根定理由题图，应有 将其代入式并代入已知数据，有：4-4 特勒根定理4-5 互易定理 互易特性是线性网络的重要性质之一。网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后，若同一激励所产生的响应不变,则网络是具有互易性的网络，称为互易网络。互易定理是对网络这种性质的概括。互易定理共有三种表达形式：互易定理形式I：如图(a)所示,不含有独立源和受控源的线性网络 中，在 端接入电压源，设端的短路电流 为唯一激励，如图(b)所示，产生的响应为短路电流，则有产生的响应。若将电压源移动至支路设支路4-5 互易定理(a)(b)(a)(b)互易定理形式I示意图4-5 互易定理互易定理形式II：如图(a)所示的不含有独立源和受控源的线性网络中，在 端接入电流源，设端的开路电压 为唯一激励，如图(b)所示，产生的响应为开路电压，则有产生的响应。若将电流源移动至支路设支路4-5 互易定理(a)(b)(a)(b)互易定理形式II示意图4-5 互易定理互易定理形式：如图(a)所示的不含有独立源和受控源的线性网络中，在 端接入电流源，设端的短路电流 为唯一激励如图(b)所示，而且在数值上有，产生的响应为开路电压，则在数值关系上有产生的响应。若将电流源 换成电压源 移动至支路设支路4-5 互易定理(a)(b)(a)(b)互易定理形式III示意图4-5 互易定理(1)互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电源与某支路互易；(3)互易前后激励与响应的参考方向和极性要保持一致;(2)互易定理不适用于含受控源的网络。注意：4-5 互易定理(4)互易定理可以与电路齐次特性结合使用：若互易后激励为原来激励的k倍，则互易后的响应也为原来响应的k倍；（5）若网络含有多个独立电源时，分别考虑电源的单独作用，再配合叠加定理求出总响应。4-5 互易定理4-6 对偶原理 回顾前面所学的内容，容易发现某些电路结构、变量、元件分析方法和定理等都具有明显的类比性质。例如，对于图示电阻元件在电流、电压取关联参考方向时，VCR的约束可表达为下面两个公式：在式中，若将进行替换的话，式就变成式。又如KCL与KVL定律：KCL反映的是各支路节点的电流约束关系，而KVL反映的是回路中各支路电压间约束关系。若将KCL中的节点以回路代替，电流用电压代替，则KCL就变成KVL。4-6 对偶原理 这种类比性质称为对偶特性。上面提到的电流和电压、电阻和电导等等称为对偶量或对偶元素。电路中存在的对偶关系很多，列出了主要的对偶关系，如表4-1所示。电路中的某些元素之间的关系，用它们的对偶元素置换后所得的新关系也一定成立，这个新关系与原关系互为对偶，这就是对偶原理。4-6 对偶原理电阻 电导电感 电容电压 电流电压源 电流源开路 短路节点 网孔节点电压网孔电流表4-1 各种常用对偶关系表4-6 对偶原理电阻串联 电导并联串联分压 并联分流电感串联 电容并联KCL KVL树支 连支树支电压 连支电流基本割集 基本回路*4.7 最大功率传输定理设一负载RL接于电压型电源上，若该电源的电压US保持规定值且串联电阻RS不变，负载RL可变，则当RL=RS时，负载RL可获得最大功率。最大功率传输定理叙述如下：图3-19证明:如图3-19所示，负载RL消耗的功率为 令，有RL=RS且故 RL=RS时得最大功率例:如图3-20(a)所示电路，设负载RL可变，问RL为多大时它可获得最大功率？此时最大功率Pmax为多少？图3-20解:要确定RL取得最大功率的条件，根据匹配定理，必须首先将RL以外的有源二端网络等效为戴维宁电源，当RL=R0（即等效RS）时可获得最大功率。在图(a)中，当RL断开时，a、b处的开路电压Uoc=4 12=2V 再令独立电源为零，容易得到ab二端子间的等效电阻R0=2 从而得图(b)电路，显然RL=R0=2 时负载与电源匹配。此时最大功率本章小结 叠加定理：叠加定理只适用于线性电路。戴维南定理和诺顿定理是化简和分析电路的常用方法。求解等效电阻Req方法有：（1）串并联法；（2）外加电压法；（3）开路电压短路电流法。