高考数学重点难点13数列的通项与求和.pdf

高 中 数 学 难 点 1 3 数 列 的 通 项 与 求 和 数 列 是 函 数 概 念 的 继 续 和 延 伸，数 列 的 通 项 公 式 及 前 n 项 和 公 式 都 可 以 看 作 项 数 n 的 函 数，是 函 数 思 想 在 数 列 中 的 应 用.数 列 以 通 项 为 纲，数 列 的 问 题，最 终 归 结 为 对 数 列 通 项 的 研 究，而 数 列 的 前 项 和 S”可 视 为 数 列 S“的 通 项。通 项 及 求 和 是 数 列 中 最 基 本 也 是 最 重 要 的 问 题 之 与 数 列 极 限 及 数 学 归 纳 法 有 着 密 切 的 联 系，是 高 考 对 数 列 问 题 考 查 中 的 热 点，本 点 的 动 态 函 数 观 点 解 决 有 关 问 题，为 其 提 供 行 之 有 效 的 方 法.难 点 磁 场(旷 设 为 是 正 数 组 成 的 数 列，其 前 n 项 和 为 S,并 且 对 于 所 有 的 自 然 数，。“与 2 的 等 差 中 项 等 于 S”与 2 的 等 比 中 项.(1)写 出 数 列”“的 前 3 项.(2)求 数 列 a,的 通 项 公 式(写 出 推 证 过 程)(3)令+2-)(“6N),求 lim(,b+b2+b3+bnri).2 an an+i 2 8 案 例 探 究 例 1 已 知 数 列%是 公 差 为 d 的 等 差 数 列，数 列 儿 是 公 比 为 q 的(q d R 且 qWl)的 等 比 数 列，若 函 数 7(X)=(Xi f,且 刁 侬-1),03;挑 此 1)，仇 刁(4+1)，必 力 0 1)，求 数 列%和 b“的 通 项 公 式;设 数 列&的 前 项 和 为 S,”对 一 切 GN*,都 有?+?+=%成 立，求 3 b2命 题 意 图：本 题 主 要 考 查 等 差、等 比 数 列 的 通 项 公 式 及 前 项 和 公 式、数 列 的 极 限，以 及 运 算 能 力 和 综 合 分 析 问 题 的 能 力.属 级 题 目.知 识 依 托：本 题 利 用 函 数 思 想 把 题 设 条 件 转 化 为 方 程 问 题 非 常 明 显，而(2)中 条 件 等 式 的 左 边 可 视 为 某 数 列 前 n 项 和，实 质 上 是 该 数 列 前 n 项 和 与 数 列 6 的 关 系，借 助 通 项 与 前 n 项 和 的 关 系 求 解 c,是 该 条 件 转 化 的 突 破 口.错 解 分 析：本 题 两 问 环 环 相 扣，(1)问 是 基 础，但 解 方 程 求 基 本 量 0、6、d、q,计 算 不 准 易 出 错；(2)问 中 对 条 件 的 正 确 认 识 和 转 化 是 关 键.技 巧 与 方 法：本 题(1)问 运 用 函 数 思 想 转 化 为 方 程 问 题，思 路 较 为 自 然，(2)问“借 鸡 生 蛋”构 造 新 数 列 4,运 用 和 与 通 项 的 关 系 求 出 4,丝 丝 入 扣.解：(1).|=/口-1)=32)2,&3=/3+1)才,(73-。=一(d-2y=2d,d=2,；.IR(4+1)=4 b3=f(q 1)=(q-2)2,义=q 山 夕 e R,且 1 得 q=2,b qbn=h qn=4(2)(2)令 乡=乩，则 d+d2+,+dn=an+,(w N*),d而 a+-。=2,，3 二 2,即 c=2“产 8(2)”一；.S,产 g 1(-2)M.bn3.52n+1 1-(-2严(一 步+2 52+1 _=-*=-:-Jim=一 3 例 2 设 4 为 数 列 的 前 项 和，4 尸 3-1），数 列 6 的 通 项 公 式 为“尸 4+3;（1）求 数 列 的 通 项 公 式；（2）把 数 列 四 与 6 的 公 共 项 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 成 一 个 新 的 数 列，证 明：数 列 4 的 通 项 公 式 为 乩=3加 1;（3）设 数 列“的 第 n 项 是 数 列 小 中 的 第 八 项，以 为 数 列 也,的 前 r 项 的 和；D,为 数 列 4 的 前 n 项 和，T,=B,Dn，求 Jim.T8（%）命 题 意 图：本 题 考 查 数 列 的 通 项 公 式 及 前 项 和 公 式 及 其 相 互 关 系；集 合 的 相 关 概 念,数 列 极 限，以 及 逻 辑 推 理 能 力.知 识 依 托：利 用 项 与 和 的 关 系 求。“是 本 题 的 先 决；（2）问 中 探 寻%与%的 相 通 之 处，须 借 助 于 二 项 式 定 理；而（3）问 中 利 用 求 和 公 式 求 和 则 是 最 基 本 的 知 识 点.错 解 分 析：待 证 通 项 d,R22 与 团 的 共 同 点 易 被 忽 视 而 寸 步 难 行；注 意 不 到/与 的 关 系，使 7“中 既 含 有，又 含 有 尸，会 使 所 求 的 极 限 模 糊 不 清.技 巧 与 方 法：（1）问 中 项 与 和 的 关 系 为 常 规 方 法，（2）问 中 把 3 拆 解 为 4-1,再 利 用 二 项 式 定 理，寻 找 数 列 通 项 在 形 式 上 相 通 之 处 堪 称 妙 笔；（3）问 中 挖 掘 出 n 与 r 的 关 系，正 确 表 示 反，问 题 便 可 迎 刃 而 解.3,3解：（1）由 1），可 知 4+1=；（即 1 1 1），2 2.a+ian=3”+|一 四),即 凹 四=3,而。|=小=。(a,1),得。尸 3,所 以 数 列 是 以 32 2为 首 项，公 比 为 3 的 等 比 数 列，数 列 小 的 通 项 公 式=3.(2)V32n+1=3 3窃=3(4-1产=3 V+C；,4|(1)+C#4(1)+(-1 产=4/7+3,.3叫 16 体.而 数 32=(4I)2=42+C；“4(-1)+(1产=(4%+1),.,32 ng M，而 数 列 g”=3 向 U%,.“=32叫(3)由 3?川=4 r+3,可 知=-,4.B产“7+4+3)=+32w+1-3 32w+l+7 2 L.(1 _ 9)=2(9-1),2 4 2 H 1-9 8=?3_3,32+：,(/)4=34,98锦 囊 妙 计 1.数 列 中 数 的 有 序 性 是 数 列 定 义 的 灵 魂，要 注 意 辨 析 数 列 中 的 项 与 数 集 中 元 素 的 异 同.因 此 在 研 究 数 列 问 题 时 既 要 注 意 函 数 方 法 的 普 遍 性，又 要 注 意 数 列 方 法 的 特 殊 性.S n=12.数 列 a“前 项 和 S”与 通 项 的 关 系 式：a,=-P3.求 通 项 常 用 方 法 作 新 数 列 法.作 等 差 数 列 与 等 比 数 列.累 差 叠 加 法.最 基 本 形 式 是:i+a”-2)+(。2。1)+2|.归 纳、猜 想 法.4.数 列 前 n 项 和 常 用 求 法 重 要 公 式 1+2+,+=(+1)/+22+(+1)(2+1)13+23+,+/73=(1+2+尸=/(+1)4 等 差 数 列 中 Sm+n=Sm+S+mnd,等 比 数 列 中 Sm+=S+qSm=Sm+qSn.裂 项 求 和：将 数 列 的 通 项 分 成 两 个 式 子 的 代 数 和，即。“=/(+然 后 累 加 时 抵 消 中 间 的 许 多 项.应 掌 握 以 下 常 见 的 裂 项：(M+1)!！(+1)!错 项 相 消 法 并 项 求 和 法 数 列 通 项 与 和 的 方 法 多 种 多 样，要 视 具 体 情 形 选 用 合 适 方 法.歼 灭 难 点 训 练 一、填 空 题 1.()设 z”=(6N),记 S“=I I+I z2则 lim S=.2.(*M 乍 边 长 为“的 正 三 角 形 的 内 切 圆，在 这 个 圆 内 作 新 的 内 接 正 三 角 形，在 新 的 正 三 角 形 内 再 作 内 切 圆，如 此 继 续 下 去，所 有 这 些 圆 的 周 长 之 和 及 面 积 之 和 分 别 为二、解 答 题 3.(*初 数 列 0,K(M+1)72+7,an+%2=0,又 知 数 列 也 的 通 项 为 b,=2n-+.(1)求 数 列 为 的 通 项 勾,及 它 的 前 n 项 和 S”；(2)求 数 列 的 前 项 和(3)猜 想 S,与 T”的 大 小 关 系，并 说 明 理 由.4.()数 列 斯 中，“1=8,44=2 且 满 足 2 成 立？若 存 在，求 出 加 的 值；若 不 存 在，说 明 理 由.325.*)设 数 列 斯 的 前 n 项 和 为 S,且 S”=(m+1)一 对 任 意 正 整 数 n 都 成 立,其 中，为 常 数，且 加 满 足：仇=。1,6行/(与 一|)(2,1*).试 问 当 m为 何 值 时，limSa/g/X lim b b2+与&+”,-也)成 立？Ha 8 汜 知 数 列 也 是 等 差 数 列,*1,仇+庆+仇 0=145.(1)求 数 列 儿 的 通 项 儿；(2)设 数 列 斯 的 通 项 斯=1 Q 且&N1),记 S“是 数 列%的 前 n 项 和，b,试 比 较&与 1 log力 前 的 大 小，并 证 明 你 的 结 论.7.(*)设 数 列%的 首 项 a,=l,前 n 项 和 S”满 足 关 系 式：36“一(2/+3周 一 尸 3/(/0,=2,3,4).(1)求 证：数 列 册 是 等 比 数 列；(2)设 数 列%的 公 比 为/(/),作 数 列“J,使 方 产 1,仇,=八 一)(=2,3,4)，求 数 列/“的 hn-通 项 b-.(3)求 和:bb2b2b3+b3b4-g2 一 b2nb2n+1.参 考 答 案 难 点 磁 场 解 析：由 题 意，当=1时，有&1工=2何，S尸 a，；2=2,解 得 0=2.当=2 时，有 色；2=,$2=。|+。2，将。产 2 代 入，整 理 得(。21 2)2=1 6,由。2 0，解 得。2=6.当 77=3 时，有 一 二 12s3,53=。+。2+。3,将。1=2,。2=6代 入，整 理 得(的-2)2=6 4,由 3 0，解 得。3=10.故 该 数 列 的 前 3 项 为 2,6,10.(2)解 法 一：由(1)猜 想 数 列 恁.有 通 项 公 式%=4-2.下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明%的 通 项 公 式 是%=4 一 2,(N“).当 二 1时，因 为 4X1 2=2,又 在 中 已 求 出 0=2,所 以 上 述 结 论 成 立.假 设 当 时，结 论 成 立，即 有 必=4 L 2,由 题 意，有 竺 产=必 7,将 必=4 2.代 入 上 式，解 得 2仁 而 T，得 风=2必，由 题 意，有%=j2Sk+i,Sk+i=Sk+ak+i,将 5 k 2必 代 入 得(I+?下=2(%+2的,整 理 得 四+/一 4。“+4 16炉=0,由 a*+i 0,解 得 2%产 2+4攵，所 以。川=2+4h 4(左+1)2,即 当=1+1时，上 述 结 论 成 立.根 据，上 述 结 论 对 所 有 的 自 然 数 成 立.解 法 二：由 题 意 知 幺 上 2，5 e N).整 理 得,s“=!(恁+2)2,由 此 得 当+产 m“+i+2)2,2 v 8 81=S+|S=i(a“+2)2(%+2)2.整 理 得(+%)(a“+iq“-4)=0,由 题 意 知 恁+i+q”oWO,a+i0 7=4,即 数 列%为 等 差 数 列，其 中。尸 2,公 差 d=4./.an=a+(/?-1)rf=2+4(/71),即 通 项 公 式 为 o=4-2.解 法 三：由 已 知 得%y=M，(WN*)，所 以 有 色(工=阿；，由 式 得 鼠 匚 产 工=阿；，整 理 得 S,+12行 标 T+2S k 0,解 得 际=6 土 E，由 于 数 列 为 为 正 项 数 列，而 历=后,.疯+庖 忘，因 而 疯；=血+后，即&是 以 质=行 为 首 项，以 上 为 公 差 的 等 差 数 列.所 以 叵=拒+(-1)2=V2 n,Sn=2n2,故 an=()即 0尸 4 一 2(N*).S-a=而-2 g 2)令 cn=b-,则 c=?(+2-2)2 an%=1 rz2-w-+-71-八 1)+(2n-71-21)=-1-1-2 2-1 2+1 2-1 2+1b、+6,+/“一=。+G+,+0 八 1、4 1、/I 1、I 1=(1)+(-)+(-)=1-3 3 5 2/7-1 2+1 2+1，limS+h2+-w)=lim(l-)=1.M-X M-X 2+1歼 灭 难 点 训 练 一、1.解 析:设-日 严-号 1=（孝 严,:口-(争”S=q+Q+c“=Z-左 2-A/2lim-S1,=-7=2 A/21+在+2答 案:42.解 析：由 题 意 所 有 正 三 角 形 的 边 长 构 成 等 比 数 列%,可 得%=号，正 三 角 形 的 内 切 圆 构 成 等 比 数 列%,r 4a 1可 得 廿 不 标，这 些 圆 的 周 长 之 和 c=lim 2=（尸|+尸 2+固=3 7 rn-2面 积 之 和 S=lim 71（/72+/2+,+2）=-JW-00 9答 案：周 长 之 和 逋 4a,面 积 之 和 巴/2 9二、3.解：（1）可 解 得&=,从 而 0尸 2力，有 S尸 勿 Q”+1(2)乙 产 2+一 1.(3)TnSn=2nn21,验 证 可 知,n=l 时,7=Si，n=2 时 T?(S公 n=3 时,713Vs3；=4时，T4S5；”6 时 S6.猜 想 当 25 时，TnSn,即 2/+可 用 数 学 归 纳 法 证 明(略).4.解：(1)由%+2=2%+0?n%+2。用=%+1。可 知 夕 成 等 差 数 列，d=2,/.an=10-2n.4-1(2)ill a=102 20 可 得 W 5,当 打 W5 时，S=/+9，当 n5 时，S=/?2-9/7+40,.一 2+9 1 A?5故 S=5(3)6=-=-=1(-)(2+2)2 n n+1_ _.1 r 1.,1 1、,1 1._ n.i_ 7 7 7.-.7；=/!+/2+-+/=-(l-)+(-)+-+(-)=-；要 使 2 2 2 3 n n+l 2(+1)32总 成 立，需 2:-为 等 差 数 列.、-=3+(-1)=+2,2 一 1 bn bn_x bn bn*.bn=(N).n+2v a/m xM-i i、r w-1.m、mn=(-)lim(bn lgo)=lim-lg-=lg-W+1“TOO n-o o 77+2 2+1/W+l而 lim 3(帅 2+b2b3 H-F 2 一 也?)=lim 3(+H-1-)1-8-o o 3 4 4 5 7 7+1 n+2由 题 意 知 lg=1,/.=10,.*.m=m+1 m+9“=16.解：设 数 列“的 公 差 为 H 由 题 意 得：10(10-1)解 得 仇=1,注 3,10+_ _-6/=145/.bn=3n2.(2)由 b“=3-2,知 S=log(1+1)+log(1+-)+log(1+-)4 3-2=loga L(l+l)(l+-)(l+lo g A+i=logV3w+l-4 3-2 3因 此 要 比 较 S“与 L o g也+i的 大 小，可 先 比 较(1+1)(1+l)(1+一)与 逐 泮 T的 大 3 4 3 一 2小，取 n=时，有(1+1)W3+1取=2 时，有(1+1)(1+工)3-2+1 4由 此 推 测(1+1)(1+,)(1+一)，3+1 4 3-2若 式 成 立，则 由 对 数 函 数 性 质 可 判 定：当 a 1 时，S g log。4,+i,当 0。1 时，S3%+1.那 么 当 n=k+时，+9 4+5)即+*需+2).帚 之一 E f(3%+2)2-(3%+4)(3k+l)2(3.+境*。,，需(弘+2)际=师 而 因 而(1+1)(1+；)(+)(1+7 7)小 第+i)+i这 就 是 说 式 当 n=k+时 也 成 立.由(i)(ii)可 知 式 对 任 何 正 整 数 都 成 立.由 此 证 得：当。1 时，S|logA+i；当 0 V a 1 时，S|log,力 用 7.解：由=0=1,$2=1+生，得 3/(1+42)-(2，+3)=3/.，。2=2/4-3 a23 t，q2/+33t又 3 tSn(2/+3)Sn-=3/,3tSn-1(2/+3)SW-2=3Z 一 得 2)tan(2r+3)67M-j=0.,=2,3,4，所 以“是 一 个 首 项 为 1公 比 为 笥 口 的 等 比 数 列;2/+3 2 1 1 2(2)由 寅。=刀+-,得 b=fi-)=-+6-|3/3 t%32可 见&是 一 个 首 项 为 1,公 差 为(的 等 差 数 列.于 是 仇 产 1+|(一 1)=竽；(3)由 6“=誓 L 可 知 62.r 和 为,是 首 项 分 别 为 1 和 g，公 差 均 为 g 的 等 差 数 列，于 是 g=4n+13:.bib厂 b2b3+b3b4b4b+,+b2n b2n一 岳 跖+1=b2(bi 63)+64(63 65)+岳(岳-1b2tt+1)4 4 1 5 4+1 4 7=(岳+九+62)=;*(T+)=-7(2犷+3)3 3 2 3 3 9